資源簡介

物理
第講　專題：碰撞的拓展模型
考點一　“滑塊—彈簧”模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)兩個物體與彈簧相互作用的過程中，若系統所受外力的矢量和為零，則系統動量守恒。
(2)在能量方面，由于彈簧形變會使彈性勢能發生變化，系統的總動能將發生變化；若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒。
(3)彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統動能通常最小(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(4)彈簧恢復原長時，彈性勢能為零，系統動能最大(彈性碰撞拓展模型，相當于碰撞結束時)。
例1　(2025·黑龍江省哈爾濱市高三上期中)如圖甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連接，并且靜止在光滑的水平面上?，F使m1瞬間獲得水平向右的速度3 m/s，以此刻為計時零點，兩物塊的速度隨時間變化的規律如圖乙所示，從圖像信息可得(　　)
A．在t1、t3時刻兩物塊達到共同速度1 m/s，且彈簧都處于壓縮狀態
B．從t3到t4彈簧由伸長狀態逐漸恢復原長
C．兩物塊的質量之比為m1∶m2＝1∶3
D．在t2時刻兩物塊的動量大小之比為p1∶p2＝1∶2
例2　(多選)光滑水平面上用輕彈簧相連的A、B兩物體，以6 m/s的速度勻速向右運動，質量均為2 kg。在B的正前方靜止放置一質量為4 kg的物體C，B、C碰后粘在一起，則在之后的運動過程中(　　)
A．彈簧的最大彈性勢能為12 J
B．A、B、C和彈簧組成的系統損失的機械能是36 J
C．物體C的最大速度為4 m/s
D．整個運動過程中A的速度不可能向左
考點二　“滑塊—光滑斜(曲)面”模型和懸繩模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)最高點：m與M具有共同水平速度v共。系統水平方向動量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系統機械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h為滑塊或小球上升的最大高度，不一定等于圓弧軌道的高度或細繩的長度(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(2)最低點：水平方向動量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系統機械能守恒，mv＝mv＋Mv(彈性碰撞拓展模型)。
例3　如圖所示，有一質量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上帶有四分之一光滑圓弧軌道的滑塊。滑塊的質量為3m，小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，在小球運動過程中，(　　)
A．小球和滑塊組成的系統動量守恒
B．小球在圓弧軌道最高點的速度大小為
C．小球在圓弧軌道上能上升的最大高度為
D．小球離開圓弧軌道時圓弧軌道的速度大小為
例4　(多選)如圖所示，質量均為m的小球和小環用長為l不可伸長的輕繩相連，小環套在光滑固定的水平細桿上，將小球拉至輕繩與桿夾角為θ時，由靜止釋放，重力加速度為g，下列判斷正確的是(　　)
A．小球和小環組成的系統，動量守恒
B．小球向右擺到的最高點和釋放點的高度相同
C．小球運動到最低點時，速度為
D．小球運動到最低點時，輕繩對環的拉力為mg(2－sinθ)
考點三　“滑塊—木板”模型和“子彈打木塊”模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)M與m相互作用的過程中，M的速度一直增大，m的速度一直減小，系統的動量守恒，但機械能不守恒，摩擦力與兩者相對路程的乘積等于系統減少的機械能。
(2)若滑塊未從木板上滑下或子彈未打穿木塊，當兩者速度相等時M的速度最大，兩者的相對路程取得極值(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(3)該類問題既可以從動量、能量角度求解，也可以從力和運動的角度借助圖像求解。
例5　如圖所示，光滑水平面上有質量為m且足夠長的木板，木板上放一質量也為m、可視為質點的小木塊?，F分別使木塊獲得向右的水平初速度v0和2v0，兩次運動均在木板上留下劃痕，則兩次劃痕長度之比為(　　)
A．1∶4 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶12
例6　如圖所示，在光滑的水平桌面上靜止放置一個質量為980 g的長方形勻質木塊，現有一質量為20 g的子彈以大小為300 m/s的水平速度沿木塊的中心軸線射向木塊，最終留在木塊中沒有射出，和木塊一起以共同的速度運動。已知木塊沿子彈運動方向的長度為10 cm，子彈打進木塊的深度為6 cm。設木塊對子彈的阻力保持不變。
(1)求子彈和木塊的共同速度以及它們在此過程中所產生的內能；
