資源簡介

物理
第講　專題：用“動態圓”思想處理臨界、極值問題
考點一　“放縮圓”
適用條件 入射點相同，速度方向一定、大小不同 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的增大而增大，如圖所示
軌跡圓圓心特點 軌跡圓圓心共線 運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上
臨界軌跡界定方法 縮放軌跡圓 以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑縮放作軌跡圓，從而探索粒子的臨界條件
例1　(多選)如圖所示，僅在x>0、y>0的空間中存在垂直xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。在x軸上有一粒子源P，到坐標原點的距離為L，可垂直于磁場沿著與x軸成30°角的方向發射速率不同的相同粒子，粒子質量為m、電荷量為＋q。不計重力的影響，則下列有關說法中正確的是(　　)
A．粒子從x軸上射出的位置坐標可能是
B．粒子從x軸上射出的位置坐標可能是
C．粒子在磁場中運動的最長時間為
D．粒子在磁場中運動的最長時間為
跟進訓練　(多選)如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內，O為圓心。兩圓形成的圓環內(含邊界)有垂直圓面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為－q(q>0)的粒子由大圓上的A點以速率v沿大圓切線方向進入磁場，粒子僅在磁場中運動，不計粒子的重力，則粒子運動速率v可能為(　　)
A． B．
C． D．
考點二　“旋轉圓”
適用條件 入射點相同，速度大小一定、方向不同 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則圓周運動半徑為r＝，如圖所示
軌跡圓圓心特點 軌跡圓圓心共圓 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點O為圓心、半徑r＝的圓上
臨界軌跡界定方法 旋轉軌跡圓 將半徑為r＝的軌跡圓以入射點為定點進行旋轉，從而探索粒子的臨界條件
例2　(2025·河北省唐山市高三上期中)(多選)如圖，直角三角形OAC區域內有垂直于紙面向外、磁感應強度大小未知的勻強磁場，∠A＝30°、OC邊長為L，在C點有放射源S，可以向磁場內各個方向發射速率為v0的同種帶正電的粒子，粒子的比荷為K。S發射的粒子有三分之二可以穿過OA邊界，OA含在邊界以內，不計重力及粒子之間的相互影響。則(　　)
A．磁感應強度大小為 B．磁感應強度大小為
C．OA上粒子出射區域長度為L D．OA上粒子出射區域長度為
跟進訓練　如圖所示，在直角坐標系xOy中，x軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向外。許多質量為m、電荷量為＋q的粒子以相同的速率v從原點O沿紙面內由從x軸負方向到y軸正方向之間的各個方向射入磁場區域。不計重力及粒子間的相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經過的區域，其中R＝，則正確的圖是(　　)
考點三　“平移圓”
適用條件 入射點在同一直線上，且速度大小、方向均相同 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則運動半徑r＝，如圖所示
軌跡圓圓心特點 軌跡圓圓心共線 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在與入射點所在直線平行的同一直線上
臨界軌跡界定方法 平移軌跡圓 將半徑為r＝的圓沿入射點所在直線進行平移，從而探索粒子的臨界條件
例3　(多選)如圖所示，在直角三角形ABC內充滿垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，∠B＝?，F垂直AB邊射入一束質量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t0，而運動時間最長的粒子在磁場中的運動時間為t0(不計重力)，則下列說法中正確的是(　　)
A．粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0
B．該勻強磁場的磁感應強度大小為
C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為d
D．粒子進入磁場時速度大小為
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2024·陜西省安康市高三上期末)(多選)如圖，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形的勻強磁場區，對從正方形右側邊離開磁場的電子，下列判斷正確的是(　　)
A．從a點離開的電子速度最小
B．從a點離開的電子在磁場中運動時間最短
