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物理
第講　專(zhuān)題：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
考點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
1．與摩擦力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題
物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝，靜摩擦力的方向一定指向圓心。
(2)如果除摩擦力以外還有其他力提供向心力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界狀態(tài)和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界狀態(tài)，則臨界條件分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。
2．與彈力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題
(1)兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。
例1　(多選)在修筑鐵路時(shí)，彎道處的外軌會(huì)略高于內(nèi)軌。如圖所示，當(dāng)火車(chē)以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌均不會(huì)受到輪緣的擠壓，設(shè)此時(shí)的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則(　　)
A．該彎道的半徑r＝
B．當(dāng)火車(chē)質(zhì)量改變時(shí)，規(guī)定的行駛速度大小不變
C．當(dāng)火車(chē)速率大于v時(shí)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
D．當(dāng)火車(chē)速率小于v時(shí)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
[答案]　ABD
[解析]　當(dāng)火車(chē)以速度v轉(zhuǎn)彎時(shí)，恰好由重力和支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可得mgtanθ＝m，解得r＝，v＝，可知該臨界速度與火車(chē)質(zhì)量無(wú)關(guān)，故當(dāng)火車(chē)質(zhì)量改變時(shí)，規(guī)定的行駛速度大小不變，A、B正確；當(dāng)火車(chē)速率大于v時(shí)，重力與支持力的合力不足以提供向心力，火車(chē)有做離心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，故外軌將受到輪緣的擠壓，C錯(cuò)誤；當(dāng)火車(chē)速率小于v時(shí)，重力與支持力的合力大于所需的向心力，火車(chē)有做近心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓，D正確。
例2　(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長(zhǎng)為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．a(chǎn)繩的張力不可能為零
B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大
C．當(dāng)角速度ω>，b繩將出現(xiàn)彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化
[答案]　AC
[解析]　小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上所受的合力為零，水平方向上所受的合力提供向心力，所以a繩對(duì)小球的拉力在豎直方向上的分力與小球的重力平衡，可知a繩的張力不可能為零，故A正確；根據(jù)豎直方向上小球受力平衡得，F(xiàn)asinθ＝mg，解得Fa＝，可知a繩的張力與角速度ω?zé)o關(guān)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)b繩彈力恰好為零時(shí)，有＝mωl，解得ω0＝，可知當(dāng)角速度ω>時(shí)，b繩將出現(xiàn)彈力，故C正確；由于b繩可能沒(méi)有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。
例3　如圖所示，質(zhì)量分別為m、2m、3m的物塊a、b、c，放置在水平圓盤(pán)上隨圓盤(pán)一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其中物塊a、b疊放在一起。圖中各接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，a、b和c與轉(zhuǎn)軸的距離分別為r和1．5r。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．b對(duì)a的摩擦力為μmg
B．圓盤(pán)對(duì)b的摩擦力為2mω2r
C．圓盤(pán)的角速度滿足ω≤
D．圓盤(pán)的角速度滿足ω≤
[答案]　D
[解析]　對(duì)物塊a、b整體分析，圓盤(pán)對(duì)b的靜摩擦力fb提供向心力，則fb＝(m＋2m)ω2r＝3mω2r，對(duì)a進(jìn)行受力分析，b對(duì)a的靜摩擦力fa提供向心力，則fa＝mω2r，且fa≤μmg，A、B錯(cuò)誤；對(duì)c進(jìn)行受力分析，圓盤(pán)對(duì)c的靜摩擦力fc提供向心力，有fc＝3mω2×1．5r，當(dāng)c恰好未相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng)時(shí)，fc＝μ×3mg，可解得此時(shí)圓盤(pán)對(duì)應(yīng)的角速度ωc＝，根據(jù)A、B項(xiàng)分析同理可知，a、b分別恰未相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng)時(shí)，圓盤(pán)對(duì)應(yīng)的角速度ωa＝，ωb＝，故圓盤(pán)的角速度滿足ω≤ωc＝，C錯(cuò)誤，D正確。
考點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
1．在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，按運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類(lèi)：一是無(wú)支撐(如球與繩連接、物體沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”；二是有支撐(如球與桿連接、物體在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等)，稱為“桿(管)約束模型”。
2．繩、桿模型涉及的臨界問(wèn)題
繩模型 桿模型
常見(jiàn) 類(lèi)型 均是沒(méi)有支撐的小球 均是有支撐的小球
受力特征 在最高點(diǎn)除重力外，物體受到的彈力向下或等于零 在最高點(diǎn)除重力外，物體受到的彈力向下、等于零或向上
受力示意圖
過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球恰能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝0
討論 分析 (1)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN； (2)不能過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 (1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心； (2)當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心，并隨v的增大而增大
例4　(2025·山東省臨沂市第三中學(xué)高三上10月月考)(多選)如圖甲、乙所示，分別用長(zhǎng)度均為1 m的輕質(zhì)細(xì)繩和輕質(zhì)細(xì)桿的一端連接質(zhì)量均為1 kg的小球A、B，另一端分別固定在O、O′點(diǎn)，現(xiàn)讓A、B兩小球分別繞O、O′點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力和與轉(zhuǎn)軸的摩擦阻力，重力加速度g＝10 m/s2。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．A球做圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的最小速度為 m/s
B．B球做圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的最小速度為 m/s
C．某次A、B兩球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)對(duì)繩、桿的作用力大小分別為2 N、5 N，則此時(shí)A、B兩球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小之比可能為2∶5
