資源簡介

物理
第講　功和功率
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
　第八章第1節閱讀“功”這一部分內容，功的表達式W＝Flcosα中的l指什么？α指什么？
提示：l指力的作用點的位移；α指力和位移方向的夾角。
　第八章第1節閱讀“正功和負功”這一部分內容，總功怎樣計算？
提示：幾個力對物體做的總功等于各個力分別對物體所做功的代數和，也就是這幾個力的合力對物體所做的功。
　第八章第1節“功率”部分的[思考與討論]。
提示：通過減小速度提高牽引力。
　第八章第1節[練習與應用]T7。
提示：(1)汽車的加速度減小，速度增大。因P＝F牽v，v增大，故F牽減小，而a＝，所以加速度減小。
(2)當汽車的速度為v、加速度為a時，汽車的牽引力F牽＝ma＋F。發動機的額定功率P＝F牽v＝(ma＋F)v。當加速度減小到0時，汽車做勻速直線運動，F牽＝F。所以汽車行駛的最大速度vmax＝＝。
　第八章[復習與提高]A組T3。
提示：(1)如圖所示。
(2)重力做功WG＝－mgxsinθ，推力做功WF＝Fx，支持力做功WN＝0，摩擦力做功Wf＝－Ffx＝－μmgxcosθ。
(3)總功W總＝WF＋WG＋Wf＋WN＝Fx－mgxsinθ－μmgxcosθ。
(4)合力F合＝F－mgsinθ－μmgcosθ。
(5)合力做功W合＝F合x＝(F－mgsinθ－μmgcosθ)x，顯然W總＝W合。
考點一　功
1．定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發生了一段位移，就說這個力對物體做了功。
2．物理意義：功是能量轉化的量度。
3．做功的兩個必要因素
(1)作用在物體上的力。
(2)物體在力的方向上發生的位移。
4．公式：W＝Flcosα。
(1)α是力與位移方向之間的夾角，l為物體對地的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
(3)功是標量。功的正負表示對物體做功的力是動力還是阻力。
5．功的正負
夾角 功的正負
0≤α< 力對物體做正功
<α≤π 力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功
α＝ 力對物體不做功
1．功是標量，功的正負表示大小。(　　) 2．一個力對物體做了負功，說明這個力一定阻礙物體的運動。(　　) 3．滑動摩擦力可能做負功，也可能做正功；靜摩擦力對物體一定不做功。(　　) 4．作用力做正功時，反作用力一定做負功。(　　) 5．力對物體做功的正負是由力與位移間的夾角大小決定的。(　　) 答案：1．×　2．√　3．×　4．×　5．√
1．定性判斷力是否做功及做正、負功的方法
(1)看力F的方向與位移l的方向間的夾角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向與速度v的方向間的夾角θ——常用于曲線運動的情形。
(3)根據動能的變化判斷——動能定理描述了合力做功與動能變化的關系，即W合＝ΔEk，當動能增加時合力做正功，當動能減少時合力做負功。
(4)根據功能關系或能量守恒定律判斷。
2．合力做功的計算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求動能變化ΔEk，再利用動能定理W合＝ΔEk求功。
例1　圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止。下列關于力做功的判斷正確的是(　　)
A．甲圖中支持力對人做正功
B．甲圖中摩擦力對人做負功
C．乙圖中支持力對人做正功
D．乙圖中摩擦力對人做負功
[答案]　A
[解析]　女士和男士均勻速上樓，均處于平衡狀態。對圖甲中女士受力分析如圖1，受重力和支持力兩個力，不受摩擦力，支持力與速度v的夾角為銳角，做正功，故A正確，B錯誤。對圖乙中男士受力分析如圖2，受重力、支持力與靜摩擦力，支持力與速度v的夾角為90°，不做功，Ff與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤。
例2　如圖，長為L的固定斜面與豎直方向夾角為α，質量為m的木塊從斜面頂端滑到底端的過程，斜面與木塊之間的支持力大小為N，摩擦力大小為f，則(　　)
A．重力做功為mgLsinα B．支持力做功為NLcosα
C．摩擦力做功為－fLcosα D．摩擦力做功為－fL
[答案]　D
[解析]　斜面高度為h＝Lcosα，重力做功為WG＝mgh＝mgLcosα，故A錯誤；支持力的方向與運動方向垂直，故支持力不做功，B錯誤；摩擦力方向與運動方向相反，做負功，為Wf＝－fL，故C錯誤，D正確。