C．從b點離開的電子運動半徑最小
D．從b點離開的電子速度偏轉角最小
2．(2025·河南省周口市高三上模擬訓練)在xOy平面的0≤yA． B．
C． D．
3．如圖所示，有界勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界，磁場中沿磁場方向放置一表面涂有熒光材料、底面半徑為R的圓柱體，電子打到圓柱體表面時熒光材料會發出熒光，且被圓柱體吸收。圓柱體的底面圓心O到磁場邊界MN的距離為2R。一平行電子束以垂直邊界MN向右的初速度v0＝射入磁場，已知電子質量為m，電荷量為e，則圖示截面圓上發光部分的長度等于(　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
4．(2024·四川省內江市高三下三模)(多選)如圖，在等腰梯形abcd區域內(包含邊界)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，邊長ad＝dc＝bc＝l，ab＝2l。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從a點沿著ad方向射入磁場中，不計粒子的重力，為了使粒子不能從bc邊射出磁場區域，粒子的速率可能為(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·河北省張家口市高三上模擬仿真訓練)(多選)如圖所示，等腰直角三角形區域分布有垂直紙面向里的勻強磁場，腰長AB＝2 m，O為BC的中點，磁感應強度B＝0．25 T，一群質量m＝1×10－7 kg，電荷量為－q＝－2×10－3 C的帶電粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，從BO之間射入磁場區域，帶電粒子不計重力，則(　　)
A．在AC邊界上有粒子射出的長度為(－1) m
B．C點有粒子射出
C．在AB邊界上有粒子射出的長度為1 m
D．磁場中運動時間最長的粒子從底邊距B點(－1) m處入射
6．如圖所示，以直角三角形abc為邊界的區域存在垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，S為位于ac邊中點的一個粒子源，某一時刻在紙面內向各個方向發射速率相同的帶正電粒子。已知垂直ac邊入射的粒子恰好從a點出射，粒子的質量為m，電荷量為q，∠c＝30°，ac＝L，不計粒子重力。求：
(1)粒子的速率；
(2)粒子在磁場中運動的最長時間。
[B組　綜合提升練]
7．真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為(　　)
A． B．
C． D．
8．(多選)如圖所示，邊長為L的正三角形abc區域內(含邊界)存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發射相同的帶電粒子，粒子質量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時，恰好沒有粒子穿出磁場區域，不計粒子的重力。下列說法正確的是(　　)
A．磁感應強度大小為
B．磁感應強度大小為
C．若發射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為
D．若發射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為
9．(多選)如圖所示，半徑為R的圓形區域內有一垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，P是磁場邊界上的最低點。大量質量均為m，電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，以相同的速率從P點向紙面內的各個方向射入磁場區域。已知粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑r＝2R，A、C為圓形區域水平直徑的兩個端點，粒子的重力、空氣阻力和粒子間的相互作用均不計，則下列說法正確的是(　　)
A．粒子射入磁場時的速率為v＝
B．粒子在磁場中運動的最長時間為t＝
C．不可能有粒子從C點射出磁場
D．不可能有粒子從A點沿水平方向射出磁場
10．(2024·內蒙古包頭市高三下一模)如圖，一直角三角形邊界的勻強磁場的磁感應強度為B，其中ac＝2d，bc＝d，c點有一發射帶正電粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向進入磁場，粒子比荷為k，不計粒子重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
A．ab邊有粒子出射的區域長度為0．5d
B．粒子在磁場中運動的最長時間為
C．若粒子從ac邊出射，入射速度v>kBd
D．若某粒子的速率v＝，則該粒子可以恰好從a點飛出
[C組　拔尖培優練]
