資源簡介

“活結”和“死結”　“動桿”和“定桿”
1．輕繩上的彈力
同一段輕繩上的彈力處處相等。
(1)活結：當輕繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，由于滑輪或掛鉤對繩無約束，因此繩上的力的大小是處處相等的，即滑輪或掛鉤只改變力的方向，不改變力的大小。例如圖甲中，BC、BD兩段繩中的拉力大小都等于重物的重力。
(2)死結：當輕繩某處打有死結時，由于結點對繩有約束，因此繩上的力的大小可能不是處處相等。例如圖乙中，繩AOB中，AO和OB兩段繩中拉力大小不相等。
2．輕桿上的彈力
(1)動桿：
若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿處于平衡時桿所受到的彈力方向一定沿著桿，輕桿只能起到“拉”或“推”的作用，否則會引起桿的轉動。如圖丙所示，若C處為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，桿上彈力方向始終沿桿的方向。
(2)定桿：若輕桿被固定不發生轉動，則桿所受到的彈力方向不一定沿桿的方向。如圖甲所示。定桿的彈力方向應根據物體的運動狀態，由平衡條件或牛頓第二定律分析判斷。
例　在日常生活中經常會用三角形的結構進行懸掛，如圖為這類結構的一種簡化模型。圖中硬桿OB可以繞通過B點且垂直于紙面的軸無摩擦轉動，鋼索OA、懸掛重物的繩子和桿OB所受的重力都可以忽略。如果懸掛物所受的重力是G，∠AOB＝θ，鋼索OA對O點的拉力和桿OB對O點的支持力各是多大？
[答案]　　
[解析]　根據題意，對O點受力分析，受鋼索OA的拉力F1、桿OB的支持力F2和懸掛重物的繩子的拉力F3，如圖所示，根據平衡條件，在水平方向上有F2＝F1cosθ
在豎直方向上有F1sinθ＝F3
對重物受力分析，由平衡條件和牛頓第三定律可得F3＝G
聯立解得F1＝，F2＝。
跟進訓練1.(2025·貴州省六校聯盟高三模擬)(多選)如圖所示，兩個工人相互配合將質量為m的防盜窗拉上平臺，O點為OA、OB、OC三根輕繩的結點，工人甲向左收繩，工人乙站在固定位置放繩。防盜窗緩慢上升的過程中，當OA繩與豎直方向的夾角θ＝30°時，∠AOC剛好等于150°，重力加速度為g，則此時OA、OC繩中張力TOA、TOC的大小分別為(　　)
A．TOC＝mg B．TOC＝mg
C．TOA＝mg D．TOA＝mg
答案：AD
解析：對結點O進行受力分析，如圖所示，TOB、TOC的合力T合與TOA為一對平衡力，由幾何關系可知，T合的方向沿AO的延長線平分∠COB，故TOC＝TOB＝mg，TOA＝T合＝2TOCcos30°＝mg，故選A、D。
跟進訓練2.如圖所示是某型號門座式起重機示意圖，其懸臂與水平方向夾角為37°，懸臂頂端安裝有定滑輪，鋼索通過滑輪可拉起重物。已知鋼索的PQ段水平，現緩慢拉起重量為G的貨物。若不計滑輪摩擦及鋼索和懸臂的重力，求：(可能用到的數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)
(1)PQ段鋼索的拉力大小；
(2)起重機懸臂受到的壓力。
答案：(1)G
(2)G，方向指向右下方與PQ成45°角
解析：(1)以貨物為研究對象，根據平衡條件可得，整根鋼索的拉力大小均為T＝G，故PQ段鋼索的拉力大小為T＝G。
(2)以定滑輪為研究對象，其受力分析如圖所示，根據平衡條件可知，起重機懸臂對定滑輪的支持力FN′與兩段鋼索的拉力的合力等大反向，有FN′＝2Tcos45°
解得FN′＝G，方向指向左上方與水平方向成45°角
由牛頓第三定律可知，起重機懸臂受到的壓力大小FN＝FN′＝G，方向指向右下方與PQ成45°角。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1.(2023·河北高考)如圖，輕質細桿AB上穿有一個質量為m的小球C，將桿水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系統恰好處于平衡狀態。已知左側斜面與水平面成30°角，則左側斜面對桿AB支持力的大小為(　　)
