資源簡介

物理
第講　萬有引力定律及其應用
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
　第七章第1節閱讀“開普勒定律”的有關內容，寫出開普勒行星運動定律的表述。
提示：開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。
開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等。
開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等。
　第七章第1節閱讀“行星軌道簡化為圓軌道”的有關內容，寫出對行星運動軌道簡化為圓軌道后的開普勒三個定律的表述。
提示：(1)行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。
(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運動的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運動。
(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉周期T的二次方的比值都相等，即＝k。
　第七章第1節[練習與應用]T2。
提示：近地點的速度較大。
　第七章第2節閱讀“行星與太陽間的引力”這一部分內容，太陽與行星間引力的公式是依據什么推導出來的？
提示：依據開普勒行星運動定律和圓周運動向心力公式及牛頓第三定律推導出來的。
　第七章第2節閱讀“月—地檢驗”這一部分內容，什么是月—地檢驗？
提示：驗證地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力是否遵從相同的規律。
　第七章第2節閱讀“引力常量”這部分內容及后面的[拓展學習]，引力常量是如何測得的？數值為多少？
提示：英國物理學家卡文迪什利用扭秤裝置測得G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。
　第七章第3節，萬有引力理論的成就有哪些？
提示：“稱量”地球的質量、計算天體的質量、發現未知天體、預言哈雷彗星回歸。
　第七章[復習與提高]B組T2；T3。
提示：T2：將行星看作球體，設半徑為R，質量為m星，則行星的密度為ρ＝＝。衛星貼近行星表面運行時，運動半徑為R，由萬有引力提供向心力可知＝mR，即m星＝。由此可以解得ρT2＝，式中G為引力常量，可見ρT2是一個對任何行星都相同的常數。
溫馨提示：當衛星貼著行星表面飛行時，只要有一個計時工具就可以知道行星的密度。
T3：。質量分布均勻的球體之間的萬有引力可以等效為質量集中在兩球心的兩個質點之間的萬有引力，直接代公式可求。本題采用先填補成完整的球體，再減去補上的小球部分產生的引力的方法來求解。
考點一　開普勒定律
1．定律內容
(1)開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。
(2)開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等。
(3)開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等，即＝k。
2．適用條件：適用于宇宙中一切環繞同一中心天體的運動。
1．微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠日點時的速度方向與兩點連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內的運動可看作勻速直線運動，由開普勒第二定律可知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。可推知，行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。
3．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
4．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在繞同一中心天體公轉的星體之間。
例1　有關開普勒三大定律，結合地球和火星的軌道示意圖，下列說法正確的是(　　)
A．地球靠近太陽的過程中，運行速度的大小不變
B．地球繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上
C．在相等時間內，火星和太陽的連線掃過的面積與地球和太陽的連線掃過的面積相等
D．火星繞太陽運行一周的時間比地球繞太陽運行一周的時間短
[答案]　B
[解析]　根據開普勒第二定律可知，對同一個行星而言，行星與太陽的連線在相同時間內掃過的面積相等，故地球靠近太陽的過程中，運行速度的大小將增大，故A錯誤；開普勒第二定律僅對同一行星適用，故C錯誤；根據開普勒第一定律可知，行星繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上，地球也不例外，故B正確；根據開普勒第三定律可知，所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，由于火星軌道的半長軸比地球的大，所以火星繞太陽運行一周的時間比地球的長，故D錯誤。
例2　(人教版必修第二冊·第七章第3節[練習與應用]T4節選)地球的公轉軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示，天文學家哈雷成功預言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現的時間是1986年，預測下次飛近地球將在2061年左右。
