資源簡介

物理
第講　圓周運動
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
　第六章第1節[問題]，大、小兩個齒輪邊緣上的點，哪個運動得更快些？同一個齒輪上到轉軸的距離不同的點，哪個運動得更快些？
提示：大、小齒輪邊緣上的點線速度大小相同。
同一個齒輪上到轉軸的距離不同的點，角速度相同。
　第六章第2節閱讀“向心力”這一部分內容，向心力是按性質命名的力嗎？對物體進行受力分析時分析向心力嗎？
提示：向心力是由某個力或者幾個力的合力提供的，是根據力的作用效果命名的。
對物體進行受力分析時不分析向心力。
　第六章第2節[實驗]，寫出向心力大小的表達式。
提示：Fn＝mω2r＝m＝mr＝man。
　第六章第2節閱讀“變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點”這一部分內容，說一說變速圓周運動的受力特點，怎樣處理一般的曲線運動？
提示：對變速圓周運動，將其所受合力F沿切線和半徑方向分解，切向力Ft改變速度大小，指向圓心的合力Fn改變速度的方向。
研究一般的曲線運動時，將曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作圓周運動的一部分，這樣就可以采用分析圓周運動的方法來進行處理。
　第六章第3節[思考與討論]，A、B、C三點中，哪兩點適用于“向心加速度與半徑成正比”？哪兩點適用于“向心加速度與半徑成反比”？
提示：vA＝vB，由an＝知，A、B兩點適用于“向心加速度與半徑成反比”。
ωB＝ωC，由an＝ω2r知，B、C兩點適用于“向心加速度與半徑成正比”。
　第六章第4節圖6．4 1、6．4 2和6．4 3，觀察火車輪緣，火車轉彎滿足什么條件時車輪不受側壓力？速度過大哪邊受側壓力？速度過小呢？
提示：當重力和支持力的合力剛好提供向心力時，車輪不受側壓力；速度過大時外側受壓力，速度過小時內側受壓力。
　第六章[復習與提高]B組T3；T5；T6。
提示：T3：圓盤轉動一周所需要的時間為T1＝ s，頻閃光源每隔T2＝ s閃一次，所以頻閃光源每閃一次，白點尚未運動一周，故觀察到白點逆時針轉動。每次閃光，白點與原位置相差的角度Δθ＝2π－ω1T2＝2π－×T2＝，所以觀察到白點轉動的周期T＝＝＝1 s。
T5：(1)mω2l；(2)ω＝與l無關；(3)F＝mg，即F與l成正比。
T6：(1)mg；(2)繩長為，最大水平距離為。
考點一　圓周運動的描述
1．描述圓周運動的物理量
描述圓周運動的物理量主要有線速度、角速度、周期、頻率、轉速、向心加速度等，具體如下：
定義、意義 公式、單位
線速度 (1)描述做圓周運動的物體沿圓弧運動快慢的物理量(v)； (2)是矢量，方向和半徑垂直，沿切線方向 (1)v＝＝ωr； (2)單位：m/s
角速度 描述物體繞圓心轉動快慢的物理量(ω) (1)ω＝＝； (2)單位：rad/s或s－1
周期和轉速 (1)周期(T)是指做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間； (2)轉速(n)是指物體轉動的圈數與所用時間之比，也叫頻率(f) (1)T＝＝，單位：s； (2)f＝，單位：Hz； (3)n的單位：r/s、r/min
向心加速度 (1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)； (2)方向指向圓心，時刻在變 (1)an＝＝ω2r； (2)單位：m/s2
注：①對公式v＝ωr的理解：當r一定時，v與ω成正比；當ω一定時，v與r成正比；當v一定時，ω與r成反比。
②對an＝＝ω2r的理解：當v一定時，an與r成反比；當ω一定時，an與r成正比。
2．勻速圓周運動
(1)定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫作勻速圓周運動。
(2)性質：加速度大小不變、方向總是指向圓心的變加速曲線運動。
(3)條件：有初速度，受到一個大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心的合力。
例1　(多選)一質點做勻速圓周運動，其線速度大小為3 m/s，轉動周期為2 s，則下列說法正確的是(　　)
A．角速度為0．5 rad/s B．轉速為0．5 r/s
C．軌跡半徑為 m D．加速度大小為2π m/s2
[答案]　BC
[解析]　由勻速圓周運動角速度與周期的關系得，該質點的角速度為ω＝＝＝π rad/s，故A錯誤；由勻速圓周運動轉速與周期的關系得，該質點的轉速為n＝＝0．5 r/s，故B正確；該質點的軌跡半徑為r＝＝ m＝ m，故C正確；該質點做勻速圓周運動的加速度大小為a＝＝＝3π m/s2，故D錯誤。