(2)若子彈是以大小為400 m/s的水平速度從同一方向水平射向該木塊，則在射中木塊后能否射穿該木塊？
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2024·遼寧省鞍山市高三下二模)(多選)如圖所示，光滑的半圓槽質量為M，半徑為R，靜止在光滑的水平地面上，一質量為m的小球(視為質點)恰好能沿槽右邊緣的切線方向釋放滑入槽內，小球沿槽內壁運動直至槽左邊緣。重力加速度大小為g。關于小球和半圓槽的運動，下列說法正確的是(　　)
A．小球和半圓槽組成的系統，動量守恒，機械能守恒
B．小球和半圓槽組成的系統，動量不守恒，機械能守恒
C．小球滑到底端時的速度大小等于
D．小球滑到底端時的速度小于
2．如圖所示，在光滑的水平面上，有兩個質量都是m的小車A和B，兩車之間用輕質彈簧相連，它們以共同的速度v0向右運動，另有一質量為m的粘性物體，從高處自由落下，正好落在A車上，并與之粘合在一起，則這以后的運動過程中，彈簧獲得的最大彈性勢能為(　　)
A．mv B．mv
C．mv D．mv
3．(多選)矩形滑塊由不同材料的上、下兩層粘合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v0水平射向滑塊，若射擊下層，子彈剛好不射出，若射擊上層，則子彈剛好能射穿一半厚度，如圖所示，則上述兩種情況相比較，下列說法正確的是(　　)
A．子彈的末速度大小相等
B．系統產生的熱量一樣多
C．子彈對滑塊做的功相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
4．(多選)如圖所示，水平面內有兩個光滑平行導軌，導軌足夠長，其間距為L。質量分別為m、2m的環A、B(可視為質點)套在導軌上，兩環之間連接一輕彈簧，輕彈簧原長為L。開始時彈簧與桿垂直，兩環均靜止。某時刻，給環B一水平向右的瞬時速度v，下列說法正確的是(　　)
A．A、B和彈簧組成的系統動量不守恒、機械能守恒
B．以水平向右為正方向，若A的速度為vA＝，則B的速度為vB＝
C．以水平向右為正方向，若A的速度為vA＝，則彈簧與導軌之間的夾角為30°
D．若彈簧恢復原長時，環B速度為水平向右的2v，則初始狀態時彈簧的彈性勢能Ep＝5mv2
5．(多選)如圖甲所示，一小車靜止在光滑水平地面上，上表面PQ是以O為圓心、半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，左端P與平臺等高且平滑對接(不粘連)。一小球以某一水平速度沖上小車。測得在水平方向上小球與小車的速度大小分別為v1、v2，作出v2 v1圖像，如圖乙所示。已知P點距地面高h＝，重力加速度為g，則(　　)
A．小車質量是小球質量的2倍
B．小球上升到最高點時的速度為
C．小球上升的最大高度為
D．小球落地時與小車左端P點的水平距離為R
6．(2022·河北高考)如圖，光滑水平面上有兩個等高的滑板A和B，質量分別為1 kg和2 kg，A右端和B左端分別放置物塊C、D，物塊質量均為1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右運動，B和D以相同速度kv0向左運動，在某時刻發生碰撞，作用時間極短，碰撞后C與D粘在一起形成一個新物塊，A與B粘在一起形成一個新滑板，物塊與滑板之間的動摩擦因數均為μ＝0．1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0(2)若k＝0．5，從碰撞后到新物塊與新滑板相對靜止時，求兩者相對位移的大小。
[B組　綜合提升練]
7．(人教版選擇性必修第一冊·第一章[復習與提高]B組T8改編)如圖所示，質量均為m的木塊A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一豎直輕桿，輕桿上端的O點系一長為L的細線，細線另一端系一質量為m0的球C，現將球C拉起使細線水平伸直，并由靜止釋放球C，則下列說法不正確的是(　　)
A．A、B兩木塊分離時，A、B的速度大小均為
B．A、B兩木塊分離時，C的速度大小為2
C．球C由靜止釋放到最低點的過程中，A對B的彈力的沖量大小為2m0
D．球C由靜止釋放到最低點的過程中，木塊A移動的距離為
8．(2024·安徽高考)如圖所示，一實驗小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平軌道與光滑四分之一圓弧軌道。圓弧軌道與水平軌道相切于圓弧軌道最低點，一物塊靜止于小車最左端，一小球用不可伸長的輕質細線懸掛于O點正下方，并輕靠在物塊左側?，F將細線拉直到水平位置，由靜止釋放小球，小球運動到最低點時與物塊發生彈性碰撞。碰撞后，物塊沿著軌道運動。已知細線長L＝1．25 m，小球質量m＝0．20 kg，物塊、小車質量均為M＝0．30 kg。小車上的水平軌道長s＝1．0 m，圓弧軌道半徑R＝0．15 m。小球、物塊均可視為質點。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球運動到最低點與物塊碰撞前所受拉力的大??；
(2)求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大??；