1．使用W＝Flcosα應注意的幾個問題 (1)位移l ①“l”應取作用點的位移。 ②“l”的取值一般以地面為參考系。 (2)力F ①力的獨立性原理，即求某個力做的功僅與該力及物體沿該力方向的位移有關，而與其他力是否存在、是否做功無關。 ②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。 (3)α是l與F之間的夾角。 2．摩擦力做功的特點 (1)單個摩擦力(包括靜摩擦力和滑動摩擦力)可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。 (2)相互作用的一對靜摩擦力做功的代數和總等于零；相互作用的一對滑動摩擦力做功的代數和不為零，且總為負值。 (3)相互作用的一對滑動摩擦力做功過程中會發生物體間機械能轉移和機械能轉化為內能，內能Q＝Ffl相對，其中l相對為相對路程(即相對運動軌跡的長度)。
考點二　功率
1．定義：功W與完成這些功所用時間t之比叫作功率。
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢。
3．公式：P＝，P為時間t內的平均功率。
4．功率與速度的關系
若物體在恒力F作用下沿F的方向做直線運動，則F的功率P與速度v的關系為：P＝Fv。
(1)v為平均速度，則P為平均功率。
(2)v為瞬時速度，則P為瞬時功率。
說明：功率的定義式P＝是普遍適用的，功率與速度的關系式P＝Fv是機械功率的導出公式，此式在其他情況下不一定成立。
5．額定功率與實際功率
(1)額定功率
機械正常工作時的最大輸出功率。
(2)實際功率
機械實際工作時的功率，要求不大于額定功率。
1．瞬時功率與速度的一般關系式
(1)公式：若t時刻力F與瞬時速度v的方向之間的夾角是α，則t時刻力F的瞬時功率P＝Fvcosα。
(2)適用條件：可以證明，該公式既適用于恒力的功率，也適用于變力的功率；既適用于直線運動，也適用于曲線運動。(根據功的定義式W＝Flcosα和功率的定義式P＝，借助微元法，可以證明此結論)
(3)對公式P＝Fvcosα的理解：可認為Fcosα是力F在速度v方向上的分力，也可認為vcosα是速度v在力F方向上的分速度。
2．平均功率的計算方法
(1)利用功的定義式W＝Flcosα和功率的定義式P＝計算平均功率。
(2)若力F是恒力，物體沿F方向的平均速度是F，也可以利用導出公式＝F·F計算平均功率。
①證明：無論物體做直線運動還是曲線運動，當F為恒力時，F的平均功率＝＝＝＝＝F·F。
②應用實例：可以用此公式快速計算平拋運動過程重力的平均功率。
易錯警示：若F不是恒力，則不能用＝F·F計算平均功率。
例3　質量為2 kg的物體做自由落體運動，經過2 s落地。取g＝10 m/s2。關于重力做功、功率，下列說法正確的是(　　)
A．下落過程中重力做的功是200 J
B．下落過程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬間重力的瞬時功率是200 W
D．落地前的瞬間重力的瞬時功率是400 W
[答案]　D
[解析]　物體下落的高度為h＝gt2＝20 m，則下落過程中重力做的功是W＝mgh＝400 J，故A錯誤；重力做功的平均功率為＝＝200 W，故B錯誤；落地前瞬間物體的速度v＝gt＝20 m/s，則重力做功的瞬時功率P＝mgv＝400 W，故C錯誤，D正確。
例4　(2025·山西省呂梁市高三聯考)如圖所示，某同學在學校附近山地上練習打高爾夫球。第一次他將高爾夫球沿水平方向擊出，落在水平地面的M點；第二次他從同一位置將同一高爾夫球沿水平方向擊出，落在水平地面的N點，不計空氣阻力，高爾夫球可視為質點。對于兩次高爾夫球從擊出到落地的過程，下列說法正確的是(　　)
A．兩次擊出的高爾夫球在空中運動時間不相同
B．第一次擊出的高爾夫球的初速度更大
C．兩次擊出的高爾夫球在空中運動過程中的重力的平均功率相等
D．第二次擊出的高爾夫球落地前瞬間重力的瞬時功率更大
[答案]　C
[解析]　擊出的高爾夫球做平拋運動，豎直方向上有h＝gt2，解得高爾夫球在空中運動的時間t＝，可知兩次擊出的高爾夫球在空中運動時間相同，A錯誤；高爾夫球在水平方向有x＝vt，由題圖知第一次擊出的高爾夫球水平位移更小，則初速度更小，B錯誤；因為重力做功W＝mgh相同，兩次擊出的高爾夫球在空中運動時間相同，則重力的平均功率P＝相同，C正確；高爾夫球落地前瞬間重力的瞬時功率P′＝mgvy＝mg·gt，故兩次擊出的高爾夫球落地前瞬間重力的瞬時功率相同，D錯誤。
考點三　變力做功的計算
方法 舉例說明
微元法 質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
平均力法 彈簧由伸長x1被繼續拉至伸長x2的過程中，克服彈力做功W＝·(x2－x1)
圖像法 在F x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數和就表示力F在這段位移上所做的功
W＝Pt法 當某個變力的功率恒定時，可以利用W＝Pt求解該變力做的功
等效轉換法 用恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做功W＝F·
應用動能定理 用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F做功為WF，則有：WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ)