請根據開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉半徑的多少倍。
[答案]　17．8
[解析]　設地球繞太陽公轉的軌道半徑為R0，周期為T0，哈雷彗星繞太陽公轉的軌道半長軸為a，周期為T，由題意可知T＝2061年－1986年＝75年
根據開普勒第三定律＝k，有＝
則＝≈17．8。
考點二　萬有引力定律　萬有引力與重力的關系
1．萬有引力定律的內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G叫作引力常量，G＝6．67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過扭秤實驗測得。
3．公式的適用條件：計算兩個質點間的萬有引力。
(1)當物體不能看成質點時，可以把物體分成若干部分，求出兩物體每部分之間的萬有引力，然后矢量求和計算它們的合力。
(2)兩個質量分布均勻的球體之間的萬有引力，等于位于兩球心處、質量分別與兩球體相等的質點間的萬有引力。
4．萬有引力理論的主要成就
(1)發現未知天體。
(2)計算天體質量。
1．萬有引力與重力的關系
如圖所示，地球對物體的萬有引力F可分解為：重力mg、提供物體隨地球自轉的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：G＝mg0。
(3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和。
越靠近南、北兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，通常可認為萬有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)地球表面的重力加速度g(不考慮地球自轉的影響)：由＝mg，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度：設地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，則mg′＝，得g′＝。
例3　(2020·全國卷Ⅰ)火星的質量約為地球質量的，半徑約為地球半徑的，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為(　　)
A．0．2 B．0．4
C．2．0 D．2．5
[答案]　B
[解析]　設該物體質量為m，則在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由題意知＝，＝。聯立以上各式可得＝·＝×＝0．4，故B正確。
例4　某行星為質量分布均勻的球體，半徑為R、質量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時，發現物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1．1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉的角速度為(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　設該行星“赤道”上某處的重力加速度大小為g，該行星自轉的角速度為ω，物體的質量為m，物體在“兩極”處所受行星的萬有引力大小等于重力大小，即G＝1．1mg，物體在“赤道”上某處時所受行星的萬有引力按效果進行分解，有G＝mg＋mω2R，聯立解得ω＝，故選B。
例5　如圖所示，《流浪地球2》影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質量為2．5 kg的物體重力為16 N。已知地球半徑為6371 km，不考慮地球自轉，地球表面處重力加速度g取10 m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為(　　)
A．1593 km B．3584 km
C．7964 km D．9955 km
[答案]　A
[解析]　設地球的質量為M，物體的質量為m，此時太空電梯距離地面的高度為h，太空電梯所在位置處的重力加速度為g′，不考慮地球自轉，則物體所受重力等于地球的引力，根據萬有引力公式，物體在地球表面時，有G＝mg，物體在太空電梯中距地面h高度處，有G＝mg′，兩式相比可得＝，由題意知，mg′＝16 N，又mg＝2．5×10 N＝25 N，解得h＝R＝1593 km，故選A。
考點三　天體質量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
(1)由G＝mg得天體質量M＝。
(2)天體密度ρ＝＝＝。
2．天體環繞法：測出衛星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。
(1)由G＝m得天體質量M＝。
(2)若已知天體半徑R，則天體密度ρ＝＝＝。
(3)若衛星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。
注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，計算中心天體質量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝mr求M。若已知ω、T則不能求出M。
例6　宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處開始下落，經時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉的影響)。求：
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質量M；
(3)月球的密度ρ。
[答案]　(1)　(2)　(3)
[解析]　(1)羽毛和鐵錘在月球表面附近做自由落體運動，有h＝g月t2
