資源簡介

物理
第講　專題：電磁感應中的動力學和能量問題
考點一　電磁感應中的動力學問題
1．概述
電磁感應現(xiàn)象中產生的感應電流在磁場中受到安培力的作用，從而影響導體棒(或線圈)的受力情況和運動情況。涉及安培力大小、方向的分析。
2．兩種狀態(tài)及處理方法
狀態(tài) 特征 處理方法
平衡態(tài) 加速度為零 根據平衡條件列式分析
非平衡態(tài) 加速度不為零 根據牛頓第二定律進行分析或結合功能關系進行分析
3．力學對象和電學對象的相互關系
例1　(2025·湖北省高三上10月聯(lián)考)艦載機返回航母甲板時有多種減速方式，如圖所示為一種電磁減速方式的簡要模型。固定在水平面上足夠長的平行光滑導軌，左端接有定值電阻，整個裝置處在勻強磁場中。現(xiàn)有一艦載機可等效為垂直于導軌的導體棒ab，以一定初速度水平向右運動，導體棒和導軌的電阻不計。則導體棒運動過程中，其速度v、加速度a隨運動時間t的關系圖像可能正確的是(　　)
例2　(多選)如圖所示，間距為L的無限長光滑導軌平面傾斜放置，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面向下，導軌平面與水平面夾角為θ，一個質量為m、電阻為r的光滑導體棒垂直橫跨在兩根導軌上，導軌上端的定值電阻阻值為R，導軌電阻不計，當導體棒從靜止釋放后，沿導軌下滑距離l時達到穩(wěn)定狀態(tài)，下滑過程中導體棒與導軌始終垂直且接觸良好，以下說法正確的是(　　)
A．導體棒做變加速運動，最大加速度為gsinθ
B．導體棒做勻加速運動，加速度為gsinθ
C．導體棒穩(wěn)定時的速度為
D．導體棒穩(wěn)定時的速度為
例3　(2025·河南省駐馬店市高三上11月月考)(多選)如圖所示，U形光滑金屬導軌與水平面成37°角傾斜放置，現(xiàn)將一金屬桿垂直放置在導軌上且與兩導軌接觸良好，在與金屬桿垂直且沿著導軌向上的外力F的作用下，金屬桿從靜止開始做勻加速直線運動。整個裝置處于垂直導軌平面向上的勻強磁場中，外力F的最小值為8 N，經過2 s金屬桿運動到導軌最上端并離開導軌。已知U形金屬導軌兩軌道之間的距離為1 m，導軌電阻可忽略不計，金屬桿的質量為1 kg、電阻為1 Ω，磁感應強度大小為1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。下列說法正確的是(　　)
A．拉力F是恒力
B．拉力F隨時間t均勻增加
C．金屬桿運動到導軌最上端時拉力F為12 N
D．金屬桿運動的加速度大小為2 m/s2
考點二　電磁感應中的能量問題
1．電磁感應中的能量轉化
2．求解電磁感應中的焦耳熱Q的三種方法
例4　(人教版選擇性必修第二冊·第二章[復習與提高]B組T2改編)(多選)如圖所示，單匝線圈ABCD在外力作用下以速度v向右勻速進入勻強磁場，第二次又以速度2v勻速進入同一勻強磁場，則下列說法正確的是(　　)
A．第二次與第一次進入時線圈中電流之比為2∶1
B．第二次與第一次進入時外力做功的功率之比為2∶1
C．第二次與第一次進入過程中通過線圈某橫截面的電荷量之比為2∶1
D．第二次與第一次進入時線圈中產生熱量之比為2∶1
例5　如圖，MN和PQ是電阻不計的平行光滑金屬導軌，金屬棒與導軌間接觸良好，其間距為L，右端接一個阻值為R的定值電阻。平直部分導軌左邊區(qū)域有寬度為d、方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。質量為m、電阻也為R的金屬棒從高度為h處靜止釋放，到達磁場右邊界處恰好停止。則金屬棒穿過磁場區(qū)域的過程中(　　)
A．通過電阻R的電流方向為從N到Q
B．金屬棒剛進入磁場時產生的感應電動勢為BL
C．通過金屬棒的電荷量為
D．金屬棒產生的焦耳熱為mgh
