資源簡介

第3講　自由落體運動和豎直上拋運動
1.（2025·吉林長春期末）將一個物體以v0豎直上拋，經過2 s到達正上方10 m處，忽略空氣阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，則（　　）
A.v0＝5 m/s B.v0＝10 m/s
C.v0＝15 m/s D.v0＝20 m/s
2.（2025·河北承德期末）體育課上同學們在練習排球，某同學將排球豎直向上墊起后，經1.2 s排球又回到原出發點，g取10 m/s2，則排球被墊起后上升的最大高度為（不計空氣阻力）（　　）
A.1.0 m B.1.2 m
C.1.5 m D.1.8 m
3.（2025·黑龍江大慶模擬）一個物體從離地某一高度處開始做自由落體運動，該物體第1 s內的位移恰為最后1 s內位移的二分之一，已知重力加速度大小g取10 m/s2，則它開始下落時距落地點的高度為（　　）
A.15 m B.12.5 m
C.11.25 m D.10 m
4.如圖所示為“探究自由落體運動規律”的實驗過程中拍攝的頻閃照片（照片中的數字是小球落下的距離，單位為cm），為了根據照片提供的數據測量當地的重力加速度，一定要記錄的是（　　）
A.小球的直徑
B.小球的質量
C.頻閃光源的頻率
D.小球初速度為零的位置
5.（2025·廣東省部分名校大聯考）氣球上系一物體，以3 m/s的速度自地面勻速上升，當物體上升到離地面的高度h＝10.8 m處時，繩子突然斷了，氣球和物體均可視為質點，取重力加速度g＝10 m/s2，關于繩斷后物體的運動情況，下列說法正確的是（　　）
A.物體將做自由落體運動
B.物體經過1.8 s落到地面
C.物體運動1 s后的速度大小為5 m/s
D.物體落地時的速度大小為4 m/s
6.（2025·河南駐馬店期末）2024年巴黎奧運會跳水女子雙人十米臺比賽，全紅嬋和陳芋汐順利拿下金牌。跳水運動員訓練時從10 m跳臺雙腳朝下自由落下，某同學利用手機的連拍功能，連續拍攝了多張照片，從其中兩張連續的照片中可知，運動員雙腳距離水面的實際高度分別為5.0 m和4.0 m。由此估算手機連拍時間間隔最接近（　　）
A.0.1 s B.0.2 s
C.0.01 s D.0.02 s
7.（2025·哈爾濱市六校聯考）高拋發球是網球發球的一種，是指運動員把網球豎直向上拋出，在網球下降過程中某時刻將網球擊出。若某次豎直拋出的網球在上升的過程中，開始0.6 s內上升的高度與最后0.6 s內上升的高度之比為4∶1，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，則網球（　　）
A.最后0.6 s內上升的高度為2.1 m
B.最初0.6 s中間時刻的速度大小為15 m/s
C.上升過程的時間為1.7 s
D.上升的最大高度為11.25 m
8.（2025·遼寧遼陽期末）如圖所示，小球甲從距離地面高度為h1＝15 m處以速度v0＝10 m/s豎直向上拋出，同時小球乙從距離地面高度為h2＝20 m處開始自由下落，小球運動的過程中不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列說法正確的是（　　）
A.小球乙落地前，甲相對乙做勻變速直線運動
B.兩球運動0.5 s時，距離地面均為18.75 m
C.小球落地前的運動過程中，小球甲、乙的平均速度之比為2∶1
D.小球乙落地時，甲距地面5 m
9.如圖所示，輕桿BC用細繩AB懸掛，桿與繩的全長AC為9.4 m，一同學在C點的正下方D點水平觀察，CD距離為0.4 m。由靜止釋放細繩和輕桿，讓其做自由落體運動，細繩下落的過程中始終保持豎直，取g＝10 m/s2。
（1）求經過多長時間這位同學看到繩的A點？
（2）若又已知細繩從他的眼前通過的時間為0.4 s，則輕桿的長度為多少？
10.將小球A從地面以初速度vA＝40 m/s豎直向上拋出，經過一段時間Δt后，又以初速度vB＝30 m/s將小球B從同一點豎直向上拋出，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，為了使兩個小球能在空中相遇，試分析Δt應滿足的條件。
第3講　自由落體運動和豎直上拋運動
1.C　根據題意可得h＝v0t－gt2，代入數據解得v0＝15 m/s，故選C。
2.D　排球被墊起后經1.2 s又回到原出發點，根據豎直上拋運動的對稱性可知，從最大高度下落到拋出點的時間為t＝0.6 s，則排球被墊起后上升的最大高度為h＝gt2＝1.8 m，故D正確。
3.C　物體第1 s內的位移為h1＝g＝×10×12 m＝5 m，則物體最后1 s內的位移為h2＝2h1＝10 m，設物體下落的總時間為t，則gt2－g（t－1 s）2＝h2，代入數據得t＝1.5 s，則物體開始下落時距落地點的高度為h＝gt2＝×10×1.52 m＝11.25 m，故C正確。
4.C　根據Δx＝gT2得，重力加速度g＝，可知為了測量當地的重力加速度，則需要記錄頻閃光源的頻率，故C正確，A、B、D錯誤。
5.B　物體有豎直向上的初速度，繩斷后物體做豎直上拋運動，并不是做自由落體運動，故A錯誤；取向下為正方向，根據勻變速直線運動位移與時間關系式有h＝－v0t＋gt2，解得t＝1.8 s（另一解舍去），故B正確；物體運動1 s后的速度大小為v＝－v0＋gt1＝7 m/s，故C錯誤；物體落地時的速度大小為v'＝－v0＋gt＝15 m/s，故D錯誤。
6.A　依題意，連續拍照的兩個瞬間，運動員下落的高度分別為h1＝10 m－5.0 m＝5.0 m，h2＝10 m－4.0 m＝6.0 m，根據h＝gt2，解得下落時間分別為t1＝1 s，t2＝ s，由此估算手機連拍時間間隔最接近Δt＝t2－t1＝0.095 s，故A正確，B、C、D錯誤。
