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物理
第講　專題：功能關(guān)系　能量守恒定律
考點(diǎn)一　常見的功能關(guān)系
1．對(duì)功與能的理解
(1)做功的過(guò)程就是能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程。不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化是通過(guò)做功來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
(2)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功和能的關(guān)系，一是體現(xiàn)在不同的力做功，對(duì)應(yīng)不同形式的能轉(zhuǎn)化，具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，二是做功的多少與能量轉(zhuǎn)化的多少在數(shù)值上相等。
2．力學(xué)中常見的功能關(guān)系
力做功 能的變化 定性和定量關(guān)系
重力做功 重力勢(shì)能變化 (1)重力做正功，重力勢(shì)能減少； (2)重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加； (3)WG＝－ΔEpG＝EpG1－EpG2
彈簧彈力做功 彈性勢(shì)能變化 (1)彈力做正功，彈性勢(shì)能減少； (2)彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加； (3)W彈＝－ΔEp彈＝Ep彈1－Ep彈2
合力做功 動(dòng)能變化 (1)合力做正功，動(dòng)能增加； (2)合力做負(fù)功，動(dòng)能減少； (3)W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk
除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力之外的其他力做功　　　 機(jī)械能變化 (1)其他力做正功，機(jī)械能增加； (2)其他力做負(fù)功，機(jī)械能減少； (3)W其他＝ΔE機(jī)
3．功能關(guān)系在圖像中的應(yīng)用
根據(jù)功能關(guān)系可知：
(1)重力勢(shì)能與高度的EpG h關(guān)系圖像的斜率的絕對(duì)值為G。
(2)彈簧彈性勢(shì)能與形變量的Ep彈 x關(guān)系圖像的斜率的絕對(duì)值為F彈。
(3)動(dòng)能與位移的Ek x關(guān)系圖像的斜率為F合。
(4)機(jī)械能與位移的E機(jī) x關(guān)系圖像的斜率為F其他。
例1　(2025·河南省安陽(yáng)市林州市一中高三上10月月考)升降機(jī)底板上放一質(zhì)量為100 kg的物體，物體隨升降機(jī)由靜止開始豎直向上移動(dòng)5 m時(shí)速度達(dá)到4 m/s，則此過(guò)程中(g取10 m/s2)(　　)
A．升降機(jī)對(duì)物體做功5800 J B．合外力對(duì)物體做功5800 J
C．物體的重力勢(shì)能增加500 J D．物體的機(jī)械能增加800 J
例2　(2022·江蘇高考)某滑雪賽道如圖所示，滑雪運(yùn)動(dòng)員從靜止開始沿斜面下滑，經(jīng)圓弧滑道起跳。將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦力及空氣阻力，此過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系圖像正確的是(　　)
考點(diǎn)二　摩擦力的功能關(guān)系
兩種摩擦力的做功情況比較
　　類別 比較 靜摩擦力 滑動(dòng)摩擦力
不同點(diǎn) 能量的轉(zhuǎn)化方面 在靜摩擦力做功的過(guò)程中，只有機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體(靜摩擦力起著傳遞機(jī)械能的作用)，而沒有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量 (1)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體通過(guò)滑動(dòng)摩擦力做功，將部分機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體； (2)部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機(jī)械能損失的能量
一對(duì)摩擦力的總功方面 一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零 一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體系統(tǒng)所做的總功，等于摩擦力與兩個(gè)物體相對(duì)路程的乘積且為負(fù)功，即WFf＝－Ff·l相對(duì)，表示物體克服摩擦力做功，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)變成內(nèi)能
相同點(diǎn) 正功、負(fù)功、不做功方面 兩種摩擦力對(duì)物體都可以做正功、負(fù)功，還可以不做功
例3　如圖所示，質(zhì)量M＝2 kg、長(zhǎng)L＝0．6 m的木板靜止放置于光滑水平地面上，一質(zhì)量為m＝1 kg的物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))以速度v0＝3 m/s從左端沖上木板，物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為f＝5 N。當(dāng)物塊滑至木板最右端時(shí)，兩者恰好達(dá)到共同速度。求：
(1)共同速度v的大??；
(2)摩擦力對(duì)物塊做的功W；
(3)由于物塊與木板的摩擦產(chǎn)生的熱量Q。
滑塊—木板模型功能問(wèn)題求解的關(guān)鍵 如圖所示，求解滑塊—木板模型的功能問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要區(qū)分三個(gè)位移： (1)求摩擦力對(duì)滑塊做的功時(shí)，用滑塊相對(duì)地面的位移x滑。 (2)求摩擦力對(duì)木板做的功時(shí)，用木板相對(duì)地面的位移x板。 (3)求摩擦生熱時(shí)用相對(duì)位移Δx。