例6　(2021·天津高考)如圖所示，兩根足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ間距L＝1 m，其電阻不計，兩導軌及其構成的平面均與水平面成θ＝30°角，N、Q兩端接有R＝1 Ω的電阻。
一金屬棒ab垂直導軌放置，ab兩端與導軌始終有良好接觸，已知ab的質量m＝0．2 kg，電阻r＝1 Ω，整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度大小B＝1 T。ab在平行于導軌向上的拉力作用下，以初速度v1＝0．5 m/s沿導軌向上開始運動，可達到最大速度v＝2 m/s。運動過程中拉力的功率恒定不變，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求拉力的功率P；
(2)ab開始運動后，經t＝0．09 s速度達到v2＝1．5 m/s，此過程中ab克服安培力做功W＝0．06 J，求該過程中ab沿導軌的位移大小x。
課時作業(yè)
[A組　基礎鞏固練]
1．(2021·北京高考)如圖所示，在豎直向下的勻強磁場中，水平U形導體框左端連接一阻值為R的電阻，質量為m、電阻為r的導體棒ab置于導體框上。不計導體框的電阻、導體棒與框間的摩擦。ab以水平向右的初速度v0開始運動，最終停在導體框上。在此過程中(　　)
A．導體棒做勻減速直線運動
B．導體棒中感應電流的方向為a→b
C．電阻R消耗的總電能為
D．導體棒克服安培力做的總功小于mv
2．(2024·湖北省十堰市高三下4月二模)如圖甲所示，電阻不計、間距為0．5 m的光滑平行金屬導軌豎直放置，上端連接阻值為3 Ω的定值電阻，虛線OO′下方存在垂直于導軌平面向里、磁感應強度大小為2 T的勻強磁場。現(xiàn)將電阻為1 Ω的金屬桿ab從OO′上方某處由靜止釋放，金屬桿ab下落過程中始終水平且與導軌接觸良好，其速度大小v與下落時間t的關系圖像如圖乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．金屬桿進入磁場后a端的電勢較高
B．金屬桿進入磁場后產生的電功率為8 W
C．金屬桿進入磁場后兩端的電壓為4 V
D．金屬桿的質量為0．1 kg
3．(2025·河北省張家口市高三上11月月考)有一邊長為L的正方形導線框，質量為m，由高H處自由下落，如圖所示，其邊ab進入勻強磁場區(qū)域后，線框開始做減速運動，直到其邊cd剛好穿出磁場時，速度減為ab邊剛進入磁場時速度的一半，此勻強磁場的寬度也是L，線框在穿越勻強磁場過程中產生的電熱是(　　)
A．2mgL B．2mgL＋mgH
C．2mgL＋mgH D．2mgL＋mgH
4．(2022·上海高考)如圖，一個正方形導線框以初速度v0向右穿過一個有界的勻強磁場。線框兩次速度發(fā)生變化所用時間分別為t1和t2，這兩段時間內克服安培力做的功分別為W1和W2，則(　　)
A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2 D．t1＞t2，W1＞W2
5．(多選)如圖所示，光滑的金屬圓形軌道MN、PQ豎直放置，共同圓心為O點，軌道半徑分別為l、3l，PM間接有阻值為3r的電阻。兩軌道之間ABDC區(qū)域內(含邊界)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B0，AB水平且與圓心等高，CD豎直且延長線過圓心。一輕質金屬桿電阻為r、長為2l，一端套在軌道MN上，另一端連接質量為m的帶孔金屬球(視為質點)，并套在軌道PQ上，皆接觸良好。讓金屬桿從AB處無初速釋放，第一次即將離開磁場時，金屬球的速度大小為v。其余電阻不計，忽略一切摩擦，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．金屬球向下運動過程中，P點電勢高于M點電勢
B．金屬桿第一次即將離開磁場時，電阻兩端的電壓為B0lv
C．金屬桿從AB滑動到CD的過程中，通過電阻的電荷量為
