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物理
第講　專題：帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)
考點(diǎn)一　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)
1．解題關(guān)鍵——確定軌跡圓心
求解帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，首先應(yīng)畫出軌跡圓示意圖，找出軌跡圓心。確定軌跡圓心的3個(gè)依據(jù)：
(1)圓心一定在垂直于速度的直線上；
(2)圓心一定在弦的中垂線上；
(3)圓心與軌跡圓上任一點(diǎn)的距離一定等于軌跡半徑。
常見情境：
①如圖甲，若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心。
②如圖乙，若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，弦的中垂線與速度垂線的交點(diǎn)即為圓心。
③如圖丙，若已知粒子軌跡上某點(diǎn)速度方向，又能根據(jù)r＝計(jì)算出軌跡半徑r，則在該點(diǎn)沿洛倫茲力方向距離為r的位置為圓心。
2．軌跡半徑的計(jì)算
方法一(由動(dòng)力學(xué)關(guān)系求)：由于qvB＝，所以軌跡半徑r＝；
方法二(由幾何關(guān)系求)：作輔助線構(gòu)造出與軌跡半徑相關(guān)的三角形(通常是直角三角形)，根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)求解，或根據(jù)正弦定理、余弦定理求解。
例如：如圖所示，R＝，或由R2＝L2＋(R－d)2求得R。
3．運(yùn)動(dòng)時(shí)間的計(jì)算
方法一(由運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧所對的圓心角α、圓周運(yùn)動(dòng)的周期T求)：t＝·T；
方法二(由運(yùn)動(dòng)的弧長s、線速度v求)：t＝。
4．作圖及分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)需要注意的問題
四個(gè)點(diǎn)：入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、軌跡圓心、入射速度所在直線與出射速度所在直線的交點(diǎn)。
六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌跡半徑，入射速度所在直線和出射速度所在直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。
三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角(如圖所示)。粒子速度的偏轉(zhuǎn)角(φ)等于軌跡所對圓心角(α)，并等于AB弦與圓切線的夾角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
例1　(多選)空間中虛線上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一群電子以不同速率v從邊界上的P點(diǎn)以相同的方向射入磁場，其中某一速率為v0的電子從Q點(diǎn)射出，如圖所示。已知電子入射方向與邊界夾角為θ，則由以上條件可判斷(　　)
A．該勻強(qiáng)磁場的方向是垂直紙面向里
B．所有電子在磁場中的軌跡相同
C．速率大的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長
D．與進(jìn)入磁場時(shí)相比，出磁場時(shí)，所有電子的速度方向都改變了2θ
帶電粒子在單直線邊界 勻強(qiáng)磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) 等角進(jìn)出：粒子進(jìn)、出磁場時(shí)，速度與邊界的夾角相等，即入射點(diǎn)的弦切角等于出射點(diǎn)的弦切角，如圖所示。
例2　(多選)如圖所示，在Oxy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場，速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°。粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)(圖中未畫出)垂直穿過x軸。已知OM＝a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。則(　　)
A．粒子帶負(fù)電荷
B．粒子速度大小為
C．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為a
D．N與O點(diǎn)相距(＋1)a
例3　(2025·河南省九師聯(lián)盟高三上12月聯(lián)考)(多選)如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)(圓心為O)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿PO方向從P點(diǎn)射入圓形區(qū)域，經(jīng)過時(shí)間t從圓上Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)射出。已知PQ連線長度為R，不計(jì)粒子的重力，下列說法正確的是(　　)
A．帶電粒子的速度為
B．帶電粒子在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
C．若僅將粒子入射速度的大小減小為原來的，在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D．若僅將粒子入射速度的大小減小為原來的，在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
帶電粒子在圓形邊界勻強(qiáng)磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) (1)徑向進(jìn)出 若粒子沿著邊界圓的某一半徑方向進(jìn)入磁場，則粒子離開磁場時(shí)速度的反向延長線一定過磁場區(qū)域的圓心(即沿著另一半徑方向射出)。如圖甲所示。 (2)等角進(jìn)出 若粒子射入磁場時(shí)速度方向與入射點(diǎn)對應(yīng)半徑夾角為θ，則粒子射出磁場時(shí)速度方向與出射點(diǎn)對應(yīng)半徑夾角也為θ。如圖乙所示。
考點(diǎn)二　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題
1．帶電粒子電性不確定形成多解
受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。
如圖甲，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如果粒子帶正電，其軌跡為a，如果粒子帶負(fù)電，其軌跡為b。
2．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小或方向不確定形成多解
如圖乙，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如果B垂直紙面向里，其軌跡為a，如果B垂直紙面向外，其軌跡為b。