例4　(多選)如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ＝30°，傳送帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持1 m/s的速度順時(shí)針運(yùn)行?，F(xiàn)把一質(zhì)量為5 kg的工件(可視為質(zhì)點(diǎn))輕放在傳送帶的底端，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間工件與傳送帶達(dá)到共同速度后繼續(xù)傳送到4 m高處。已知工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為10 m/s2，則在此過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．工件加速過(guò)程的時(shí)間為0．8 s
B．傳送帶對(duì)工件做的功為202．5 J
C．工件與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量為7．5 J
D．電動(dòng)機(jī)因傳送工件多做的功為120 J
傳送帶模型功能問(wèn)題求解的關(guān)鍵 (1)傳送帶克服摩擦力做的功：W＝Ffx傳。 (2)系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能：Q＝Ffs相對(duì)，s相對(duì)表示相對(duì)路程。 (3)電動(dòng)機(jī)因傳送帶傳送物體而多做的功：W電＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被傳送物體動(dòng)能的增量，ΔEp表示被傳送物體重力勢(shì)能的增量，Q表示因摩擦而產(chǎn)生的熱量。
考點(diǎn)三　能量守恒定律
1．能量守恒定律的內(nèi)容：能量既不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為其他形式，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到別的物體，在轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的過(guò)程中，能量的總量保持不變。
2．能量守恒定律的適用范圍：能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適用的一條規(guī)律。
3．對(duì)能量守恒定律的理解
(1)某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
(2)某個(gè)物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
4．應(yīng)用能量守恒定律解題的思路
(1)分清有多少形式的能(動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能等)發(fā)生變化。
(2)明確哪種形式的能量增加，哪種形式的能量減少，并且列出減少的能量總和ΔE減和增加的能量總和ΔE增的表達(dá)式。
(3)列出能量守恒關(guān)系式ΔE減＝ΔE增。
例5　(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的左端固定，并處于自然狀態(tài)。小物塊的質(zhì)量為m，從A點(diǎn)向左沿水平地面運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后被彈回，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)恰好靜止。物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過(guò)程中(　　)
A．彈簧的最大彈力為μmg
B．物塊克服摩擦力做的功為2μmgs
C．彈簧的最大彈性勢(shì)能為μmgs
D．物塊在A點(diǎn)的初速度為
能量問(wèn)題的解題依據(jù) (1)當(dāng)涉及滑動(dòng)摩擦力做功，機(jī)械能不守恒時(shí)，一般應(yīng)用能量守恒定律。 (2)在涉及彈簧彈力做功的能量問(wèn)題中，兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過(guò)程，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律；如果有其他外力做功，一般選用能量守恒定律或動(dòng)能定理求解。
例6　(2024·江西高考)“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天?！笔抢畎讓?duì)廬山瀑布的浪漫主義描寫。設(shè)瀑布的水流量約為10 m3/s，水位落差約為150 m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為(　　)
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W
考點(diǎn)一　常見的功能關(guān)系（解析版）
1．對(duì)功與能的理解
(1)做功的過(guò)程就是能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程。不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化是通過(guò)做功來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
(2)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功和能的關(guān)系，一是體現(xiàn)在不同的力做功，對(duì)應(yīng)不同形式的能轉(zhuǎn)化，具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，二是做功的多少與能量轉(zhuǎn)化的多少在數(shù)值上相等。
