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集合與簡易邏輯
基本知識網絡圖：
第一部分：集合的概念及其運算
1、集合與元素
x是集合A的元素則記作x∈A，若元素x不是集合A的元素則記作。
2、集合的分類
有限集、無限集、 空集 。
3、集合元素的特性
確定性、互異性、無序性
4、集合的表示方法
列舉法、描述法 {x|p(x)}、圖示法
5、常見數集及符號
N、N*(N+)、Z、Q、R、{x|x=2n,n∈Z}、{x|x=2n+1,n∈Z}
集合名稱
定 義
基本性質
子 集
（真子集）
若集合A的任何 一個元素
都是集合B的元素，則稱
集合A是集合B的子集，
記作（）
①
②
③若,，則
④n元素集的子集數是2n個
等 集
如果且則稱A
和B相等記作A=B
兩個相等的非空集合它們的
元素完全相同
交 集
A∩B={x|x∈A且x∈B}
① A∩A=A
② A∩=
③ A∩B= B∩A
④(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
并 集
A∪B={x|x∈A或x∈B}
① A∪A=A
② A∪=A
③ A∪B= B∪A
④(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
補集
CsA={x|x∈S且x∈A}
① (CUA)∪A=U
② (CUA)∩A=
③ CU(CUA)=A，其中U為全集
1. 集合與元素的關系：
弄清楚集合與集合，元素與集合各是什么關系
例1、① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 上述正確的是
2. 集合元素具有三要素（確定性、無序性、互異性）.
在求有關集合問題時，尤其要注意元素的互異性，如：
例2、，求 .
例3、，求的值.
例4、已知集合
（1）若A中只有一個元素，求A的值，并求出這個集合.
（2）若A中至多有一個元素，求A的范圍.
（3）若A中有兩個元素，求A的范圍.
（4）若A中至少有一個元素，求A的范圍.
3. 集合的表示法（列舉法、描述法、圖像法）.
（1）列舉法：
（2）描述法：{特征元素|元素的屬性}
特征元素顯示誰是元素，元素的屬性顯示集合中所有元素具有的性質，要滿足的條件；反過來，只要滿足元素屬性，都要作為集合的元素.
①理解集合的意義——抓住集合的代表元素(特征元素)。如：
(1)——函數的自變量的集合；
(2)——函數的函數值的集合；
(3)—函數圖象上的點集，
例5、①，;
②，. 分別求.
例6、，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）圖像法：（韋恩圖、文氏圖）
圖像法常用于解決有限集的計算和抽象的集合的關系
例7、，，，求A、B
例8、U為全集，，則下列結論錯誤的是： （ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 集合的運算（子集；交、并、補集）.
（1）集合的其他運算性質：　
①；　 ②； ③；④； ⑤；
⑥； ⑦.
（2）對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為
例9、，求集合P的個數.
（3）注意補集與命題的否定（）的聯系.
（命題P為集合P命題為集合）
例10、已知的解集為M,若且，求.
同類題：《導》P26.11 特別提醒：若，則，為什么呢？
（4）已知集合A和含參集合B的運算問題
①遇到時，你是否注意到“極端”情況：或；
同樣當時，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
②若集合A、B是不等式型的集合，你是否運用了實數軸參與運算？（數形結合法）
注意：弧線同時覆蓋的區域為其交集范圍；只要有弧線覆蓋的區域為其并集范圍。
③在計算過程中，你注意到答案的范圍端點取舍問題嗎？
不等式型：
例11、，，，求的范圍.
變式：，，，求的范圍.
例12、，，，求的范圍.
變式：，，，求的范圍.
例13、，，，求的范圍.
變式1：，，，求的范圍.
變式2：，，，求的范圍.
析：二次含參不等式，注意觀察是非能分解，若能分解將簡化題目，如上述原題；若不能分解可借助三個二次的關系，利用不等式端點與方程的對應關系，再結合根的分布問題，如變式1、2 同類題：變：《導》P20.9， P22.深化3，P23.12
例14、，，，求的范圍.
變式2：，，，求的范圍.
第二部分：不等式
1.等式的解法.
（1）絕對值不等式.(牢記公式).
①
②
注意：（1）、（2）公式可記為“大于取兩邊，小于取中間”，但前提必須是
③
④
注意：（3）、（4）公式不必討論的正負
⑤
例15、解不等式：① ② ③
⑥
法1:零點分段討論（每段內求交，段與段間求并，即“先交后并”）
法2:數形結合法（絕對值的幾何意義），但形如就不適用了.
（2）.一元二次不等式.