D．金屬桿從AB滑動到CD的過程中，電阻上產生的焦耳熱為mgl－mv2
[B組　綜合提升練]
6．如圖所示，光滑絕緣水平面上嵌入一無限長通電直導線。一質量為0．02 kg的金屬片在該平面內以大小為v0＝2 m/s、方向與電流方向成60°角的初速度滑出。則(　　)
A．圓形金屬片最終將靜止在水平面上的某處
B．圓形金屬片最終沿垂直導線方向做勻速直線運動
C．圓形金屬片所受安培力方向始終和運動方向相反
D．圓形金屬片中產生的電能最多為0．03 J
7．(2024·遼寧高考)(多選)如圖，兩條“∧”形的光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上，間距為L，左、右兩導軌面與水平面夾角均為30°，均處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度大小分別為2B和B。將有一定阻值的導體棒ab、cd放置在導軌上，同時由靜止釋放，兩棒在下滑過程中始終與導軌垂直并接觸良好。ab、cd的質量分別為2m和m，長度均為L。導軌足夠長且電阻不計，重力加速度大小為g。兩棒在下滑過程中(　　)
A．回路中的電流方向為abcda
B．ab中電流趨于
C．ab與cd加速度大小之比始終為2∶1
D．兩棒產生的電動勢始終相等
8．(2024·全國甲卷)(多選)如圖，一絕緣細繩跨過兩個在同一豎直面(紙面)內的光滑定滑輪，繩的一端連接一矩形金屬線框，另一端連接一物塊。線框與左側滑輪之間的虛線區(qū)域內有方向垂直紙面的勻強磁場，磁場上下邊界水平，在t＝0時刻線框的上邊框以不同的初速度從磁場下方進入磁場。運動過程中，線框始終在紙面內且上下邊框保持水平。以向上為速度的正方向，下列線框的速度v隨時間t變化的圖像中可能正確的是(　　)
9．(2024·河北高考)如圖，邊長為2L的正方形金屬細框固定放置在絕緣水平面上，細框中心O處固定一豎直細導體軸OO′。間距為L、與水平面成θ角的平行導軌通過導線分別與細框及導體軸相連。導軌和細框分別處在與各自所在平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度大小均為B。足夠長的細導體棒OA在水平面內繞O點以角速度ω勻速轉動，水平放置在導軌上的導體棒CD始終靜止。OA棒在轉動過程中，CD棒在所受安培力達到最大和最小時均恰好能靜止。已知CD棒在導軌間的電阻值為R，電路中其余部分的電阻均不計，CD棒始終與導軌垂直，各部分始終接觸良好，不計空氣阻力，重力加速度大小為g。
(1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
(2)鎖定OA棒，推動CD棒下滑，撤去推力瞬間，CD棒的加速度大小為a，所受安培力大小等于(1)問中安培力的最大值，求CD棒與導軌間的動摩擦因數。
[C組　拔尖培優(yōu)練]
10．如圖所示，兩平行金屬導軌水平放入磁感應強度為B、方向豎直向上的勻強磁場中，導軌間距為L，導軌左端接有一電容為C的平行板電容器。一質量為m的金屬棒ab垂直放在導軌上，在水平恒力F的作用下從靜止開始運動。棒與導軌接觸良好，不計金屬棒和導軌的電阻以及金屬棒和導軌間的摩擦。求金屬棒的加速度并分析金屬棒的運動性質。
（答案及解析）
例1　(2025·湖北省高三上10月聯(lián)考)艦載機返回航母甲板時有多種減速方式，如圖所示為一種電磁減速方式的簡要模型。固定在水平面上足夠長的平行光滑導軌，左端接有定值電阻，整個裝置處在勻強磁場中。現(xiàn)有一艦載機可等效為垂直于導軌的導體棒ab，以一定初速度水平向右運動，導體棒和導軌的電阻不計。則導體棒運動過程中，其速度v、加速度a隨運動時間t的關系圖像可能正確的是(　　)
[答案]　B