2．力學(xué)中常見的功能關(guān)系
力做功 能的變化 定性和定量關(guān)系
重力做功 重力勢(shì)能變化 (1)重力做正功，重力勢(shì)能減少； (2)重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加； (3)WG＝－ΔEpG＝EpG1－EpG2
彈簧彈力做功 彈性勢(shì)能變化 (1)彈力做正功，彈性勢(shì)能減少； (2)彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加； (3)W彈＝－ΔEp彈＝Ep彈1－Ep彈2
合力做功 動(dòng)能變化 (1)合力做正功，動(dòng)能增加； (2)合力做負(fù)功，動(dòng)能減少； (3)W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk
除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力之外的其他力做功　　　 機(jī)械能變化 (1)其他力做正功，機(jī)械能增加； (2)其他力做負(fù)功，機(jī)械能減少； (3)W其他＝ΔE機(jī)
3．功能關(guān)系在圖像中的應(yīng)用
根據(jù)功能關(guān)系可知：
(1)重力勢(shì)能與高度的EpG h關(guān)系圖像的斜率的絕對(duì)值為G。
(2)彈簧彈性勢(shì)能與形變量的Ep彈 x關(guān)系圖像的斜率的絕對(duì)值為F彈。
(3)動(dòng)能與位移的Ek x關(guān)系圖像的斜率為F合。
(4)機(jī)械能與位移的E機(jī) x關(guān)系圖像的斜率為F其他。
例1　(2025·河南省安陽(yáng)市林州市一中高三上10月月考)升降機(jī)底板上放一質(zhì)量為100 kg的物體，物體隨升降機(jī)由靜止開始豎直向上移動(dòng)5 m時(shí)速度達(dá)到4 m/s，則此過(guò)程中(g取10 m/s2)(　　)
A．升降機(jī)對(duì)物體做功5800 J B．合外力對(duì)物體做功5800 J
C．物體的重力勢(shì)能增加500 J D．物體的機(jī)械能增加800 J
[答案]　A
[解析]　根據(jù)動(dòng)能定理得W升＋WG＝mv2－0，其中重力做功WG＝－mgh，解得升降機(jī)對(duì)物體做功W升＝5800 J，合外力對(duì)物體做功W合＝mv2－0＝×100×42 J＝800 J，故A正確，B錯(cuò)誤；物體重力勢(shì)能增加ΔEp＝－WG＝5000 J，故C錯(cuò)誤；除重力之外僅有升降機(jī)對(duì)物體做功，故物體機(jī)械能增加ΔE＝W升＝5800 J，故D錯(cuò)誤。
例2　(2022·江蘇高考)某滑雪賽道如圖所示，滑雪運(yùn)動(dòng)員從靜止開始沿斜面下滑，經(jīng)圓弧滑道起跳。將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦力及空氣阻力，此過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系圖像正確的是(　　)
[答案]　A
[解析]　設(shè)運(yùn)動(dòng)員的水平位移為x時(shí)，運(yùn)動(dòng)員所在位置處滑道與水平方向的夾角為θ，不計(jì)摩擦力及空氣阻力，根據(jù)動(dòng)能定理可知，運(yùn)動(dòng)員下滑過(guò)程有ΔEk＝mgΔxtanθ，即＝mgtanθ，θ先不變后逐漸減小到0，則Ek x圖線的斜率mgtanθ先不變后逐漸減小到0；運(yùn)動(dòng)員滑過(guò)圓弧滑道最低點(diǎn)后向上滑動(dòng)的過(guò)程有ΔEk＝－mgΔxtanθ，即＝－mgtanθ，θ逐漸增大，則Ek x圖線的斜率－mgtanθ的絕對(duì)值逐漸增大。故選A。
考點(diǎn)二　摩擦力的功能關(guān)系
兩種摩擦力的做功情況比較
　　類別 比較 靜摩擦力 滑動(dòng)摩擦力
不同點(diǎn) 能量的轉(zhuǎn)化方面 在靜摩擦力做功的過(guò)程中，只有機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體(靜摩擦力起著傳遞機(jī)械能的作用)，而沒有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量 (1)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體通過(guò)滑動(dòng)摩擦力做功，將部分機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體； (2)部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機(jī)械能損失的能量
一對(duì)摩擦力的總功方面 一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零 一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體系統(tǒng)所做的總功，等于摩擦力與兩個(gè)物體相對(duì)路程的乘積且為負(fù)功，即WFf＝－Ff·l相對(duì)，表示物體克服摩擦力做功，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)變成內(nèi)能
相同點(diǎn) 正功、負(fù)功、不做功方面 兩種摩擦力對(duì)物體都可以做正功、負(fù)功，還可以不做功
例3　如圖所示，質(zhì)量M＝2 kg、長(zhǎng)L＝0．6 m的木板靜止放置于光滑水平地面上，一質(zhì)量為m＝1 kg的物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))以速度v0＝3 m/s從左端沖上木板，物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為f＝5 N。當(dāng)物塊滑至木板最右端時(shí)，兩者恰好達(dá)到共同速度。求：
(1)共同速度v的大小；
(2)摩擦力對(duì)物塊做的功W；
(3)由于物塊與木板的摩擦產(chǎn)生的熱量Q。
[答案]　(1)1 m/s　(2)－4 J　(3)3 J
[解析]　(1)設(shè)物塊和木板的加速度大小分別為a1和a2，共速前物塊在木板上滑行的時(shí)間為t