A．mg B.mg
C.mg D.mg
答案：B
解析：輕桿和小球組成的整體，受斜面的支持力NA、NB和自身的重力mg而處于平衡狀態，如圖所示，由平衡條件有NA＝mgcos30°，解得NA＝mg，故選B。
2．(2025·廣西南寧市高三上畢業班摸底測試)2024年7月6日消息，近日在遼寧營口四千噸級履帶起重機首秀。如圖甲為起重機將質量m＝3000噸的重物吊起時的情形，如圖乙所示，重物上表面是邊長為L的正方形，四根長均為L的吊繩分別連接在正方形的四個角，另一端連接在吊索下端的O點。正方形上表面水平，不計空氣阻力和吊繩的重力，取當地的重力加速度g＝10 m/s2。在重物勻速上升過程中，每根吊繩上的拉力大小為(　　)
A．7.5×106 N B．3×107 N
C.×106 N D．3×107 N
答案：C
解析：設吊繩與豎直方向的夾角為θ，由幾何關系可知sinθ＝＝，設每根吊繩上的拉力大小為F，根據平衡條件有4Fcosθ＝mg，解得F＝mg＝×106 N，故選C。
3.(2022·重慶高考)如圖所示，吸附在豎直玻璃上質量為m的擦窗工具，在豎直平面內受重力、拉力和摩擦力(圖中未畫出摩擦力)的共同作用做勻速直線運動。若拉力大小與重力大小相等，方向水平向右，重力加速度為g，則擦窗工具所受摩擦力(　　)
A．大小等于mg B．大小等于mg
C．方向豎直向上 D．方向水平向左
答案：B
解析：由題意可知擦窗工具做勻速直線運動，則受力平衡。對擦窗工具在如題圖所示平面內進行受力分析，如圖所示。水平方向上拉力F與擦窗工具所受滑動摩擦力f的水平分力f水平等大反向，豎直方向上重力mg與擦窗工具所受滑動摩擦力f的豎直分力f豎直等大反向，又已知F＝mg，根據平行四邊形定則將f水平和f豎直進行合成，則擦窗工具所受摩擦力大小為f＝＝mg，由tanθ＝＝＝1，可知擦窗工具所受摩擦力方向與水平方向成θ＝45°角指向左上方。B正確，A、C、D錯誤。
4.如圖，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運動。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運動。物塊與桌面間的動摩擦因數為(　　)
A．2－ B.
C. D.
答案：C
解析：設物塊的質量為m，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ。拉力F水平時，對物塊受力分析如圖1所示，根據平衡條件有FN＝mg，F＝f，又f＝μFN；拉力F與水平面成60°角時，對物塊受力分析如圖2所示，根據平衡條件有FN′＋Fsin60°＝mg，Fcos60°＝f′，又f′＝μFN′；聯立解得μ＝，故選C。
5.(2025·江蘇省南通蘇北七市高三上一模考前模擬)一臺空調外機用兩個三角形支架固定在外墻上，如圖所示，空調外機的重心在支架水平橫梁AO和斜梁BO連接點O的上方，橫梁對O點的拉力沿OA方向、大小為F1，斜梁對O點的支持力沿BO方向、大小為F2。如果把斜梁加長一點，仍保持連接點O的位置不變，則(　　)
A．F1增大 B．F1減小
C．F2不變 D．F2增大
答案：B
解析：設OB與墻面的夾角為θ，對O點受力分析如圖所示，根據共點力的平衡條件可知F2cosθ＝G，F2sinθ＝F1，整理可得F2＝，F1＝Gtanθ，由幾何關系可知，若斜梁加長，則θ變小，此時cosθ變大，tanθ變小，故F2減小，F1減小，故A、C、D錯誤，B正確。
6.光滑斜面上固定著一根剛性圓弧形細桿，小球通過輕繩與細桿相連，此時輕繩處于水平方向，球心恰位于圓弧形細桿的圓心處，如圖所示。將懸點A緩慢沿桿向上移動，直到輕繩處于豎直方向，在這個過程中，輕繩的拉力(　　)