例2　如圖是某自行車的傳動結構示意圖，其中Ⅰ 是半徑r1＝10 cm的牙盤(大齒輪)，Ⅱ是半徑r2＝4 cm的飛輪(小齒輪)，Ⅲ是半徑r3＝36 cm的后輪。若某人在勻速騎行時每分鐘踩腳踏板轉30圈，取π＝3．14，下列判斷正確的是(　　)
A．腳踏板的周期為 s
B．牙盤轉動的角速度為6．28 rad/s
C．飛輪邊緣的線速度大小為3．14 m/s
D．自行車勻速運動的速度大小為2．826 m/s
[答案]　D
[解析]　腳踏板每分鐘轉30圈，則周期為T＝ s＝2 s，A錯誤；牙盤轉動的角速度與腳踏板相同，為ω1＝＝3．14 rad/s，B錯誤；飛輪邊緣的線速度大小與牙盤邊緣的線速度大小相等，為v2＝v1＝ω1r1＝0．314 m/s，C錯誤；后輪的角速度與飛輪的角速度相同，為ω3＝ω2＝＝7．85 rad/s，則后輪邊緣各點的線速度大小為v3＝ω3r3＝2．826 m/s，即自行車勻速運動的速度大小為2．826 m/s，D正確。
常見的三種傳動方式及特點 (1)皮帶傳動：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。 (2)摩擦(齒輪)傳動：如圖丙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。 (3)同軸轉動：如圖丁所示，兩輪固定在一起繞同一轉軸轉動，兩輪轉動的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
考點二　圓周運動的動力學問題
一、向心力(Fn)
1．作用效果：產生向心加速度，只改變線速度的方向，不改變線速度的大小。
2．方向：指向圓心，時刻在變。
3．來源：某個力，或某幾個力的合力，或某個力的分力。
4．公式：Fn＝mω2r＝m。
5．單位：N。
二、勻速圓周運動與變速圓周運動
勻速圓周運動 變速圓周運動
運動特點 線速度的大小不變，角速度、周期和頻率都不變，向心加速度的大小不變 線速度的大小、方向都變，角速度變，向心加速度的大小、方向都變，周期可能變也可能不變
受力特點 所受到的合力為向心力，大小不變，方向變，其方向時刻指向圓心 所受到的合力不指向圓心，合力產生兩個效果： (1)沿半徑方向的分力Fn，即向心力，它改變速度的方向； (2)沿切線方向的分力Ft，它改變速度的大小
運動性質 變加速曲線運動(加速度大小不變，方向變化) 變加速曲線運動(加速度大小、方向都變化)
三、離心現象
1．離心運動
(1)定義：做圓周運動的物體，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力時，所做的逐漸遠離圓心的運動。
(2)本質：做圓周運動的物體，由于慣性，總有沿著切線方向飛出去的傾向。
(3)受力特點
①當F＝mω2r時，物體做勻速圓周運動。
②當F③當F＝0時，物體沿切線方向飛出。
2．近心運動：當F>mω2r時，物體將逐漸靠近圓心，做近心運動。
1．做圓周運動的物體，一定受到向心力的作用，所以分析受力時，必須指出受到的向心力。(　　) 2．勻速圓周運動是勻變速曲線運動，變速圓周運動是變加速曲線運動。(　　) 3．在光滑的水平路面上，汽車不可以轉彎。(　　) 4．摩托車轉彎時速度過大就會向外發生滑動，這是摩托車受沿轉彎半徑向外的離心力作用的緣故。(　　) 5．火車轉彎速率小于規定的數值時，內軌受到的壓力會增大。(　　) 答案：1．×　2．×　3．√　4．×　5．√
1．圓周運動動力學問題的解題方法
(1)對研究對象進行受力分析，確定向心力來源。
(2)確定圓周運動的軌道平面，確定圓心和軌道半徑。
(3)應用牛頓運動定律和圓周運動知識列方程求解。
2．向心力分析實例
運動模型 向心力的來源
汽車在水平路面轉彎
水平轉臺(光滑)
飛機水平轉彎
火車轉彎
圓錐擺
物體在光滑半圓形碗內做勻速圓周運動
例3　(多選)某飛船發射升空后，進入橢圓軌道，然后實施變軌進入距地球表面約343 km的圓形軌道。已知飛船的質量約為8000 kg，飛船約90 min繞地球一圈，地球半徑約為6．37×103 km，π取3．14，下列判斷正確的是(　　)
A．飛船在圓形軌道上運行時的向心加速度大小約為0．46 m/s2
B．飛船在圓形軌道上運行時的向心加速度大小約為9．08 m/s2
C．飛船在圓形軌道上運行時所受的向心力大小約為0．37×104 N
D．飛船在圓形軌道上運行時所受的向心力大小約為7．26×104 N
[答案]　BD
[解析]　飛船在圓形軌道上運行的周期T＝90×60 s＝5400 s，運行半徑r＝6370 km＋343 km＝6．713×106 m，向心加速度的大小a＝r≈9．08 m/s2，所受的向心力大小F＝ma≈7．26×104 N，故A、C錯誤，B、D正確。
