資源簡介

物理
第講　曲線運動　運動的合成與分解
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
　第五章第1節閱讀“曲線運動的速度方向”這一部分內容，思考：為什么說曲線運動是變速運動？
提示：速度是個矢量，方向改變，速度就改變了。
　第五章第1節閱讀“物體做曲線運動的條件”這一部分內容，總結物體做直線運動的條件是什么？物體做曲線運動的條件是什么？
提示：當物體所受合力的方向與它的速度方向在同一直線上時，物體做直線運動；當物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上時，物體做曲線運動。
　第五章第1節[練習與應用]T5，大致畫出物體由A至D的運動軌跡。
提示：如圖所示。
　第五章第2節[思考與討論]，合運動的軌跡是直線還是曲線是由什么決定的？
提示：是由合速度的方向與質點所受合力的方向決定的，若合力(或合加速度)的方向與合速度的方向在同一直線上，則軌跡為直線，否則為曲線。
　第五章第2節[練習與應用]T5。
提示：無論河水是否流動，汽艇駛到對岸的時間都是t＝＝100 s，由于河水流動，汽艇沿河水流動方向的位移l＝v2t＝×100 m＝100 m，即汽艇在對岸下游100 m處靠岸。
　第五章[復習與提高]B組T6。
提示：(1)由vx t圖像可知，質點在x方向做初速度為v0x＝4 m/s的勻加速直線運動，加速度為ax＝＝2 m/s2，t＝0．5 s時vx＝v0x＋axt＝5 m/s，方向沿x軸正方向。
由y t圖像可知，質點沿y方向做勻速直線運動，沿y方向的分速度為vy＝＝－5 m/s，即方向沿y軸負方向。
故當t＝0．5 s時，v＝＝5 m/s，tanθ＝＝1，即質點速度方向與x軸正方向的夾角為45°斜向第四象限。
(2)質點在x方向的位移x＝v0xt＋axt2，在y方向的位移y＝y0＋vyt。t＝0．5 s時，將t＝0．5 s、v0x＝4 m/s、ax＝2 m/s2、y0＝10 m、vy＝－5 m/s代入，解得x＝2．25 m，y＝7．5 m。故當t＝0．5 s時，質點的位置坐標為(2．25 m，7．5 m)。
(3)t＝0時，質點位于y軸上，x＝0，y＝10 m；t＝2 s時，y＝0，
由x＝v0xt＋axt2知，x＝12 m。又質點的合加速度沿x軸正方向，則軌跡向右彎曲，畫出質點在2 s內的運動軌跡如圖所示。
考點一　曲線運動的條件和特征
1．速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。
2．運動性質：物體做曲線運動時，由于速度的方向時刻改變，物體的加速度一定不為0，因此，曲線運動一定是變速運動。
3．物體做曲線運動的條件
(1)運動學角度：物體的加速度的方向與它的速度方向不在同一直線上。
(2)動力學角度：物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上。
1．速度發生變化的運動，一定是曲線運動。(　　) 2．做曲線運動的物體一定受變力作用。(　　) 3．做曲線運動的物體，所受合力的方向一定指向曲線的凹側。(　　) 4．做勻變速曲線運動的物體，速度方向時刻改變，但永遠不可能與所受合力的方向相同。(　　) 答案：1．×　2．×　3．√　4．√
1．運動軌跡的判斷
(1)若物體所受合力方向與速度方向在同一直線上，則物體做直線運動。
(2)若物體所受合力方向與速度方向不在同一直線上，則物體做曲線運動。
2．曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
(1)速度方向與運動軌跡相切。
(2)合力方向指向軌跡曲線的“凹”側。
(3)運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間，且彎向合力方向。
3．合力與速率變化的關系
合力在垂直速度方向上的分力改變速度的方向，在沿速度方向上的分力改變速度的大小，故合力與速率變化的關系為：
(1)當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率增大。
(2)當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率減小。
(3)當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。
例1　(2023·全國乙卷)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是(　　)
[答案]　D
[解析]　由圖可知，小車做曲線運動，則其所受合力應指向運動軌跡即軌道的凹側，故A、B錯誤；由題意可知，小車沿軌道從左向右運動，動能一直增加，則合力對小車一直做正功，故合力方向與小車運動方向(沿軌道切線向右)的夾角一直為銳角，故C錯誤，D可能正確。
考點二　運動的合成與分解
1．基本概念
(1)分運動和合運動：一個物體同時參與幾個運動，參與的這幾個運動叫作分運動，物體的實際運動叫作合運動。
(2)運動的合成：由分運動求合運動的過程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)運動的分解：由合運動求分運動的過程。解題時應按實際效果分解，或正交分解。
2．遵從的規律：運動的合成與分解遵從矢量運算法則。