A．逐漸增大 B．大小不變
C．先減小后增大 D．先增大后減小
答案：C
解析：解法一(圖解法)：在懸點A緩慢向上移動的過程中，小球始終處于平衡狀態，小球所受重力mg的大小和方向都不變，支持力的方向不變，對小球進行受力分析如圖甲所示，由圖可知，拉力T先減小后增大，C正確。
解法二(解析法)：如圖乙所示，由正弦定理得＝，得T＝，由于mg和α不變，而sinβ先增大后減小，可得T先減小后增大，C正確。
7.(2025·湖南省長沙市高三上開學考試)如圖所示，光滑的圓軌道豎直固定在水平地面上，O為圓心，A為軌道上的一點，OA與水平面夾角為30°。小球在拉力F作用下始終靜止在A點。當拉力方向水平向左時，拉力F的大小為10 N。當將拉力F在豎直平面內順時針轉至沿圓軌道切線方向時，拉力F的大小為(　　)
A．5 N B．5 N
C．10 N D．10 N
答案：A
解析：如圖所示，小球受重力G、拉力F和支持力N三個力作用，其中G是恒力，N方向不變，根據三角形定則，當拉力F水平向左時，G＝Ftan30°＝10 N×＝ N；當拉力F在豎直平面內順時針轉至沿圓軌道切線方向時，F＝Gcos30°＝ N×＝5 N，故選A。
8．(2024·吉林省吉林市高三下三模)耙在中國已有1500年以上的歷史，北魏賈思勰著《齊民要術》稱之為“鐵齒楱”。如圖甲、乙所示，牛通過兩根耙索沿水平方向勻速耙地，兩根耙索等長且對稱，延長線的交點為O1，夾角∠AO1B＝60°，拉力大小均為F，平面AO1B與水平面的夾角為30°(O2為AB的中點)。忽略耙索質量，下列說法正確的是(　　)
A．兩根耙索的合力大小為F
B．兩根耙索的合力大小為F
C．地對耙的水平阻力大小為F
D．地對耙的水平阻力大小為F
答案：B
解析：由平行四邊形定則得，兩根耙索的合力大小F合＝2×Fcos＝F，故A錯誤，B正確；對耙受力分析，在水平方向上，根據平衡條件可得，地對耙的水平阻力大小f＝F合cos30°＝F，故C、D錯誤。
9．一根輕質彈性繩的兩端分別固定在水平天花板上相距80 cm的兩點上，彈性繩的原長也為80 cm。將一鉤碼掛在彈性繩的中點，平衡時彈性繩的總長度為100 cm；再將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點，則彈性繩的總長度變為(彈性繩的伸長始終處于彈性限度內)(　　)
A．86 cm B．92 cm
C．98 cm D．104 cm
答案：B
解析：輕質彈性繩的兩端分別固定在相距l0＝80 cm的兩點上，鉤碼掛在彈性繩的中點，平衡時彈性繩的總長度為l＝100 cm，以鉤碼為研究對象，受力如圖所示，由胡克定律F＝k(l－l0)，由共點力的平衡條件和幾何知識得F＝＝；再將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點，設彈性繩的總長度變為l′，由胡克定律得F′＝k(l′－l0)，由共點力的平衡條件F′＝，聯立上面各式解得l′＝92 cm，B正確。
10.(多選)如圖所示，輕桿OP可繞O軸在豎直平面內自由轉動，P端掛一重物，用另一輕繩通過滑輪A系在P端。在拉力F作用下重物緩慢上升，不計滑輪摩擦，則(　　)
A．拉力F的大小逐漸增大
B．拉力F的大小逐漸減小
C．OP桿的彈力N的大小保持不變
D．OP桿的彈力N的大小逐漸增大
答案：BC
解析：P點受懸掛重物的輕繩的拉力T＝G、拉力F和輕桿的支持力N，如圖所示，將F、N平移構成首尾相接的矢量三角形，由幾何知識可知，三角形OPA和力的矢量三角形相似，所以有＝＝，重物緩慢上升，其中OA、OP保持不變，而AP逐漸減小，可知N＝G保持不變，F＝G逐漸減小，故A、D錯誤，B、C正確。
[B組　綜合提升練]
11.(2022·海南高考)我國的石橋世界聞名，如圖，某橋由六塊形狀完全相同的石塊組成，其中石塊1、6固定，2、5質量相同為m，3、4質量相同為m′，不計石塊間的摩擦，則為(　　)