解得g月＝。
(2)不考慮月球自轉的影響，對在月球表面上質量為m的物體，有G＝mg月
解得M＝。
(3)假設月球為均勻球體，則其體積V＝πR3
根據密度公式可知，ρ＝
解得ρ＝。
例7　(2024·海南高考)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A． B．
C． D．(1＋k)3
[答案]　D
[解析]　設月球的質量為M，半徑為R，嫦娥六號的質量為m，軌道高度為h，由題意知h＝kR，對嫦娥六號，根據萬有引力提供向心力，有G＝m(R＋h)，又月球的體積V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，聯立可得ρ＝(1＋k)3，故選D。
估算天體質量和密度時應注意的問題 (1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質量時，估算的是中心天體的質量，并非環繞天體的質量。 (2)區別天體半徑R和衛星軌道半徑r，只有在天體表面附近運動的衛星才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的R只能是中心天體的半徑。 (3)在考慮中心天體自轉問題時，只有在兩極處才有＝mg。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2025·新疆高三上第一次模擬)南山—哈恩彗星是被新疆南山觀測站和德國天文學家哈恩共同發現的一顆新彗星。如圖所示，已知該彗星的近日點接近火星軌道，遠日點接近木星軌道，火星、木星的公轉軌道半徑分別為地球公轉軌道半徑的p倍和q倍，則南山—哈恩彗星的運動周期為(　　)
A．(p＋q)年 B．(p＋q)年
C．年 D．年
答案：C
解析：設地球公轉軌道半徑為R，則火星公轉軌道半徑R火＝pR，木星公轉軌道半徑R木＝qR，南山—哈恩彗星的公轉軌道半長軸為a＝＝R，根據開普勒第三定律有＝，聯立解得南山—哈恩彗星的運動周期T彗＝T地＝年，故C正確。
2．(2025·廣西南寧市高三上摸底測試)某飛船繞地球做橢圓運動的軌跡如圖所示，AB是橢圓的長軸，CD是橢圓的短軸，E、F兩點關于橢圓中心對稱。比較飛船沿順時針分別從C運動到E和從D運動到F的兩個過程，以下說法正確的是(　　)
A．從D運動到F的過程平均速率小
B．兩個過程運動時間相等
C．兩個過程飛船與地心連線掃過的面積相等
D．飛船在C點所受萬有引力小于在F點所受萬有引力
答案：D
解析：C、D兩點關于長軸AB對稱，由飛船做橢圓運動的規律可知飛船在C、D兩點的速度大小相等，飛船從C點運動到E點的過程，地球的萬有引力做負功，由動能定理可知飛船的動能減小，速度減小，則在CE段的平均速度小于在C點時的速度，同理可知，飛船在DF段的平均速度大于在D點時的速度，由t＝可知飛船在CE段運動的時間長，由開普勒第二定律可知兩個過程飛船與地心連線掃過的面積不相等，故A、B、C錯誤；由于C點到地心的距離比F點到地心的距離遠，根據F＝G，飛船在C點所受萬有引力小于在F點所受萬有引力，故D正確。
3．(2024·浙江6月選考)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則(　　)
A．小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B．小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C．小行星甲與乙的運行周期之比＝
D．甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比＝
答案：D
解析：根據開普勒第二定律，小行星甲在遠日點的速度小于近日點的速度，故A錯誤；由題圖可知，小行星乙的遠日點到太陽的距離等于地球到太陽的距離，根據萬有引力定律和牛頓第二定律，則小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉加速度，故B錯誤；由題圖可知，小行星甲軌道的半長軸a甲＝(R1＋R)，小行星乙軌道的半長軸a乙＝(R2＋R)，根據開普勒第三定律，小行星甲與乙的運行周期之比＝＝，故C錯誤；甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間均為各自的半個公轉周期，則兩者之比＝＝，故D正確。
4．(2024·福建省福州市高三上2月質量檢測)(多選)牛頓著名的“月—地檢驗”證明思路如下：設月球在半徑為r(r＝60R，R為地球半徑)的軌道上繞地球做勻速圓周運動，運行周期為T，從運動學角度得到月球的向心加速度為a；假定物體在地面受到的重力與地球吸引月球的力是相同性質的力，都遵從與距離的平方成反比的規律，從動力學角度得到物體在地面處的重力加速度為g和物體在月球所在軌道處的加速度為g′。根據牛頓的思路，下列關系正確的是(　　)
A．g′＝ B．g′＝
C．a＝ D．a＝
答案：AC
解析：根據萬有引力定律有＝mg，＝mg′，又r＝60R，可得g′＝，故A正確，B錯誤；根據萬有引力提供向心力可得＝mg′＝mr＝ma，可得a＝g′＝，故C正確，D錯誤。
5．(2024·全國甲卷)2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是(　　)
A．在環月飛行時，樣品所受合力為零
B．若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C．樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D．樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小
答案：D