1．兩個直線運動的合運動一定是直線運動。(　　) 2．兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。(　　) 答案：1．×　2．√
1．合運動和分運動的關系
(1)等時性：各個分運動與合運動總是同時開始、同時進行、同時結束，經歷時間相等(不同時的運動不能合成)。
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響。
(3)等效性：各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果。
(4)同一性：各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發生的運動，不能是幾個不同物體發生的不同運動。
2．合運動性質的判斷
(1)合加速度(或合力)
(2)
例2　(2022·遼寧高考)如圖所示，橋式起重機主要由可移動“橋架”“小車”和固定“軌道”三部分組成。在某次作業中橋架沿軌道單向移動了8 m，小車在橋架上單向移動了6 m。該次作業中小車相對地面的位移大小為(　　)
A．6 m B．8 m
C．10 m D．14 m
[答案]　C
[解析]　由題意可知小車沿軌道方向的位移與沿橋架方向的位移相互垂直，根據矢量的合成與分解可知，該次作業中小車相對地面的位移大小為x＝＝ m＝10 m，故選C。
例3　(多選)如圖所示，在滅火搶險的過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火作業。為了節省救援時間，在消防車向前前進的過程中，人同時相對梯子勻速向上運動。在地面上看消防隊員的運動，下列說法中正確的是(　　)
A．當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻加速直線運動
B．當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動
C．當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速曲線運動
D．當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速直線運動
[答案]　BC
[解析]　兩個互成角度的勻速直線運動的合運動仍然是勻速直線運動，互成角度的一個勻速直線運動與一個勻變速直線運動的合運動是勻變速曲線運動。當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動，B正確，A錯誤；當消防車勻加速前進時，因消防車加速度恒定，且與消防隊員沿梯子運動的方向有一定夾角，故消防隊員一定做勻變速曲線運動，C正確，D錯誤。
考點三　運動合成與分解的應用——關聯速度問題
1．問題特點
沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等。
2．思路與方法
(1)明確研究對象
繩(或桿)連接的物體，或繩(或桿)的端點。
(2)明確合運動與分運動
合速度→物體的實際運動速度v
分速度→
遵循的法則：v的分解(或v1與v2的合成)遵循平行四邊形定則。
(3)明確等量關系
沿繩(或桿)方向的分速度大小相等。
例4　(2025·黑龍江省哈爾濱市實驗中學高三上9月月考)(多選)質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時(如圖)，下列判斷正確的是(　　)
A．P的速率為v
B．P的速率為vcosθ2
C．細繩的拉力等于mgsinθ1
D．細繩的拉力大于mgsinθ1
[答案]　BD
[解析]　將小車的速度v沿細繩方向和垂直于細繩方向正交分解，如圖所示，物體P的速度與小車沿細繩方向的速度相等，則有vP＝vcosθ2，A錯誤，B正確；小車向右運動，所以θ2減小，而v不變，所以vP逐漸變大，說明物體P沿斜面向上做加速運動，對物體P，沿斜面方向由牛頓第二定律可得T－mgsinθ1＝ma，可知細繩對P的拉力T>mgsinθ1，C錯誤，D正確。
關聯速度問題常見模型 把物體的實際速度分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)的兩個分量，根據沿繩(或桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。 拓展：若兩物體運動過程中不是通過繩或桿連接，而是直接接觸，則兩物體在垂直接觸面方向的分速度相同。
例5　曲柄連桿結構是發動機實現工作循環、完成能量轉換的主要運動零件。如圖所示，連桿下端連接活塞Q，上端連接曲軸P。在工作過程中，活塞在汽缸內上下做直線運動，帶動曲軸繞圓心O旋轉，若P做線速度大小為v0的勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A．當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度等于v0
B．當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度大于v0
C．當O、P、Q在同一直線上時，活塞運動的速度等于v0
D．當O、P、Q在同一直線上時，活塞運動的速度大于v0
[答案]　A