例4　蕩秋千是兒童喜愛的一項體育運動，當秋千從最高點向下蕩到如圖所示位置時，小孩的加速度方向可能是圖中的(　　)
A．a方向 B．b方向
C．c方向 D．d方向
[答案]　C
[解析]　秋千從最高點向下蕩的過程中，小孩的速率逐漸增大，在如圖所示位置時，小孩的速度不為零，故加速度沿半徑方向的分量不為零，且小孩的加速度沿圓弧的切線方向的分量不為零，即小孩的加速度方向可能是圖中的c方向，故選C。
例5　圖1所示是一種叫“旋轉飛椅”的游樂項目，將其結構簡化為圖2所示的模型。長L＝3 m的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑r＝3 m的水平轉盤邊緣，轉盤可繞穿過其中心的豎直軸轉動。轉盤勻速轉動時，鋼繩與轉軸在同一豎直平面內，與豎直方向的夾角θ＝37°。將游客和座椅看作一個質點，質量m＝60 kg，不計鋼繩重力和空氣阻力，重力加速度g＝
10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求游客和座椅隨轉盤做勻速圓周運動時：
(1)鋼繩的拉力大小T；
(2)向心力的大小Fn；
(3)線速度的大小v。
[答案]　(1)750 N　(2)450 N　(3)6 m/s
[解析]　(1)游客和座椅的受力如圖所示，在豎直方向，根據平衡條件可知mg＝Tcosθ
解得T＝750 N。
(2)鋼繩拉力與重力的合力提供游客和座椅做圓周運動的向心力，由受力分析可得Fn＝mgtanθ
解得 Fn＝450 N。
(3)由幾何關系知，游客和座椅做圓周運動的半徑為R＝r＋Lsinθ
由牛頓第二定律得Fn＝m
解得v＝6 m/s。
圓錐擺模型 (1)圓錐擺的周期 如圖，擺長為L，擺線與豎直方向夾角為θ。 受力分析，由牛頓第二定律得： mgtanθ＝mr 其中r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)規律總結 ①擺高h＝Lcosθ，周期T越小，圓錐擺轉得越快，θ越大，擺高即細線固定端與圓周運動平面的距離h越小。 ②擺線拉力F＝，圓錐擺轉得越快，擺線拉力F越大。 ③擺球的加速度a＝gtanθ，圓錐擺轉得越快，加速度a越大。
跟進訓練　(2025·江蘇省宿遷中學高三上8月月考)如圖，汽車在鋪設瀝青的高速公路上行駛時，輪胎與地面的動摩擦因數μ＝0．4，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2。
(1)在此高速公路上轉彎時，假設對汽車的設計限速為12 m/s，求水平彎道的最小半徑；
(2)若彎道路面設計為傾斜(內低外高)，彎道半徑為250 m，路面傾角為θ，且tanθ＝0．05，要使汽車通過此彎道時不產生側向摩擦力，求汽車通過彎道時的速度大小。
答案：(1)36 m　(2)5 m/s
解析：(1)汽車在水平路面上轉彎，可認為汽車做勻速圓周運動，由靜摩擦力提供向心力可得f＝m
由題意可知f≤fmax＝μmg
聯立可得R≥＝ m＝36 m
可知水平彎道的最小半徑為36 m。
(2)要使汽車通過此彎道時不產生側向摩擦力，則汽車受到的重力和支持力的合力提供向心力，有mgtanθ＝
解得汽車通過彎道時的速度大小v1＝5 m/s。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2025·江蘇省南通市海安市高三上學期期初學業質量檢測)A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動，如圖所示，在相同時間內，它們通過的路程之比是4∶3，運動方向改變的角度之比是3∶2，則它們的(　　)
A．線速度大小之比為2∶3 B．角速度大小之比為3∶4
C．圓周運動的半徑之比為9∶8 D．向心加速度大小之比為2∶1
答案：D
解析：由于相同時間內它們通過的路程之比是4∶3，根據線速度定義式v＝，可知它們的線速度大小之比為vA∶vB＝4∶3，故A錯誤；由題意可知，相同時間內它們轉過的角度之比為3∶2，根據角速度定義式ω＝可知，它們的角速度之比為ωA∶ωB＝3∶2，故B錯誤；根據公式v＝rω，可得圓周運動的半徑r＝，可知A、B兩艘快艇做圓周運動的半徑之比為rA∶rB＝∶＝8∶9，故C錯誤；根據向心加速度公式a＝vω，可知A、B兩艘快艇的向心加速度之比為aA∶aB＝vAωA∶vBωB＝2∶1，故D正確。
2．(多選)如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內做勻速圓周運動。座艙的質量為m，運動半徑為R，角速度大小為ω，重力加速度為g，則座艙(　　)
A．運動周期為
B．線速度的大小為ωR
C．受摩天輪作用力的大小始終為mg
D．所受合力的大小始終為mω2R
