資源簡介

解幾解題策略(一)
一.抓住問題實質，強化求簡意識
1.正確理解和運用概念——正確理解概念，掌握其本質屬性，并在運用中不斷加強認識，是強化求簡意識的前提。
例1.已知點A（－1，0），B(1,2),C(1,0),求點C作直線AB的垂線，求此直線的方程。
分析:如果利用點斜式y=k(x-1)求解,思路容易得到,但實現過程較麻煩.如果能夠發現構成的三角形是等腰直角三角形,并且斜邊AB的中點為D(0,1),那么CD就是所求直線.顯然用截距式較為簡便. (x+y-1=0)
例2.定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y=x上移動，記線段AB的中點為M。求點M到y軸的最短距離，并求此時點M的坐標。( () )
例3.設直線l過拋物線y2=2px的焦點且與拋物線交于A、B兩點，求證對于這條拋物線任何一條給定的弦CD，直線l不是CD的垂直平分線。
2 靈活選用方程的形式——根據題設條件特點，選用恰當的直線和圓錐曲線方程是強化求簡意識的重要手段，一旦靈活選用恰當的方程，就可大大簡化求解過程，豐富解題方法。
例1.過p(4,8)作直線，被圓x2+y2=25截得的弦長恰好等于6，求此直線方程。(x=4或3x-4y+20)
例2.已知拋物線y2=4x的一條焦點弦被焦點分成為m,n兩部分，求證:=1
3用整體觀念解答有關問題——用整體觀念認識和處理某些問題，可以避免繁瑣運算，獲得簡捷解法，提高求簡意識的層次。
例1.如果雙曲線經過點（6,）,并且它的兩條漸近線議程是y=±,求雙曲線的方程.