[解析]　當OP與OQ垂直時，設∠PQO＝θ，此時活塞的速度為v，將P的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的分速度，將活塞的速度v分解為沿桿方向和垂直于桿方向的分速度，則此時v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正確，B錯誤；當O、P、Q在同一直線上時，P沿桿方向的分速度為0，則活塞沿桿方向的分速度為0，由于汽缸的限制，活塞垂直于桿方向的分速度為0，故活塞運動的速度等于0，C、D錯誤。
考點四　運動合成與分解的應用——小船渡河問題
1．模型特點：船的實際運動是隨水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
2．三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v合。
3．三種情境
渡河時間最短 當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝
渡河位移最短 如果v船>v水，當船頭方向與上游夾角θ滿足v船cosθ＝v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河寬d
如果v船例6　一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2．5 m/s。
(1)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
(2)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
(3)若船在靜水中的速度為v2＝1．5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
[答案]　(1)船頭垂直于河岸　36 s　90 m
(2)船頭與上游河岸成60°角　24 s　180 m
(3)船頭與上游河岸成53°角　150 s　300 m
[解析]　(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向。當船頭垂直河岸時，如圖甲所示，合速度沿傾斜方向，垂直河岸方向的分速度為
v⊥＝v2＝5 m/s
渡河用時t＝＝＝ s＝36 s
船的合速度v合＝＝ m/s
船的位移x＝v合t＝90 m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向，船頭應朝圖乙中的v2方向。
垂直河岸過河要求v∥＝0，如圖乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以當船頭與上游河岸成60°角時航程最短，位移為x＝d＝180 m
渡河用時t＝＝＝ s＝24 s。
(3)若v2＝1．5 m/s，與(2)中不同，因為船速小于水速，所以船一定向下游漂移，設合速度方向與河岸下游方向夾角為β，則航程x＝，欲使航程最短，需β最大，如圖丙所示，由出發點A作出v1矢量，以v1矢量末端為圓心、v2大小為半徑作圓，A點與圓周上某點的連線為合速度方向，欲使v合與河岸下游方向夾角最大，應使v合與圓相切，即v合⊥v2。
此時sinβ＝＝，得β＝37°
所以船頭應朝與上游河岸成53°角方向。
船渡河用時t＝＝ s＝150 s
船的位移x＝＝300 m。
求解小船渡河問題的方法 小船渡河問題有兩類：一是求渡河時間，二是求渡河位移。無論哪類都必須明確以下四點： (1)解決問題的關鍵：正確區分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭指向，是分運動方向，船的運動方向也就是船的實際運動方向，是合運動方向，一般情況下與船頭指向不一致。 (2)運動分解的基本方法：按實際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指向分解。 (3)渡河時間只與垂直河岸的船的分速度有關，與水流速度無關。求解渡河時間，一般根據運動的獨立性，由t＝＝＝求解。 (4)求最短渡河位移：當水速小于船速時，即為河寬；當水速大于船速時，根據船速v船與水流速度v水的情況用三角形定則求極限的方法處理。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．對于做曲線運動的物體，下列說法正確的是(　　)
A．所受合力可能為零
B．加速度可能保持不變
C．一定受到變力的作用
D．加速度可能和運動方向相同
答案：B
解析：做曲線運動的物體，一定做變速運動，有加速度，根據牛頓第二定律可知，所受合力不為零，故A錯誤；物體做曲線運動的條件是合力與速度不在同一條直線上，即加速度與物體運動方向不在同一直線上，該合力可以是變力，也可以保持不變，即加速度可以保持不變，如平拋運動，故B正確，C、D錯誤。
2．如圖所示，將六塊塑料板拼接成一彎曲軌道置于放在水平桌面的白紙之上，讓一沾上墨水的小鐵球從中滾過，留下曲線OABC，下列說法錯誤的是(　　)
A．小球在B點速度方向沿切線
B．小球離開C點后做直線運動
C．若拆去5、6兩塑料板，小球離開B點后仍沿原曲線運動
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球離開A點后將做直線運動
答案：C