例5　(多選)如圖所示，擺球質量為m，懸線長度為L，把懸線拉到水平位置后放手。設在擺球從A點運動到B點的過程中空氣阻力的大小F阻不變，則下列說法正確的是(　　)
A．重力做功為mgL B．懸線的拉力做功為0
C．空氣阻力做功為－mgL D．空氣阻力做功為－F阻πL
[答案]　ABD
[解析]　根據W＝Flcosα，擺球下擺過程中，重力做功為mgL，A正確；懸線的拉力始終與速度方向垂直，故做功為0，B正確；空氣阻力的大小不變，方向始終與速度方向相反，故做功為－F阻·πL，C錯誤，D正確。
例6　如圖所示，一滑雪運動員從山坡上的A點由靜止開始滑到山坡底的B點，該運動員和雪橇的總質量為m，滑到B點的速度大小為v，A、B兩點的高度差為h，重力加速度為g，在此過程中，該運動員和雪橇克服阻力做的功為(　　)
A．mgh B．mv2
C．mgh－mv2 D．mgh＋mv2
[答案]　C
[解析]　從A點到B點過程，只有重力和阻力對運動員和雪橇做功，由動能定理得mgh－Wf＝mv2－0，解得運動員和雪橇克服阻力做的功為Wf＝mgh－mv2，故選C。
考點四　機車啟動問題
1．兩種啟動方式的比較
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P t圖和v t圖
OA段 過程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變，v↑ P＝Fv↑直到P額＝Fv1
運動性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t0＝
AB 段 過程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動性質 以vm勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 無 F＝F阻 a＝0 以vm＝勻速直線運動
2．兩個重要關系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速直線運動時的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力F阻)。
(2)機車以恒定加速度啟動的運動過程中，勻加速過程結束時，功率最大，速度不是最大，即v1＝例7　一質量為m的汽車，啟動后在發動機功率保持不變的條件下在水平路面上行駛，經過一段時間后以速度v勻速行駛，若汽車在行駛中受到的阻力大小f保持不變，則(　　)
A．發動機功率P＝fv
B．啟動過程中，汽車做勻加速運動
C．在車速為v時，汽車的加速度大小為
D．發動機在t時間內做的功為2fvt
[答案]　A
[解析]　汽車在勻速行駛時，牽引力的大小等于阻力，則發動機功率為P＝F牽0v＝fv，A正確；汽車發動機功率保持不變，在啟動過程中，速度逐漸增大，當汽車的速度為v′時，有P＝F牽v′，解得F牽＝，可知隨汽車速度的增大，牽引力逐漸減小，由牛頓第二定律可得汽車的加速度a＝減小，因此汽車在啟動過程中，做加速度逐漸減小的加速運動，B錯誤；在車速為v時，汽車的牽引力為F牽1＝＝4f，由牛頓第二定律可得汽車的加速度大小為a′＝＝，C錯誤；發動機在t時間內做的功為W＝Pt＝fvt，D錯誤。
例8　(2025·安徽省“耀正優＋”高三上12月聯考)一質量m＝40 kg的兒童電動汽車在水平地面上由靜止開始做直線運動，一段時間內的速度隨時間變化的關系圖像如圖所示，0～3 s內為直線，3 s末功率達到額定功率，之后功率保持不變，10 s末電動汽車的速度達到最大值，14 s末關閉發動機，經過一段時間電動汽車停止運動。整個過程中電動汽車受到的阻力大小恒為60 N，下列說法正確的是(　　)
A．0～3 s內，牽引力的大小為900 N
B．電動汽車的額定功率為180 W
C．電動汽車的最大速度為5 m/s
D．整個過程中，電動汽車所受阻力做的功為3750 J
[答案]　C
[解析]　由圖可知，0～3 s內，電動汽車的加速度大小a1＝ m/s2＝1 m/s2，由牛頓第二定律有F1－f＝ma1，解得牽引力大小F1＝100 N，3 s末功率達到額定功率，則電動汽車的額定功率P＝F1v1＝100×3 W＝300 W，電動汽車速度最大時，所受牽引力大小等于阻力大小，由P＝fvm，解得電動汽車的最大速度為vm＝5 m/s，故A、B錯誤，C正確；整個過程中，對電動汽車，由動能定理有F1··t1＋Pt2＋Wf＝0－0，其中t1＝3 s，t2＝14 s－3 s＝11 s，解得電動汽車所受阻力做的功Wf＝－3750 J，故D錯誤。
解決機車啟動問題時的四點注意 (1)首先弄清是恒定加速度啟動還是恒定功率啟動。 (2)若是恒定加速度啟動過程，機車功率是不斷改變的，但該過程中的最大功率是額定功率，勻加速直線運動階段的最大速度小于機車所能達到的最大速度，達到額定功率后做加速度減小的加速運動。 (3)若是恒定功率啟動過程，機車做加速度減小的加速運動，勻變速直線運動的規律不適用，速度最大值等于，牽引力是變力，牽引力做的功可用W＝P額t計算，但不能用W＝Flcosα計算。 (4)無論哪種啟動方式，最后達到最大速度時，均滿足P額＝F阻vm，P額為機車的額定功率。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．質量為m的物體沿傾角為θ的斜面滑到底端時的速度大小為v，則此時重力的瞬時功率為(　　)