(3)為使物塊能進入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ的取值范圍。
[C組　拔尖培優練]
9．(2025·河北省衡水市高三上9月月考)(多選)如圖，有n個相同的物塊緊密排列放在光滑水平面上(n足夠大)，每個物塊質量為m，一質量為m0的子彈(可以看成質點)以某一初速度從左端水平射入物塊中，剛好能穿過第一個物塊。設物塊給子彈的阻力大小不變。忽略空氣阻力的影響，下列說法正確的是(　　)
A．子彈和物塊組成的系統動量守恒，機械能守恒
B．若只增加物塊個數，子彈可能穿過更多的物塊
C．若只增加物塊個數，子彈不能穿過第一個物塊
D．若只改變物塊個數，子彈能穿過的物塊個數不超過
（答案及解析）
例1　(2025·黑龍江省哈爾濱市高三上期中)如圖甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連接，并且靜止在光滑的水平面上?，F使m1瞬間獲得水平向右的速度3 m/s，以此刻為計時零點，兩物塊的速度隨時間變化的規律如圖乙所示，從圖像信息可得(　　)
A．在t1、t3時刻兩物塊達到共同速度1 m/s，且彈簧都處于壓縮狀態
B．從t3到t4彈簧由伸長狀態逐漸恢復原長
C．兩物塊的質量之比為m1∶m2＝1∶3
D．在t2時刻兩物塊的動量大小之比為p1∶p2＝1∶2
[答案]　B
[解析]　由題圖乙可知，兩物塊的運動過程如下：開始時m1逐漸減速，m2逐漸加速，彈簧被壓縮，t1時刻二者達到共同速度1 m/s，系統動能最小，彈性勢能最大，彈簧被壓縮至最短，然后彈簧逐漸恢復原長，m2繼續加速，m1先減速為零，然后反向加速，t2時刻，彈簧恢復原長狀態，且彈簧的長度將繼續增大，t3時刻，兩物塊再次達到共同速度1 m/s，系統動能最小，彈簧被伸長至最長，之后彈簧逐漸恢復原長，t4時刻與0時刻狀態相同，即從t3到t4過程中彈簧由伸長狀態逐漸恢復原長，故A錯誤，B正確；從0時刻到t1時刻，由動量守恒定律有m1v0＝(m1＋m2)v1，將v0＝3 m/s、v1＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C錯誤；在t2時刻，m1的速度為v2＝－1 m/s，m2的速度為v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，則動量大小之比為p1∶p2＝m1|v2|∶m2|v2′|＝1∶4，故D錯誤。
例2　(多選)光滑水平面上用輕彈簧相連的A、B兩物體，以6 m/s的速度勻速向右運動，質量均為2 kg。在B的正前方靜止放置一質量為4 kg的物體C，B、C碰后粘在一起，則在之后的運動過程中(　　)
A．彈簧的最大彈性勢能為12 J
B．A、B、C和彈簧組成的系統損失的機械能是36 J
C．物體C的最大速度為4 m/s
D．整個運動過程中A的速度不可能向左
[答案]　ACD
[解析]　B、C碰撞瞬間，B、C組成的系統動量守恒，選水平向右為正方向，由動量守恒定律得：mBv0＝(mB＋mC)v，代入數據解得，碰后瞬間B、C的速度v＝2 m/s；三個物體速度相同時彈簧的彈性勢能最大，由動量守恒定律得：mAv0＋mBv0＝(mA＋mB＋mC)v共，代入數據解得：v共＝3 m/s，設彈簧的最大彈性勢能為Ep，由機械能守恒定律得：Ep＝mAv＋(mB＋mC)v2－(mA＋mB＋mC)v，代入數據解得：Ep＝12 J，A、B、C和彈簧組成的系統損失的機械能ΔE＝mBv－(mB＋mC)v2＝24 J，故A正確，B錯誤；當彈簧由壓縮狀態恢復原長時，C的速度最大，設此時B、C的速度為v1，A的速度為v2，根據動量守恒定律和機械能守恒定律有mAv0＋(mB＋mC)v＝mAv2＋(mB＋mC)v1，mAv＋(mB＋mC)v2＝mAv＋(mB＋mC)v，代入數據解得v1＝4 m/s，v2＝0(另一組解v1＝2 m/s，v2＝6 m/s不符合題意，故舍去)，故C正確；由于A、B、C系統的總動量守恒，總動量p＝(mA＋mB)v0＝24 kg·m/s，若A的速度向左，則B、C的合動量一定向右且大于p，則B、C的速度向右且一定大于＝4 m/s，與C項分析沖突，所以A的速度不可能向左，故D正確。
考點二　“滑塊—光滑斜(曲)面”模型和懸繩模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)最高點：m與M具有共同水平速度v共。系統水平方向動量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系統機械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h為滑塊或小球上升的最大高度，不一定等于圓弧軌道的高度或細繩的長度(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(2)最低點：水平方向動量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系統機械能守恒，mv＝mv＋Mv(彈性碰撞拓展模型)。
例3　如圖所示，有一質量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上帶有四分之一光滑圓弧軌道的滑塊。滑塊的質量為3m，小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，在小球運動過程中，(　　)