答案：BD
解析：座艙的運動周期T＝＝，A錯誤；根據線速度與角速度的關系，可知座艙的線速度大小為v＝ωR，B正確；座艙做勻速圓周運動，摩天輪對座艙的作用力與座艙的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小為F合＝mω2R，C錯誤，D正確。
3．(2024·廣東省深圳市高三下模擬)為防止人類太空航行長期處于失重環境中引起的健康問題，科學家們設想將太空飛船建造成軸對稱環形結構，通過圓環繞中心軸勻速轉動使航天員產生模擬重力效果。若圓環的直徑為40 m，航天員(可視為質點)站立于圓環內壁時，為產生與宇航員在地球表面相同的重力效果，則圓環轉動的角速度ω約為(　　)
A．0．7 rad/s B．1．4 rad/s
C．7 rad/s D．14 rad/s
答案：A
解析：由題意可知，當宇航員隨圓環以角速度ω轉動時，向心力等于宇航員在地球表面靜止時所受的支持力，即FN＝mω2r，在地球表面由平衡條件得FN＝mg，聯立可得ω＝＝0．7 rad/s，故選A。
4．(2024·廣西南寧市高三下二模)如圖1所示，修正帶是一種常見的學習用具，是通過兩個齒輪的相互咬合進行工作的，其原理可簡化為圖2中所示的模型。A、B是轉動的大小齒輪邊緣的兩點，C是大齒輪上的一點，若A、B、C的軌道半徑之比為2∶3∶2，則A、B、C的向心加速度大小之比為(　　)
A．9∶6∶4 B．9∶6∶2
C．6∶4∶3 D．6∶3∶2
答案：A
解析：修正帶是通過兩個齒輪的相互咬合進行工作的，邊緣點的線速度大小相等，即vA＝vB，根據向心加速度的公式a＝，可知A、B的向心加速度大小之比aA∶aB＝rB∶rA＝3∶2；又B、C兩點為同軸轉動，角速度相等，即ωC＝ωB，根據向心加速度的公式a＝rω2，可知B、C的向心加速度大小之比aB∶aC＝rB∶rC＝3∶2；綜上可知，A、B、C的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC＝9∶6∶4，故選A。
5．(2025·甘肅省天水市第一中學高三上12月月考)(多選)如圖所示，直徑為d的豎直圓筒繞中心軸線以恒定的轉速勻速轉動。一子彈以水平速度沿圓筒直徑方向從左側射入圓筒，從右側射穿圓筒后發現兩彈孔在同一豎直線上且相距為h，則(不計子彈和圓筒間的相互作用)(　　)
A．子彈在圓筒中的水平速度為v0＝d
B．子彈在圓筒中的水平速度為v0＝2d
C．圓筒轉動的角速度可能為ω＝π
D．圓筒轉動的角速度可能為ω＝3π
答案：ACD
解析：子彈在圓筒中運動的時間與自由下落h的時間相同，為t＝，則v0＝＝d，故A正確，B錯誤；在此時間內圓筒需轉半圈的奇數倍，有ωt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，所以ω＝＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，ω＝π，當n＝1時，ω＝3π，故C、D正確。
6．蕩秋千是小朋友們最喜歡的游戲之一，如圖為一秋千模型，水平橫梁與每一根繩間裝有力傳感器，質量為40 kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心離系繩子的水平橫梁垂直距離為2 m。若秋千板擺到最低點時，每一根繩上的拉力顯示為450 N，忽略板和繩的質量，重力加速度g取10 m/s2，則小孩在此位置運動的速度大小約為(　　)
A．1．5 m/s B．3．0 m/s
C．5．0 m/s D．7．5 m/s
答案：C
解析：根據牛頓第二定律有2T－mg＝，代入數據解得v＝5．0 m/s，故選C。
7．遼寧艦質量為m＝6×106 kg，如圖是遼寧艦在海上轉彎時的照片，假設整個過程中遼寧艦做勻速圓周運動，速度大小為20 m/s，圓周運動的半徑為1000 m，下列說法中正確的是(　　)
A．在A點時水對遼寧艦的合力指向圓心
B．在A點時水對遼寧艦的合力大小約為F＝6．0×107 N
C．在A點時水對遼寧艦的合力大小約為F＝2．4×106 N
D．在A點時水對遼寧艦的合力大小為0
答案：B
解析：在A點時，水對遼寧艦有大小等于艦的重力、方向豎直向上的浮力，同時有指向圓心方向的推力，水對艦的合力方向為斜向上，A錯誤；在A點時水對遼寧艦指向圓心的推力Fn＝m，合力大小約為F＝≈6．0×107 N，故B正確，C、D錯誤。
8．(多選)滾筒洗衣機靜止于水平地面上，衣物隨著滾筒一起在豎直平面內做高速勻速圓周運動，以達到脫水的效果，滾筒截面如圖所示，A點為最高點，B點為最低點，CD為水平方向的直徑，下列說法正確的有(　　)
A．衣物運動到A點時處于超重狀態
B．衣物運動到B點時脫水效果最好
C．衣物運動到C點或D點時，洗衣機對地面的摩擦力不為零