A. B.
C．1 D．2
答案：D
解析：由題意可知，每塊石塊對應的圓心角均為＝30°，對石塊3進行受力分析，如圖1，由平衡條件可得tan30°＝；把石塊2和3看成整體，并對其進行受力分析，如圖2，由平衡條件可得tan60°＝；聯立解得＝2，故D正確。
12.如圖所示，不可伸長、質量不計的繩子兩端分別固定在豎直桿PQ、MN上，雜技演員利用輕鉤讓自己懸掛在繩子上，不計輕鉤與繩間的摩擦。現將MN桿繞N點垂直紙面向外緩慢轉動15°，該過程中關于繩子上張力大小的變化，下列說法正確的是(　　)
A．逐漸變大 B．逐漸變小
C．始終不變 D．先變大后變小
答案：A
解析：設雜技演員的質量為m，繩子上的張力大小為T，輕鉤兩側繩子與豎直方向的夾角均為θ，對雜技演員和輕鉤整體受力分析，如圖所示，由平衡條件有2Tcosθ＝mg，解得T＝。設繩總長為L，繩的兩懸點在水平方向的距離為d，根據幾何關系有sinθ＝，將MN桿繞N點垂直紙面向外緩慢轉動15°的過程中，L不變，d逐漸變大，則sinθ逐漸變大，cosθ逐漸變小，T逐漸變大，故A正確，B、C、D錯誤。
13.如圖所示，矩形平板ABCD的AD邊固定在水平面上，平板與水平面夾角為θ，AC與AB的夾角也為θ。質量為m的物塊在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向勻速運動。物塊與平板間的動摩擦因數μ＝tanθ，重力加速度大小為g，拉力大小為(　　)
A．2mgsinθcos B．2mgsinθ
C．2mgsin D．mgsinθcos
答案：A
解析：物塊重力沿平板的分力平行于CD向下，有Gx＝mgsinθ，物塊所受滑動摩擦力與運動方向相反，有f＝μmgcosθ，根據平衡條件，在平板平面內，拉力與Gx和f的合力等大反向，根據余弦定理得F＝＝2mgsinθcos，故選A。
[C組　拔尖培優練]
14.(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中(　　)
A．MN上的張力逐漸增大
B．MN上的張力先增大后減小
C．OM上的張力逐漸增大
D．OM上的張力先增大后減小
答案：AD
解析：解法一(輔助圓法)：重物受到重力mg、OM繩的拉力FOM、MN繩的拉力FMN共三個力的作用。緩慢拉起過程中任一時刻可認為是平衡狀態，三力的合力恒為0。如圖1所示，由三角形定則得一首尾相接的閉合三角形，由于α>且不變，則三角形中FMN與FOM的交點在一個圓弧上移動，由圖可以看出，在OM被拉到水平的過程中，繩MN中拉力一直增大且OM水平時恰好達到最大值，繩OM中拉力先增大后減小，故A、D正確，B、C錯誤。
解法二(正弦定理法)：設重物的質量為m，繩OM中的張力為TOM，繩MN中的張力為TMN。開始時，TOM＝mg，TMN＝0。由于緩慢
拉起，則重物一直處于平衡狀態，兩繩張力的合力與重物的重力mg等大、反向。
如圖2所示，已知角α不變，在重物被緩慢拉起的過程中，角β逐漸增大，則角(α－β)逐漸減小，但角θ不變，在三角形中，利用正弦定理得：＝，(α－β)由鈍角變為銳角，則TOM先增大后減小，C錯誤，D正確；同理知＝，在β由0變為的過程中，TMN一直增大，A正確，B錯誤。
12(共42張PPT)
第二章　相互作用
第3講　共點力的平衡
微專題　“活結”和“死結”　“動桿”和“定桿”
目錄
1
2
微專題　“活結”和“死結”　“動桿”和“定桿”
課時作業
微專題　“活結”和“死結”　“動桿”和“定桿”
1．輕繩上的彈力
同一段輕繩上的彈力處處相等。
(1)活結：當輕繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，由于滑輪或掛鉤對繩無約束，因此繩上的力的大小是處處相等的，即滑輪或掛鉤只改變力的方向，不改變力的大小。例如圖甲中，BC、BD兩段繩中的拉力大小都等于重物的重力。