A．小球和滑塊組成的系統動量守恒
B．小球在圓弧軌道最高點的速度大小為
C．小球在圓弧軌道上能上升的最大高度為
D．小球離開圓弧軌道時圓弧軌道的速度大小為
[答案]　C
[解析]　在小球運動過程中，小球和滑塊組成的系統在水平方向上所受合力為零，水平方向動量守恒，小球上升和下落過程，豎直方向的分速度變化，則系統在豎直方向上動量不守恒，則小球和滑塊組成的系統動量不守恒，故A錯誤；小球在圓弧軌道上升到最高點時，小球與滑塊速度相同，設為v，規定v0的方向為正方向，水平方向由動量守恒定律，有mv0＝(m＋3m)v，解得v＝，故B錯誤；根據機械能守恒定律得mv＝×4mv2＋mghmax，解得小球在圓弧軌道上能上升的最大高度為hmax＝，故C正確；小球離開圓弧軌道時，設小球和圓弧軌道的速度分別為v1和v2，根據動量守恒定律有mv0＝mv1＋3mv2，根據機械能守恒定律有mv＝mv＋×3mv，聯立以上兩式可得v1＝－，v2＝，故D錯誤。
例4　(多選)如圖所示，質量均為m的小球和小環用長為l不可伸長的輕繩相連，小環套在光滑固定的水平細桿上，將小球拉至輕繩與桿夾角為θ時，由靜止釋放，重力加速度為g，下列判斷正確的是(　　)
A．小球和小環組成的系統，動量守恒
B．小球向右擺到的最高點和釋放點的高度相同
C．小球運動到最低點時，速度為
D．小球運動到最低點時，輕繩對環的拉力為mg(2－sinθ)
[答案]　BC
[解析]　小球擺動的過程，有豎直方向的加速度，小球和小環組成的系統豎直方向上所受合力不為零，則系統動量不守恒，故A錯誤；根據題意可知，系統在水平方向上所受合力為零，則水平方向上動量守恒，小球運動到最高點時，豎直方向上速度為零，水平方向速度與小環相等，由動量守恒定律知，小球水平方向速度也為零，則由機械能守恒定律知，此時小球的重力勢能與釋放點的相等，則高度也相同，故B正確；小球運動到最低點時，設小球速度的大小為v1，小環速度的大小為v2，由動量守恒定律有mv1－mv2＝0，由機械能守恒定律有mgl(1－sinθ)＝mv＋mv，解得v1＝v2＝，此時小球相對于小環的速度大小為v＝v1＋v2＝2，對小球，由牛頓第二定律有F－mg＝m，解得F＝mg(5－4sinθ)，則此時輕繩對環的拉力為mg(5－4sinθ)，故C正確，D錯誤。
考點三　“滑塊—木板”模型和“子彈打木塊”模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)M與m相互作用的過程中，M的速度一直增大，m的速度一直減小，系統的動量守恒，但機械能不守恒，摩擦力與兩者相對路程的乘積等于系統減少的機械能。
(2)若滑塊未從木板上滑下或子彈未打穿木塊，當兩者速度相等時M的速度最大，兩者的相對路程取得極值(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(3)該類問題既可以從動量、能量角度求解，也可以從力和運動的角度借助圖像求解。
例5　如圖所示，光滑水平面上有質量為m且足夠長的木板，木板上放一質量也為m、可視為質點的小木塊?，F分別使木塊獲得向右的水平初速度v0和2v0，兩次運動均在木板上留下劃痕，則兩次劃痕長度之比為(　　)
A．1∶4 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶12
[答案]　A
[解析]　木塊從開始運動到相對木板靜止的過程中，木塊和木板組成的系統水平方向動量守恒，取水平向右為正方向，當木塊的初速度為v0時，有mv0＝(m＋m)v，解得v＝；根據能量守恒定律有μmgs＝mv－(m＋m)v2，解得劃痕長度s＝；同理，當木塊的初速度為2v0時，則劃痕長度s′＝，故兩次劃痕長度之比為s∶s′＝1∶4，故A正確，B、C、D錯誤。
例6　如圖所示，在光滑的水平桌面上靜止放置一個質量為980 g的長方形勻質木塊，現有一質量為20 g的子彈以大小為300 m/s的水平速度沿木塊的中心軸線射向木塊，最終留在木塊中沒有射出，和木塊一起以共同的速度運動。已知木塊沿子彈運動方向的長度為10 cm，子彈打進木塊的深度為6 cm。設木塊對子彈的阻力保持不變。
(1)求子彈和木塊的共同速度以及它們在此過程中所產生的內能；
(2)若子彈是以大小為400 m/s的水平速度從同一方向水平射向該木塊，則在射中木塊后能否射穿該木塊？
[答案]　(1)6 m/s　882 J　(2)能
[解析]　(1)設子彈的質量為m，木塊的質量為M，子彈的初速度大小為v0，子彈射入木塊后與木塊的共同速度大小為v，對子彈和木塊組成的系統，由動量守恒定律得mv0＝(M＋m)v
代入數據解得v＝6 m/s
它們在此過程中所產生的內能
Q＝mv－(M＋m)v2
代入數據解得Q＝882 J。
(2)假設子彈以v0′＝400 m/s的速度入射時沒有射穿木塊，子彈射入木塊后與木塊的共同速度大小為v′，則對子彈和木塊組成的系統，由動量守恒定律有mv0′＝(M＋m)v′
此過程產生的內能為
Q′＝mv0′2－(M＋m)v′2
設木塊對子彈的阻力大小為F阻，兩個過程子彈打入木塊的深度分別為d、d′，則有Q＝F阻d
Q′＝F阻d′
聯立并代入數據解得d′＝ cm