7.D　根據題意，由逆向思維可知，豎直上拋最后0.6 s，即自由落體運動開始的前0.6 s，則最后0.6 s內上升的高度為h1＝gt2＝×10×0.62 m＝1.8 m，故A錯誤；最初0.6 s上升的高度為h2＝4h1＝7.2 m，由中間時刻的瞬時速度等于這段時間的平均速度可得，最初0.6 s中間時刻的速度大小為v1＝＝12 m/s，故B錯誤；從最初0.6 s中間時刻到最高點的時間為t＝＝1.2 s，上升過程的時間為t升＝t＋Δt＝1.5 s，上升的最大高度為h＝g＝×10×1.52 m＝11.25 m，故C錯誤，D正確。
8.B　兩球的加速度均為重力加速度，相對加速度為0，則小球乙落地前，甲相對乙向上做勻速直線運動，故A錯誤；兩球運動0.5 s時，根據位移公式有x1＝v0t1－g＝3.75 m，x2＝g＝1.25 m，則距離地面高度h3＝h1＋x1＝18.75 m，h4＝h2－x2＝18.75 m，故B正確；小球落地前的運動過程中，根據－h1＝v0t2－g，h2＝g，解得t2＝3 s，t3＝2 s，小球落地前的運動過程中，小球甲、乙的平均速度大小＝＝5 m/s，＝＝10 m/s，可知，落地前的運動過程中，小球甲、乙的平均速度之比為1∶2，故C錯誤；結合上述分析，小球乙落地時，經歷時間為2 s，則甲的位移x3＝v0t3－g＝0，可知，此時甲回到出發點，即小球乙落地時，甲距地面15 m，故D錯誤。
9.（1）1.4 s　（2）4.6 m
解析：（1）由hAD＝gt2得t＝＝ s＝1.4 s。
（2）B點到達D點經歷時間為t'＝t－Δt＝1 s
故B點下落高度為h'＝gt'2＝×10×12 m＝5 m
故桿長為l＝h'－0.4 m＝4.6 m。
10.2 s＜Δt＜8 s
解析：可以讓小球B拋出后處于上升階段與A球相遇，若小球A剛要落回拋出點的瞬間將小球B拋出，則小球A在空中運動的時間為
tA＝＝ s＝8 s，所以Δt＜8 s。
當小球B緊跟著A拋出，小球B可能在下降階段與A球相遇，當A、B兩小球同時落地時，小球B在空中運動的時間為
tB＝＝ s＝6 s，則Δt＞tA－tB＝2 s。
由此可知，兩球能在空中相遇，Δt滿足的條件為
2 s＜Δt＜8 s。
2 / 2第3講　自由落體運動和豎直上拋運動
自由落體
1.定義：只受　　　　　　作用，由靜止開始（v0＝0），加速度為　　　　的勻加速直線運動。
2.自由落體運動規律
（1）速度公式：v＝　　　　。
（2）位移公式：h＝　　　　　　。
（3）速度與位移關系式：v2＝　　　　。
豎直上拋
1.定義：只受　　　　作用，　　　　　　　　的運動。
2.豎直上拋運動規律
（1）速度公式：v＝　　　　　　。
（2）位移公式：h＝　　　　　　　。
（3）速度與位移關系式：　　　　　　　＝－2gh。
1.物體由某高度從靜止下落一定做自由落體運動。（　　）
2.質量大的物體自由落體時的加速度大。（　　）
3.從水平飛行著的飛機上釋放的物體將做自由落體運動。（　　）
4.做豎直上拋運動的物體，上升到最高點時速度為零而加速度不為零。（　　）
5.做豎直上拋運動的物體，在上升階段速度變化量的方向是向下的。（　　）
　　
1.（2024·廣西高考3題）讓質量為1 kg的石塊P1從足夠高處自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小為v1，再將P1和質量為2 kg的石塊綁為一個整體P2，使P2從原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小為v2，g取10 m/s2，則（　　）
A.v1＝5 m/s B.v1＝10 m/s
C.v2＝15 m/s D.v2＝30 m/s
2.（人教版必修第一冊·第二章第4節“練習與應用”T4改編）有一種“傻瓜”照相機，其光圈（進光孔徑）隨被攝物體的亮度自動調節，而快門（曝光時間）是固定不變的。為估測某架“傻瓜”照相機的曝光時間，實驗者從某磚墻前的高處使一個石子自由落下，拍攝石子在空中的照片如圖所示。由于石子的運動，它在照片上留下了一條模糊的徑跡。已知石子從地面以上2.5 m的高度下落，每塊磚的平均厚度為6 cm，請估算這架照相機的曝光時間（　　）
A.0.01 s B.0.02 s　
C.0.1 s　 D.0.2 s
3.（人教版必修第一冊·第二章第4節“練習與應用”T6改編）
同學們利用如圖所示方法估測反應時間。首先，甲同學捏住直尺上端，使直尺保持豎直狀態，直尺零刻度線位于乙同學的兩指之間。當乙看見甲放開直尺時，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度讀數為x，則乙同學的反應時間為　　　　　　（重力加速度為g）。
基于上述原理，某同學用直尺制作測量反應時間的工具，若測量范圍為0～0.4 s，則所用直尺的長度至少為　　　　　　cm（g取10 m/s2）；若以相等時間間隔在該直尺的另一面標記出表示反應時間的刻度線，則每個時間間隔在直尺上對應的長度是　　　　的（選填“相等”或“不相等”）。
考點一　自由落體運動
對重力加速度的理解
　重力加速度與在地球上的位置及距地面的高度有關，在地球表面上，重力加速度隨緯度的增加而增大，在赤道處最小，在兩極處最大，但差別很小。在地面上的同一地方，重力加速度隨高度的增加而減小，在有限的高度內（即高度h與地球半徑相比可忽略時），可認為其大小不變。在一般的計算中，取g＝9.8 m/s2或取g＝10 m/s2。
關于自由落體運動的加速度g，下列說法中正確的是（　　）
A.質量大的物體的g值大
B.g值在地球上任何地方都一樣大
C.同一地點，不同物體的g值一樣大
D.g值在赤道處大于在北極處
嘗試解答
自由落體運動的規律及應用
1.基本規律
勻變速直線運動 自由落體運動
v＝v0＋at v＝gt
x＝v0t＋ at2 h＝ gt2
v2－＝2ax v2＝2gh
2.推論
勻變速直線運動 自由落體運動
＝＝ ＝＝
＝ ＝ gt
Δx＝aT2 Δh＝gT2
〔多選〕從高度為125 m的塔頂先后自由釋放a、b兩球，自由釋放這兩個球的時間差為1 s，g取10 m/s2，不計空氣阻力，以下判斷正確的是（　　）
A.b球下落高度為20 m時，a球的速度大小為20 m/s
B.a球接觸地面瞬間，b球離地高度為45 m