解析：小球做曲線運動時，在某點的速度方向沿軌跡在該點的切線方向，故A正確；小球離開C點后，所受合力(摩擦力)方向與速度方向在同一直線上，所以小球離開C點后做直線運動，故B正確；若拆去5、6兩塑料板，小球離開B點后將沿離開時的速度方向做直線運動，故C錯誤；若拆去3、4、5、6塑料板，小球離開A點后將沿離開時的速度方向做直線運動，故D正確。本題選說法錯誤的，故選C。
3．(2023·遼寧高考)某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是(　　)
答案：A
解析：由題圖可知籃球做曲線運動，所以籃球所受合力F應指向運動軌跡的凹側，故只有A可能正確。
4．如圖所示，一塔式起重機正在工作，在某段時間內，吊車P沿吊臂向末端M水平勻速移動，同時吊車正下方的重物Q先勻減速豎直上升，后勻加速豎直上升。該段時間內，重物Q的運動軌跡可能是(　　)
答案：C
解析：由運動軌跡與力的關系可知運動軌跡向力的方向彎曲，由題可知，重物Q的加速度先向下后向上，可得重物Q所受的合力先向下后向上，所以重物Q的運動軌跡先向下彎曲，然后向上彎曲，故C正確，A、B、D錯誤。
5．某架飛機在進行航空測量時，需要嚴格按照從南到北的水平航線進行飛行。如果在無風時飛機相對地面的速度是414 km/h，飛行過程中航路上有速度為54 km/h的持續東風，若不考慮地球自轉，則(　　)
A．飛機的飛行方向為北偏西θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝
B．飛機的飛行方向為北偏東θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝
C．飛機實際的飛行速度大小為100 m/s
D．飛機實際的飛行速度大小為100 m/s
答案：B
解析：若使飛機嚴格按照從南到北的水平航線飛行，則其速度方向如圖所示，則飛機的飛行方向為北偏東θ角，且sinθ＝＝＝，故A錯誤，B正確；飛機實際的飛行速度大小為v＝＝ km/h＝36 km/h＝10 m/s，故C、D錯誤。
6．一艘船以vA的速度用最短的時間渡河，另一艘船以vB的速度從同一地點以最短的路程過河，兩船軌跡恰好重合(設河水速度保持不變)，則兩船過河所用的時間之比是(　　)
A．vA∶vB B．vB∶vA
C．v∶v D．v∶v
答案：D
解析：兩船軌跡重合，知合速度方向相同，根據題意，vA垂直于河岸，vB與合速度方向垂直，如圖，兩船的合位移相等，則兩船渡河時間之比等于兩船合速度的反比，即＝＝＝cosθ，而v水＝＝，即cosθ＝，所以＝，故D正確，A、B、C錯誤。
7．(2025·福建省泉州市四校高三上10月月考)(多選)甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用鉸鏈與輕直桿連接，乙球處于光滑水平地面上，甲球套在光滑的豎直桿上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。無初速度釋放，使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3 m時，下列說法正確的是(　　)
A．甲、乙兩球的速度大小之比為∶3
B．甲、乙兩球的速度大小之比為3∶7
C．甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D．甲球即將落地時，乙球的速度為零
答案：BD
解析：設輕桿與豎直方向的夾角為θ，則甲球的速度v1在沿桿方向的分量為v1桿＝v1cosθ，乙球的速度v2在沿桿方向的分量為v2桿＝v2sinθ，而v1桿＝v2桿，當乙球距離起點3 m時，甲球距離地面 m＝ m，有cosθ＝，sinθ＝，聯立可得此時甲、乙兩球的速度大小之比為＝，故A錯誤，B正確；當甲球即將落地時，有θ＝90°，此時v2＝＝0，可知乙球的速度為零，故C錯誤，D正確。
8．在島上生活的漁民，曾用如圖所示的裝置將漁船拉到岸邊。若通過人工方式跨過定滑輪拉船，使之勻速靠岸，已知船在此運動過程中所受阻力保持不變，則(　　)
A．繩對船的拉力逐漸增大 B．船所受水的浮力保持不變
C．岸上人拉繩的速度保持不變 D．岸上人拉繩的速度逐漸增大
答案：A
解析：對船進行受力分析，如圖1，因為船做勻速直線運動，所以船處于平衡狀態，所受合力為零；設繩對船的拉力與水平方向的夾角為θ，則有Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在勻速靠岸的過程中，θ增大，阻力f不變，根據平衡方程知，繩的拉力F逐漸增大，船所受水的浮力逐漸減小，故A正確，B錯誤。將船的運動分解，如圖2所示，設船勻速靠岸的速度為v，則有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1會減小，即岸上人拉繩的速度逐漸減小，故C、D錯誤。
9．(2025·福建省廈門市同安第一中學高三上第一次月考)隨著科技的進步，農村和偏遠山區也已經開始用無人機配送快遞，如圖甲所示。無人機在0～5 s內的飛行過程中，其水平、豎直方向速度vx、vy與時間t的關系圖像分別如圖乙、丙所示，豎直方向規定向上為正方向。下列說法正確的是(　　)
A．0～2 s內，無人機做勻加速直線運動
B．2～4 s內，無人機做勻減速直線運動
C．t＝4 s時，無人機運動到最高點
D．0～5 s內，無人機的位移大小為9 m