D．衣物在B點時，洗衣機對地面的壓力等于洗衣機的重力
答案：BC
解析：衣物運動到最高點A點時，加速度方向豎直向下，處于失重狀態，故A錯誤；衣物運動過程中，對衣物上質量為m、做圓周運動的水，根據牛頓第二定律，有F合＝m，可知水滴運動過程中所受合力大小不變，且指向圓心，水滴重力G的大小、方向均不變，根據力的分解的平行四邊形定則可知，衣物運動到B點時，衣物對水滴的作用力F最大，即此時水滴做圓周運動所需衣物的作用力最大，脫水效果最好，B正確；對于總質量為M的衣物及衣物上的水，運動到B點時，有F′－Mg＝M，根據牛頓第三定律可知，此時衣物對洗衣機豎直向下的壓力為F″＝F′，聯立可得F″＝Mg＋M，此時洗衣機對地面的壓力等于洗衣機的重力加上衣物對洗衣機的壓力，所以此時洗衣機對地面的壓力大于洗衣機的重力，D錯誤；衣物運動到C點或D點時，根據力的合成與分解可知，洗衣機對衣物作用力的水平分力提供衣物做圓周運動的向心力，由牛頓第三定律可知，此時衣物對洗衣機在水平方向的作用力不為零，而洗衣機是靜止的，由平衡條件可知，地面對洗衣機的摩擦力不為零，根據牛頓第三定律可知，衣物運動到C點或D點時，洗衣機對地面的摩擦力不為零，故C正確。
9．場地自行車比賽的圓形賽道是一個內傾斜路面，路面與水平面的傾角為15°。某運動員騎自行車在該賽道上做勻速圓周運動，其速度v＝13 m/s時，自行車恰好不受側向摩擦力作用。已知自行車和運動員的質量一共是100 kg，不考慮空氣阻力，g取10 m/s2，已知sin15°≈tan15°≈0．26，cos15°≈0．97。
(1)求圓形賽道的半徑；
(2)若圓形賽道的傾角改為37°，該運動員騎自行車仍然以13 m/s的速度沿該賽道做勻速圓周運動，求此時自行車所受的側向摩擦力大小。(sin37°＝0．6，cos37°＝0．8)
答案：(1)65 m　(2)392 N
解析：(1)對運動員和自行車整體的受力分析如圖甲所示
在豎直方向上，根據平衡條件可得F1cos15°＝mg
在水平方向上，根據牛頓第二定律可得F1sin15°＝m
聯立解得圓形賽道的半徑為r＝65 m。
(2)當傾角變為37°時，對運動員和自行車整體的受力分析如圖乙所示
在豎直方向上，根據平衡條件可得
F2cos37°＋fsin37°＝mg
在水平方向上，根據牛頓第二定律可得
F2sin37°－fcos37°＝m
聯立解得f＝392 N。
[B組　綜合提升練]
10．如圖所示，在水平桌面上有一個豎直轉軸固定且過圓心的轉盤，轉盤半徑為r，邊緣繞有一條足夠長的細輕繩，細繩末端系住一木塊。已知木塊與桌面之間的動摩擦因數μ＝。當轉盤以角速度ω＝ rad/s旋轉時，木塊被帶動一起旋轉，達到穩定狀態后，二者角速度相同。已知r＝1 m，重力加速度g＝10 m/s2，下列說法正確的是(　　)
A．當ω＝ rad/s穩定時，繩子與木塊和圓心的連線夾角為60°
B．當ω＝ rad/s穩定時，木塊的線速度與圓盤邊緣線速度大小之比為4∶1
C．當ω＝ rad/s穩定時，木塊做圓周運動的半徑為2 m
D．當ω＝ rad/s穩定時，繩子拉力大小為mg
答案：C
解析：設繩子與木塊和圓心的連線夾角為θ，木塊做勻速圓周運動，只有向心加速度沒有切向加速度，對木塊受力分析，沿切向方向，受到的滑動摩擦力f與運動方向相反，由平衡條件有Tsinθ＝μmg，垂直切向方向，由牛頓第二定律有Tcosθ＝mω2R，根據幾何關系有sinθ＝，解得R＝2 m，θ＝30°，T＝mg，故A、D錯誤，C正確；木塊的線速度v1＝ωR，圓盤邊緣的線速度v2＝ωr，可得v1∶v2＝R∶r＝2∶1，故B錯誤。
11．某農場安裝的一種自動澆水裝置可以簡化為如圖所示的模型。農田中央O點處裝有高度為h的豎直細水管，其上端安裝有長度為l的水平噴水嘴。水平噴水嘴可以繞軸轉動，角速度為ω＝，出水速度v0可調節，其調節范圍滿足ωl≤v0≤2ωl，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。則下列說法正確的是(　　)
A．自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最近距離為2l
B．自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最遠距離為l
C．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為4πl2
D．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為6πl2
答案：B