C.在a球接觸地面之前，兩球的速度差恒定
D.在a球接觸地面之前，兩球離地的高度差恒定
嘗試解答
（2024·江蘇淮安馬壩高級中學質檢）有一質點從某一高度處自由下落，開始的高度用時為t，重力加速度為g，則（　　）
A.物體自由下落高度所用的時間為t
B.物體自由下落高度時的速度為gt
C.物體落地所用的時間為3t
D.物體落地時的速度為gt
嘗試解答
一根長為L的棒，上端懸掛在天花板上的O點，在棒的正下方，距棒的下端也為L處固定著一個高為H的圓筒，如圖所示，棒被釋放后做自由落體運動。求：
（1）棒的下端到達圓筒上端時棒的速度；
（2）棒通過圓筒所用的時間。（重力加速度為g）
嘗試解答
考點二　豎直上拋運動的規律及應用
1.豎直上拋的重要特性
（1）對稱性：如圖所示，物體以初速度v0豎直上拋，A、B為途中的任意兩點，C為最高點。
①時間對稱性：物體上升過程中從A→C所用時間tAC和下降過程中從C→A所用時間tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度對稱性：物體上升過程經過A點的速度與下降過程經過A點的速度大小相等，方向相反。
（2）多解性：在豎直上拋運動中，當物體經過拋出點上方某一位置時，可能處于上升階段，也可能處于下落階段，因此這類問題可能造成時間多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
2.豎直上拋運動的兩種研究方法
（1）分段法：將全過程分為兩個階段，即上升過程的勻減速階段和下落過程的自由落體階段。
（2）全程法：將全過程視為初速度v0向上、加速度g向下的勻變速直線運動，必須注意物理量的矢量性。習慣上取v0的方向為正方向，則v＞0時，物體正在上升；v＜0時，物體正在下降；h＞0時，物體在拋出點上方；h＜0時，物體在拋出點下方。
（2025·貴州黔東南模擬）小明的叔叔是雜技演員，小明平時也跟叔叔學了一些簡單的雜技。如圖所示為小明用一只手拋球、接球的示意圖，他每隔0.5 s拋出一個小球，接到小球后便立即拋出。已知除拋、接球的短暫時間外，空中總共有4個小球，將小球的運動近似看成是豎直方向的運動，重力加速度大小取g＝10 m/s2。若高度從拋球點算起，則小球到達的最大高度是（　　）
A.1.25 m B.2.5 m
C.3.2 m D.5.0 m
嘗試解答
〔多選〕從高為20 m的位置以20 m/s的初速度豎直上拋一物體，g取10 m/s2，當物體與拋出點距離為15 m時，所經歷的時間可能是（　　）
A.1 s B.2 s
C.3 s D.（2＋）s
嘗試解答
把一物體從地面以某一初速度豎直上拋，在運動過程中的某一秒內所發生的位移大小是1 m，空氣阻力不計，重力加速度g取10 m/s2。下列判斷正確的是（　　）
A.這一秒內物體可能一直在上升過程，也可能一直在下降過程
B.這一秒內的路程可能大于5 m
C.這一秒后的下一秒內位移大小可能是11 m
D.這一秒內的平均速度大小是1 m/s，方向一定豎直向上
嘗試解答
中國選手王梓賽和嚴浪宇分別在2024年巴黎奧運會蹦床男子決賽中獲得銀牌和銅牌。為了測量運動員躍起的高度，可在彈性網上安裝壓力傳感器，利用傳感器記錄運動員運動過程中對彈性網的壓力，并由計算機作出壓力—時間圖像，如圖所示。運動員在空中運動時可視為質點，則根據壓力—時間圖像求得的運動員躍起的最大高度為（g取10 m/s2）（　　）
A.7.2 m B.5 m
C.1.8 m D.1.5 m
嘗試解答
自由落體運動和豎直上拋運動的相遇問題
1.同時運動相遇時的位移關系
gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝。
2.上升、下降過程中相遇問題
（1）若在a球上升時兩球相遇，則有t＜，即＜，解得v0＞。
（2）若在a球下降時兩球相遇，則有＜t＜，即＜＜，解得＜v0＜。
〔多選〕（2025·湖北鄂州檢測）
如圖所示黃州青云塔始建于1574年，距今400多年。某物理研究小組測量出塔高為H，甲同學在塔頂讓物體A自由落下，同時乙同學將物體B自塔底以初速度v0豎直上拋，且A、B兩物體在同一直線上運動。下列說法正確的是（　　）
A.若v0＝，則兩物體在地面相遇
B.若v0＝，則兩物體在地面相遇
C.若v0＞，兩物體相遇時，B正在上升途中
D.若＜v0＜，兩物體相遇時，B正在空中下落
嘗試解答
（2025·河南鄭州模擬）
如圖所示，長度為0.55 m的圓筒豎直放在水平地面上，在圓筒正上方距其上端1.25 m處有一小球（可視為質點）。在由靜止釋放小球的同時，將圓筒豎直向上拋出，結果在圓筒落地前的瞬間，小球在圓筒內運動而沒有落地，則圓筒上拋的速度大小可能為（空氣阻力不計，取g＝10 m/s2）（　　）
A.2.3 m/s B.2.6 m/s
C.3.1 m/s D.3.2 m/s
嘗試解答
第3講　自由落體運動和豎直上拋運動
【立足“四層”·夯基礎】
基礎知識梳理
知識點1
1.重力　g　2.（1）gt　（2）gt2　（3）2gh
知識點2
1.重力　初速度方向豎直向上　2.（1）v0－gt
（2）v0t－gt2　（3）v2－
易錯易混辨析
1.×　2.×　3.×　4.√　5.√
雙基落實筑牢
1.B　石塊做自由落體運動，由于自由落體運動的加速度與質量無關，則下落1 s后速度為v1＝v2＝gt＝10 m/s2×1 s＝10 m/s，故選B。
2.B　解法一（公式法）：圖中AB的實際長度為AB＝0.12 m，A到地面的高度h1＝8.5×6 cm＝0.51 m，B到地面的高度h2＝6.5×6 cm＝0.39 m，設開始下落點為O，則hOA＝H－h1＝1.99 m，hOB＝H－h2＝2.11 m。由hOA＝g得t1≈0.63 s，由hOB＝g得t2≈0.65 s。曝光時間約為Δt＝t2－t1＝0.02 s，故B正確。
解法二（估算法）：石子做自由落體運動到A點的速度為v＝≈6.3 m/s。因為0.12 m遠小于1.99 m，故可以近似地將AB段的運動當作勻速直線運動，故曝光時間約為t＝≈0.02 s，故B正確。