[解析]　導體棒以速度v向右切割磁感線時，根據右手定則可得導體棒產生的感應電動勢E＝BLv，由閉合電路歐姆定律可得通過導體棒的感應電流I＝，由右手定則可得通過導體棒中感應電流方向從b指向a，由左手定則可得導體棒受到的安培力F安方向向左，大小為F安＝BIL，所以導體棒做減速運動，由牛頓第二定律，有F安＝ma，解得導體棒的加速度大小a＝，由于導體棒速度減小，則導體棒的加速度減小，所以導體棒做的是加速度越來越小的減速運動，直至停止運動，故A錯誤，B正確；根據a＝可知，a t圖像的形狀與v t圖像類似，故C、D錯誤。
例2　(多選)如圖所示，間距為L的無限長光滑導軌平面傾斜放置，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面向下，導軌平面與水平面夾角為θ，一個質量為m、電阻為r的光滑導體棒垂直橫跨在兩根導軌上，導軌上端的定值電阻阻值為R，導軌電阻不計，當導體棒從靜止釋放后，沿導軌下滑距離l時達到穩(wěn)定狀態(tài)，下滑過程中導體棒與導軌始終垂直且接觸良好，以下說法正確的是(　　)
A．導體棒做變加速運動，最大加速度為gsinθ
B．導體棒做勻加速運動，加速度為gsinθ
C．導體棒穩(wěn)定時的速度為
D．導體棒穩(wěn)定時的速度為
[答案]　AC
[解析]　當導體棒沿導軌下滑的速度大小為v時，導體棒產生的感應電動勢E＝BLv，由右手定則可得通過導體棒的感應電流方向由a指向b，由閉合電路歐姆定律可得感應電流大小I＝，導體棒所受安培力FA＝BIL，由牛頓第二定律可得mgsinθ－FA＝ma，解得導體棒的加速度大小a＝gsinθ－，所以隨著導體棒的速度增大，其加速度減小，即導體棒做加速度減小的加速運動，當v＝0時，導體棒加速度最大，為amax＝gsinθ，故A正確，B錯誤；當a＝0時，導體棒達到穩(wěn)定狀態(tài)，開始做勻速運動，速度最大，為vm＝，故C正確，D錯誤。
例3　(2025·河南省駐馬店市高三上11月月考)(多選)如圖所示，U形光滑金屬導軌與水平面成37°角傾斜放置，現(xiàn)將一金屬桿垂直放置在導軌上且與兩導軌接觸良好，在與金屬桿垂直且沿著導軌向上的外力F的作用下，金屬桿從靜止開始做勻加速直線運動。整個裝置處于垂直導軌平面向上的勻強磁場中，外力F的最小值為8 N，經過2 s金屬桿運動到導軌最上端并離開導軌。已知U形金屬導軌兩軌道之間的距離為1 m，導軌電阻可忽略不計，金屬桿的質量為1 kg、電阻為1 Ω，磁感應強度大小為1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。下列說法正確的是(　　)
A．拉力F是恒力
B．拉力F隨時間t均勻增加
C．金屬桿運動到導軌最上端時拉力F為12 N
D．金屬桿運動的加速度大小為2 m/s2
[答案]　BCD
[解析]　設金屬桿從靜止開始做勻加速直線運動的加速度大小為a，t時刻，金屬桿的速度大小為v＝at，產生的感應電動勢為E＝Blv，回路中的感應電流為I＝，金屬桿所受的安培力大小為F安＝BIl，由牛頓第二定律得F－mgsin37°－F安＝ma，聯(lián)立解得F＝ma＋mgsin37°＋，所以拉力F隨時間t均勻增加，故當t＝0時，F(xiàn)最小，即ma＋mgsin37°＝8 N，代入數據解得a＝2 m/s2，當t＝2 s時，代入數據解得金屬桿運動到導軌最上端時拉力F＝12 N，故B、C、D正確，A錯誤。
例4　(人教版選擇性必修第二冊·第二章[復習與提高]B組T2改編)(多選)如圖所示，單匝線圈ABCD在外力作用下以速度v向右勻速進入勻強磁場，第二次又以速度2v勻速進入同一勻強磁場，則下列說法正確的是(　　)
A．第二次與第一次進入時線圈中電流之比為2∶1
B．第二次與第一次進入時外力做功的功率之比為2∶1
C．第二次與第一次進入過程中通過線圈某橫截面的電荷量之比為2∶1
D．第二次與第一次進入時線圈中產生熱量之比為2∶1
[答案]　AD