11．(多選)如圖所示，在熒屏MN上方分布了水平方向的勻強磁場，方向垂直紙面向里。距離熒屏d處有一粒子源S，能夠在紙面內不斷地向各個方向同時發射速度大小為v、電荷量為q、質量為m的帶正電粒子，不計粒子的重力，已知粒子做圓周運動的半徑也恰好為d，則(　　)
A．粒子能打到熒屏MN上的區域長度為2d
B．能打到熒屏MN上最左側的粒子所用的時間為
C．粒子從發射到打到熒屏MN上的最長時間為
D．同一時刻發射的粒子打到熒屏MN上的最大時間差為
（答案及解析）
例1　(多選)如圖所示，僅在x>0、y>0的空間中存在垂直xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。在x軸上有一粒子源P，到坐標原點的距離為L，可垂直于磁場沿著與x軸成30°角的方向發射速率不同的相同粒子，粒子質量為m、電荷量為＋q。不計重力的影響，則下列有關說法中正確的是(　　)
A．粒子從x軸上射出的位置坐標可能是
B．粒子從x軸上射出的位置坐標可能是
C．粒子在磁場中運動的最長時間為
D．粒子在磁場中運動的最長時間為
[答案]　AC
[解析]　畫出粒子從x軸上射出的臨界軌跡如圖所示，此時軌跡圓與y軸相切，由幾何關系可知α＝30°，設臨界軌跡半徑為R，則有R＋Rsinα＝L，解得R＝，則此時粒子從x軸上x＝L－2Rsinα＝位置射出，故粒子從x軸上射出的位置坐標滿足：跟進訓練　(多選)如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內，O為圓心。兩圓形成的圓環內(含邊界)有垂直圓面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為－q(q>0)的粒子由大圓上的A點以速率v沿大圓切線方向進入磁場，粒子僅在磁場中運動，不計粒子的重力，則粒子運動速率v可能為(　　)
A． B．
C． D．
答案：ACD
解析：帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得軌跡半徑r＝，粒子僅在磁場中運動，則軌跡半徑r滿足0<2r≤R或3R≤2r≤4R，將r代入解得0例2　(2025·河北省唐山市高三上期中)(多選)如圖，直角三角形OAC區域內有垂直于紙面向外、磁感應強度大小未知的勻強磁場，∠A＝30°、OC邊長為L，在C點有放射源S，可以向磁場內各個方向發射速率為v0的同種帶正電的粒子，粒子的比荷為K。S發射的粒子有三分之二可以穿過OA邊界，OA含在邊界以內，不計重力及粒子之間的相互影響。則(　　)
A．磁感應強度大小為 B．磁感應強度大小為
C．OA上粒子出射區域長度為L D．OA上粒子出射區域長度為
[答案]　BC
[解析]　如圖所示，S發射的粒子有三分之二可以穿過OA邊界，根據左手定則可知，入射角與OC夾角為30°的粒子剛好從O點射出，根據幾何關系可知，粒子做圓周運動的軌跡半徑為R＝L，根據洛倫茲力提供向心力，有qv0B＝m，解得B＝，故A錯誤，B正確；沿CA方向入射的粒子穿過OA邊界時距O點最遠，根據題設并結合幾何知識可知，最遠距離為OD＝L，則OA上粒子出射區域長度為L，故C正確，D錯誤。
跟進訓練　如圖所示，在直角坐標系xOy中，x軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向外。許多質量為m、電荷量為＋q的粒子以相同的速率v從原點O沿紙面內由從x軸負方向到y軸正方向之間的各個方向射入磁場區域。不計重力及粒子間的相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經過的區域，其中R＝，則正確的圖是(　　)
答案：D
解析：如圖，從O點沿x軸負方向射入的粒子，軌跡為圓，和x軸相切于O點，在x軸上方，半徑為R；沿y軸正方向射入的粒子，軌跡為半圓，在y軸右側，和x軸的交點距O點為2R；沿其余方向射入的帶電粒子，軌跡最遠點均在以O為圓心、半徑為2R的圓周上；由以上分析結合定圓旋轉法，可知D正確。
例3　(多選)如圖所示，在直角三角形ABC內充滿垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，∠B＝?，F垂直AB邊射入一束質量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t0，而運動時間最長的粒子在磁場中的運動時間為t0(不計重力)，則下列說法中正確的是(　　)
A．粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0
B．該勻強磁場的磁感應強度大小為
C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為d
D．粒子進入磁場時速度大小為
[答案]　ABC