解析：在環月飛行時，樣品做曲線運動，所受合力不為零，故A錯誤；若將樣品放置在月球正面，由平衡條件知，樣品在月球表面所受的重力大小等于月球表面對樣品的支持力大小，由牛頓第三定律知，月球表面對樣品的支持力大小等于樣品對月球表面的壓力大小，則樣品對月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小，故B錯誤；質量是物體的固有屬性，樣品在不同過程中受到的引力不同，但質量不變，故C錯誤；由于月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的，則樣品在月球表面的重力小于在地球表面的重力，所以樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小，故D正確。
6．利用引力常量G和下列某一組數據，不能計算出地球質量的是(　　)
A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉)
B．人造衛星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期
C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離
D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離
答案：D
解析：根據G＝mg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計算出地球的質量，A能；根據G＝m及v＝可知，已知人造衛星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期可計算出地球的質量，B能；根據G＝mr可知，已知月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離，可計算出地球的質量，C能；已知地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的質量，不能求出地球的質量，D不能。
7．北京時間2019年4月10日21時，天文學家召開全球新聞發布會，宣布首次直接拍攝到黑洞的照片。黑洞是體積極小的天體，它的引力很大，連光都無法逃脫。若某黑洞表面的物體速度達到光速c時，恰好圍繞其表面做勻速圓周運動，已知該黑洞的半徑為R，引力常量為G，忽略相對論效應，則可推測這個黑洞的密度為(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：設黑洞的質量為M，則黑洞的密度ρ＝＝，物體繞黑洞表面做勻速圓周運動的速度為光速c，該物體的質量為m，由萬有引力提供向心力有＝，聯立可得ρ＝，故選A。
[B組　綜合提升練]
8．(2021·全國甲卷)2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1．8×105 s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2．8×105 m。已知火星半徑約為3．4×106 m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3．7 m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
答案：C
解析：設沿火星表面運動的衛星的繞行周期為T0，則有G＝mR，在火星表面處有＝mg，聯立可得T0＝2π；設“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最近距離為d1，最遠距離為d2，則停泊軌道的半長軸為a＝，由開普勒第三定律可知＝，由以上各式聯立，可得d2＝2－d1－2R≈6×107 m，故C正確。
9．(2024·山東高考)“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：“鵲橋二號”中繼星在半長軸為a的橢圓軌道環繞月球運行時，周期T＝24 h，根據開普勒第三定律可知，環繞月球以半徑a做勻速圓周運動的衛星的周期也是T；設該月球衛星質量為m，根據萬有引力提供向心力，可得G＝ma，設地球的同步衛星質量為m同，則根據萬有引力提供向心力，有G＝m同r，聯立可得＝，故D正確。
10．一顆質量均勻、可看作球體的小行星，其過去自轉對該行星表面重力的影響可以忽略。現該行星自轉加快，角速度為ω時，該行星表面“赤道”上的物體對行星的壓力減為過去的。已知引力常量為G，則該行星的密度ρ為(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：該行星的自轉可以忽略時，由萬有引力定律、牛頓第三定律和平衡條件可得，質量為m的物體對行星的壓力大小FN＝，當行星自轉角速度為ω時，由牛頓第三定律和牛頓第二定律有－FN＝mRω2，行星的密度ρ＝，聯立解得ρ＝，故選D。
11．理論上已經證明：質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零。現假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的實心球體，O為球心，以O為原點建立坐標軸Ox，如圖所示。一個質量一定的質點(假設它能夠在地球內部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則F隨x的變化關系圖像正確的是(　　)
答案：A
解析：根據題意，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，當質點在地球的內部離球心x處時，受到地球的萬有引力即為半徑等于x的同心球體對質點的萬有引力，所以F＝G＝Gx，其中ρ為地球的密度，m為質點的質量；當質點在地球球面或球面以外，離球心x處時，地球可以看成質量集中于球心的質點，對質點的萬有引力F＝G，其中M為地球的質量。綜上所述，當x12．如圖甲所示，南京紫金山天文臺展示的每隔2 h拍攝的某行星及其一顆衛星的照片。小齊同學取向左為正方向，在圖甲照片上用刻度尺測得行星球心與衛星之間的距離L如圖乙所示。已知該衛星圍繞行星做勻速圓周運動，在圖甲照片上測得行星的直徑為2 cm，引力常量為G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。下列說法正確的是(　　)