3.　80　不相等
解析：由自由落體運動知識可知，x＝gt2，則t＝。根據最長反應時間為0.4 s，可得直尺的最小長度為80 cm。由于自由落體運動是勻變速直線運動，所以相等時間內位移不相等，即直尺上對應的長度不相等。
【著眼“四翼”·探考點】
考點一
【例1】 C　地球上同一地點的重力加速度相等，與物體的質量無關，故A錯誤，C正確；在地球上兩極的重力加速度大于赤道處的重力加速度，故B、D錯誤。
【例2】 BC　a、b兩球均做自由落體運動，b球下落高度為20 m時，其運動的時間t1＝＝ s＝2 s，則a球運動的時間t1'＝t1＋1 s＝3 s，此時a球的速度大小為v＝gt1'＝30 m/s，由gt1'2＝45 m＜125 m，可知此結果符合實際，故A錯誤；a球運動的總時間為t2'＝＝ s＝5 s，則a球接觸地面瞬間，b球運動的時間t2＝t2'－1 s＝4 s，b球的下落高度為h2＝g＝×10×42 m＝80 m，故此時b球離地面的高度為H－h2＝125 m－80 m＝45 m，故B正確；在a球接觸地面之前，以b球為參考系，a球始終以g×1 s＝10 m/s的速度向下運動，則兩球的速度差恒定，設b球下落時間為t；則b球下落的高度hb＝gt2，a球下落的高度ha＝g（t＋1）2，兩球離地的高度差Δh＝ha－hb＝gt＋g，所以隨時間的增大，兩球離地的高度差變大，故C正確，D錯誤。
【例3】 D　設整個過程下落高度為h，由題意可得h＝gt2，則物體自由下落高度為h時，滿足h＝gt'2，解得t'＝t，A錯誤；物體自由下落高度時的速度為v'＝gt'＝gt，B錯誤；物體落地過程滿足h＝gt″2，解得物體落地所用的時間為t″＝t，C錯誤；物體落地時的速度為v″＝gt″＝gt，D正確。
【例4】 （1）　（2）
解析：（1）由v2＝2gL得v＝。
（2）棒的下端到達圓筒上端所用的時間為t2＝
棒從開始下落到其上端剛好通過圓筒下端所用的時間為t1＝
則棒通過圓筒所用的時間為t＝t1－t2＝。
考點二
【例5】 D　根據豎直上拋的對稱性可知，空中的四個球，有兩個在上升，兩個在下降，由于每隔0.5 s拋一個小球，則從拋出到最高點的時間為t＝1 s，則小球上升的最大高度為h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，故選D。
【例6】 ACD　取豎直向上為正方向，則初速度v0＝20 m/s，當物體運動到拋出點上方離拋出點15 m處時，位移為x＝15 m，由豎直上拋運動的位移與時間關系式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；當物體運動到拋出點下方離拋出點15 m處時，位移為x'＝－15 m，由x'＝v0t－gt2，解得t3＝（2＋）s或t4＝（2－）s（負值舍去），A、C、D正確，B錯誤。
【例7】 C　若這一秒內物體一直在上升過程，或者一直在下降過程，則一秒內的最小位移h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，則這一秒內物體不可能一直在上升過程，也不可能一直在下降過程，A錯誤；這一秒肯定是在上升到最高點后再下降一段時間，設上升時間為t，則下降時間為（1－t）s，則gt2－g（1－t）2＝1 m，解得t＝0.6 s，即物體可能上升0.6 s到最高點再下降0.4 s，或者上升0.4 s再下降0.6 s，此時這一秒的路程為s＝g×（0.6 s）2＋g×（0.4 s）2＝2.6 m，這一秒內的路程不可能大于5 m，B錯誤；若物體上升0.4 s再下降0.6 s，則此時物體的速度為6 m/s，方向向下，則下一秒內物體的位移大小x'＝6×1 m＋×10×12 m＝11 m，C正確；這一秒內的平均速度大小是＝＝1 m/s，方向可能豎直向上，也可能豎直向下，D錯誤。
【例8】 B　由壓力—時間關系圖像可知，運動員離開網后運動的最長時間為2.0 s，由豎直上拋的對稱性可知運動員躍起的最大高度為h＝＝5 m，選項B正確。
【聚焦“素養”·提能力】
【典例1】 BCD　若物體B正好運動到最高點時兩物體相遇，則物體B速度減小為零所用的時間t＝，此時A下落的高度h＝gt2，B上升的高度hB＝，且hA＋hB＝H，解得v0＝；若A、B兩物體恰好在落地時相遇，則有t＝，此時A下落的高度hA＝gt2＝H，解得v0＝。所以若v0＝，則物體B運動到最高點時兩物體相遇，A錯誤；若v0＝，則兩物體在地面相遇，B正確；若v0＞，則兩物體在B上升途中相遇，C正確；若＜v0＜，則兩物體在B下落途中相遇，D正確。
【典例2】 B　小球從釋放到落地共用時t1＝＝ s＝0.6 s，小球從釋放到下落1.25 m共用時t2＝＝ s＝0.5 s，設圓筒上拋的初速度為v0，則圓筒在空中的運動時間為t3＝，要使圓筒落地前的瞬間小球在圓筒內運動而沒有落地，則圓筒的運動時間要小于小球的總運動時間，還要大于小球從釋放到下落1.25 m所用時間，即t2＜t3＜t1，則0.5 s＜＜0.6 s，解得2.5 m/s＜v0＜3 m/s，故選B。
6 / 6(共57張PPT)
第3講　自由落體運動和豎直上拋運動
高中總復習·物理
目 錄
01
立足”四層”·夯基礎
02
著眼“四翼”·探考點
03
聚焦“素養”·提能力
04
培養“思維”·重落實
概念 公式 定理
立足“四層”·夯基礎
自由落體
1. 定義：只受 作用，由靜止開始（v0＝0），加速度為 的勻
加速直線運動。
2. 自由落體運動規律
重力　
g　
（1）速度公式：v＝ 。
（2）位移公式：h＝ 。
（3）速度與位移關系式：v2＝ 。
gt　
gt2　
2gh　
豎直上拋
1. 定義：只受 作用， 的運動。
2. 豎直上拋運動規律
（1）速度公式：v＝ 。
（2）位移公式：h＝ 。
（3）速度與位移關系式： ＝－2gh。
重力　
初速度方向豎直向上　
v0－gt　
v0t－gt2　
v2－　
1. 物體由某高度從靜止下落一定做自由落體運動。 （　×　）
2. 質量大的物體自由落體時的加速度大。 （　×　）