A．mgv B．mgvsinθ
C．mgvcosθ D．mgvtanθ
答案：B
解析：重力與物體的速度之間的夾角為90°－θ，則重力的瞬時功率為P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsinθ，所以B正確。
2．(人教版必修第二冊·第八章第1節[練習與應用]T3改編)(多選)一位質量m＝60 kg的滑雪運動員從高h＝10 m的斜坡自由下滑，如果運動員在下滑過程中受到的阻力F＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運動員滑至坡底的過程中，關于各力做功的情況，下列說法正確的是(　　)
A．重力做功為6000 J B．阻力做功為1000 J
C．支持力不做功 D．各力做的總功為零
答案：AC
解析：重力做功WG＝mgh＝6000 J，故A正確；阻力做功WF＝－F＝－1000 J，故B錯誤；支持力與位移夾角為90°，不做功，故C正確；由以上分析可知，各力做的總功為W總＝WG＋WF＝5000 J，故D錯誤。
3．(2025·福建省龍巖市高三上仿真模擬)質量為m的物體靜止在傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。現使斜面向右水平勻速移動一段距離L，物體與斜面的相對位置不變，如圖所示，在此過程中摩擦力對物體所做的功為(　　)
A．μmgLcos2θ B．－μmgLcos2θ
C．mgLsinθcosθ D．－mgLsinθcosθ
答案：C
解析：物體隨斜面一起向右水平勻速移動時，受力分析如圖所示，由平衡條件可知，物體所受的靜摩擦力f＝mgsinθ，摩擦力對物體所做的功為W＝fLcosθ＝mgLsinθcosθ，故選C。
4．一物體所受的力F隨位移x變化的圖像如圖所示，則(　　)
A．力F在0～3 m的過程中對物體做了3 J的功
B．力F在3～4 m的過程中對物體做了－2 J的功
C．物體在4～5 m的過程中克服力F做了1 J的功
D．力F在0～5 m的過程中對物體做了8 J的功
答案：C
解析：F x圖像中圖線與x軸圍成的面積表示力做功的大小，則力F在0～3 m的過程中對物體做的功為W1＝2×3 J＝6 J，在3～4 m的過程中對物體做的功為W2＝×2×(4－3) J＝1 J，物體在4～5 m的過程中克服力F做的功為W3＝×2×(5－4) J＝1 J，力F在0～5 m的過程中對物體做的功為W總＝W1＋W2－W3＝6 J＋1 J－1 J＝6 J，故C正確，A、B、D錯誤。
5．(多選)如圖所示，建筑工人通過滑輪裝置將一質量是100 kg的料車沿30°角的斜面由底端勻速地拉到頂端，斜面長L是4 m，若不計滑輪的質量和各處的摩擦力，g取10 N/kg，則對這一過程，下列說法正確的是(　　)
A．人拉繩子的力做功為1000 J
B．人拉繩子的力做功為2000 J
C．料車受到的重力做功為2000 J
D．料車受到的合力對料車做的總功為0
答案：BD
解析：設工人拉繩子的力為F，料車的質量為m，對料車，由平衡條件可知2F＝mgsin30°，解得F＝250 N，工人將料車拉到斜面頂端時，力F作用點的位移s＝2L＝8 m，人拉繩子的力做的功W1＝Fs＝2000 J，故A錯誤，B正確；料車受到的重力做功W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J，故C錯誤；由于料車在斜面上勻速運動，則料車所受的合力始終為0，合力對料車做的總功為0，故D正確。
6．一輛質量為m的汽車，從靜止開始運動，其阻力為車重的λ倍，其牽引力的大小F＝kx＋Ff，其中k為比例系數，x為車前進的距離，Ff為車所受的阻力，重力加速度為g，則當車前進的距離為s時牽引力做的功為(　　)
A．λmgs B．ks2
C．ks2＋λmgs D．(ks2＋λmgs)
答案：C
解析：由題意可知汽車受到的阻力大小為Ff＝λmg，當x＝0時，牽引力大小為F1＝Ff，當x＝s時，牽引力大小為F2＝ks＋Ff，由于牽引力隨位移線性變化，所以整個過程的平均牽引力大小為＝＝ks＋λmg，牽引力做的功為W＝s＝ks2＋λmgs，故選C。
7．如圖所示，一根輕繩繞過輕滑輪(大小、摩擦均不計)，繩的一端拴一質量為m＝10 kg的物體，另一側沿豎直方向的繩被人拉住。若人的手到滑輪最高點的距離為4 m，拉住繩子前進3 m，使物體勻速上升，g取10 m/s2。則人拉繩的力所做的功為(　　)
A．500 J B．300 J
C．100 J D．50 J
答案：C
解析：人拉繩的力所做的功等于繩拉物體的力所做的功，由于物體勻速上升，則繩的拉力F＝mg，由幾何知識知，物體上升的位移h＝ m－4 m＝1 m，則繩拉物體的力所做的功W′＝Fh＝mgh，故人拉繩的力所做的功W＝W′＝100 J，C正確。