根據(jù)牛頓第二定律有f＝ma1，f＝Ma2
解得a1＝5 m/s2，a2＝2．5 m/s2
兩者達(dá)到共同速度時(shí)有v＝v0－a1t，v＝a2t
解得v＝1 m/s。
(2)解法一：物塊從木板左端滑至右端的過(guò)程中，木板的位移x＝a2t2
物塊的位移s＝x＋L
摩擦力對(duì)物塊做的功W＝－fs
聯(lián)立解得W＝－4 J。
解法二：對(duì)物塊進(jìn)行分析，根據(jù)動(dòng)能定理有
W＝mv2－mv
解得W＝－4 J。
(3)解法一：根據(jù)功能關(guān)系，由于物塊與木板的摩擦產(chǎn)生的熱量Q＝fL
解得Q＝3 J。
解法二：根據(jù)能量守恒定律有
Q＝mv－(m＋M)v2
解得Q＝3 J。
滑塊—木板模型功能問(wèn)題求解的關(guān)鍵 如圖所示，求解滑塊—木板模型的功能問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要區(qū)分三個(gè)位移： (1)求摩擦力對(duì)滑塊做的功時(shí)，用滑塊相對(duì)地面的位移x滑。 (2)求摩擦力對(duì)木板做的功時(shí)，用木板相對(duì)地面的位移x板。 (3)求摩擦生熱時(shí)用相對(duì)位移Δx。
例4　(多選)如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ＝30°，傳送帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持1 m/s的速度順時(shí)針運(yùn)行。現(xiàn)把一質(zhì)量為5 kg的工件(可視為質(zhì)點(diǎn))輕放在傳送帶的底端，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間工件與傳送帶達(dá)到共同速度后繼續(xù)傳送到4 m高處。已知工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為10 m/s2，則在此過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．工件加速過(guò)程的時(shí)間為0．8 s
B．傳送帶對(duì)工件做的功為202．5 J
C．工件與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量為7．5 J
D．電動(dòng)機(jī)因傳送工件多做的功為120 J
[答案]　BC
[解析]　工件加速過(guò)程由牛頓第二定律得μmgcosθ－mgsinθ＝ma，解得加速度a＝μgcosθ－gsinθ＝2．5 m/s2，則加速時(shí)間t＝＝0．4 s，故A錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理有－mgh＋W傳＝mv2－0，解得傳送帶對(duì)工件做的功W傳＝mv2＋mgh＝202．5 J，故B正確；加速過(guò)程工件與傳送帶相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移大小Δx＝x傳－x1＝vt－t＝t＝0．2 m，工件與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量Q＝μmgcosθ·Δx＝7．5 J，故C正確；電動(dòng)機(jī)多做的功等于系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的熱量和工件機(jī)械能的增加量之和，則有W電＝Q＋mv2＋mgh＝210 J，故D錯(cuò)誤。
傳送帶模型功能問(wèn)題求解的關(guān)鍵 (1)傳送帶克服摩擦力做的功：W＝Ffx傳。 (2)系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能：Q＝Ffs相對(duì)，s相對(duì)表示相對(duì)路程。 (3)電動(dòng)機(jī)因傳送帶傳送物體而多做的功：W電＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被傳送物體動(dòng)能的增量，ΔEp表示被傳送物體重力勢(shì)能的增量，Q表示因摩擦而產(chǎn)生的熱量。
考點(diǎn)三　能量守恒定律
1．能量守恒定律的內(nèi)容：能量既不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為其他形式，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到別的物體，在轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的過(guò)程中，能量的總量保持不變。
2．能量守恒定律的適用范圍：能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適用的一條規(guī)律。
3．對(duì)能量守恒定律的理解
(1)某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
(2)某個(gè)物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
4．應(yīng)用能量守恒定律解題的思路
(1)分清有多少形式的能(動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能等)發(fā)生變化。
(2)明確哪種形式的能量增加，哪種形式的能量減少，并且列出減少的能量總和ΔE減和增加的能量總和ΔE增的表達(dá)式。
(3)列出能量守恒關(guān)系式ΔE減＝ΔE增。
例5　(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的左端固定，并處于自然狀態(tài)。小物塊的質(zhì)量為m，從A點(diǎn)向左沿水平地面運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后被彈回，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)恰好靜止。物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過(guò)程中(　　)
A．彈簧的最大彈力為μmg
B．物塊克服摩擦力做的功為2μmgs
C．彈簧的最大彈性勢(shì)能為μmgs