答案：C
解析：由題圖乙、丙可知，0～2 s內，無人機在水平方向做勻加速直線運動，在豎直方向也做勻加速直線運動，但初速度沿水平方向，則合力與初速度方向不在同一直線上，因此，無人機做勻變速曲線運動，A錯誤；2～4 s內，無人機在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向做勻減速直線運動，則合運動為勻變速曲線運動，故B錯誤；0～4 s內，無人機在豎直方向速度一直為正，即一直向上運動，且t＝4 s時刻，豎直方向速度為0，之后向下運動，所以t＝4 s時，無人機運動到最高點，C正確；由v t圖像與時間軸圍成的面積表示位移可知，0～5 s內，無人機的水平位移為x＝9 m，豎直位移為y＝1．75 m，則合位移為≠9 m，D錯誤。
[B組　綜合提升練]
10．“殲－35”閃亮登場2024珠海航展。如圖所示，戰機先水平向右，再沿曲線ab向上，最后沿陡斜線直入云霄。設飛行路徑在同一豎直面內，飛行速率不變，則沿ab段曲線飛行時，戰機(　　)
A．所受合力不變 B．所受合力方向豎直向上
C．豎直方向的分速度不變 D．水平方向的分速度逐漸減小
答案：D
解析：戰機飛行速率不變，則合力方向始終與速度方向垂直且指向軌跡凹側，即垂直軌跡切線向上，可知戰機所受合力方向不斷變化，不是豎直向上的，故A、B錯誤；戰機沿ab段曲線飛行過程中，戰機速度大小不變，速度方向與水平方向的夾角θ逐漸增大，則豎直方向的分速度vy＝vsinθ逐漸增大，水平方向的分速度vx＝vcosθ逐漸減小，故C錯誤，D正確。
11．如圖所示，長為L的直棒一端可繞固定軸O轉動，另一端擱在升降平臺上，平臺以速度v勻速上升，當棒與豎直方向的夾角為α時，棒的角速度為(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：棒與平臺接觸點的實際運動即合運動方向是垂直于棒斜向左上，如圖所示，合速度v實＝ωL，沿豎直方向的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝，故B正確。
12．(多選)如圖a，在跳臺滑雪比賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態會影響其下落的速度和滑翔的距離。某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v t圖像如圖b所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則(　　)
A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大
D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大
答案：BD
解析：v t圖像中圖線與t軸包圍的面積表示位移的大小，第二次滑翔過程中v t圖線與t軸所圍面積比第一次的大表示在豎直方向上的位移比第一次的大，A錯誤；由圖a知落在雪道上時的水平位移與豎直位移成正比，再由A項分析知，B正確；從起跳到落到雪道上，第一次滑翔過程中豎直方向的速度變化比第二次的大，時間比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的小，C錯誤；v t圖像的斜率表示加速度，豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上的加速度比第一次的小，設在豎直方向上所受阻力為f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在豎直方向上受到的阻力比第一次的大，D正確。
13．某軍事興趣小組在進行無人機戰爭模擬撞擊訓練中，無人機以10 m/s的速度水平飛過地面A點正上方40 m的位置時，收到操作員發出的指令，立即以5 m/s2的恒定加速度運動且恰好撞上A點。則無人機從收到指令到撞上A點所用時間為(　　)
A．3 s B．3 s
C．4 s D．4 s
答案：C
解析：設無人機加速度沿水平方向和豎直方向的分量分別為ax、ay，無人機從收到指令到撞上A點所用時間為t，根據勻變速直線運動規律，水平方向有v0t－axt2＝0，豎直方向有h＝ayt2，又a＋a＝a2，其中h＝40 m，v0＝10 m/s，解得t＝4 s(t＝－4 s舍去)，故選C。
[C組　拔尖培優練]
14．(2023·江蘇高考)達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是(　　)
答案：D
解析：設罐子運動的加速度大小為a，某時刻漏出某粒沙子時的速度為v0，之后在時間t內這粒沙子下落的高度h＝gt2，水平向右運動的距離x＝v0t，比這粒沙子晚Δt(Δt17(共61張PPT)
第四章　曲線運動
第1講　曲線運動　運動的合成與分解
目錄
1
2
3
教材閱讀指導
考點一　曲線運動的條件和特征
考點二　運動的合成與分解
考點三運動合成與分解的應用——關聯速度問題
考點四運動合成與分解的應用——小船渡河問題
課時作業
4
5
6
教材閱讀指導
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
　 第五章第1節閱讀“曲線運動的速度方向”這一部分內容，思考：為什么說曲線運動是變速運動？