[解析]　由E＝Blv知，第二次與第一次進入時線圈中感應電動勢之比為＝，由I＝得，第二次與第一次進入時線圈中感應電流之比為＝，故A正確。勻速進入，外力做功的功率與克服安培力做功的功率相等，由P＝I2R得，第二次與第一次進入時外力做功的功率之比為＝，故B錯誤。由電荷量q＝得，第二次與第一次進入過程中通過線圈某橫截面的電荷量之比為＝，故C錯誤。產生熱量Q＝Pt＝P·，得第二次與第一次進入時線圈中產生熱量之比為＝×＝，故D正確。
例5　如圖，MN和PQ是電阻不計的平行光滑金屬導軌，金屬棒與導軌間接觸良好，其間距為L，右端接一個阻值為R的定值電阻。平直部分導軌左邊區(qū)域有寬度為d、方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。質量為m、電阻也為R的金屬棒從高度為h處靜止釋放，到達磁場右邊界處恰好停止。則金屬棒穿過磁場區(qū)域的過程中(　　)
A．通過電阻R的電流方向為從N到Q
B．金屬棒剛進入磁場時產生的感應電動勢為BL
C．通過金屬棒的電荷量為
D．金屬棒產生的焦耳熱為mgh
[答案]　B
[解析]　金屬棒穿過磁場的過程中，回路的磁通量變小，根據楞次定律和安培定則，可知通過電阻R的電流方向為從Q到N，故A錯誤；設金屬棒剛進入磁場時速度大小為v，金屬棒從靜止釋放到剛進入磁場的過程中，機械能守恒，有mgh＝mv2，根據法拉第電磁感應定律，可得金屬棒剛進入磁場時產生的感應電動勢E＝BLv，聯(lián)立解得E＝BL，故B正確；金屬棒穿過磁場過程中產生的平均感應電動勢＝＝，該過程金屬棒中平均感應電流＝，則通過金屬棒的電荷量q＝·Δt，聯(lián)立解得q＝，故C錯誤；根據能量守恒定律，可知電路中產生的總焦耳熱Q總＝mgh，金屬棒產生的焦耳熱Q＝Q總＝mgh，故D錯誤。
例6　(2021·天津高考)如圖所示，兩根足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ間距L＝1 m，其電阻不計，兩導軌及其構成的平面均與水平面成θ＝30°角，N、Q兩端接有R＝1 Ω的電阻。
一金屬棒ab垂直導軌放置，ab兩端與導軌始終有良好接觸，已知ab的質量m＝0．2 kg，電阻r＝1 Ω，整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度大小B＝1 T。ab在平行于導軌向上的拉力作用下，以初速度v1＝0．5 m/s沿導軌向上開始運動，可達到最大速度v＝2 m/s。運動過程中拉力的功率恒定不變，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求拉力的功率P；
(2)ab開始運動后，經t＝0．09 s速度達到v2＝1．5 m/s，此過程中ab克服安培力做功W＝0．06 J，求該過程中ab沿導軌的位移大小x。
[答案]　(1)4 W　(2)0．1 m
[解析]　(1)在ab運動過程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐漸減小的加速運動，速度達到最大時，加速度為零，設此時拉力的大小為F，安培力大小為FA，有F－mgsinθ－FA＝0
由法拉第電磁感應定律，此時回路中的感應電動勢E＝BLv
由閉合電路歐姆定律，回路中的感應電流
I＝
ab受到的安培力FA＝ILB
由功率表達式，有P＝Fv
聯(lián)立上述各式，代入數據解得P＝4 W。
(2)ab從速度v1到v2的過程中，由動能定理，有Pt－W－mgxsinθ＝mv－mv
代入數據解得x＝0．1 m。
課時作業(yè)
[A組　基礎鞏固練]
1．(2021·北京高考)如圖所示，在豎直向下的勻強磁場中，水平U形導體框左端連接一阻值為R的電阻，質量為m、電阻為r的導體棒ab置于導體框上。不計導體框的電阻、導體棒與框間的摩擦。ab以水平向右的初速度v0開始運動，最終停在導體框上。在此過程中(　　)
A．導體棒做勻減速直線運動
B．導體棒中感應電流的方向為a→b
C．電阻R消耗的總電能為
D．導體棒克服安培力做的總功小于mv
答案：C