A．該衛星圍繞行星運動的周期為T＝24 h
B．該衛星圍繞行星運動的周期為T＝32 h
C．該行星的平均密度ρ＝5×103 kg/m3
D．該行星的平均密度ρ＝5×105 kg/m3
答案：C
解析：由題圖乙可知，從t＝0時刻到t＝24 h時刻衛星繞行星轉動半周，則該衛星繞行星做勻速圓周運動的周期為T＝2×24 h＝48 h，故A、B錯誤；照片上行星的半徑為R′＝1 cm，照片上的軌道半徑r′＝10 cm，設實際尺寸是照片上尺寸的k倍，則實際行星的半徑為R＝kR′，軌道半徑為r＝kr′，由萬有引力提供向心力得G＝mr，行星的體積為V＝πR3，行星的密度為ρ＝，聯立解得ρ＝5×103 kg/m3，故C正確，D錯誤。
13．(2023·遼寧高考)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為(　　)
A．k3 B．k3
C． D．
答案：D
解析：設月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據萬有引力提供向心力，可得G＝m月r1，G＝m地r2，由題圖中幾何關系可知＝，由題意可知R地＝kR月，又地球的平均密度ρ地＝，太陽的平均密度ρ日＝，聯立可得＝，故選D。
[C組　拔尖培優練]
14．(多選)某天文愛好者根據地球和木星的不同衛星做圓周運動的半徑r與周期T，現作出如圖所示的圖像，圖線①中c的左側部分為虛線，圖線②中b的左側部分為虛線。已知引力常量為G，木星質量大于地球質量。下列說法正確的是(　　)
A．圖線①反映木星衛星運動的規律
B．地球的質量為
C．木星的密度為
D．木星與地球的密度之比為
答案：AC
解析：對于繞中心天體做圓周運動的衛星，根據萬有引力提供向心力有G＝mr，得＝，可知中心天體的質量越大，圖線的斜率越大，因木星質量大于地球質量，故圖線①反映木星衛星運動的規律，A正確；圖線②反映地球衛星運動的規律，故＝，解得地球的質量M地＝，同理可得，木星的質量M木＝，圖線①中c的左側部分為虛線，故木星的半徑的三次方R＝d，木星的密度ρ木＝＝，同理可得，地球的密度ρ地＝，故木星與地球的密度之比＝，C正確，B、D錯誤。
1(共59張PPT)
第五章　萬有引力與宇宙航行
第1講　萬有引力定律及其應用
目錄
1
2
3
教材閱讀指導
考點一　開普勒定律
考點二　萬有引力定律 萬有引力與重力的關系
考點三 天體質量和密度 的估算
課時作業
4
5
教材閱讀指導
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
第七章第1節閱讀“開普勒定律”的有關內容，寫出開普勒行星運動定律的表述。
提示：開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。
開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等。
開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等。
第七章第1節閱讀“行星軌道簡化為圓軌道”的有關內容，寫出對行星運動軌道簡化為圓軌道后的開普勒三個定律的表述。
第七章第1節[練習與應用]T2。
第七章第2節閱讀“行星與太陽間的引力”這一部分內容，太陽與行星間引力的公式是依據什么推導出來的？
第七章第2節閱讀“月—地檢驗”這一部分內容，什么是月—地檢驗？
提示：近地點的速度較大。
提示：依據開普勒行星運動定律和圓周運動向心力公式及牛頓第三定律推導出來的。
提示：驗證地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力是否遵從相同的規律。
　第七章第2節閱讀“引力常量”這部分內容及后面的[拓展學習]，引力常量是如何測得的？數值為多少？
第七章第3節，萬有引力理論的成就有哪些？
提示：英國物理學家卡文迪什利用扭秤裝置測得G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。
提示： “稱量”地球的質量、計算天體的質量、發現未知天體、預言哈雷彗星回歸。
第七章[復習與提高]B組T2；T3。
考點一　開普勒定律
1．定律內容
(1)開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是______，太陽處在橢圓的一個______上。
(2)開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的______相等。
(3)開普勒第三定律：所有行星軌道的________的三次方跟它的_________的二次方的比都相等，即______。
2．適用條件：適用于宇宙中一切環繞同一中心天體的運動。
橢圓
焦點
面積
半長軸
公轉周期
例1　有關開普勒三大定律，結合地球和火星的軌道
示意圖，下列說法正確的是(　　)
A．地球靠近太陽的過程中，運行速度的大小不變
B．地球繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上
C．在相等時間內，火星和太陽的連線掃過的面積與地球和太陽的連線掃過的面積相等
D．火星繞太陽運行一周的時間比地球繞太陽運行一周的時間短
解析　根據開普勒第二定律可知，對同一個行星而言，
行星與太陽的連線在相同時間內掃過的面積相等，故地球
靠近太陽的過程中，運行速度的大小將增大，故A錯誤；
開普勒第二定律僅對同一行星適用，故C錯誤；根據開普勒