因為d′>10 cm，所以假設不成立，子彈能射穿該木塊。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2024·遼寧省鞍山市高三下二模)(多選)如圖所示，光滑的半圓槽質量為M，半徑為R，靜止在光滑的水平地面上，一質量為m的小球(視為質點)恰好能沿槽右邊緣的切線方向釋放滑入槽內，小球沿槽內壁運動直至槽左邊緣。重力加速度大小為g。關于小球和半圓槽的運動，下列說法正確的是(　　)
A．小球和半圓槽組成的系統，動量守恒，機械能守恒
B．小球和半圓槽組成的系統，動量不守恒，機械能守恒
C．小球滑到底端時的速度大小等于
D．小球滑到底端時的速度小于
答案：BD
解析：根據題意可知，小球滑入槽中后，在豎直方向上具有加速度，小球和半圓槽組成的系統在豎直方向上受力不平衡，所以動量不守恒，但在水平方向上，系統不受外力作用，故水平方向上系統動量守恒，整個過程中，只有重力對系統做功，故系統的機械能守恒，故A錯誤，B正確；當小球滑到底端時，設小球的速度大小為v1，半圓槽的速度大小為v2，對小球和半圓槽組成的系統，由機械能守恒定律有mgR＝mv＋Mv，由水平方向動量守恒有mv1－Mv2＝0，解得v1＝<，故C錯誤，D正確。
2．如圖所示，在光滑的水平面上，有兩個質量都是m的小車A和B，兩車之間用輕質彈簧相連，它們以共同的速度v0向右運動，另有一質量為m的粘性物體，從高處自由落下，正好落在A車上，并與之粘合在一起，則這以后的運動過程中，彈簧獲得的最大彈性勢能為(　　)
A．mv B．mv
C．mv D．mv
答案：C
解析：粘性物體和A相互作用的過程，水平方向動量守恒，取向右為正方向，由動量守恒定律有mv0＝2mv1，解得v1＝。之后三個物體組成的系統動量守恒，當B車與A車速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，根據動量守恒定律得mv0＋2mv1＝3mv2，解得v2＝v0，根據能量守恒定律，可得彈簧的最大彈性勢能為Ep＝mv＋×2mv－×3mv＝mv，故C正確，A、B、D錯誤。
3．(多選)矩形滑塊由不同材料的上、下兩層粘合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v0水平射向滑塊，若射擊下層，子彈剛好不射出，若射擊上層，則子彈剛好能射穿一半厚度，如圖所示，則上述兩種情況相比較，下列說法正確的是(　　)
A．子彈的末速度大小相等
B．系統產生的熱量一樣多
C．子彈對滑塊做的功相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
答案：ABC
解析：以v0的方向為正方向，子彈射入滑塊的過程，由動量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，解得共同速度v＝，可知兩種情況下子彈的末速度是相同的，A正確；子彈射入下層或上層滑塊的過程中，兩種情況下子彈及滑塊初、末狀態均相同，系統產生的熱量都等于系統減少的動能，故系統產生的熱量一樣多，B正確；根據動能定理，滑塊動能的增加量等于子彈對滑塊做的功，所以兩次子彈對滑塊做的功一樣多，C正確；由Q＝Ff·s相對知，由于s相對不相等，所以兩種情況下子彈和滑塊間的水平作用力Ff不一樣大，D錯誤。
4．(多選)如圖所示，水平面內有兩個光滑平行導軌，導軌足夠長，其間距為L。質量分別為m、2m的環A、B(可視為質點)套在導軌上，兩環之間連接一輕彈簧，輕彈簧原長為L。開始時彈簧與桿垂直，兩環均靜止。某時刻，給環B一水平向右的瞬時速度v，下列說法正確的是(　　)
A．A、B和彈簧組成的系統動量不守恒、機械能守恒
B．以水平向右為正方向，若A的速度為vA＝，則B的速度為vB＝
C．以水平向右為正方向，若A的速度為vA＝，則彈簧與導軌之間的夾角為30°
D．若彈簧恢復原長時，環B速度為水平向右的2v，則初始狀態時彈簧的彈性勢能Ep＝5mv2
答案：BCD
解析：平行導軌光滑，對A、B和彈簧組成的系統受力分析，該系統沿桿方向不受外力，垂直桿方向A、B各自均始終受力平衡，故系統所受的合力為0，系統動量守恒，系統內除彈簧的彈力，沒有其他力做功，系統機械能守恒，故A錯誤；以水平向右為正方向，若vA＝，對A、B和彈簧組成的系統分析，由動量守恒定律可得2mv＝mvA＋2mvB，解得vB＝，設初始彈簧的彈性勢能為Ep，A的速度為vA＝時彈簧的彈性勢能為Ep′，根據機械能守恒定律可得×2mv2＋Ep＝×2mv＋mv＋Ep′，解得Ep＝Ep′，開始時彈簧被壓縮了L－L＝，而vA＝時彈性勢能與初始彈性勢能相等，故vA＝時彈簧伸長量為，此時彈簧長度為L′＝L＋L＝2L＝，故vA＝時彈簧與導軌間夾角為30°，故B、C正確；當環B速度為水平向右的2v時，根據動量守恒定律可得2mv＝mvA′＋2m·2v，解得vA′＝－2v，即A的速度大小為2v，方向向左，由機械能守恒定律得×2mv2＋Ep＝×2m(2v)2＋m(－2v)2，解得Ep＝5mv2，故D正確。
5．(多選)如圖甲所示，一小車靜止在光滑水平地面上，上表面PQ是以O為圓心、半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，左端P與平臺等高且平滑對接(不粘連)。一小球以某一水平速度沖上小車。測得在水平方向上小球與小車的速度大小分別為v1、v2，作出v2 v1圖像，如圖乙所示。已知P點距地面高h＝，重力加速度為g，則(　　)