D．物塊在A點(diǎn)的初速度為
[答案]　BC
[解析]　物塊向左運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧，彈簧最短時(shí)，彈簧彈力最大，物塊具有向右的加速度，彈簧彈力大于摩擦力，即Fm>μmg，A錯(cuò)誤；根據(jù)功的公式，物塊克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正確；從物塊將彈簧壓縮到最短至物塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)靜止的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律，彈簧的彈性勢(shì)能通過(guò)摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故Epm＝μmgs，C正確；根據(jù)能量守恒定律，在整個(gè)過(guò)程中，物體的初動(dòng)能通過(guò)摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D錯(cuò)誤。
能量問(wèn)題的解題依據(jù) (1)當(dāng)涉及滑動(dòng)摩擦力做功，機(jī)械能不守恒時(shí)，一般應(yīng)用能量守恒定律。 (2)在涉及彈簧彈力做功的能量問(wèn)題中，兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過(guò)程，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律；如果有其他外力做功，一般選用能量守恒定律或動(dòng)能定理求解。
例6　(2024·江西高考)“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天?！笔抢畎讓?duì)廬山瀑布的浪漫主義描寫。設(shè)瀑布的水流量約為10 m3/s，水位落差約為150 m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為(　　)
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W
[答案]　B
[解析]　設(shè)瀑布水流量為Q，水位落差為h，發(fā)電效率為η，水的密度為ρ，則t時(shí)間內(nèi)流過(guò)某橫截面的水的體積V＝Qt，從瀑布頂端落到底部，重力對(duì)這部分水所做的功W＝ρVgh，發(fā)電功率P＝η，聯(lián)立解得P＝ηρQgh≈107 W，故選B。
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第六章　機(jī)械能及其守恒定律
第4講　專題：功能關(guān)系　能量守恒定律
目錄
1
2
考點(diǎn)一　常見的功能關(guān)系
考點(diǎn)二　摩擦力的功能關(guān)系
考點(diǎn)三 能量守恒定律
3
考點(diǎn)一　常見的功能關(guān)系
1．對(duì)功與能的理解
(1)做功的過(guò)程就是能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程。不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化是通過(guò)做功來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
(2)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功和能的關(guān)系，一是體現(xiàn)在不同的力做功，對(duì)應(yīng)不同形式的能轉(zhuǎn)化，具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，二是做功的多少與能量轉(zhuǎn)化的多少在數(shù)值上相等。
2．力學(xué)中常見的功能關(guān)系
力做功 能的變化 定性和定量關(guān)系
重力做功 重力勢(shì)能變化 (1)重力做正功，重力勢(shì)能減少；
(2)重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加；
(3)WG＝－ΔEpG＝EpG1－EpG2
彈簧彈力做功 彈性勢(shì)能變化 (1)彈力做正功，彈性勢(shì)能減少；
(2)彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加；
(3)W彈＝－ΔEp彈＝Ep彈1－Ep彈2
合力做功 動(dòng)能變化 (1)合力做正功，動(dòng)能增加；
(2)合力做負(fù)功，動(dòng)能減少；
(3)W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk
除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力之外的其他力做功　　　 機(jī)械能變化 (1)其他力做正功，機(jī)械能增加；
(2)其他力做負(fù)功，機(jī)械能減少；
(3)W其他＝ΔE機(jī)
3．功能關(guān)系在圖像中的應(yīng)用
根據(jù)功能關(guān)系可知：
(1)重力勢(shì)能與高度的EpG h關(guān)系圖像的斜率的絕對(duì)值為G。
(2)彈簧彈性勢(shì)能與形變量的Ep彈 x關(guān)系圖像的斜率的絕對(duì)值為F彈。
(3)動(dòng)能與位移的Ek x關(guān)系圖像的斜率為F合。
(4)機(jī)械能與位移的E機(jī) x關(guān)系圖像的斜率為F其他。
例1　(2025·河南省安陽(yáng)市林州市一中高三上10月月考)升降機(jī)底板上放一質(zhì)量為100 kg的物體，物體隨升降機(jī)由靜止開始豎直向上移動(dòng)5 m時(shí)速度達(dá)到4 m/s，則此過(guò)程中(g取10 m/s2)(　　)
A．升降機(jī)對(duì)物體做功5800 J
B．合外力對(duì)物體做功5800 J
C．物體的重力勢(shì)能增加500 J
D．物體的機(jī)械能增加800 J
例2　(2022·江蘇高考)某滑雪賽道如圖所示，滑雪運(yùn)動(dòng)員從靜止開始沿斜面下滑，經(jīng)圓弧滑道起跳。將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦力及空氣阻力，此過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系圖像正確的是(　　)