(2)死結：當輕繩某處打有死結時，由于結點對繩有約束，因此繩上的力的大小可能不是處處相等。例如圖乙中，繩AOB中，AO和OB兩段繩中拉力大小不相等。
2．輕桿上的彈力
(1)動桿：
若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿處于平衡時桿所受到的彈力方向一定沿著桿，輕桿只能起到“拉”或“推”的作用，否則會引起桿的轉動。如圖丙所示，若C處為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，桿上彈力方向始終沿桿的方向。
(2)定桿：若輕桿被固定不發生轉動，則桿所受到的彈力方向不一定沿桿的方向。如圖甲所示。定桿的彈力方向應根據物體的運動狀態，由平衡條件或牛頓第二定律分析判斷。
例　在日常生活中經常會用三角形的結構進行懸掛，如圖為
這類結構的一種簡化模型。圖中硬桿OB可以繞通過B點且垂直于
紙面的軸無摩擦轉動，鋼索OA、懸掛重物的繩子和桿OB所受的重
力都可以忽略。如果懸掛物所受的重力是G，∠AOB＝θ，鋼索OA
對O點的拉力和桿OB對O點的支持力各是多大？
跟進訓練2.如圖所示是某型號門座式起重機示意圖，其懸臂與水平方向夾角為37°，懸臂頂端安裝有定滑輪，鋼索通過滑輪可拉起重物。已知鋼索的PQ段水平，現緩慢拉起重量為G的貨物。若不計滑輪摩擦及鋼索和懸臂的重力，求：(可能用到的數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)
(1)PQ段鋼索的拉力大小；
(2)起重機懸臂受到的壓力。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
5.(2025·江蘇省南通蘇北七市高三上一模考前模擬)一臺空調外機用兩個三角形支架固定在外墻上，如圖所示，空調外機的重心在支架水平橫梁AO和斜梁BO連接點O的上方，橫梁對O點的拉力沿OA方向、大小為F1，斜梁
對O點的支持力沿BO方向、大小為F2。如果把斜梁加長一點，仍
保持連接點O的位置不變，則(　　)
A．F1增大 B．F1減小
C．F2不變 D．F2增大
6．光滑斜面上固定著一根剛性圓弧形細桿，小球通過輕繩與細桿相連，此時輕繩處于水平方向，球心恰位于圓弧形細桿的圓心處，如圖所示。將懸點A緩慢沿桿向上移動，直到輕繩處于豎直方向，在這個過程中，輕繩的拉力(　　)
A．逐漸增大
B．大小不變
C．先減小后增大
D．先增大后減小
9．一根輕質彈性繩的兩端分別固定在水平天花板上相距80 cm的兩點上，彈性繩的原長也為80 cm。將一鉤碼掛在彈性繩的中點，平衡時彈性繩的總長度為100 cm；再將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點，則彈性繩的總長度變為(彈性繩的伸長始終處于彈性限度內)(　　)
A．86 cm B．92 cm
C．98 cm D．104 cm
10.(多選)如圖所示，輕桿OP可繞O軸在豎直平面內自由轉動，P端掛一重物，用另一輕繩通過滑輪A系在P端。在拉力F作用下重物緩慢上升，不計滑輪摩擦，則(　　)
A．拉力F的大小逐漸增大
B．拉力F的大小逐漸減小
C．OP桿的彈力N的大小保持不變
D．OP桿的彈力N的大小逐漸增大
[B組　綜合提升練]
12.如圖所示，不可伸長、質量不計的繩子兩端分別固定在豎直桿PQ、MN上，雜技演員利用輕鉤讓自己懸掛在繩子上，不計輕鉤與繩間的摩擦。現將MN桿繞N點垂直紙面向外緩慢轉動15°，該過程中關于繩子上張力大小的變化，下列說法正確的是(　　)
A．逐漸變大
B．逐漸變小
C．始終不變
D．先變大后變小
[C組　拔尖培優練]

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