3．帶電粒子射入磁場時(shí)的速度大小或方向不確定形成多解
有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出粒子射入磁場時(shí)速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。
如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界勻強(qiáng)磁場時(shí)，由于粒子速度大小不確定，因此，它飛出磁場的情況不唯一，可能穿過下邊界，也可能轉(zhuǎn)過180°反向飛出，于是形成多解。
4．帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性或往復(fù)性形成多解
帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若因?yàn)榇艌鲋芷谛宰兓⒘Ｗ优c擋板反復(fù)碰撞或與電場組合等原因而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)具有周期性或往復(fù)性，則通常會(huì)形成多解。如圖丁所示，粒子進(jìn)入磁場的位置、時(shí)間不唯一。
例4　(2022·湖北高考)(多選)在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計(jì)重力。若離子從P點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應(yīng)θ角的可能組合為(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
例5　(多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為l，極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度（答案及解析）
例1　(多選)空間中虛線上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一群電子以不同速率v從邊界上的P點(diǎn)以相同的方向射入磁場，其中某一速率為v0的電子從Q點(diǎn)射出，如圖所示。已知電子入射方向與邊界夾角為θ，則由以上條件可判斷(　　)
A．該勻強(qiáng)磁場的方向是垂直紙面向里
B．所有電子在磁場中的軌跡相同
C．速率大的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長
D．與進(jìn)入磁場時(shí)相比，出磁場時(shí)，所有電子的速度方向都改變了2θ
[答案]　AD
[解析]　根據(jù)左手定則判斷可知，該勻強(qiáng)磁場的方向垂直紙面向里，故A正確。電子進(jìn)入磁場后受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力得evB＝m，解得電子的軌跡半徑r＝，則電子的軌跡半徑與電子的速率成正比，速率不同，軌跡半徑不同，則在磁場中的軌跡不同，故B錯(cuò)誤。根據(jù)圓的對稱性可知，所有電子離開磁場時(shí)速度方向與PQ線的夾角都是θ，則與進(jìn)入磁場時(shí)相比，出磁場時(shí)所有電子的速度方向都改變了2θ，由幾何知識(shí)可知，所有電子在磁場中的軌跡對應(yīng)的圓心角都是2θ，電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期T＝，解得T＝，可知所有電子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期都相同，則所有電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相同，為t＝·T＝，故C錯(cuò)誤，D正確。
例2　(多選)如圖所示，在Oxy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場，速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°。粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)(圖中未畫出)垂直穿過x軸。已知OM＝a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。則(　　)
A．粒子帶負(fù)電荷
B．粒子速度大小為
C．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為a
D．N與O點(diǎn)相距(＋1)a
[答案]　AD
[解析]　由題意知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，根據(jù)左手定則可知，粒子帶負(fù)電荷，A正確；由于初速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°，根據(jù)幾何關(guān)系可知∠OMO1＝∠OO1M＝45°，OM＝OO1＝a，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝O1M＝a，C錯(cuò)誤；洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子速度大小為v＝，B錯(cuò)誤；N與O點(diǎn)的距離為NO＝OO1＋r＝(＋1)a，D正確。
例3　(2025·河南省九師聯(lián)盟高三上12月聯(lián)考)(多選)如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)(圓心為O)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿PO方向從P點(diǎn)射入圓形區(qū)域，經(jīng)過時(shí)間t從圓上Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)射出。已知PQ連線長度為R，不計(jì)粒子的重力，下列說法正確的是(　　)
A．帶電粒子的速度為
B．帶電粒子在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
C．若僅將粒子入射速度的大小減小為原來的，在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D．若僅將粒子入射速度的大小減小為原來的，在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
[答案]　BD
[解析]　作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得2Rsinα＝R，則α＝60°，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝Rtanα＝R，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，聯(lián)立解得v＝，故A錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系可知，帶電粒子的軌跡所對應(yīng)的圓心角為θ＝2(90°－α)＝60°＝，在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝＝，故B正確；將粒子入射