　第五章第1節閱讀“物體做曲線運動的條件”這一部分內容，總結物體做直線運動的條件是什么？物體做曲線運動的條件是什么？
提示：速度是個矢量，方向改變，速度就改變了。
提示：當物體所受合力的方向與它的速度方向在同一直線上時，物體做直線運動；當物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上時，物體做曲線運動。
第五章第1節[練習與應用]T5，大致畫出物體由A至D的運動軌跡。
第五章第2節[思考與討論]，合運動的軌跡是直線還是曲線是由什么決定的？
提示：如圖所示。
提示：是由合速度的方向與質點所受合力的方向決定的，若合力(或合加速度)的方向與合速度的方向在同一直線上，則軌跡為直線，否則為曲線。
章第2節[練習與應用]T5。
第五章[復習與提高]B組T6。
考點一　曲線運動的條件和特征
1．速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的____方向。
2．運動性質：物體做曲線運動時，由于速度的______時刻改變，物體的加速度一定不為0，因此，曲線運動一定是______運動。
3．物體做曲線運動的條件
(1)運動學角度：物體的________的方向與它的速度方向不在同一直線上。
(2)動力學角度：物體所受______的方向與它的速度方向不在同一直線上。
切線
方向
變速
加速度
合力
1．速度發生變化的運動，一定是曲線運動。(　　)
2．做曲線運動的物體一定受變力作用。(　　)
3．做曲線運動的物體，所受合力的方向一定指向曲線的凹側。(　　)
4．做勻變速曲線運動的物體，速度方向時刻改變，但永遠不可能與所受合力的方向相同。(　　)
×
×
√
√
1．運動軌跡的判斷
(1)若物體所受合力方向與速度方向在同一直線上，則物體做直線運動。
(2)若物體所受合力方向與速度方向不在同一直線上，則物體做曲線運動。
2．曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
(1)速度方向與運動軌跡相切。
(2)合力方向指向軌跡曲線的“凹”側。
(3)運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間，且彎向合力方向。
3．合力與速率變化的關系
合力在垂直速度方向上的分力改變速度的方向，在沿速度方向上的分力改變速度的大小，故合力與速率變化的關系為：
(1)當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率增大。
(2)當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率減小。
(3)當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。
例1　(2023·全國乙卷)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是(　　)
解析　由圖可知，小車做曲線運動，則其所受合力應指向運動軌跡即軌道的凹側，故A、B錯誤；由題意可知，小車沿軌道從左向右運動，動能一直增加，則合力對小車一直做正功，故合力方向與小車運動方向(沿軌道切線向右)的夾角一直為銳角，故C錯誤，D可能正確。
考點二　運動的合成與分解
1．基本概念
(1)分運動和合運動：一個物體同時參與幾個運動，參與的這幾個運動叫作________，物體的實際運動叫作________。
(2)運動的合成：由_______求________的過程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)運動的分解：由________求________的過程。解題時應按實際效果分解，或正交分解。
2．遵從的規律：運動的合成與分解遵從______________。
分運動
合運動
分運動
合運動
合運動
分運動
矢量運算法則
1．兩個直線運動的合運動一定是直線運動。(　　)
2．兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。(　　)
×
√
1．合運動和分運動的關系
(1)等時性：各個分運動與合運動總是同時開始、同時進行、同時結束，經歷時間相等(不同時的運動不能合成)。
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響。
(3)等效性：各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果。
(4)同一性：各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發生的運動，不能是幾個不同物體發生的不同運動。
例2　(2022·遼寧高考)如圖所示，橋式起重機主要由可移動“橋架”“小車”和固定“軌道”三部分組成。在某次作業中橋架沿軌道單向移動了8 m，小車在橋架上單向移動了6 m。該次作業中小車相對地面的位移大小為(　　)
A．6 m B．8 m
C．10 m D．14 m
例3　(多選)如圖所示，在滅火搶險的過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火作業。為了節省救援時間，在消防車向前前進的過程中，人同時相對梯子勻速向上運動。在地面上看消防隊員的運動，下列說法中正確的是(　　)