[解析]　根據題意，粒子垂直AB邊射入，垂直AC邊射出時經過四分之一個周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正確；帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子運動的周期T＝＝＝4t0，可解得該勻強磁場的磁感應強度大小為B＝，B正確；當粒子軌跡與BC邊相切時，粒子在磁場中運動的時間最長，為t0＝T，則在磁場中轉過的圓心角為120°，如圖所示，根據幾何關系可知Rsin＋＝d，解得R＝d，C正確；根據T＝可知，v＝＝＝，D錯誤。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2024·陜西省安康市高三上期末)(多選)如圖，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形的勻強磁場區，對從正方形右側邊離開磁場的電子，下列判斷正確的是(　　)
A．從a點離開的電子速度最小
B．從a點離開的電子在磁場中運動時間最短
C．從b點離開的電子運動半徑最小
D．從b點離開的電子速度偏轉角最小
答案：BC
解析：對從正方形右側邊離開磁場的電子，由幾何關系可知，從a點離開的電子運動半徑最大，從b點離開的電子運動半徑最小，根據洛倫茲力提供向心力有evB＝，解得電子在勻強磁場中的軌道半徑為r＝，可知軌道半徑越大，電子的速度v越大，則從a點離開的電子速度最大，從a點離開的電子速度偏轉角最小，軌跡對應的圓心角θ最小，從b點離開的電子速度偏轉角最大，根據在磁場中運動時間t＝T＝·＝，可知在磁場中軌跡對應的圓心角θ越小，在磁場中運動時間越短，故從a點離開的電子在磁場中運動時間最短，故B、C正確，A、D錯誤。
2．(2025·河南省周口市高三上模擬訓練)在xOy平面的0≤yA． B．
C． D．
答案：B
解析：根據洛倫茲力提供向心力可得qvB＝m，可知速率相等的大量質子的運動半徑r也相等，令質子初速度的方向與x軸正方向的夾角為發射角度，由題意可知，從磁場上邊界射出的質子的發射角度范圍為90°×＝60°，根據旋轉質子的偏轉軌跡圓和幾何關系可知，能從上邊界射出的質子的發射角度在0～60°之間，畫出發射角度為60°的質子的軌跡，該軌跡與磁場上邊界相切，如圖所示，由幾何關系知r＋rsin30°＝a，代入得r＝，故選B。
3．如圖所示，有界勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界，磁場中沿磁場方向放置一表面涂有熒光材料、底面半徑為R的圓柱體，電子打到圓柱體表面時熒光材料會發出熒光，且被圓柱體吸收。圓柱體的底面圓心O到磁場邊界MN的距離為2R。一平行電子束以垂直邊界MN向右的初速度v0＝射入磁場，已知電子質量為m，電荷量為e，則圖示截面圓上發光部分的長度等于(　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
答案：C
解析：由洛倫茲力提供向心力得ev0B＝，解得電子在磁場中的軌跡半徑r＝3R，畫出與圓柱體相切的兩條軌跡，如圖所示，由幾何關系知sinα＝，解得α＝，則截面圓上發光部分對應的圓心角為θ＝π＋＝π，則截面圓上發光部分的長度l＝θR＝πR，故選C。
4．(2024·四川省內江市高三下三模)(多選)如圖，在等腰梯形abcd區域內(包含邊界)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，邊長ad＝dc＝bc＝l，ab＝2l。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從a點沿著ad方向射入磁場中，不計粒子的重力，為了使粒子不能從bc邊射出磁場區域，粒子的速率可能為(　　)
A． B．
C． D．
答案：AC
解析：粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，整理有r＝，因ad＝dc，由幾何知識可知，ad、dc分別為粒子過a、c點軌跡圓的兩條切線，則粒子不從bc邊射出，其臨界情況分別是從b點和c點射出，其臨界軌跡如圖所示。由幾何關系知cos∠a＝cos∠b＝＝，則∠a＝∠b＝60°，∠d＝∠c＝180°－∠a＝120°，△O2ac為等邊三角形，∠aO2d＝＝30°，∠O1ab＝90°－∠a＝30°，當粒子從c點飛出時，由幾何關系有r1＝＝l，當粒子從b點飛出時，由幾何關系有r2＝·＝l，綜上所述，當rr1，即v<或v>時，粒子不能從bc邊射出磁場區域，故選A、C。
5．(2025·河北省張家口市高三上模擬仿真訓練)(多選)如圖所示，等腰直角三角形區域分布有垂直紙面向里的勻強磁場，腰長AB＝2 m，O為BC的中點，磁感應強度B＝0．25 T，一群質量m＝1×10－7 kg，電荷量為－q＝－2×10－3 C的帶電粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，從BO之間射入磁場區域，帶電粒子不計重力，則(　　)
A．在AC邊界上有粒子射出的長度為(－1) m
B．C點有粒子射出
C．在AB邊界上有粒子射出的長度為1 m
D．磁場中運動時間最長的粒子從底邊距B點(－1) m處入射
答案：ACD