解析：裝置噴出的水在空中做平拋運動，在豎直方向有h＝gt2，解得水在空中運動的時間t＝，水被噴出時，沿水平噴水嘴方向的出水速度為v0，垂直水平噴水嘴方向的水平速度為v1＝ωl，則沿水平噴水嘴方向的位移x0＝v0t，垂直水平噴水嘴方向的水平位移x1＝v1t＝ωlt＝·l·＝l，其中x0的范圍滿足ωlt＝l≤x0≤2ωlt＝2l，其俯視關系如圖所示，根據幾何關系可知，灌溉距離x＝，則自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最近距離為xmin＝＝＝l，自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最遠距離為xmax＝＝＝l，故A錯誤，B正確；自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為S＝πx－πx＝π(l)2－π(l)2＝5πl2，故C、D錯誤。
12．如圖所示，旋轉秋千中的兩個座椅A、B質量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，下列說法正確的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A與B的向心加速度大小相等
C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
答案：D
解析：設圓盤轉動的角速度為ω，因為兩座椅A、B均隨著圓盤做圓周運動，故角速度ωA＝ωB＝ω，設繩長為l，繩的懸點到軸的距離為r時，繩與豎直方向的夾角為θ，則mgtanθ＝mω2(r＋lsinθ)，整理得r＝sinθ·，由題知rA1(共58張PPT)
第四章　曲線運動
第3講　圓周運動
目錄
1
2
3
教材閱讀指導
考點一　圓周運動的描述
考點二　圓周運動的動力學問題
課時作業
6
教材閱讀指導
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
第六章第1節[問題]，大、小兩個齒輪邊緣上的點，哪個運動得更快些？同一個齒輪上到轉軸的距離不同的點，哪個運動得更快些？
　第六章第2節閱讀“向心力”這一部分內容，向心力是按性質命名的力嗎？對物體進行受力分析時分析向心力嗎？
提示：大、小齒輪邊緣上的點線速度大小相同。
同一個齒輪上到轉軸的距離不同的點，角速度相同。
提示：向心力是由某個力或者幾個力的合力提供的，是根據力的作用效果命名的。
對物體進行受力分析時不分析向心力。
　 第六章第2節[實驗]，寫出向心力大小的表達式。
　 第六章第2節閱讀“變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點”這一部分內容，說一說變速圓周運動的受力特點，怎樣處理一般的曲線運動？
提示：對變速圓周運動，將其所受合力F沿切線和半徑方向分解，切向力Ft改變速度大小，指向圓心的合力Fn改變速度的方向。
研究一般的曲線運動時，將曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作圓周運動的一部分，這樣就可以采用分析圓周運動的方法來進行處理。
　 第六章第3節[思考與討論]，A、B、C三點中，哪兩點適用于“向心加速度與半徑成正比”？哪兩點適用于“向心加速度與半徑成反比”？
　 第六章第4節圖6．4 1、6．4 2和6．4 3，觀察火車輪緣，火車轉彎滿足什么條件時車輪不受側壓力？速度過大哪邊受側壓力？速度過小呢？
提示：當重力和支持力的合力剛好提供向心力時，車輪不受側壓力；速度過大時外側受壓力，速度過小時內側受壓力。
　 第六章[復習與提高]B組T3；T5；T6。
考點一　圓周運動的描述
快慢
ωr
m/s
轉動快慢
rad/s或s－1
一周
圈數
Hz
r/s
r/min
方向
快慢
指向圓心
ω2r
m/s2
2．勻速圓周運動
(1)定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小________，這種運動叫作勻速圓周運動。
(2)性質：加速度大小______、方向總是指向_____的變加速曲線運動。
(3)條件：有初速度，受到一個大小不變、方向始終與速度方向______且指向圓心的合力。
處處相等
不變
圓心
垂直
常見的三種傳動方式及特點
(1)皮帶傳動：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦(齒輪)傳動：如圖丙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同軸轉動：如圖丁所示，兩輪固定在一起繞同一轉軸轉動，兩輪轉動的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
考點二　圓周運動的
動力學問題
一、向心力(Fn)
1．作用效果：產生向心加速度，只改變線速度的_____，不改變線速度的_____。