解析：導體棒向右運動時，根據右手定則可知，導體棒中感應電流方向為b→a，再根據左手定則可知，導體棒受到水平向左的安培力，開始時，根據法拉第電磁感應定律，導體棒中產生的感應電動勢為E＝BLv0，根據閉合電路歐姆定律，知感應電流為I＝＝，故導體棒所受安培力為F＝BIL＝，根據牛頓第二定律有F＝ma，可得a＝v0，隨著速度減小，加速度不斷減小，故導體棒做加速度減小的減速直線運動，故A、B錯誤；根據能量守恒定律可知，回路中消耗的總電能為Q＝mv，則R產生的總電能為QR＝Q＝，故C正確；整個過程只有安培力做負功，根據動能定理可知，導體棒克服安培力做的總功等于mv，故D錯誤。
2．(2024·湖北省十堰市高三下4月二模)如圖甲所示，電阻不計、間距為0．5 m的光滑平行金屬導軌豎直放置，上端連接阻值為3 Ω的定值電阻，虛線OO′下方存在垂直于導軌平面向里、磁感應強度大小為2 T的勻強磁場。現(xiàn)將電阻為1 Ω的金屬桿ab從OO′上方某處由靜止釋放，金屬桿ab下落過程中始終水平且與導軌接觸良好，其速度大小v與下落時間t的關系圖像如圖乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．金屬桿進入磁場后a端的電勢較高
B．金屬桿進入磁場后產生的電功率為8 W
C．金屬桿進入磁場后兩端的電壓為4 V
D．金屬桿的質量為0．1 kg
答案：D
解析：金屬桿進入磁場后切割磁感線，由右手定則可知，金屬桿中的感應電流方向由a指向b，金屬桿相當于電源，因此b端為正極，其電勢較高，A錯誤；進入磁場前，金屬桿做自由落體運動，由題圖乙可知，金屬桿在t＝0．4 s時進入磁場，且開始做勻速直線運動，此時金屬桿重力大小等于安培力，則有E＝BLv，I＝，F(xiàn)安＝BIL，mg＝F安，聯(lián)立解得F安＝1 N，金屬桿的質量m＝0．1 kg，D正確；由能量守恒定律可知，進入磁場后金屬桿產生的電功率等于其克服安培力做功的功率，為P＝F安v＝4 W，B錯誤；由法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律可得，金屬桿進入磁場后兩端的電壓為路端電壓，即U＝IR＝3 V，C錯誤。
3．(2025·河北省張家口市高三上11月月考)有一邊長為L的正方形導線框，質量為m，由高H處自由下落，如圖所示，其邊ab進入勻強磁場區(qū)域后，線框開始做減速運動，直到其邊cd剛好穿出磁場時，速度減為ab邊剛進入磁場時速度的一半，此勻強磁場的寬度也是L，線框在穿越勻強磁場過程中產生的電熱是(　　)
A．2mgL B．2mgL＋mgH
C．2mgL＋mgH D．2mgL＋mgH
答案：C
解析：設線框ab邊進入磁場時的速度大小為v1，cd邊離開磁場時的速度大小為v2，線框在穿越勻強磁場過程中產生的電熱為Q，線框從開始下落到離開磁場的過程，根據能量守恒定律，有mg(H＋2L)＝Q＋mv，線框從開始下落到ab邊剛進入磁場過程，由動能定理有mgH＝mv－0，由題意知v1＝2v2，解得Q＝2mgL＋mgH，故C正確。
4．(2022·上海高考)如圖，一個正方形導線框以初速度v0向右穿過一個有界的勻強磁場。線框兩次速度發(fā)生變化所用時間分別為t1和t2，這兩段時間內克服安培力做的功分別為W1和W2，則(　　)
A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2 D．t1＞t2，W1＞W2
答案：B
解析：設線框的邊長為L，質量為m，電阻為R，磁場的磁感應強度大小為B。由楞次定律和左手定則可知，線框進入磁場的過程和離開磁場的過程，都受到向左的安培力作用而向右做減速運動，因此線框進入磁場過程對時間的平均速度v1平大于線框離開磁場過程對時間的平均速度v2平，由L＝v1平t1和L＝v2平t2可得，t1＜t2。對線框進入磁場或離開磁場的過程，由感應電動勢E＝BLv，感應電流I＝，安培力大小F安＝BIL，聯(lián)立得F安＝，因為線框進入磁場過程對位移的平均速度v1平′大于線框離開磁場過程對位移的平均速度v2平′，則安培力大小對位移的平均值安1>安2，由W1＝安1L和W2＝安2L可得，W1>W2。B正確。