8．把A、B兩相同小球在離地面同一高度處以相同大小的初速度v0分別沿水平方向和豎直方向拋出，不計空氣阻力，如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．兩小球落地時速度相同
B．兩小球落地時，重力的瞬時功率相同
C．從開始運動至落地，重力對兩小球做功相同
D．從開始運動至落地，重力對兩小球做功的平均功率相同
答案：C
解析：初始時，兩小球高度相同，速度大小相等，兩小球在運動的過程中都只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律可知兩小球落地時速度大小相等，但方向不同，所以速度不同，故A錯誤；兩小球重力相等，到達底端時速率相同，但小球A的重力與速度有夾角，小球B的重力與速度方向相同，根據PG＝mgvcosθ可知，落地前的瞬間小球B的重力的瞬時功率大于小球A的重力的瞬時功率，故B錯誤；設兩小球初始時距地面的高度均為h，從開始運動至落地，重力對兩小球做功都為mgh，重力對兩小球做功相同，故C正確；由豎直方向的分運動可知，從開始運動至落地，小球A運動的時間比小球B更短，根據＝可知，重力對小球A做功的平均功率更大，故D錯誤。
9．已知動車組列車每節動車的額定功率相同，每節動車與拖車質量相等，動車組運行時所受阻力與其重力成正比。若某動車組由4節動車加8節拖車組成，其運行的最大速率為240 km/h，
則由該4節動車加4節拖車組成的動車組，運行的最大速率為(　　)
A．480 km/h B．360 km/h
C．320 km/h D．240 km/h
答案：B
解析：設每節車質量為m，每節車廂所受阻力為f＝kmg，則4節動車加8節拖車以最大速率運行時，有F牽1＝12f，4Pm＝F牽1vm1，其中vm1＝240 km/h，4節動車加4節拖車以最大速率運行時，有F牽2＝8f，4Pm＝F牽2vm2，聯立解得vm2＝360 km/h，故選B。
10．(2024·遼寧省朝陽地區高三上期中)(多選)一輛汽車在水平平直公路上由靜止開始勻加速啟動，汽車的輸出功率與速度的關系如圖所示，當汽車的速度達到v0后功率保持不變，汽車能達到的最大速度為2v0。已知汽車的質量為m，運動過程中所受的阻力恒為f，下列說法正確的是(　　)
A．汽車的最大功率為fv0
B．汽車勻加速時的加速度大小為
C．汽車做勻加速直線運動的時間為
D．汽車的速度從v0增加到2v0的過程中，其加速度逐漸減小
答案：BD
解析：汽車達到最大速度vm＝2v0時，牽引力最小，且Fmin＝f，則汽車的最大功率為Pm＝Fminvm＝2fv0，故A錯誤；汽車勻加速啟動時，根據牛頓第二定律有F0－f＝ma0，汽車速度為v0時的牽引力大小F0＝，聯立可得汽車勻加速時的加速度大小為a0＝，故B正確；汽車做勻加速直線運動的時間為t＝＝，故C錯誤；汽車的速度從v0增加到2v0的過程中，根據牛頓第二定律有F－f＝ma，汽車的牽引力為F＝，可得a＝，則汽車的速度v從v0增加到2v0的過程中，加速度逐漸減小，故D正確。
[B組　綜合提升練]
11．(2023·山東高考)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動。每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田。當地的重力加速度為g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為(　　)
A． B．
C． D．nmgωRH
答案：B
解析：由題意可知，水輪每轉一圈灌入稻田的水的總質量為m總＝2πRnm×60%＝1．2πRnm，筒車對這些水做的功W＝m總gH，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為P＝，其中T＝，聯立解得P＝，故選B。
12．一輛汽車在平直公路上保持恒定功率P0以速度v0勻速行駛，t1時刻駕駛員立即將功率增大到2P0行駛一段時間，t2時刻遇到險情，駕駛員立即將功率減小到P0繼續向前行駛。整個過程汽車所受阻力恒定，則該過程中汽車的速度v隨時間t變化的關系圖像可能正確的是(　　)
答案：B
解析：汽車原來以功率P0、速度v0勻速行駛時，牽引力等于阻力，即F0＝f，t1時刻，功率增大到2P0，由P＝Fv可知，牽引力變為原來的2倍，即2F0，由牛頓第二定律可得2F0－f＝ma，汽車開始做加速運動，之后隨著牽引力逐漸減小，加速度減小，當速度增大到2v0時，牽引力減小到與阻力相等；t2時刻，功率減小到P0，牽引力變為原來的一半，即F0，由牛頓第二定律可得f－F0＝ma，汽車開始做減速運動，之后隨著牽引力逐漸增大，加速度減小，當速度減小到v0時，牽引力增大到與阻力相等，之后維持勻速運動，B正確。
13．“廣湛”高鐵將茂名到廣州的通行時間縮短至2小時。假設靜止的動車啟動后沿平直軌道行駛，發動機功率恒定，行車過程中受到的阻力恒為f，已知動車質量為m、最高行駛速度為vm，下列說法正確的是(　　)
A．動車啟動過程中所受合外力不變
B．動車發動機功率為fvm
C．從啟動到運動至最大速度過程中，動車平均速度為
D．從啟動到運動至最大速度過程中，動車牽引力做功為mv
答案：B