A．當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻加速直線運動
B．當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動
C．當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速曲線運動
D．當消防車勻加速前進時，消防隊員一定做勻變速直線運動
解析　兩個互成角度的勻速直線運動的合運動仍然是勻速直線運動，互成角度的一個勻速直線運動與一個勻變速直線運動的合運動是勻變速曲線運動。當消防車勻速前進時，消防隊員一定做勻速直線運動，B正確，A錯誤；當消防車勻加速前進時，因消防車加速度恒定，且與消防隊員沿梯子運動的方向有一定夾角，故消防隊員一定做勻變速曲線運動，C正確，D錯誤。
考點三　運動合成與分解的應用——關聯速度問題
1．問題特點
沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等。
2．思路與方法
(1)明確研究對象
繩(或桿)連接的物體，或繩(或桿)的端點。
例4　(2025·黑龍江省哈爾濱市實驗中學高三上9月月考)(多選)質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時(如圖)，下列判斷正確的是(　　)
A．P的速率為v
B．P的速率為vcosθ2
C．細繩的拉力等于mgsinθ1
D．細繩的拉力大于mgsinθ1
解析　將小車的速度v沿細繩方向和垂直于細繩方向正交分解，如圖所示，物體P的速度與小車沿細繩方向的速度相等，則有vP＝vcosθ2，A錯誤，B正確；小車向右運動，所以θ2減小，而v不變，所以vP逐漸變大，說明物體P沿斜面向上做加速運動，對物體P，沿斜面方向由牛頓第二定律可得T－mgsinθ1＝ma，可知細繩對P的拉力T>mgsinθ1，C錯誤，D正確。
關聯速度問題常見模型
把物體的實際速度分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)的兩個分量，根據沿繩(或桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。
拓展：若兩物體運動過程中不是通過繩或桿連接，而是直接接觸，則兩物體在垂直接觸面方向的分速度相同。
例5　曲柄連桿結構是發動機實現工作循環、完成能量轉換的主要運動零件。如圖所示，連桿下端連接活塞Q，上端連接曲軸P。在工作過程中，活塞在汽缸內上下做直線運動，帶動曲軸繞圓心O旋轉，若P做線速度大小為v0
的勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A．當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度等于v0
B．當OP與OQ垂直時，活塞運動的速度大于v0
C．當O、P、Q在同一直線上時，活塞運動的速度等于v0
D．當O、P、Q在同一直線上時，活塞運動的速度大于v0
解析　當OP與OQ垂直時，設∠PQO＝θ，此時活塞的速度為v，將P的速度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的分速度，將活塞的速度v分解為沿桿方向和垂直于桿方向的分速度，則此時v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正確，B錯誤；當O、P、Q在同一直線上時，P沿桿方向的分速度為0，則活塞沿桿方向的分速度為0，由于汽缸的限制，活塞垂直于桿方向的分速度為0，故活塞運動的速度等于0，C、D錯誤。
考點四　運動合成與分解的應用——小船渡河問題
1．模型特點：船的實際運動是隨水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
2．三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v合。
3．三種情境
例6　一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2．5 m/s。
(1)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
(2)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
(3)若船在靜水中的速度為v2＝1．5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
求解小船渡河問題的方法
小船渡河問題有兩類：一是求渡河時間，二是求渡河位移。無論哪類都必須明確以下四點：
(1)解決問題的關鍵：正確區分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭指向，是分運動方向，船的運動方向也就是船的實際運動方向，是合運動方向，一般情況下與船頭指向不一致。
(2)運動分解的基本方法：按實際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指向分解。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．對于做曲線運動的物體，下列說法正確的是(　　)