解析：粒子在磁場中偏轉，根據洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子在磁場中運動的軌跡半徑R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示。平移粒子的運動軌跡，由幾何關系可知，粒子不可能到達C點，且沿BC方向從AC邊界射出時，射出點距A點最近，設為E，則能從AC邊射出的粒子長度為＝－＝R－R＝(－1) m，故A正確，B錯誤；由幾何關系可知，△BOF為等腰直角三角形，在AB邊界上有粒子射出的長度為BF＝FO＝R＝1 m，故C正確；磁場中運動時間最長的粒子運動半個圓周，軌跡與AB、AC均相切，由圖可知從底邊距B點l＝－R＝(－1) m處入射，故D正確。
6．如圖所示，以直角三角形abc為邊界的區域存在垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，S為位于ac邊中點的一個粒子源，某一時刻在紙面內向各個方向發射速率相同的帶正電粒子。已知垂直ac邊入射的粒子恰好從a點出射，粒子的質量為m，電荷量為q，∠c＝30°，ac＝L，不計粒子重力。求：
(1)粒子的速率；
(2)粒子在磁場中運動的最長時間。
答案：(1)　(2)
解析：(1)設粒子的速率為v，由垂直ac邊入射的粒子恰好從a點出射，可得粒子在磁場中運動的半徑為R＝ac
由牛頓第二定律可得qvB＝m
聯立解得v＝。
(2)由題意可知，當粒子的運動軌跡與bc邊相切時，粒子在磁場中運動的時間最長，設最長時間為t，如圖所示，切點為d，因S點到bc的距離l＝sinc＝＝Od，可知bc∥OS，由幾何知識可得軌跡對應的圓心角為θ＝240°，有
T＝
t＝T
聯立解得t＝。
[B組　綜合提升練]
7．真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：電子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，有evB＝m，則磁感應強度與圓周運動軌跡半徑的關系式為：B＝，即運動軌跡半徑越大，磁場的磁感應強度越小。電子從圓心沿半徑方向進入磁場，當其恰好不離開圖中實線圓圍成的區域時，運動軌跡與實線圓相切，此時電子運動軌跡半徑有最大值rmax，如圖所示，其中A點為電子做圓周運動的圓心。由幾何關系可得：(3a－rmax)2＝r＋a2，解得rmax＝a，則磁場的磁感應強度最小為Bmin＝＝，故C正確。
8．(多選)如圖所示，邊長為L的正三角形abc區域內(含邊界)存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發射相同的帶電粒子，粒子質量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時，恰好沒有粒子穿出磁場區域，不計粒子的重力。下列說法正確的是(　　)
A．磁感應強度大小為
B．磁感應強度大小為
C．若發射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為
D．若發射粒子速度為2v時，在磁場中運動的最短時間為
答案：BC
解析：磁場垂直紙面向外，粒子恰好沒有穿出磁場區域，因此粒子在磁場中運動軌跡的直徑長度恰好等于O點垂直于bc(或ac或ab)的線段長度，設垂足為d，由幾何關系得Od＝L，則粒子的軌跡半徑為r＝L，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得B＝＝，A錯誤，B正確；當發射粒子速度為2v時，由q·2vB＝m，解得r′＝＝，當粒子從垂足d射出時，在磁場中運動軌跡所對的弦最短、圓心角最小，粒子在磁場中的運動時間最短，由幾何關系可得，對應的圓心角最小為θ＝60°，則最短時間為tmin＝，又因為T＝＝，則有tmin＝＝，C正確，D錯誤。
9．(多選)如圖所示，半徑為R的圓形區域內有一垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，P是磁場邊界上的最低點。大量質量均為m，電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，以相同的速率從P點向紙面內的各個方向射入磁場區域。已知粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑r＝2R，A、C為圓形區域水平直徑的兩個端點，粒子的重力、空氣阻力和粒子間的相互作用均不計，則下列說法正確的是(　　)
A．粒子射入磁場時的速率為v＝
B．粒子在磁場中運動的最長時間為t＝
C．不可能有粒子從C點射出磁場
D．不可能有粒子從A點沿水平方向射出磁場
答案：BD
解析：粒子在磁場中做圓周運動，根據牛頓第二定律可知，Bqv＝，且r＝2R，所以v＝，A錯誤；粒子在磁場中做圓周運動的周期為T＝＝，要使粒子在圓形磁場中的運動時間最長，則粒子圓周運動的軌跡應以磁場圓直徑為弦，則粒子的運動軌跡如圖甲，由幾何關系知，此軌跡對應的圓心角為60°，所以最長時間為t＝T＝，故B正確；當入射速度的方向合適時，粒子可以從C點射出，如圖乙所示，故C錯誤；若粒子能從A點水平射出磁場，則在A點作速度方向的垂線，再作AP兩點連線的中垂線，交點即為圓心，此時圓周運動的半徑r＝R≠2R，如圖丙所示，故D正確。