2．方向：指向_____，時刻在變。
3．來源：某個力，或某幾個力的合力，或某個力的分力。
4．公式：Fn＝ _____ ＝ _____ 。
5．單位： _____ 。
方向
大小
圓心
mω2r
N
勻速圓周運動 變速圓周運動
運動特點 線速度的大小____，角速度、周期和頻率都____，向心加速度的大小____ 線速度的大小、方向都____，角速度____，向心加速度的大小、方向都變，周期可能變也________
受力特點 所受到的_____為向心力， 大小不變，方向變，其 方向時刻____________ 所受到的合力__________，合力產
生兩個效果：
(1)沿半徑方向的分力____，即向心
力，它改變速度的_____；
(2)沿切線方向的分力___，它改變
速度的______
運動性質 變加速曲線運動(加速度大小不變，方向變化) 變加速曲線運動(加速度大小、方向都變化)
二、勻速圓周運動與變速圓周運動
不變
不變
不變
變
變
可能不變
合力
指向圓心
不指向圓心
Fn
方向
Ft
大小
三、離心現象
1．離心運動
(1)定義：做_________的物體，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的_______時，所做的逐漸遠離圓心的運動。
(2)本質：做圓周運動的物體，由于____，總有沿著________飛出去的傾向。
圓周運動
向心力
慣性
切線方向
(3)受力特點
①當F＝mω2r時，物體做__________運動。
②當F③當F＝0時，物體沿_____方向飛出。
2．近心運動：當F>mω2r時，物體將逐漸______圓心，做近心運動。
勻速圓周
遠離
切線
靠近
1．做圓周運動的物體，一定受到向心力的作用，所以分析受力時，必須指出受到的向心力。(　　)
2．勻速圓周運動是勻變速曲線運動，變速圓周運動是變加速曲線運動。(　　)
3．在光滑的水平路面上，汽車不可以轉彎。(　　)
4．摩托車轉彎時速度過大就會向外發生滑動，這是摩托車受沿轉彎半徑向外的離心力作用的緣故。(　　)
5．火車轉彎速率小于規定的數值時，內軌受到的壓力會增大。(　　)
×
×
√
×
√
1．圓周運動動力學問題的解題方法
(1)對研究對象進行受力分析，確定向心力來源。
(2)確定圓周運動的軌道平面，確定圓心和軌道半徑。
(3)應用牛頓運動定律和圓周運動知識列方程求解。
2．向心力分析實例
運動模型 向心力的來源
汽車在水平路面轉彎
水平轉臺 (光滑)
飛機水平轉彎
火車轉彎
圓錐擺
物體在光滑半圓形碗內做勻速圓周運動
例3　(多選)某飛船發射升空后，進入橢圓軌道，然后實施變軌進入距地球表面約343 km的圓形軌道。已知飛船的質量約為8000 kg，飛船約90 min繞地球一圈，地球半徑約為6．37×103 km，π取3．14，下列判斷正確的是(　　)
A．飛船在圓形軌道上運行時的向心加速度大小約為0．46 m/s2
B．飛船在圓形軌道上運行時的向心加速度大小約為9．08 m/s2
C．飛船在圓形軌道上運行時所受的向心力大小約為0．37×104 N
D．飛船在圓形軌道上運行時所受的向心力大小約為7．26×104 N
例4　蕩秋千是兒童喜愛的一項體育運動，當秋千從最高點向下蕩到如圖所示位置時，小孩的加速度方向可能是圖中的(　　)
A．a方向 B．b方向
C．c方向 D．d方向
解析　秋千從最高點向下蕩的過程中，小孩的速率逐漸增大，在如圖所示位置時，小孩的速度不為零，故加速度沿半徑方向的分量不為零，且小孩的加速度沿圓弧的切線方向的分量不為零，即小孩的加速度方向可能是圖中的c方向，故選C。 　
例5　圖1所示是一種叫“旋轉飛椅”的游樂項目，將其結構簡化為圖2所示的模型。長L＝3 m的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑r＝3 m的水平轉盤邊緣，轉盤可繞穿過其中心的豎直軸轉動。轉盤勻速轉動時，鋼繩與轉軸在同一豎直平面內，與豎直方向的夾角θ＝37°。將游客和座椅看作一個質點，質量m＝60 kg，不計鋼繩重力和空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求游客和座椅隨轉盤做勻速圓周運動時：
(1)鋼繩的拉力大小T；
(2)向心力的大小Fn；
(3)線速度的大小v。
答案　(1)750 N　(2)450 N　(3)6 m/s
跟進訓練　(2025·江蘇省宿遷中學高三上8月月考)如圖，汽車在鋪設瀝青的高速公路上行駛時，輪胎與地面的動摩擦因數μ＝0．4，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2。
(1)在此高速公路上轉彎時，假設對汽車的設計限速