A．所受合力可能為零
B．加速度可能保持不變
C．一定受到變力的作用
D．加速度可能和運動方向相同
解析：做曲線運動的物體，一定做變速運動，有加速度，根據牛頓第二定律可知，所受合力不為零，故A錯誤；物體做曲線運動的條件是合力與速度不在同一條直線上，即加速度與物體運動方向不在同一直線上，該合力可以是變力，也可以保持不變，即加速度可以保持不變，如平拋運動，故B正確，C、D錯誤。
2．如圖所示，將六塊塑料板拼接成一彎曲軌道置于放在水平桌面的白紙之上，讓一沾上墨水的小鐵球從中滾過，留下曲線OABC，下列說法錯誤的是(　　)
A．小球在B點速度方向沿切線
B．小球離開C點后做直線運動
C．若拆去5、6兩塑料板，小球離開B點后仍沿原曲線運動
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球離開A點后將做直線運動
解析：小球做曲線運動時，在某點的速度方向沿軌跡在該點的切線方向，故A正確；小球離開C點后，所受合力(摩擦力)方向與速度方向在同一直線上，所以小球離開C點后做直線運動，故B正確；若拆去5、6兩塑料板，小球離開B點后將沿離開時的速度方向做直線運動，故C錯誤；若拆去3、4、5、6塑料板，小球離開A點后將沿離開時的速度方向做直線運動，故D正確。本題選說法錯誤的，故選C。
3．(2023·遼寧高考)某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是(　　)
解析：由題圖可知籃球做曲線運動，所以籃球所受合力F應指向運動軌跡的凹側，故只有A可能正確。
4．如圖所示，一塔式起重機正在工作，在某段時間內，吊車P沿吊臂向末端M水平勻速移動，同時吊車正下方的重物Q先勻減速豎直上升，后勻加速豎直上升。該段時間內，重物Q的運動軌跡可能是(　　)
解析：由運動軌跡與力的關系可知運動軌跡向力的方向彎曲，由題可知，重物Q的加速度先向下后向上，可得重物Q所受的合力先向下后向上，所以重物Q的運動軌跡先向下彎曲，然后向上彎曲，故C正確，A、B、D錯誤。
8．在島上生活的漁民，曾用如圖所示的裝置將漁船拉到岸邊。若通過人工方式跨過定滑輪拉船，使之勻速靠岸，已知船在此運動過程中所受阻力保持不變，則(　　)
A．繩對船的拉力逐漸增大
B．船所受水的浮力保持不變
C．岸上人拉繩的速度保持不變
D．岸上人拉繩的速度逐漸增大
解析：對船進行受力分析，如圖1，因為船做勻速直線運動，所以船處于平衡狀態，所受合力為零；設繩對船的拉力與水平方向的夾角為θ，則有Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在勻速靠岸的過程中，θ增大，阻力f不變，根據平衡方程知，繩的拉力F逐漸增大，船所受水的浮力逐漸減小，故A正確，B錯誤。將船的運動分解，如圖2所示，設船勻速靠岸的速度為v，則有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1會減小，即岸上人拉繩的速度逐漸減小，故C、D錯誤。
9．(2025·福建省廈門市同安第一中學高三上第一次月考)隨著科技的進步，農村和偏遠山區也已經開始用無人機配送快遞，如圖甲所示。無人機在0～5 s內的飛行過程中，其水平、豎直方向速度vx、vy與時間t的關系圖像分別如圖乙、丙所示，豎直方向規定向上為正方向。下列說法正確的是(　　)
A．0～2 s內，無人機做勻加速直線運動
B．2～4 s內，無人機做勻減速直線運動
C．t＝4 s時，無人機運動到最高點
D．0～5 s內，無人機的位移大小為9 m
[B組　綜合提升練]
10．“殲－35”閃亮登場2024珠海航展。如圖所示，戰機先水
平向右，再沿曲線ab向上，最后沿陡斜線直入云霄。設飛行路
徑在同一豎直面內，飛行速率不變，則沿ab段曲線飛行時，戰機(　　)
A．所受合力不變 B．所受合力方向豎直向上
C．豎直方向的分速度不變 D．水平方向的分速度逐漸減小
解析：戰機飛行速率不變，則合力方向始終與速度方向垂直且指向軌跡凹側，即垂直軌跡切線向上，可知戰機所受合力方向不斷變化，不是豎直向上的，故A、B錯誤；戰機沿ab段曲線飛行過程中，戰機速度大小不變，速度方向與水平方向的夾角θ逐漸增大，則豎直方向的分速度vy＝vsinθ逐漸增大，水平方向的分速度vx＝vcosθ逐漸減小，故C錯誤，D正確。
12．(多選)如圖a，在跳臺滑雪比賽中，運動員
在空中滑翔時身體的姿態會影響其下落的速度和滑
翔的距離。某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每
次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v t圖像如圖b所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則(　　)
A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大
D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大
[C組　拔尖培優練]
14．(2023·江蘇高考)達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是(　　)

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