A．小車質量是小球質量的2倍
B．小球上升到最高點時的速度為
C．小球上升的最大高度為
D．小球落地時與小車左端P點的水平距離為R
答案：BCD
解析：設小球質量為m，小車質量為M，小球和小車組成的系統在水平方向所受合力為零，所以水平方向動量守恒，由圖乙數據可得，v2＝0時總動量p1＝m，v1＝0時總動量p2＝M，又p1＝p2，解得m＝M，故A錯誤；小球上升到最高點時與小車具有共同速度，設為v共，則m＝(m＋M)v共，解得v共＝，故B正確；設小球上升的最大高度為H，對小球、小車組成的系統，根據機械能守恒定律有m()2＝(m＋M)v＋mgH，解得H＝，故C正確；小球滑回至P點時，設小球和小車的速度分別為v球和v車，根據動量守恒定律和機械能守恒定律分別有m＝mv球＋Mv車，m()2＝mv＋Mv，解得v球＝0，v車＝，則小球離開小車后做自由落體運動，設運動時間為t，有h＝gt2，t時間內小車做勻速直線運動，所以小球落地時與小車左端P點的水平距離為x＝v車t＝R，故D正確。
6．(2022·河北高考)如圖，光滑水平面上有兩個等高的滑板A和B，質量分別為1 kg和2 kg，A右端和B左端分別放置物塊C、D，物塊質量均為1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右運動，B和D以相同速度kv0向左運動，在某時刻發生碰撞，作用時間極短，碰撞后C與D粘在一起形成一個新物塊，A與B粘在一起形成一個新滑板，物塊與滑板之間的動摩擦因數均為μ＝0．1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0(2)若k＝0．5，從碰撞后到新物塊與新滑板相對靜止時，求兩者相對位移的大小。
答案：(1)5(1－k) m/s　 m/s　方向均水平向右　
(2)1．875 m
解析：(1)物塊C、D碰撞過程中動量守恒，設碰撞后物塊C、D形成的新物塊的速度為v物，C、D的質量均為m，以水平向右為正方向，則有mv0－m·kv0＝(m＋m)v物
解得v物＝v0＝5(1－k) m/s>0
可知碰撞后瞬間新物塊的速度大小為5(1－k) m/s，方向水平向右
滑板A、B碰撞過程中動量守恒，設碰撞后滑板A、B形成的新滑板的速度為v滑，滑板A和B質量分別為mA、mB，以水平向右為正方向，則有mAv0－mB·kv0＝(mA＋mB)v滑
解得v滑＝v0＝ m/s>0
可知碰撞后瞬間新滑板的速度大小為 m/s，方向也水平向右。
(2)若k＝0．5，可知碰撞后瞬間新物塊的速度為v物＝5(1－k) m/s＝2．5 m/s
新滑板的速度為v滑＝ m/s＝0
分析可知，從碰撞后到二者相對靜止，新物塊向右做勻減速運動，新滑板向右做勻加速運動，設相對靜止時二者的共同速度為v共，根據動量守恒定律可得2mv物＝(2m＋mA＋mB)v共
解得v共＝1 m/s
根據功能關系及能量守恒定律可得
μ×2mgx相＝×2mv－(2m＋mA＋mB)v
可解得兩者相對位移的大小為x相＝1．875 m。
[B組　綜合提升練]
7．(人教版選擇性必修第一冊·第一章[復習與提高]B組T8改編)如圖所示，質量均為m的木塊A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一豎直輕桿，輕桿上端的O點系一長為L的細線，細線另一端系一質量為m0的球C，現將球C拉起使細線水平伸直，并由靜止釋放球C，則下列說法不正確的是(　　)
A．A、B兩木塊分離時，A、B的速度大小均為
B．A、B兩木塊分離時，C的速度大小為2
C．球C由靜止釋放到最低點的過程中，A對B的彈力的沖量大小為2m0
D．球C由靜止釋放到最低點的過程中，木塊A移動的距離為
答案：C
解析：球C下落到最低點前，A、B受到細線的作用力斜向右下方，向右做加速運動，球C越過最低點后A受到細線的作用力斜向左下方，開始向右做減速運動，則球C下落到最低點時，A、B開始分離，將A、B、C視為一個系統，從釋放球C至球C下落至最低點的過程，根據機械能守恒定律有m0gL＝m0v＋×2mv，水平方向動量守恒，有m0vC＝2mvAB，聯立解得A、B分離時C的速度大小vC＝2，A、B的速度大小vAB＝，故A、B正確；球C由靜止釋放到最低點的過程中，選B為研究對象，由動量定理得IAB＝mvAB－0＝m0，故C錯誤；球C由靜止釋放到最低點的過程中，系統水平方向動量守恒，設C對地水平向左的位移大小為x1，A、B對地水平位移大小為x2，則有m0x1＝2mx2，又x1＋x2＝L，可解得x2＝，故D正確。本題選說法不正確的，故選C。
8．(2024·安徽高考)如圖所示，一實驗小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平軌道與光滑四分之一圓弧軌道。圓弧軌道與水平軌道相切于圓弧軌道最低點，一物塊靜止于小車最左端，一小球用不可伸長的輕質細線懸掛于O點正下方，并輕靠在物塊左側?，F將細線拉直到水平位置，由靜止釋放小球，小球運動到最低點時與物塊發生彈性碰撞。碰撞后，物塊沿著軌道運動。已知細線長L＝1．25 m，小球質量m＝0．20 kg，物塊、小車質量均為M＝0．30 kg。小車上的水平軌道長s＝1．0 m，圓弧軌道半徑R＝0．15 m。小球、物塊均可視為質點。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球運動到最低點與物塊碰撞前所受拉力的大??；