第一定律可知，行星繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上，地球也不例外，故B正確；根據開普勒第三定律可知，所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，由于火星軌道的半長軸比地球的大，所以火星繞太陽運行一周的時間比地球的長，故D錯誤。
例2　(人教版必修第二冊·第七章第3節[練習與應用]T4節選)地球的公轉軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示，天文學家哈雷成功預言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現的時間是1986年，預測下次飛近地球將在2061年左右。
請根據開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉半徑的多少倍。
答案　17．8
考點二　萬有引力定律　萬有引力與重力的關系
1．萬有引力定律的內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與_________________________成正比，與_______________________成反比。
2．公式：F＝________，其中G叫作引力常量，G＝6．67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過扭秤實驗測得。
物體的質量m1和m2的乘積
它們之間距離r的二次方
3．公式的適用條件：計算兩個_______間的萬有引力。
(1)當物體不能看成質點時，可以把物體分成若干部分，求出兩物體每部分之間的萬有引力，然后矢量求和計算它們的合力。
(2)兩個質量分布均勻的球體之間的萬有引力，等于位于兩球心處、質量分別與兩球體相等的質點間的萬有引力。
4．萬有引力理論的主要成就
(1)發現未知天體。
(2)計算天體質量。
質點
例5　如圖所示，《流浪地球2》影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質量為2．5 kg的物體重力為16 N。已知地球半徑為6371 km，不考慮地球自轉，地球表面處重力加速度g取10 m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為(　　)
A．1593 km B．3584 km
C．7964 km D．9955 km
考點三　天體質量和密度的估算
例6　宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處開始下落，經時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉的影響)。求：
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質量M；
(3)月球的密度ρ。
課時作業
2．(2025·廣西南寧市高三上摸底測試)某飛船繞地球做橢圓運動的軌跡如圖所示，AB是橢圓的長軸，CD是橢圓的短軸，E、F兩點關于橢圓中心對稱。比較飛船沿順時針分別從C運動到E和從D運動到F的兩個過程，以下說法正確的是(　　)
A．從D運動到F的過程平均速率小
B．兩個過程運動時間相等
C．兩個過程飛船與地心連線掃過的面積相等
D．飛船在C點所受萬有引力小于在F點所受萬有引力
6．利用引力常量G和下列某一組數據，不能計算出地球質量的是(　　)
A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉)
B．人造衛星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期
C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離
D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離
[B組　綜合提升練]
8．(2021·全國甲卷)2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1．8×105 s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2．8×105 m。已知火星半徑約為3．4×106 m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3．7 m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
11．理論上已經證明：質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零。現假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的實心球體，O為球心，以O為原點建立坐標軸Ox，如圖所示。一個質量一定的質點(假設它能夠在地球內部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則F隨x的變化關系圖像正確的是(　　)
12．如圖甲所示，南京紫金山天文臺展示的每隔2 h拍攝的某行星及其一顆衛星的照片。小齊同學取向左為正方向，在圖甲照片上用刻度尺測得行星球心與衛星之間的距離L如圖乙所示。已知該衛星圍繞行星做勻速圓周運動，在圖甲照片上測得行星的直徑為2 cm，引力常量為G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。下列說法正確的是(　　)
A．該衛星圍繞行星運動的周期為T＝24 h
B．該衛星圍繞行星運動的周期為T＝32 h
C．該行星的平均密度ρ＝5×103 kg/m3
D．該行星的平均密度ρ＝5×105 kg/m3

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