為12 m/s，求水平彎道的最小半徑；
(2)若彎道路面設計為傾斜(內低外高)，彎道半徑為250 m，路面傾角為θ，且tanθ＝0．05，要使汽車通過此彎道時不產生側向摩擦力，求汽車通過彎道時的速度大小。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2025·江蘇省南通市海安市高三上學期期初學業質量檢測)A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動，如圖所示，在相同時間內，它們通過的路程之比是4∶3，運動方向改變的角度之比是3∶2，則它們的(　　)
A．線速度大小之比為2∶3
B．角速度大小之比為3∶4
C．圓周運動的半徑之比為9∶8
D．向心加速度大小之比為2∶1
3．(2024·廣東省深圳市高三下模擬)為防止人類太空航行長期處于失重環境中引起的健康問題，科學家們設想將太空飛船建造成軸對稱環形結構，通過圓環繞中心軸勻速轉動使航天員產生模擬重力效果。若圓環的直徑為40 m，航天員(可視為質點)站立于圓環內壁時，為產生與宇航員在地球表面相
同的重力效果，則圓環轉動的角速度ω約為(　　)
A．0．7 rad/s B．1．4 rad/s
C．7 rad/s D．14 rad/s
4．(2024·廣西南寧市高三下二模)如圖1所示，修正帶是一種常見的學習用具，是通過兩個齒輪的相互咬合進行工作的，其原理可簡化為圖2中所示的模型。A、B是轉動的大小齒輪邊緣的兩點，C是大齒輪上的一點，若A、B、C的軌道半徑之比為2∶3∶2，則A、B、C的向心加速度大小之比為(　　)
A．9∶6∶4 B．9∶6∶2
C．6∶4∶3 D．6∶3∶2
6．蕩秋千是小朋友們最喜歡的游戲之一，如圖為一秋千模型，水平橫梁與每一根繩間裝有力傳感器，質量為40 kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心離系繩子的水平橫梁垂直距離為2 m。若秋千板擺到最低點時，每一根繩上的拉力顯示為450 N，忽略板和繩的質量，重力加速度g取10 m/s2，則
小孩在此位置運動的速度大小約為(　　)
A．1．5 m/s B．3．0 m/s
C．5．0 m/s D．7．5 m/s
7．遼寧艦質量為m＝6×106 kg，如圖是遼寧艦在海上轉彎時的照片，假設整個過程中遼寧艦做勻速圓周運動，速度大小為20 m/s，圓周運動的半徑為
1000 m，下列說法中正確的是(　　)
A．在A點時水對遼寧艦的合力指向圓心
B．在A點時水對遼寧艦的合力大小約為F＝6．0×107 N
C．在A點時水對遼寧艦的合力大小約為F＝2．4×106 N
D．在A點時水對遼寧艦的合力大小為0
8．(多選)滾筒洗衣機靜止于水平地面上，衣物隨著滾筒一起在豎直平面內做高速勻速圓周運動，以達到脫水的效果，滾筒截面如圖所示，A點為最高點，B點為最低點，CD為水平方向的直徑，下列說法正確的有(　　)
A．衣物運動到A點時處于超重狀態
B．衣物運動到B點時脫水效果最好
C．衣物運動到C點或D點時，洗衣機對地面的摩擦力不為零
D．衣物在B點時，洗衣機對地面的壓力等于洗衣機的重力
衣物運動到C點或D點時，根據力的合成與分解可知，洗衣機對衣物作用力的水平分力提供衣物做圓周運動的向心力，由牛頓第三定律可知，此時衣物對洗衣機在水平方向的作用力不為零，而洗衣機是靜止的，由平衡條件可知，地面對洗衣機的摩擦力不為零，根據牛頓第三定律可知，衣物運動到C點或D點時，洗衣機對地面的摩擦力不為零，故C正確。
9．場地自行車比賽的圓形賽道是一個內傾斜路面，路面與水平面的傾角為15°。某運動員騎自行車在該賽道上做勻速圓周運動，其速度v＝13 m/s時，自行車恰好不受側向摩擦力作用。已知自行車和運動員的質量一共是100 kg，不考慮空氣阻力，g取10 m/s2，已知sin15°≈tan15°≈0．26，cos15°≈0．97。
(1)求圓形賽道的半徑；
(2)若圓形賽道的傾角改為37°，該運動員騎自行車仍然以
13 m/s的速度沿該賽道做勻速圓周運動，求此時自行車所受
的側向摩擦力大小。(sin37°＝0．6，cos37°＝0．8)
答案：(1)65 m　(2)392 N
12．如圖所示，旋轉秋千中的兩個座椅A、B質量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，下列說法正確的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A與B的向心加速度大小相等
C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小

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