解析：動車啟動過程中，發動機功率恒定，根據P＝Fv，速度變大，可知牽引力變小，又動車所受合外力F合＝F－f，則該過程動車所受合外力變小，故A錯誤；動車速度最大時，加速度為零，有F＝f，則動車發動機功率P＝Fvm＝fvm，故B正確；從啟動到最大速度過程中，動車做加速度減小的加速運動，其v t圖像為上凸曲線，如圖所示，圖線與時間軸所圍圖形面積比從靜止做勻加速直線運動到vm的圖線與時間軸所圍圖形面積大，又動車勻加速到vm時，其平均速度為，則由＝可知，動車平均速度大于，故C錯誤；動車從啟動到最大速度過程中，根據動能定理有WF－Wf＝mv，其中Wf為動車克服阻力f做的功，且Wf＞0，則動車牽引力做的功WF大于mv，故D錯誤。
[C組　拔尖培優練]
14．(2021·湖南高考)“復興號”動車組用多節車廂提供動力，從而達到提速的目的。總質量為m的動車組在平直的軌道上行駛。該動車組有四節動力車廂，每節車廂發動機的額定功率
均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻＝kv，k為常量)，動車組能達到的最大速度為vm。下列說法正確的是(　　)
A．動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B．若四節動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C．若四節動力車廂輸出的總功率為2．25P，則動車組勻速行駛的速度為vm
D．若四節動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經過時間t達到最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為mv－Pt
答案：C
解析：動車組在勻加速啟動過程中，由牛頓第二定律有F－F阻＝ma，加速度a恒定，F阻＝kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨速度增大而增大，故A錯誤；若四節動力車廂輸出功率均為額定值，由牛頓第二定律有－kv＝ma，可知加速啟動的過程，加速度逐漸減小，故B錯誤；若四節動力車廂輸出的總功率為2．25P，動車組勻速行駛時加速度為零，有＝kv1，而以額定功率勻速行駛時有＝kvm，聯立解得v1＝vm，故C正確；若四節動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經過時間t達到最大速度vm，由動能定理可知4Pt－W阻＝mv－0，可得動車組克服阻力做的功為W阻＝4Pt－mv，故D錯誤。
1(共67張PPT)
第六章 機械能及其守恒定律
第1講　功和功率
目錄
1
2
3
教材閱讀指導
考點一　功
考點二　功率
考點三 變力做功的計算
考點四 機車啟動問題
課時作業
4
5
6
教材閱讀指導
(對應人教版必修第二冊相關內容及問題)
第八章第1節閱讀“功”這一部分內容，功的表達式W＝Flcosα中的l指什么？α指什么？
第八章第1節閱讀“正功和負功”這一部分內容，總功怎樣計算？
第八章第1節“功率”部分的[思考與討論]。
提示：l指力的作用點的位移；α指力和位移方向的夾角。
提示：幾個力對物體做的總功等于各個力分別對物體所做功的代數和，也就是這幾個力的合力對物體所做的功。
提示：通過減小速度提高牽引力。
　 第八章第1節[練習與應用]T7。
第八章[復習與提高]A組T3。
提示： (1)如圖所示。
(2)重力做功WG＝－mgxsinθ，推力做功WF＝Fx，支持力做功WN＝0，摩擦力做功Wf＝－Ffx＝－μmgxcosθ。
(3)總功W總＝WF＋WG＋Wf＋WN＝Fx－mgxsinθ－μmgxcosθ。
(4)合力F合＝F－mgsinθ－μmgcosθ。
(5)合力做功W合＝F合x＝(F－mgsinθ－μmgcosθ)x，顯然W總＝W合。
考點一　功
1．定義：一個物體受到力的作用，如果在__________上發生了一段位移，就說這個力對物體做了功。
2．物理意義：功是__________的量度。
3．做功的兩個必要因素
(1)作用在物體上的_____。
(2)物體在__________上發生的位移。
力的方向
能量轉化
力
力的方向
4．公式：W＝_______。
(1)α是力與______方向之間的夾角，l為物體對地的位移。
(2)該公式只適用于______做功。
(3)功是_____量。功的正負表示對物體做功的力是動力還是阻力。
Flcosα
位移
恒力
標
正功
5．功的正負
負功
克服
不做功
1．功是標量，功的正負表示大小。(　　)
2．一個力對物體做了負功，說明這個力一定阻礙物體的運動。(　　)
3．滑動摩擦力可能做負功，也可能做正功；靜摩擦力對物體一定不做功。
( 　)
4．作用力做正功時，反作用力一定做負功。(　　)
5．力對物體做功的正負是由力與位移間的夾角大小決定的。(　　)
×
√
×
×
√
1．定性判斷力是否做功及做正、負功的方法
(1)看力F的方向與位移l的方向間的夾角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向與速度v的方向間的夾角θ——常用于曲線運動的情形。