例2.已知直線l交橢圓于M、N兩點,B(0,4)是橢圓的一個頂點，若△BMN的重心在橢圓的右焦點F上，求直線l的方程。(6x-5y-28=0)
例3.已知拋物線y2=與x2+y2-2ax+a2-1=0，若兩曲線有三個公共點，求a的范圍。(a=1)
4善于發掘和使用隱含條件——如果隱含條件不能得到發掘和使用，則勢必造成求解過程笨拙繁瑣，甚至走進死胡同，一旦發掘出隱含條件，并巧妙地加以運用，就會擺脫常規解法的束縛，得到簡便易行的解法，這是建立求簡意識的重要內容。
例.雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線l交雙曲線于P、Q兩點,若OP⊥OQ,且|PQ|=4，求雙曲線方程。(x2-=1)
解幾解題策略(二)
二.掌握常見題型的求解思路,不斷提高運算能力
1圓錐曲線性質的討論方法——由于焦點和準線是構成圓錐曲線的最基本元素，它提示了曲線的本質屬性，故應重視對這兩種基本元素的研究。另外，離心率也是確定圓錐曲線的特征元素，是討論圓錐曲線性質的重要數量指標，也應當重點加以研究。
說明:求圓錐曲線的離心率的取值范圍是當前命題的一個熱點,應引起我們的重視.要求離心率的取值范圍,就要建立起關于離心率e的不等式(組),常用方法有利用圓錐曲線定義、利用圓錐曲線的變化范圍、利用兩曲線的位置關系等.(如例1、例2)
例1.已知橢圓的長軸兩端點是A、B,若橢圓上存在點P，且∠APB=1200，求橢圓的離心率的取值范圍。(≤e<1)
例2.已知雙曲線的左、右焦點為F1、F2，左準線為l, P是雙曲線左半支上一點，并且有|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的比例中項，求雙曲線離心率的范圍。(1例3.雙曲線與橢圓有公共焦點F1(-4,0)和F2(4,0)，設e1、e2分別為橢圓和雙曲線的離心率，且，求雙曲線和橢圓交點的軌跡方程。(x2+y2±17x+16=0)
例4.橢圓x2+=1（α為銳角）的焦點在x軸上,A是它的右頂點,這個橢圓與射線y=x
(x≥0)的交點是B以A為焦點，且過B點，開口方向向左的拋物線的頂點為(m,0)，當橢
圓的離心率e∈(時，求m的取值范圍。 (12.直線與圓錐曲線的關系的題型與求解策略——直線與圓錐曲線的關系一直是高考命題的熱點，它的主要題型有求直線和圓錐曲線的交點、求直線被圓錐曲線所截弦長、對稱問題、定值問題、交點軌跡問題等。
例1.已知橢圓(a>b>0)，A、B是橢圓和兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x0,0），證明:.
分析: 本題涉及到圓錐曲線弦的中點及直線與圓錐曲線的交點，一般解法是設法得到關于x或y的二次方程，然后使用韋達定理求解。
例2.已知橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M、N，設∠F2F1M=α當α取什么值時,|MN|的長度等于橢圓的短軸長。
分析: 本題涉及到“弦長”，一般應使用韋達定理求解或使用圓錐曲線的極坐標方程求解。
例3.過點M(-2,0)作直線L交雙曲線x2-y2=1于點A，B，探索是否存在直線L使∠AOB=（O為坐標原點），若存在求出L方程；若不存在說明理由。
分析:本題涉及到直線被圓錐曲線所截弦，對某一定點（如原點）張直角問題，并且是以探索題的形式給出的，在求解過程中，也往往要使用韋達定理。
例4.設A(x1,y1)為橢圓x2+2y2=2上任意一點，過A作一條斜率為-的直線L，又設d為原點到直線L的距離， 分別為A到兩焦點的距離，試證明=常數。
分析:本題涉及到直線與圓錐曲線相交時，所出現的定值問題，在求解過程中，應從運動變化中抓住不變因素，從而把握住解題的關鍵。
解幾解題策略(三)
例5.給定橢圓C:，試確定m的取值范圍，使得對直線:y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關于對稱。
分析:本題涉及到圓錐曲線存在動弦被直線垂直平分問題，也籠統地簡稱為對稱問題，如果圓錐曲線上存在A、B兩點關于直線對，則線段AB的中點在直線上，且kAB·kL=-1，這兩個性質是解決對稱問題的主要依據。
例6.在直角坐標系平面內，有一個正方形ABCD，邊AB在直線y=x+4上，頂點C、D在拋物線y2=x上，求正方形ABCD的面積。(18或 50)
分析:本題涉及到直線和圓錐曲線上的點所構成圖形的面積，這類問題綜合性較強，往往需要求弦長、求距離、求角。
3.解幾中最值的解題途徑。
(1)定義法——圓錐曲線的定義刻畫了動點與定點（或定直線）的距離之間的定量關系，利用這些定量關系，可以將某些動態問題置于靜態來考查，從而獲得解題途徑。
例1.設AB為過橢圓中心的弦,F1為左焦點，求△ABF1的最大面積。(12)
例2.在拋物線y2=16x內有一點G(4,4),拋物線的焦點為F，若以F,G為焦點作一個拋物線相交并且長軸最短的橢圓，求此橢圓方程。()
(2)圖形性質法——平面幾何和解析幾何密切相關,靈活地運用平面幾何中的圖形性質,往往可以使問題化繁為簡.
例3.已知平面上兩點A(4,1)和B(0,4),在直線l:3x-y-1=0上找一點M,使|MA|-|MB|最大,求點M的
坐標。( (2 ,5) )
例4.已知F2為雙曲線的右焦點,P為雙曲線上一點，A(4,1),求|PA|+|PF2|的最小值和 的最大值。( )
(3)代數法——解析幾何的基本思想是用代數方法研究幾何問題,那么在研究解析幾何的最值問題時,也必然應當使用代數的相關知識和方法.
例5.設拋物線y2=8x的弦AB的方程為x-y-8=0，問點C位于拋物線的弧AOB上何處時，內接△ABC的面積最大。( C(2, 4) )
例6.定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求此時點 M的坐標。( , (,±) )
解幾解題策略(四)
(4)三角法——由于直線、圓、橢圓的參數方程都是三角形式，因此求與它們有關的最值時，可以利用角參數，把問題轉化為三角函數的最值。
例7.設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，e =，已知點P(0, )到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標。
3求軌跡方程和常用方法——根據曲線的幾何性質寫出曲線的方程，既是解幾的重點，也是高考命題的熱點。一方面求軌跡方程常常涉及到代數、三角、幾何等方面的知識，有一定綜合性難度；另一方面求軌跡方程又有固定可循的解法，只要平時全面地進行熟練，高考時就可以從此類題目多得分，而避免失分。
求軌跡方程的一般步驟：建系－設點－列式－代換－化簡－證明（通常可省略）
幾種常用方法：
(1)直線法——由生成軌跡的幾何條件和圖形性質，列出等式，然后代入點的坐標，直接得到兩線一動點坐標所滿足的軌跡方程。
例1.試求與定圓x2+y2=1及定直線x=5都相切的動圓圓心的軌跡方程。
(2)定義法——如題設條件中出現到定點與定直線的距離之比或到兩定點的距離之和或差為定值等條件，可利用圓錐曲線求出軌跡方程。
例2.求經過原點,且以F1(2,0)為它的一個焦點,長軸長為6的橢圓中心的軌跡方程。
(3)轉移法——當動點P(x,y)依賴于某已知曲線上的另一個動點Q(x’,y’)而運動，且Q的坐標可用P的坐標表示出來時,利用Q點在已知曲線上，就可以將P點轉移到已知曲線上,從而求得P點的軌跡方程。常用轉移策略有中點及定比分點的坐標公式、三角形重心坐標公式，也可以利用對稱性進行轉移。
例3.已知拋物線y2=x+1，定點A(3,1),B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上,且有BP:PA=1:2。當點B在拋物線上變動時,求點P的軌跡方程，并指出這個軌跡為哪種曲線。(x =y2-y+)
(4)交軌法——如果動點是兩條動曲線的交點，可以變換兩曲線方程直線求出交點的軌跡方程或解方程組求出交點的參數方程，再化為普通方程。
例4.自拋物線y2=2px上任一點M，向其準線l上引垂線，垂足為Q，拋物線的頂點為O，焦點為F，如果OM與FQ交于點R，求動點R的軌跡方程。( 2x2+y2-px=0 (0≤x<) )
(5)參數法——根據給定的軌跡條件，用另一個變量（參數）分別表示動點坐標，x,y，從而間接地把x,y聯系起來，得到軌跡的參數方程，消去參數，則得到軌跡的普通方程。
例5.已知兩點P(-2,2),Q(0,2)以及一直線l:y=x，設長為的線段AB在直線l上移動，求直線PA和QB的交點M ( (y+1)2-(x+1)2=8 )
例6.點A(3, 0)是圓x2+y2=9上一定點,在圓上另取兩點B、C,使∠BAC=,求△ABC的重心M的軌跡方程。

展開更多......

收起↑