(2)求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大??；
(3)為使物塊能進入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ的取值范圍。
答案：(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0．25≤μ<0．4
解析：(1)設小球運動到最低點與物塊碰撞前的速度大小為v0，此時細線上的拉力大小為FT，對小球擺動到最低點的過程，由動能定理有
mgL＝mv－0
在最低點，對小球受力分析，由牛頓第二定律有
FT－mg＝m
聯立并代入數據，解得FT＝6 N。
(2)設碰撞后瞬間小球的速度為v1，物塊的速度為v2，小球與物塊的碰撞為彈性碰撞，以水平向右為正方向，由動量守恒定律得
mv0＝mv1＋Mv2
由機械能守恒定律得mv＝mv＋Mv
聯立并代入數據，解得v2＝4 m/s
即碰撞后瞬間，物塊速度的大小為4 m/s，方向水平向右。
(3)若物塊恰好運動到圓弧軌道的最低點時兩者共速，此時動摩擦因數μ有最大值μmax，設共同速度的大小為v3，以水平向右為正方向，對物塊與小車整體，由動量守恒定律有
Mv2＝2Mv3
由能量守恒定律有
Mv＝×2Mv＋μmaxMgs
聯立并代入數據，解得μmax＝0．4
若物塊恰好運動到與圓弧軌道圓心等高的位置時兩者共速，此時動摩擦因數μ有最小值μmin，設共同速度大小為v4，以水平向右為正方向，對物塊與小車整體，由水平方向動量守恒有
Mv2＝2Mv4
由能量守恒定律有
Mv＝×2Mv＋μminMgs＋MgR
聯立并代入數據，解得μmin＝0．25
綜上所述，物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ的取值范圍為0．25≤μ<0．4。
[C組　拔尖培優練]
9．(2025·河北省衡水市高三上9月月考)(多選)如圖，有n個相同的物塊緊密排列放在光滑水平面上(n足夠大)，每個物塊質量為m，一質量為m0的子彈(可以看成質點)以某一初速度從左端水平射入物塊中，剛好能穿過第一個物塊。設物塊給子彈的阻力大小不變。忽略空氣阻力的影響，下列說法正確的是(　　)
A．子彈和物塊組成的系統動量守恒，機械能守恒
B．若只增加物塊個數，子彈可能穿過更多的物塊
C．若只增加物塊個數，子彈不能穿過第一個物塊
D．若只改變物塊個數，子彈能穿過的物塊個數不超過
答案：BD
解析：子彈射入物塊的過程中，二者間的摩擦阻力做功，產生熱量，子彈和物塊組成的系統機械能不守恒，故A錯誤；由于物塊給子彈的阻力大小不變，所以子彈每穿過一個物塊產生的熱量相同且為定值，設為Q，設子彈射入緊密排列的n個物塊后，與物塊相對靜止時損失的機械能為E損，由動量守恒定律有m0v0＝(nm＋m0)v共，由能量守恒定律有E損＝m0v－(nm＋m0)v，解得E損＝·m0v＝·m0v，由題意可知Q＝E損，若只增加物塊個數n，則E損將增大，將大于Q，所以子彈能穿過第一個物塊，可能穿過第二個物塊，故B正確，C錯誤；若只改變物塊個數，子彈穿過物塊時損失的機械能不超過E損max＝m0v，子彈能穿過的物塊個數不超過kmax＝＝＝1＋，故D正確。
13(共50張PPT)
第七章　動量守恒定律及其應用
第4講　專題：碰撞的拓展模型
目錄
1
2
考點一　“滑塊—彈簧”模型
考點二　“滑塊—光滑斜(曲)面”模型和懸繩模型
考點三 “滑塊—木板”模型和“子彈打木塊”模型
課時作業
3
4
考點一　“滑塊—彈簧”模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)兩個物體與彈簧相互作用的過程中，若系統所受外力的矢量和為零，則系統動量守恒。
(2)在能量方面，由于彈簧形變會使彈性勢能發生變化，系統的總動能將發生變化；若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒。
(3)彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統動能通常最小(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(4)彈簧恢復原長時，彈性勢能為零，系統動能最大(彈性碰撞拓展模型，相當于碰撞結束時)。
例1　(2025·黑龍江省哈爾濱市高三上期中)如圖甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連接，并且靜止在光滑的水平面上。現使m1瞬間獲得水平向右的速度3 m/s，以此刻為計時零點，兩物塊的速度隨時間變化的規律如圖乙所示，從圖像信息可得(　　)
A．在t1、t3時刻兩物塊達到共同速度1 m/s，
且彈簧都處于壓縮狀態
B．從t3到t4彈簧由伸長狀態逐漸恢復原長
C．兩物塊的質量之比為m1∶m2＝1∶3
D．在t2時刻兩物塊的動量大小之比為p1∶p2＝1∶2