(3)根據動能的變化判斷——動能定理描述了合力做功與動能變化的關系，即W合＝ΔEk，當動能增加時合力做正功，當動能減少時合力做負功。
(4)根據功能關系或能量守恒定律判斷。
2．合力做功的計算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求動能變化ΔEk，再利用動能定理W合＝ΔEk求功。
例1　圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止。下列關于力做功的判斷正確的是(　　)
A．甲圖中支持力對人做正功
B．甲圖中摩擦力對人做負功
C．乙圖中支持力對人做正功
D．乙圖中摩擦力對人做負功
解析　女士和男士均勻速上樓，均處于平衡狀態。對圖甲中女士受力分析如圖1，受重力和支持力兩個力，不受摩擦力，支持力與速度v的夾角為銳角，做正功，故A正確，B錯誤。對圖乙中男士受力分析如圖2，受重力、支持力與靜摩擦力，支持力與速度v的夾角為90°，不做功，Ff與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤。
例2　如圖，長為L的固定斜面與豎直方向夾角為α，質量為m的木塊從斜面頂端滑到底端的過程，斜面與木塊之間的支持力大小為N，摩擦力大小為f，則(　　)
A．重力做功為mgLsinα
B．支持力做功為NLcosα
C．摩擦力做功為－fLcosα
D．摩擦力做功為－fL
解析　斜面高度為h＝Lcosα，重力做功為WG＝mgh＝mgLcosα，故A錯誤；支持力的方向與運動方向垂直，故支持力不做功，B錯誤；摩擦力方向與運動方向相反，做負功，為Wf＝－fL，故C錯誤，D正確。
1．使用W＝Flcosα應注意的幾個問題
(1)位移l
①“l”應取作用點的位移。
②“l”的取值一般以地面為參考系。
(2)力F
①力的獨立性原理，即求某個力做的功僅與該力及物體沿該力方向的位移有關，而與其他力是否存在、是否做功無關。
②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。
(3)α是l與F之間的夾角。
2．摩擦力做功的特點
(1)單個摩擦力(包括靜摩擦力和滑動摩擦力)可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。
(2)相互作用的一對靜摩擦力做功的代數和總等于零；相互作用的一對滑動摩擦力做功的代數和不為零，且總為負值。
(3)相互作用的一對滑動摩擦力做功過程中會發生物體間機械能轉移和機械能轉化為內能，內能Q＝Ffl相對，其中l相對為相對路程(即相對運動軌跡的長度)。
考點二　功率
之比
做功的快慢
平均功率
Fv
平均功率
瞬時功率
說明：功率的定義式P＝是普遍適用的，功率與速度的關系式P＝Fv是機械功率的導出公式，此式在其他情況下不一定成立。
5．額定功率與實際功率
(1)額定功率
機械__________時的最大輸出功率。
(2)實際功率
機械__________時的功率，要求不大于__________。
正常工作
實際工作
額定功率
例3　質量為2 kg的物體做自由落體運動，經過2 s落地。取g＝10 m/s2。關于重力做功、功率，下列說法正確的是(　　)
A．下落過程中重力做的功是200 J
B．下落過程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬間重力的瞬時功率是200 W
D．落地前的瞬間重力的瞬時功率是400 W
例4　(2025·山西省呂梁市高三聯考)如圖所示，某同學在學校附近山地上練習打高爾夫球。第一次他將高爾夫球沿水平方向擊出，落在水平地面的M點；第二次他從同一位置將同一高爾夫球沿水平方向擊出，落在水平地面的N點，不計空氣阻力，高爾夫球可視為質點。對于兩次高爾夫球從擊出到落地的過程，下列說法正確的是(　　)
A．兩次擊出的高爾夫球在空中運動時間不相同
B．第一次擊出的高爾夫球的初速度更大
C．兩次擊出的高爾夫球在空中運動過程中的重力的平均功率相等
D．第二次擊出的高爾夫球落地前瞬間重力的瞬時功率更大
考點三　變力做功的計算
考點四　機車啟動問題
1．兩種啟動方式的比較
例8　(2025·安徽省“耀正優＋”高三上12月聯考)一質量m＝40 kg的兒童電動汽車在水平地面上由靜止開始做直線運動，一段時間內的速度隨時間變化的關系圖像如圖所示，0～3 s內為直線，3 s末功率達到額定功率，之后功率保持不變，10 s末電動汽車的速度達到最大值，14 s末關閉發動機，經過一段時間電動汽車停止運動。整個過程中電動汽車受到的阻力大小恒為60 N，下列說法正確的是(　　)
A．0～3 s內，牽引力的大小為900 N
B．電動汽車的額定功率為180 W
C．電動汽車的最大速度為5 m/s
D．整個過程中，電動汽車所受阻力做的功為3750 J
解決機車啟動問題時的四點注意
(1)首先弄清是恒定加速度啟動還是恒定功率啟動。
(2)若是恒定加速度啟動過程，機車功率是不斷改變的，但該過程中的最大功率是額定功率，勻加速直線運動階段的最大速度小于機車所能達到的最大速度，達到額定功率后做加速度減小的加速運動。