速度的大小減小為原來的，由洛倫茲力提供向心力有vqB＝m，解得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r′＝，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在圓形區(qū)域中的軌跡所對應(yīng)的圓心角θ′滿足tan＝，解得θ′＝，其在圓形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′＝＝，故C錯(cuò)誤，D正確。
例4　(2022·湖北高考)(多選)在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計(jì)重力。若離子從P點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應(yīng)θ角的可能組合為(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
[答案]　BC
[解析]　若離子最后經(jīng)過下部分磁場從P點(diǎn)射出，如圖1，則θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝1，3，5，…)；若離子最后經(jīng)過上部分磁場從P點(diǎn)射出，如圖2，則θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝2，4，6，…)。綜上可知，B、C可能，A、D不可能。
例5　(多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為l，極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度[答案]　AB
[解析]　如圖所示，若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有r＝＋l2，又因?yàn)閝v1B＝m，解得v1＝；若粒子剛好打在極板左邊緣，有r2＝，又qv2B＝m，解得v2＝。欲使粒子不打在極板上，應(yīng)使v<或v>，故A、B正確，C、D錯(cuò)誤。
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第十章　磁場
第3講　專題：帶電粒子在
有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)
目錄
1
2
考點(diǎn)一　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)
考點(diǎn)二　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題
考點(diǎn)一　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)
1．解題關(guān)鍵——確定軌跡圓心
求解帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，首先應(yīng)畫出軌跡圓示意圖，找出軌跡圓心。確定軌跡圓心的3個(gè)依據(jù)：
(1)圓心一定在垂直于速度的直線上；
(2)圓心一定在弦的中垂線上；
(3)圓心與軌跡圓上任一點(diǎn)的距離一定等于軌跡半徑。
六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌跡半徑，入射速度所在直線和出射速度所在直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。
三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角(如圖所示)。粒子速度的偏轉(zhuǎn)角(φ)等于軌跡所對圓心角(α)，并等于AB弦與圓切線的夾角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
例1　(多選)空間中虛線上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一群電子以不同速率v從邊界上的P點(diǎn)以相同的方向射入磁場，其中某一速率為v0的電子從Q點(diǎn)射出，如圖所示。已知電子入射方向與邊界夾角為θ，則由以上條件可判斷(　　)
A．該勻強(qiáng)磁場的方向是垂直紙面向里
B．所有電子在磁場中的軌跡相同
C．速率大的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長
D．與進(jìn)入磁場時(shí)相比，出磁場時(shí)，所有電子的速度方向都改變了2θ
帶電粒子在單直線邊界勻強(qiáng)磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)
等角進(jìn)出：粒子進(jìn)、出磁場時(shí)，速度與邊界的夾角相等，即入射點(diǎn)的弦切角等于出射點(diǎn)的弦切角，如圖所示。
帶電粒子在圓形邊界勻強(qiáng)磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)
(1)徑向進(jìn)出
若粒子沿著邊界圓的某一半徑方向進(jìn)入磁場，則粒子離開磁場時(shí)速度的反向延長線一定過磁場區(qū)域的圓心(即沿著另一半徑方向射
出)。如圖甲所示。
(2)等角進(jìn)出
若粒子射入磁場時(shí)速度方向與入射點(diǎn)對應(yīng)半徑夾
角為θ，則粒子射出磁場時(shí)速度方向與出射點(diǎn)對應(yīng)半徑夾角也為θ。如圖乙所示。
考點(diǎn)二　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的
多解問題
1．帶電粒子電性不確定形成多解
受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。
如圖甲，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如果粒子帶正電，其軌跡為a，如果粒子帶負(fù)電，其軌跡為b。
2．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小或方向不確定形成多解
如圖乙，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如果B垂直紙面向里，其軌跡為a，如果B垂直紙面向外，其軌跡為b。
3．帶電粒子射入磁場時(shí)的速度大小或方向不確定形成多解
有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出粒子射入磁場時(shí)速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。
如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界勻強(qiáng)磁場時(shí)，由于粒子速度大小不確定，因此，它飛出磁場的情況不唯一，可能穿過下邊界，也可能轉(zhuǎn)過180°反向飛出，于是形成多解。
4．帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性或往復(fù)性形成多解
帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若因?yàn)榇艌鲋芷谛宰兓⒘Ｗ优c擋板反復(fù)碰撞或與電場組合等原因而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)具有周期性或往復(fù)性，則通常會(huì)形成多解。如圖丁所示，粒子進(jìn)入磁場的位置、時(shí)間不唯一。

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