3. 從水平飛行著的飛機上釋放的物體將做自由落體運動。 （　×　）
4. 做豎直上拋運動的物體，上升到最高點時速度為零而加速度不為零。
（　√　）
5. 做豎直上拋運動的物體，在上升階段速度變化量的方向是向下的。
（　√　）
×
×
×
√
√
1. （2024·廣西高考3題）讓質量為1 kg的石塊P1從足夠高處自由下落，P1
在下落的第1 s末速度大小為v1，再將P1和質量為2 kg的石塊綁為一個整體
P2，使P2從原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小為v2，g取10
m/s2，則（　　）
A. v1＝5 m/s B. v1＝10 m/s
C. v2＝15 m/s D. v2＝30 m/s
解析： 　石塊做自由落體運動，由于自由落體運動的加速度與質量無
關，則下落1 s后速度為v1＝v2＝gt＝10 m/s2×1 s＝10 m/s，故選B。
√
2. （人教版必修第一冊·第二章第4節“練習與應用”T4改編）
有一種“傻瓜”照相機，其光圈（進光孔徑）隨被攝物體的
亮度自動調節，而快門（曝光時間）是固定不變的。為估測
某架“傻瓜”照相機的曝光時間，實驗者從某磚墻前的高處
使一個石子自由落下，拍攝石子在空中的照片如圖所示。由
于石子的運動，它在照片上留下了一條模糊的徑跡。已知石子從地面以上2.5 m的高度下落，每塊磚的平均厚度為6 cm，請估算這架照相機的曝光時間（　　）
A. 0.01 s B. 0.02 s
C. 0.1 s D. 0.2 s
√
解析： 　解法一（公式法）：圖中AB的實際長度為AB＝0.12 m，A到地
面的高度h1＝8.5×6 cm＝0.51 m，B到地面的高度h2＝6.5×6 cm＝0.39
m，設開始下落點為O，則hOA＝H－h1＝1.99 m，hOB＝H－h2＝2.11 m。由
hOA＝g得t1≈0.63 s，由hOB＝g得t2≈0.65 s。曝光時間約為Δt＝t2－
t1＝0.02 s，故B正確。
解法二（估算法）：石子做自由落體運動到A點的速度為v＝≈6.3
m/s。因為0.12 m遠小于1.99 m，故可以近似地將AB段的運動當作勻速直
線運動，故曝光時間約為t＝≈0.02 s，故B正確。
3. （人教版必修第一冊·第二章第4節“練習與應用”
T6改編）同學們利用如圖所示方法估測反應時間。
首先，甲同學捏住直尺上端，使直尺保持豎直狀態，
直尺零刻度線位于乙同學的兩指之間。當乙看見甲
放開直尺時，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻
度讀數為x，則乙同學的反應時間為 （重力加速度為g）。
基于上述原理，某同學用直尺制作測量反應時間的工具，若測量范圍為
0～0.4 s，則所用直尺的長度至少為 cm（g取10 m/s2）；若以相等時
間間隔在該直尺的另一面標記出表示反應時間的刻度線，則每個時間間隔
在直尺上對應的長度是 的（選填“相等”或“不相等”）。
　
80　
不相等　
解析：由自由落體運動知識可知，x＝gt2，則t＝。根據最長反應時間
為0.4 s，可得直尺的最小長度為80 cm。由于自由落體運動是勻變速直線
運動，所以相等時間內位移不相等，即直尺上對應的長度不相等。
題型 規律 方法
著眼“四翼”·探考點
考點一　自由落體運動
對重力加速度的理解
　重力加速度與在地球上的位置及距地面的高度有關，在地球表面上，重
力加速度隨緯度的增加而增大，在赤道處最小，在兩極處最大，但差別很
小。在地面上的同一地方，重力加速度隨高度的增加而減小，在有限的高
度內（即高度h與地球半徑相比可忽略時），可認為其大小不變。在一般
的計算中，取g＝9.8 m/s2或取g＝10 m/s2。
關于自由落體運動的加速度g，下列說法中正確的是（　　）
A. 質量大的物體的g值大
B. g值在地球上任何地方都一樣大
C. 同一地點，不同物體的g值一樣大
D. g值在赤道處大于在北極處
解析：地球上同一地點的重力加速度相等，與物體的質量無關，故A錯
誤，C正確；在地球上兩極的重力加速度大于赤道處的重力加速度，故B、
D錯誤。
√
自由落體運動的規律及應用
1. 基本規律
勻變速直線運動 自由落體運動
v＝v0＋at v＝gt
x＝v0t＋ at2 h＝ gt2
v2－＝2ax v2＝2gh
2. 推論
勻變速直線運動 自由落體運動
＝＝ ＝＝
＝ ＝ gt
Δx＝aT2 Δh＝gT2
〔多選〕從高度為125 m的塔頂先后自由釋放a、b兩球，自由釋放這
兩個球的時間差為1 s，g取10 m/s2，不計空氣阻力，以下判斷正確的是
（　　）
A. b球下落高度為20 m時，a球的速度大小為20 m/s
B. a球接觸地面瞬間，b球離地高度為45 m
C. 在a球接觸地面之前，兩球的速度差恒定
D. 在a球接觸地面之前，兩球離地的高度差恒定
√
√
解析：a、b兩球均做自由落體運動，b球下落高度為20 m時，其運動的時
間t1＝＝ s＝2 s，則a球運動的時間t1'＝t1＋1 s＝3 s，此時a球的
速度大小為v＝gt1'＝30 m/s，由gt1'2＝45 m＜125 m，可知此結果符合實
際，故A錯誤；a球運動的總時間為t2'＝＝ s＝5 s，則a球接觸地
面瞬間，b球運動的時間t2＝t2'－1 s＝4 s，b球的下落高度為h2＝g＝
×10×42 m＝80 m，故此時b球離地面的高度為H－h2＝125 m－80 m＝45
m，故B正確；
在a球接觸地面之前，以b球為參考系，a球始終以g×1 s＝10 m/s的速度向
下運動，則兩球的速度差恒定，設b球下落時間為t；則b球下落的高度hb＝
gt2，a球下落的高度ha＝g（t＋1）2，兩球離地的高度差Δh＝ha－hb＝gt
＋g，所以隨時間的增大，兩球離地的高度差變大，故C正確，D錯誤。
（2024·江蘇淮安馬壩高級中學質檢）有一質點從某一高度處自由下
落，開始的高度用時為t，重力加速度為g，則（　　）
A. 物體自由下落高度所用的時間為t
B. 物體自由下落高度時的速度為gt
C. 物體落地所用的時間為3t