(3)若是恒定功率啟動過程，機車做加速度減小的加速運動，勻變速直線運動的規律不適用，速度最大值等于，牽引力是變力，牽引力做的功可用W＝P額t計算，但不能用W＝Flcosα計算。
(4)無論哪種啟動方式，最后達到最大速度時，均滿足P額＝F阻vm，P額為機車的額定功率。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．質量為m的物體沿傾角為θ的斜面滑到底端時的速度大小為v，則此時重力的瞬時功率為(　　)
A．mgv B．mgvsinθ
C．mgvcosθ D．mgvtanθ
解析：重力與物體的速度之間的夾角為90°－θ，則重力的瞬時功率為P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsinθ，所以B正確。
2．(人教版必修第二冊·第八章第1節[練習與應用]T3改編)(多選)一位質量m＝60 kg的滑雪運動員從高h＝10 m的斜坡自由下滑，如果運動員在下滑過程中受到的阻力F＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運動員滑至坡底的過程中，關于各力做功的情況，下列說法正確的是(　　)
A．重力做功為6000 J B．阻力做功為1000 J
C．支持力不做功 D．各力做的總功為零
3．(2025·福建省龍巖市高三上仿真模擬)質量為m的物體靜止在傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。現使斜面向右水平勻速移動一段距離L，物體與斜面的相對位置不變，如圖所示，在此過程中摩擦力對物體所做的功為(　　)
A．μmgLcos2θ B．－μmgLcos2θ
C．mgLsinθcosθ D．－mgLsinθcosθ
解析：物體隨斜面一起向右水平勻速移動時，受力分析如圖所示，由平衡條件可知，物體所受的靜摩擦力f＝mgsinθ，摩擦力對物體所做的功為W＝fLcosθ＝mgLsinθcosθ，故選C。
4．一物體所受的力F隨位移x變化的圖像如圖所示，則(　　)
A．力F在0～3 m的過程中對物體做了3 J的功
B．力F在3～4 m的過程中對物體做了－2 J的功
C．物體在4～5 m的過程中克服力F做了1 J的功
D．力F在0～5 m的過程中對物體做了8 J的功
5．(多選)如圖所示，建筑工人通過滑輪裝置將一質量是100 kg的料車沿30°角的斜面由底端勻速地拉到頂端，斜面長L是4 m，若不計滑輪的質量和各處的摩擦力，g取10 N/kg，則對這一過程，下列說法正確的是(　　)
A．人拉繩子的力做功為1000 J
B．人拉繩子的力做功為2000 J
C．料車受到的重力做功為2000 J
D．料車受到的合力對料車做的總功為0
解析：設工人拉繩子的力為F，料車的質量為m，對料車，由平衡條件可知2F＝mgsin30°，解得F＝250 N，工人將料車拉到斜面頂端時，力F作用點的位移s＝2L＝8 m，人拉繩子的力做的功W1＝Fs＝2000 J，故A錯誤，B正確；料車受到的重力做功W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J，故C錯誤；由于料車在斜面上勻速運動，則料車所受的合力始終為0，合力對料車做的總功為0，故D正確。
7．如圖所示，一根輕繩繞過輕滑輪(大小、摩擦均不計)，繩的一端拴一質量為m＝10 kg的物體，另一側沿豎直方向的繩被人拉住。若人的手到滑輪最高點的距離為4 m，拉住繩子前進3 m，使物體勻速上升，
g取10 m/s2。則人拉繩的力所做的功為(　　)
A．500 J B．300 J
C．100 J D．50 J
8．把A、B兩相同小球在離地面同一高度處以相同大小的初速度v0分別沿水平方向和豎直方向拋出，不計空氣阻力，如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．兩小球落地時速度相同
B．兩小球落地時，重力的瞬時功率相同
C．從開始運動至落地，重力對兩小球做功相同
D．從開始運動至落地，重力對兩小球做功的平
均功率相同
9．已知動車組列車每節動車的額定功率相同，每節動車與拖車質量相等，動車組運行時所受阻力與其重力成正比。若某動車組由4節動車加8節拖車組成，其運行的最大速率為240 km/h，則由該4節動車加4節拖車組成的動車組，運行的最大速率為(　　)
A．480 km/h B．360 km/h
C．320 km/h D．240 km/h
解析：設每節車質量為m，每節車廂所受阻力為f＝kmg，則4節動車加8節拖車以最大速率運行時，有F牽1＝12f，4Pm＝F牽1vm1，其中vm1＝240 km/h，4節動車加4節拖車以最大速率運行時，有F牽2＝8f，4Pm＝F牽2vm2，聯立解得vm2＝360 km/h，故選B。
12．一輛汽車在平直公路上保持恒定功率P0以速度v0勻速行駛，t1時刻駕駛員立即將功率增大到2P0行駛一段時間，t2時刻遇到險情，駕駛員立即將功率減小到P0繼續向前行駛。整個過程汽車所受阻力恒定，則該過程中汽車的速度v隨時間t變化的關系圖像可能正確的是(　　)

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