10．(2024·內蒙古包頭市高三下一模)如圖，一直角三角形邊界的勻強磁場的磁感應強度為B，其中ac＝2d，bc＝d，c點有一發射帶正電粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向進入磁場，粒子比荷為k，不計粒子重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
A．ab邊有粒子出射的區域長度為0．5d
B．粒子在磁場中運動的最長時間為
C．若粒子從ac邊出射，入射速度v>kBd
D．若某粒子的速率v＝，則該粒子可以恰好從a點飛出
答案：B
解析：粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝，解得粒子運動的軌跡半徑R＝＝，因粒子以不同速率沿不同方向射入磁場，故可以應用極限思維，當粒子的速度極大時，軌跡半徑也極大，粒子在磁場中的運動軌跡趨于直線，則ab邊有粒子出射的區域長度趨于ab邊的長度，由幾何關系可知ab＝＝d>0．5d，故A錯誤；粒子在磁場中做圓周運動的周期為T＝＝，若粒子在磁場中的軌跡對應的圓心角為α，則粒子在磁場中運動的時間為t＝T＝，由幾何知識可知沿cb邊射入、從ac邊射出的粒子的速度偏轉角最大，軌跡對應的圓心角最大，令其為αm，如圖所示，由幾何關系知αm＝，則粒子在磁場中運動的最長時間為tm＝，故B正確；由R＝可知，粒子速率越小，軌跡半徑越小，能從ac邊出射的粒子，減小粒子的速率后，粒子的出射點向c點靠近，當粒子的速率趨近于0時，仍可以從ac邊出射，故C錯誤；若某粒子的速率v＝，則其軌跡半徑為r＝，而ac＝2d>2r，所以無論粒子的入射方向朝向哪，該粒子都不可能從a點飛出，D錯誤。
[C組　拔尖培優練]
11．(多選)如圖所示，在熒屏MN上方分布了水平方向的勻強磁場，方向垂直紙面向里。距離熒屏d處有一粒子源S，能夠在紙面內不斷地向各個方向同時發射速度大小為v、電荷量為q、質量為m的帶正電粒子，不計粒子的重力，已知粒子做圓周運動的半徑也恰好為d，則(　　)
A．粒子能打到熒屏MN上的區域長度為2d
B．能打到熒屏MN上最左側的粒子所用的時間為
C．粒子從發射到打到熒屏MN上的最長時間為
D．同一時刻發射的粒子打到熒屏MN上的最大時間差為
答案：BD
解析：打在熒屏MN上的粒子軌跡的臨界狀態如圖1所示，根據幾何關系知，帶電粒子能打到熒屏MN上的區域長度為：l＝AB＝R＋R＝(1＋)R＝(1＋)d，故A錯誤；由運動軌跡圖可知，能打到熒屏MN上最左側的粒子偏轉了半個周期，故所用時間為：t＝T，又T＝，解得：t＝，故B正確；在磁場中運動時間最長(優弧1)和最短(劣弧2)的粒子的運動軌跡如圖2所示，粒子做完整圓周運動的周期T＝，由幾何關系可知，最長時間：t1＝T＝，最短時間：t2＝T＝，根據題意得同一時刻發射的粒子打到熒屏MN上的最大時間差：Δt＝t1－t2＝，故C錯誤，D正確。
1(共44張PPT)
第十章　磁場
第4講　專題：用“動態圓”
思想處理臨界、極值問題
目錄
1
2
3
考點一　“放縮圓”
考點二　“旋轉圓”
考點三　“平移圓”
課時作業
4
考點一　“放縮圓”
適用條件 入射點相同，速度方向一定、大小不同 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的增大而增大，如圖所示
軌跡圓圓心特點 軌跡圓圓心共線 運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上
臨界軌跡界定方法 縮放軌跡圓 以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑縮放作軌跡圓，從而探索粒子的臨界條件
考點二　“旋轉圓”
解析：如圖，從O點沿x軸負方向射入的粒子，軌跡為圓，和x軸相切于O點，在x軸上方，半徑為R；沿y軸正方向射入的粒子，軌跡為半圓，在y軸右側，和x軸的交點距O點為2R；沿其余方向射入的帶電粒子，軌跡最遠點均在以O為圓心、半徑為2R的圓周上；由以上分析結合定圓旋轉法，可知D正確。
考點三　“平移圓”
課時作業
1．(2024·陜西省安康市高三上期末)(多選)如圖，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形的勻強磁場區，對從正方形右側邊離開磁場的電子，下列判斷正確的是(　　)
A．從a點離開的電子速度最小
B．從a點離開的電子在磁場中運動時間最短
C．從b點離開的電子運動半徑最小
D．從b點離開的電子速度偏轉角最小
［A組　基礎鞏固練］
6．如圖所示，以直角三角形abc為邊界的區域存在垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，S為位于ac邊中點的一個粒子源，某一時刻在紙面內向各個方向發射速率相同的帶正電粒子。已知垂直ac邊入射的粒子恰好從a點出射，粒子的質量為m，電荷量為q，∠c＝30°，ac＝L，不計粒子重力。求：
(1)粒子的速率；
(2)粒子在磁場中運動的最長時間。
［B組　綜合提升練］
［C組　拔尖培優練］

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