D. 物體落地時的速度為gt
√
解析：設整個過程下落高度為h，由題意可得h＝gt2，則物體自由下落高
度為h時，滿足h＝gt'2，解得t'＝t，A錯誤；物體自由下落高度時的速
度為v'＝gt'＝gt，B錯誤；物體落地過程滿足h＝gt″2，解得物體落地所用
的時間為t″＝t，C錯誤；物體落地時的速度為v″＝gt″＝gt，D正確。
一根長為L的棒，上端懸掛在天花板上的O點，在棒的正下方，距棒的下端也為L處固定著一個高為H的圓筒，如圖所示，棒被釋放后做自由落體運動。求：
（1）棒的下端到達圓筒上端時棒的速度；
答案： 　
解析： 由v2＝2gL得v＝。
（2）棒通過圓筒所用的時間。（重力加速度為g）
答案：
解析： 棒的下端到達圓筒上端所用的時間為t2＝
棒從開始下落到其上端剛好通過圓筒下端所用的時間為t1＝
則棒通過圓筒所用的時間為t＝t1－t2＝。
考點二　豎直上拋運動的規律及應用
1. 豎直上拋的重要特性
（1）對稱性：如圖所示，物體以初速度v0豎直上拋，A、B為途中的任意
兩點，C為最高點。
①時間對稱性：物體上升過程中從A→C所用時間tAC和下降過程中從C→A
所用時間tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度對稱性：物體上升過程經過A點的速度與下降過程經過A點的速度大
小相等，方向相反。
（2）多解性：在豎直上拋運動中，當物體經過拋出點上方某一位置時，
可能處于上升階段，也可能處于下落階段，因此這類問題可能造成時間多
解或者速度多解，也可能造成路程多解。
2. 豎直上拋運動的兩種研究方法
（1）分段法：將全過程分為兩個階段，即上升過程的勻減速階段和下落
過程的自由落體階段。
（2）全程法：將全過程視為初速度v0向上、加速度g向下的勻變速直線運
動，必須注意物理量的矢量性。習慣上取v0的方向為正方向，則v＞0時，
物體正在上升；v＜0時，物體正在下降；h＞0時，物體在拋出點上方；h＜
0時，物體在拋出點下方。
（2025·貴州黔東南模擬）小明的叔叔是雜技演員，小明平時也跟叔
叔學了一些簡單的雜技。如圖所示為小明用一只手拋球、接球的示意圖，
他每隔0.5 s拋出一個小球，接到小球后便立即拋出。已知除拋、接球的短
暫時間外，空中總共有4個小球，將小球的運動近似看成是豎直方向的運
動，重力加速度大小取g＝10 m/s2。若高度從拋球點算起，則小球到達的
最大高度是（　　）
A. 1.25 m
B. 2.5 m
C. 3.2 m
D. 5.0 m
√
解析：根據豎直上拋的對稱性可知，空中的四個球，有兩個在上升，兩個
在下降，由于每隔0.5 s拋一個小球，則從拋出到最高點的時間為t＝1 s，
則小球上升的最大高度為h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，故選D。
〔多選〕從高為20 m的位置以20 m/s的初速度豎直上拋一物體，g取
10 m/s2，當物體與拋出點距離為15 m時，所經歷的時間可能是（　　）
A. 1 s B. 2 s
C. 3 s D. （2＋）s
√
√
√
解析：取豎直向上為正方向，則初速度v0＝20 m/s，當物體運動到拋出點
上方離拋出點15 m處時，位移為x＝15 m，由豎直上拋運動的位移與時間
關系式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；當物體運動到拋出點下方離
拋出點15 m處時，位移為x'＝－15 m，由x'＝v0t－gt2，解得t3＝（2＋）
s或t4＝（2－）s（負值舍去），A、C、D正確，B錯誤。
把一物體從地面以某一初速度豎直上拋，在運動過程中的某一秒內所
發生的位移大小是1 m，空氣阻力不計，重力加速度g取10 m/s2。下列判斷
正確的是（　　）
A. 這一秒內物體可能一直在上升過程，也可能一直在下降過程
B. 這一秒內的路程可能大于5 m
C. 這一秒后的下一秒內位移大小可能是11 m
D. 這一秒內的平均速度大小是1 m/s，方向一定豎直向上
√
解析：若這一秒內物體一直在上升過程，或者一直在下降過程，則一秒內
的最小位移h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，則這一秒內物體不可能一直在上
升過程，也不可能一直在下降過程，A錯誤；這一秒肯定是在上升到最高
點后再下降一段時間，設上升時間為t，則下降時間為（1－t）s，則gt2－
g（1－t）2＝1 m，解得t＝0.6 s，即物體可能上升0.6 s到最高點再下降
0.4 s，或者上升0.4 s再下降0.6 s，此時這一秒的路程為s＝g×（0.6 s）2
＋g×（0.4 s）2＝2.6 m，這一秒內的路程不可能大于5 m，B錯誤；若物體上升0.4 s再下降0.6 s，則此時物體的速度為6 m/s，方向向下，則下一秒內物體的位移大小x'＝6×1 m＋×10×12 m＝11 m，C正確；這一秒內的平均速度大小是＝＝1 m/s，方向可能豎直向上，也可能豎直向下，D錯誤。
中國選手王梓賽和嚴浪宇分別在2024年巴黎奧運會蹦床男子決賽中獲
得銀牌和銅牌。為了測量運動員躍起的高度，可在彈性網上安裝壓力傳感
器，利用傳感器記錄運動員運動過程中對彈性網的壓力，并由計算機作出
壓力—時間圖像，如圖所示。運動員在空中運動時可視為質點，則根據壓
力—時間圖像求得的運動員躍起的最大高度為（g取10 m/s2）（　　）
A. 7.2 m B. 5 m C. 1.8 m D. 1.5 m
√
解析：由壓力—時間關系圖像可知，運動員離開網后運動的最長時間為
2.0 s，由豎直上拋的對稱性可知運動員躍起的最大高度為h＝＝5 m，
選項B正確。
現實 科技 應用
聚焦“素養”·提能力
自由落體運動和豎直上拋運動的相遇問題
1. 同時運動相遇時的位移關系
gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝。
2. 上升、下降過程中相遇問題
（1）若在a球上升時兩球相遇，則有t＜，即＜，解得v0＞。