D．某次A、B兩球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)對(duì)繩、桿的作用力大小分別為2 N、5 N，則此時(shí)A、B兩球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小之比可能為2∶
[答案]　ACD
[解析]　A球與細(xì)繩相連，則恰好能到最高點(diǎn)時(shí)有mg＝m，解得A球做圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的最小速度為v1＝＝ m/s，故A正確。B球與桿相連，做圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的最小速度為v2＝0，故B錯(cuò)誤。某次A、B兩球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)對(duì)繩、桿的作用力大小分別為FA＝2 N、FB＝5 N，根據(jù)牛頓第二定律，A球在最高點(diǎn)時(shí)有FA＋mg＝m，代入數(shù)據(jù)解得其經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v3＝2 m/s；對(duì)B球有兩種情況，當(dāng)桿對(duì)B球的作用力為支持力時(shí)，有mg－FB＝m，代入數(shù)據(jù)解得其經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v4＝ m/s；當(dāng)桿對(duì)B球的作用力為拉力時(shí)，有mg＋FB＝m，代入數(shù)據(jù)解得其經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v5＝ m/s，則小球A、B在最高點(diǎn)的速度大小之比為v3∶v4＝2∶5或v3∶v5＝2∶，故C、D正確。
豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解題思路
跟進(jìn)訓(xùn)練　(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于內(nèi)表面光滑的正方體盒子中，盒子的棱長(zhǎng)略大于球的直徑。某同學(xué)拿著這個(gè)盒子在豎直面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，盒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重力加速度為g，盒子經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)與小球間恰好無(wú)作用力。以下說(shuō)法正確的是(　　)
A．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為
B．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π
C．盒子經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)與小球之間的作用力大小為2mg
D．盒子經(jīng)過(guò)與圓心O等高處的B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)凶幼蟊诘膲毫Υ笮閙g
答案：CD
解析：盒子經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)與小球間恰好無(wú)作用力，此時(shí)由小球的重力提供向心力，有mg＝m，則該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v＝，周期為T(mén)＝＝2π，故A、B錯(cuò)誤；盒子經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)，盒子對(duì)小球的作用力與小球重力的合力提供向心力，有N－mg＝m，解得盒子對(duì)小球的作用力大小N＝2mg，故C正確；盒子經(jīng)過(guò)與圓心O等高處的B點(diǎn)時(shí)，由盒子左壁對(duì)小球水平向右的壓力Fx提供向心力，有Fx＝m＝mg，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)凶幼蟊诘膲毫Υ笮镕壓＝Fx＝mg，故D正確。
例5　如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤(pán)繞垂直于盤(pán)面且過(guò)圓盤(pán)圓心的固定轉(zhuǎn)軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)面上離轉(zhuǎn)軸距離2．5 m處有一小物體與圓盤(pán)始終保持相對(duì)靜止。物體與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，盤(pán)面與水平面的夾角為30°，g取10 m/s2。則ω的最大值是(　　)
A． rad/s B． rad/s
C．1．0 rad/s D．0．5 rad/s
[答案]　C
[解析]　當(dāng)物體隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)恰好要滑動(dòng)時(shí)，圓盤(pán)的角速度最大，其受力如圖所示(其中O為轉(zhuǎn)軸位置)，由沿盤(pán)面的合力提供向心力，有μmgcos30°－mgsin30°＝mωR，得ωmax＝＝1．0 rad/s，故選C。
與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類(lèi)似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來(lái)解題。只是在受力分析時(shí)，一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化，這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的難點(diǎn)。物體在斜面上與斜面相對(duì)靜止做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般受摩擦力(如例5所示)，還要參照水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題分析。
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第四章　曲線運(yùn)動(dòng)
第4講　專(zhuān)題：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
目錄
1
2
考點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
考點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
考點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
2．與彈力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題
(1)兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。
考點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問(wèn)題
1．在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，按運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類(lèi)：一是無(wú)支撐(如球與繩連接、物體沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”；二是有支撐(如球與桿連接、物體在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等)，稱為“桿(管)約束模型”。
2．繩、桿模型涉及的臨界問(wèn)題
繩模型 桿模型
常見(jiàn) 類(lèi)型 均是沒(méi)有支撐的小球
均是有支撐的小球
受力特征 在最高點(diǎn)除重力外，物體受到的彈力向下或等于零 在最高點(diǎn)除重力外，物體受到的彈力向下、等于零或向上
受力示意圖
豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解題思路
與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類(lèi)似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來(lái)解題。只是在受力分析時(shí)，一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化，這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的難點(diǎn)。物體在斜面上與斜面相對(duì)靜止做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般受摩擦力(如例5所示)，還要參照水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題分析。

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