解二次不等式的步驟：
①看二次項系數 （正、負-化為正、零-不是二次）.
②用十字相乘法分解，若不能分解判斷的正負,做出草圖.
③結合圖像和不等號寫出解集.
尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：
或
或
R
R
R
例16、解不等式：① ② ③
④ ⑤
（3）.分式、高次不等式.
穿針引線法：
例17、解不等式：① ② ③
2.含參不等式的解法.（分類討論思想）
按正常解法進行，當因為參數不同而導致有不同解答路徑時，討論參數按對應的不同路徑分開進行，從而使問題得到完整的解決。
注意：①關鍵是掌握好分類標準
②討論參數時，要對參數所在范圍討論完整，做到不重不漏。
③討論完畢，要有總結，而且是分類寫出解集。
④注意分類討論與分段討論的區別，分段討論是討論的和求的相同，如：零點分段討論；分類討論是討論的和求的不同，如：解含參不等式，討論參數a求的是x。
例18、解不等式：① ② ③
④
同類題：《導》P20.8、10、12；P25例3、深化3；P26.11（2）《新》二期，提高，10、11
注意：含參二次，往往能分解，若不能分解，如③，也還是按基本的解二次的方法往下做，尋找分類標準。若例20加上條件，你又會解嗎？
3.不等式解集的逆用 （知解集，求參）
（1）利用解集的端點與不等式對應的方程的根的關系解題
例19、①的解集是，求a和b。
②的解集是，求a和b。
③的解集是，求a。
④已知不等式 ax2+bx+c>0的解集為{x| –20的解集。
（2）解集無端點時，常見題型：有解、無解、恒成立
例20、①恒成立，求的范圍。
②解集為，求的范圍。
析：關鍵是求出的范圍，再用最值來解決；
; 能幫你快速解題
例21、恒成立，求的范圍。
析：在上恒成立或
4.一元二次方程根的分布理論。
（1）. ①方程在上有兩根(兩根都大于k)、②在（m,n）上有兩根（兩根在兩點之內）、③在和（兩根在兩點兩邊）上各有一根的充要條件分別是什么？
（、、）。 根的分布理論成立的前提是開區間，
（2）.若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，再令和檢查端點的情況．
例22、已知函數在區間上至少存在一個實數，使，求實數的取值范圍。　 （答：）
第三部分：簡易邏輯
1.復合命題真假的判斷。
“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；
“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；
“非命題”的真假特點是“真假相反”。
例23、在下列說法中：⑴“且”為真是“或”為真的充分不必要條件；
⑵“且”為假是“或”為真的充分不必要條件；
⑶“或”為真是“非”為假的必要不充分條件；
⑷“非”為真是“且”為假的必要不充分條件。其中正確的是_______
2.四種命題及其相互關系。
若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若﹁p 則﹁q” ；逆否命題為“若﹁q 則﹁p”。
提醒：（1）互為逆否關系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；
（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意區別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；
例24、已知命題“若p則q”，這一命題的否定是S,則S的否命題是_______
（4）對于條件或結論是不等關系或否定式的命題，一般利用等價關系判斷其真假，這也是反證法的理論依據。
（5）哪些命題宜用反證法？
3.充要條件。（定義法、集合法、傳遞法、逆否命題法）
關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），
①由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；（多數時候用集合法）
②由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。
例25、給出下列命題：
①實數是直線與平行的充要條件；
②若是成立的充要條件；
③已知，“若，則或”的逆否命題是“若或則”；
④“若和都是偶數，則是偶數”的否命題是假命題 。
其中正確命題的序號是_______

例26、設命題p：；命題q:。若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實數a的取值范圍是

例27、p是r的充要條件，r的充分不必要條件是S，S是┐q的必要條件，則┐p是q的
條件
例28、“或” 是“” 的 條件.

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