（2）若在a球下降時兩球相遇，則有＜t＜，即＜＜，解得
＜v0＜。
〔多選〕（2025·湖北鄂州檢測）如圖所示黃州青云塔始建于1574
年，距今400多年。某物理研究小組測量出塔高為H，甲同學在塔頂讓物體
A自由落下，同時乙同學將物體B自塔底以初速度v0豎直上拋，且A、B兩物
體在同一直線上運動。下列說法正確的是（　　）
A. 若v0＝，則兩物體在地面相遇
B. 若v0＝，則兩物體在地面相遇
C. 若v0＞，兩物體相遇時，B正在上升途中
D. 若＜v0＜，兩物體相遇時，B正在空中下落
√
√
√
解析：若物體B正好運動到最高點時兩物體相遇，則物體B速度減小為零所
用的時間t＝，此時A下落的高度h＝gt2，B上升的高度hB＝，且hA＋hB
＝H，解得v0＝；若A、B兩物體恰好在落地時相遇，則有t＝，此時
A下落的高度hA＝gt2＝H，解得v0＝。所以若v0＝，則物體B運動
到最高點時兩物體相遇，A錯誤；若v0＝，則兩物體在地面相遇，B正
確；若v0＞，則兩物體在B上升途中相遇，C正確；若＜v0＜，則兩物體在B下落途中相遇，D正確。
（2025·河南鄭州模擬）如圖所示，長度為0.55 m的圓筒豎直放在
水平地面上，在圓筒正上方距其上端1.25 m處有一小球（可視為質點）。
在由靜止釋放小球的同時，將圓筒豎直向上拋出，結果在圓筒落地前的瞬
間，小球在圓筒內運動而沒有落地，則圓筒上拋的速度大小可能為（空氣
阻力不計，取g＝10 m/s2）（　　）
A. 2.3 m/s
B. 2.6 m/s
C. 3.1 m/s
D. 3.2 m/s1
√
解析：小球從釋放到落地共用時t1＝＝ s＝0.6 s，小球
從釋放到下落1.25 m共用時t2＝＝ s＝0.5 s，設圓筒上拋的初
速度為v0，則圓筒在空中的運動時間為t3＝，要使圓筒落地前的瞬間小
球在圓筒內運動而沒有落地，則圓筒的運動時間要小于小球的總運動時
間，還要大于小球從釋放到下落1.25 m所用時間，即t2＜t3＜t1，則0.5 s＜
＜0.6 s，解得2.5 m/s＜v0＜3 m/s，故選B。
培養“思維”·重落實
夯基 提能 升華
1. （2025·吉林長春期末）將一個物體以v0豎直上拋，經過2 s到達正上方
10 m處，忽略空氣阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，則（　　）
A. v0＝5 m/s B. v0＝10 m/s
C. v0＝15 m/s D. v0＝20 m/s
解析： 　根據題意可得h＝v0t－gt2，代入數據解得v0＝15 m/s，故選C。
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√
2. （2025·河北承德期末）體育課上同學們在練習排球，某同學將排球豎
直向上墊起后，經1.2 s排球又回到原出發點，g取10 m/s2，則排球被墊起
后上升的最大高度為（不計空氣阻力）（　　）
A. 1.0 m B. 1.2 m
C. 1.5 m D. 1.8 m
解析： 　排球被墊起后經1.2 s又回到原出發點，根據豎直上拋運動的對
稱性可知，從最大高度下落到拋出點的時間為t＝0.6 s，則排球被墊起后上
升的最大高度為h＝gt2＝1.8 m，故D正確。
√
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3. （2025·黑龍江大慶模擬）一個物體從離地某一高度處開始做自由落體
運動，該物體第1 s內的位移恰為最后1 s內位移的二分之一，已知重力加速
度大小g取10 m/s2，則它開始下落時距落地點的高度為（　　）
A. 15 m B. 12.5 m
C. 11.25 m D. 10 m
解析： 　物體第1 s內的位移為h1＝g＝×10×12 m＝5 m，則物體最
后1 s內的位移為h2＝2h1＝10 m，設物體下落的總時間為t，則gt2－g（t－
1 s）2＝h2，代入數據得t＝1.5 s，則物體開始下落時距落地點的高度為h＝
gt2＝×10×1.52 m＝11.25 m，故C正確。
√
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4. 如圖所示為“探究自由落體運動規律”的實驗過程中拍攝的頻閃照片
（照片中的數字是小球落下的距離，單位為cm），為了根據照片提供的數
據測量當地的重力加速度，一定要記錄的是（　　）
A. 小球的直徑
B. 小球的質量
C. 頻閃光源的頻率
D. 小球初速度為零的位置
解析： 　根據Δx＝gT2得，重力加速度g＝，可知為了測量當地的重力
加速度，則需要記錄頻閃光源的頻率，故C正確，A、B、D錯誤。
√
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5. （2025·廣東省部分名校大聯考）氣球上系一物體，以3 m/s的速度自地
面勻速上升，當物體上升到離地面的高度h＝10.8 m處時，繩子突然斷
了，氣球和物體均可視為質點，取重力加速度g＝10 m/s2，關于繩斷后物
體的運動情況，下列說法正確的是（　　）
A. 物體將做自由落體運動
B. 物體經過1.8 s落到地面
C. 物體運動1 s后的速度大小為5 m/s
D. 物體落地時的速度大小為4 m/s
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解析： 　物體有豎直向上的初速度，繩斷后物體做豎直上拋運動，并不
是做自由落體運動，故A錯誤；取向下為正方向，根據勻變速直線運動位
移與時間關系式有h＝－v0t＋gt2，解得t＝1.8 s（另一解舍去），故B正
確；物體運動1 s后的速度大小為v＝－v0＋gt1＝7 m/s，故C錯誤；物體落地
時的速度大小為v'＝－v0＋gt＝15 m/s，故D錯誤。
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6. （2025·河南駐馬店期末）2024年巴黎奧運會跳水女子雙人十米臺比