考點(diǎn)二　摩擦力的功能關(guān)系
兩種摩擦力的做功情況比較
　　類別 比較 靜摩擦力 滑動(dòng)摩擦力
不同點(diǎn) 能量的 轉(zhuǎn)化方面 在靜摩擦力做功的過(guò)程中，只有機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體(靜摩擦力起著傳遞機(jī)械能的作用)，而沒有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量 (1)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體通過(guò)滑動(dòng)摩擦力做功，將部分機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)
物體；
(2)部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機(jī)械能損失的能量
不同點(diǎn) 一對(duì)摩擦力的總功方面 一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零 一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體系統(tǒng)所做的總功，等于摩擦力與兩個(gè)物體相對(duì)路程的乘積且為負(fù)功，即WFf＝－Ff·l相對(duì)，表示物體克服摩擦力做功，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)變成內(nèi)能
相同點(diǎn) 正功、負(fù)功、不做功方面 兩種摩擦力對(duì)物體都可以做正功、負(fù)功，還可以不做功 例3　如圖所示，質(zhì)量M＝2 kg、長(zhǎng)L＝0．6 m的木板靜止放置于光滑水平地面上，一質(zhì)量為m＝1 kg的物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))以速度v0＝3 m/s從左端沖上木板，物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為f＝5 N。當(dāng)物塊滑至木板最右端時(shí)，兩者恰好達(dá)到共同速度。求：
(1)共同速度v的大??；
(2)摩擦力對(duì)物塊做的功W；
(3)由于物塊與木板的摩擦產(chǎn)生的熱量Q。
答案　(1)1 m/s　(2)－4 J　(3)3 J
滑塊—木板模型功能問(wèn)題求解的關(guān)鍵
如圖所示，求解滑塊—木板模型的功能問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要區(qū)分三個(gè)位移：
(1)求摩擦力對(duì)滑塊做的功時(shí)，用滑塊相對(duì)地面的位移x滑。
(2)求摩擦力對(duì)木板做的功時(shí)，用木板相對(duì)地面的位移x板。
(3)求摩擦生熱時(shí)用相對(duì)位移Δx。
傳送帶模型功能問(wèn)題求解的關(guān)鍵
(1)傳送帶克服摩擦力做的功：W＝Ffx傳。
(2)系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能：Q＝Ffs相對(duì)，s相對(duì)表示相對(duì)路程。
(3)電動(dòng)機(jī)因傳送帶傳送物體而多做的功：W電＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被傳送物體動(dòng)能的增量，ΔEp表示被傳送物體重力勢(shì)能的增量，Q表示因摩擦而產(chǎn)生的熱量。
考點(diǎn)三　能量守恒定律
1．能量守恒定律的內(nèi)容：能量既不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為其他形式，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到別的物體，在轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的過(guò)程中，能量的總量保持不變。
2．能量守恒定律的適用范圍：能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適用的一條規(guī)律。
3．對(duì)能量守恒定律的理解
(1)某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
(2)某個(gè)物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
4．應(yīng)用能量守恒定律解題的思路
(1)分清有多少形式的能(動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能等)發(fā)生變化。
(2)明確哪種形式的能量增加，哪種形式的能量減少，并且列出減少的能量總和ΔE減和增加的能量總和ΔE增的表達(dá)式。
(3)列出能量守恒關(guān)系式ΔE減＝ΔE增。
能量問(wèn)題的解題依據(jù)
(1)當(dāng)涉及滑動(dòng)摩擦力做功，機(jī)械能不守恒時(shí)，一般應(yīng)用能量守恒定律。
(2)在涉及彈簧彈力做功的能量問(wèn)題中，兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過(guò)程，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律；如果有其他外力做功，一般選用能量守恒定律或動(dòng)能定理求解。
例6　(2024·江西高考)“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。”是李白對(duì)廬山瀑布的浪漫主義描寫。設(shè)瀑布的水流量約為10 m3/s，水位落差約為150 m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為(　　)
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W

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