解析　由題圖乙可知，兩物塊的運動過程如下：開始時m1逐漸減速，m2逐漸加速，彈簧被壓縮，t1時刻二者達到共同速度1 m/s，系統動能最小，彈性勢能最大，彈簧被壓縮至最短，然后彈簧逐漸恢復原長，m2繼續加速，m1先減速為零，然后反向加速，t2時刻，彈簧恢復原長狀態，且彈簧的長度將繼續增大，t3時刻，兩物塊再次達到共同速度1 m/s，系統動能最小，彈簧被伸長至最長，之后彈簧逐漸恢復原長，t4時刻與0時刻狀態相同，即從t3到t4過程中彈簧由伸長狀態逐漸恢復原長，故A錯誤，B正確；從0時刻到t1時刻，由動量守恒定律有m1v0＝(m1＋m2)v1，將v0＝3 m/s、v1＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C錯誤；在t2時刻，m1的速度為v2＝－1 m/s，m2的速度為v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，則動量大小之比為p1∶p2＝m1|v2|∶m2|v2′|＝1∶4，故D錯誤。
例2　(多選)光滑水平面上用輕彈簧相連的A、B兩物體，以6 m/s的速度勻速向右運動，質量均為2 kg。在B的正前方靜止放置一質量為4 kg的物體C，B、C碰后粘在一起，則在之后的運動過程中(　　)
A．彈簧的最大彈性勢能為12 J
B．A、B、C和彈簧組成的系統損失的機械能是36 J
C．物體C的最大速度為4 m/s
D．整個運動過程中A的速度不可能向左
考點二　“滑塊—光滑斜(曲)面”模型和懸繩模型
1．模型圖示
考點三　“滑塊—木板”模型和“子彈打木塊”
模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)M與m相互作用的過程中，M的速度一直增大，m的速度一直減小，系統的動量守恒，但機械能不守恒，摩擦力與兩者相對路程的乘積等于系統減少的機械能。
(2)若滑塊未從木板上滑下或子彈未打穿木塊，當兩者速度相等時M的速度最大，兩者的相對路程取得極值(完全非彈性碰撞拓展模型)。
(3)該類問題既可以從動量、能量角度求解，也可以從力和運動的角度借助圖像求解。
例6　如圖所示，在光滑的水平桌面上靜止放置一個質量為980 g的長方形勻質木塊，現有一質量為20 g的子彈以大小為300 m/s的水平速度沿木塊的中心軸線射向木塊，最終留在木塊中沒有射出，和木塊一起以共同的速度運動。已知木塊沿子彈運動方向的長度為10 cm，子彈打進木塊的深度為6 cm。設木塊對子彈的阻力保持不變。
(1)求子彈和木塊的共同速度以及它們在此過程中所產生的內能；
(2)若子彈是以大小為400 m/s的水平速度從同一方向水平射向該木塊，則在射中木塊后能否射穿該木塊？
答案　(1)6 m/s　882 J　(2)能
課時作業
3．(多選)矩形滑塊由不同材料的上、下兩層粘合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v0水平射向滑塊，若射擊下層，子彈剛好不射出，若射擊上層，則子彈剛好能射穿一半厚度，如圖所示，則上述兩種情況相比較，下列說法正確的是(　　)
A．子彈的末速度大小相等
B．系統產生的熱量一樣多
C．子彈對滑塊做的功相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
6．(2022·河北高考)如圖，光滑水平面上有兩個等高的滑板A和B，質量分別為1 kg和2 kg，A右端和B左端分別放置物塊C、D，物塊質量均為1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右運動，B和D以相同速度kv0向左運動，在某時刻發生碰撞，作用時間極短，碰撞后C與D粘在一起形成一個新物塊，A與B粘在一起形成一個新滑板，物塊與滑板之間的動摩擦因數均為μ＝0．1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0各自速度的大小和方向；
(2)若k＝0．5，從碰撞后到新物塊與新滑板相對靜止時，求兩者相對位移的大小。
8．(2024·安徽高考)如圖所示，一實驗小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平軌道與光滑四分之一圓弧軌道。圓弧軌道與水平軌道相切于圓弧軌道最低點，一物塊靜止于小車最左端，一小球用不可伸長的輕質細線懸掛于O點
正下方，并輕靠在物塊左側?，F將細線拉直到水平位置，由靜止釋放小球，小球運動到最低點時與物塊發生彈性碰撞。碰撞后，物塊沿著軌道運動。已知細線長L＝1．25 m，小球質量m＝0．20 kg，物塊、小車質量均為M＝0．30 kg。小車上的水平軌道長s＝1．0 m，圓弧軌道半徑R＝0．15 m。小球、物塊均可視為質點。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球運動到最低點與物塊碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大?。?br/>(3)為使物塊能進入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ的取值范圍。
答案：(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0．25≤μ<0．4

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