賽，全紅嬋和陳芋汐順利拿下金牌。跳水運動員訓練時從10 m跳臺雙腳朝
下自由落下，某同學利用手機的連拍功能，連續拍攝了多張照片，從其中
兩張連續的照片中可知，運動員雙腳距離水面的實際高度分別為5.0 m和
4.0 m。由此估算手機連拍時間間隔最接近（　　）
A. 0.1 s B. 0.2 s
C. 0.01 s D. 0.02 s
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解析： 　依題意，連續拍照的兩個瞬間，運動員下落的高度分別為h1＝
10 m－5.0 m＝5.0 m，h2＝10 m－4.0 m＝6.0 m，根據h＝gt2，解得下落
時間分別為t1＝1 s，t2＝ s，由此估算手機連拍時間間隔最接近Δt＝t2－
t1＝0.095 s，故A正確，B、C、D錯誤。
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7. （2025·哈爾濱市六校聯考）高拋發球是網球發球的一種，是指運動員
把網球豎直向上拋出，在網球下降過程中某時刻將網球擊出。若某次豎直
拋出的網球在上升的過程中，開始0.6 s內上升的高度與最后0.6 s內上升的
高度之比為4∶1，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，則網球（　　）
A. 最后0.6 s內上升的高度為2.1 m
B. 最初0.6 s中間時刻的速度大小為15 m/s
C. 上升過程的時間為1.7 s
D. 上升的最大高度為11.25 m
√
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解析： 　根據題意，由逆向思維可知，豎直上拋最后0.6 s，即自由落體
運動開始的前0.6 s，則最后0.6 s內上升的高度為h1＝gt2＝×10×0.62 m
＝1.8 m，故A錯誤；最初0.6 s上升的高度為h2＝4h1＝7.2 m，由中間時刻
的瞬時速度等于這段時間的平均速度可得，最初0.6 s中間時刻的速度大小
為v1＝＝12 m/s，故B錯誤；從最初0.6 s中間時刻到最高點的時間為t＝
＝1.2 s，上升過程的時間為t升＝t＋Δt＝1.5 s，上升的最大高度為h＝
g＝×10×1.52 m＝11.25 m，故C錯誤，D正確。
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8. （2025·遼寧遼陽期末）如圖所示，小球甲從距離地面高度為h1＝15 m處
以速度v0＝10 m/s豎直向上拋出，同時小球乙從距離地面高度為h2＝20 m處
開始自由下落，小球運動的過程中不計空氣阻力，重力加速度g取10
m/s2，下列說法正確的是（　　）
A. 小球乙落地前，甲相對乙做勻變速直線運動
B. 兩球運動0.5 s時，距離地面均為18.75 m
C. 小球落地前的運動過程中，小球甲、乙的平均速度之比為2∶1
D. 小球乙落地時，甲距地面5 m
√
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解析： 　兩球的加速度均為重力加速度，相對加速度為0，則小球乙落地
前，甲相對乙向上做勻速直線運動，故A錯誤；兩球運動0.5 s時，根據位
移公式有x1＝v0t1－g＝3.75 m，x2＝g＝1.25 m，則距離地面高度h3
＝h1＋x1＝18.75 m，h4＝h2－x2＝18.75 m，故B正確；小球落地前的運動
過程中，根據－h1＝v0t2－g，h2＝g，解得t2＝3 s，t3＝2 s，小球落
地前的運動過程中，小球甲、乙的平均速度大小＝＝5 m/s，＝＝
10 m/s，可知，落地前的運動過程中，小球甲、乙的平均速度之比為
1∶2，故C錯誤；結合上述分析，小球乙落地時，經歷時間為2 s，則甲的位移x3＝v0t3－g＝0，可知，此時甲回到出發點，即小球乙落地時，甲距地面15 m，故D錯誤。
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9. 如圖所示，輕桿BC用細繩AB懸掛，桿與繩的全長AC為9.4 m，一同學在C點的正下方D點水平觀察，CD距離為0.4 m。由靜止釋放細繩和輕桿，讓其做自由落體運動，細繩下落的過程中始終保持豎直，取g＝10 m/s2。
（1）求經過多長時間這位同學看到繩的A點？
答案： 1.4 s　
解析： 由hAD＝gt2得t＝＝ s＝1.4 s。
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（2）若又已知細繩從他的眼前通過的時間為0.4 s，則輕桿的長度為多
少？
答案： 4.6 m
解析： B點到達D點經歷時間為t'＝t－Δt＝1 s
故B點下落高度為h'＝gt'2＝×10×12 m＝5 m
故桿長為l＝h'－0.4 m＝4.6 m。
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10. 將小球A從地面以初速度vA＝40 m/s豎直向上拋出，經過一段時間
Δt后，又以初速度vB＝30 m/s將小球B從同一點豎直向上拋出，不計空
氣阻力，取g＝10 m/s2，為了使兩個小球能在空中相遇，試分析Δt應滿
足的條件。
答案：2 s＜Δt＜8 s
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解析：可以讓小球B拋出后處于上升階段與A球相遇，若小球A剛要落回拋
出點的瞬間將小球B拋出，則小球A在空中運動的時間為
tA＝＝ s＝8 s，所以Δt＜8 s。
當小球B緊跟著A拋出，小球B可能在下降階段與A球相遇，當A、B兩小球
同時落地時，小球B在空中運動的時間為
tB＝＝ s＝6 s，則Δt＞tA－tB＝2 s。
由此可知，兩球能在空中相遇，Δt滿足的條件為
2 s＜Δt＜8 s。
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