5．(多選)如圖所示，光滑的金屬圓形軌道MN、PQ豎直放置，共同圓心為O點，軌道半徑分別為l、3l，PM間接有阻值為3r的電阻。兩軌道之間ABDC區(qū)域內(含邊界)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B0，AB水平且與圓心等高，CD豎直且延長線過圓心。一輕質金屬桿電阻為r、長為2l，一端套在軌道MN上，另一端連接質量為m的帶孔金屬球(視為質點)，并套在軌道PQ上，皆接觸良好。讓金屬桿從AB處無初速釋放，第一次即將離開磁場時，金屬球的速度大小為v。其余電阻不計，忽略一切摩擦，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．金屬球向下運動過程中，P點電勢高于M點電勢
B．金屬桿第一次即將離開磁場時，電阻兩端的電壓為B0lv
C．金屬桿從AB滑動到CD的過程中，通過電阻的電荷量為
D．金屬桿從AB滑動到CD的過程中，電阻上產生的焦耳熱為mgl－mv2
答案：BC
解析：金屬球向下運動過程中，由右手定則知感應電流從M經定值電阻R到P，則M點電勢高于P點電勢，故A錯誤；金屬桿第一次即將離開磁場時，金屬球的速度大小為v，因為桿上所有點的角速度相等，則金屬桿上端的速度為，則此時感應電動勢為E＝B0·2l·＝B0·2l·＝B0lv，則電阻兩端的電壓為U＝·E＝B0lv，故B正確；金屬桿從AB滑動到CD的過程中，通過電阻的電荷量為q＝＝，其中ΔS＝·π·(3l)2－·π·l2＝2πl(wèi)2，所以q＝，故C正確；金屬桿從AB滑動到CD的過程中，由能量守恒定律得mg·3l＝mv2＋Q，電阻上產生的焦耳熱為QR＝·Q＝Q，解得QR＝mgl－mv2，故D錯誤。
[B組　綜合提升練]
6．如圖所示，光滑絕緣水平面上嵌入一無限長通電直導線。一質量為0．02 kg的金屬片在該平面內以大小為v0＝2 m/s、方向與電流方向成60°角的初速度滑出。則(　　)
A．圓形金屬片最終將靜止在水平面上的某處
B．圓形金屬片最終沿垂直導線方向做勻速直線運動
C．圓形金屬片所受安培力方向始終和運動方向相反
D．圓形金屬片中產生的電能最多為0．03 J
答案：D
解析：直導線周圍有環(huán)形磁場，且離導線越遠磁場越弱，圓形金屬片向右運動，磁通量減小，會產生渦流，根據“來拒去留”(電磁阻尼)可知，所受的安培力將阻礙圓形金屬片遠離通電直導線，即安培力垂直直導線向左，與運動方向并非相反，安培力使圓形金屬片在垂直導線方向做減速運動，當垂直導線方向的速度減為零時，只剩沿導線方向的速度，之后穿過圓形金屬片的磁通量不變，無感應電流產生，水平方向合力為零，故圓形金屬片最終沿導線方向做勻速直線運動，故A、B、C錯誤；由題意知，沿導線方向的分速度v1＝v0·cos60°＝1 m/s，根據能量守恒定律，得圓形金屬片中產生的電能最多為Q＝mv－mv＝0．03 J，D正確。
7．(2024·遼寧高考)(多選)如圖，兩條“∧”形的光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上，間距為L，左、右兩導軌面與水平面夾角均為30°，均處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度大小分別為2B和B。將有一定阻值的導體棒ab、cd放置在導軌上，同時由靜止釋放，兩棒在下滑過程中始終與導軌垂直并接觸良好。ab、cd的質量分別為2m和m，長度均為L。導軌足夠長且電阻不計，重力加速度大小為g。兩棒在下滑過程中(　　)
A．回路中的電流方向為abcda
B．ab中電流趨于
C．ab與cd加速度大小之比始終為2∶1
D．兩棒產生的電動勢始終相等
答案：AB
解析：兩導體棒均沿導軌向下滑動，根據右手定則可知，ab中產生的感應電動勢從a到b，cd中產生的感應電動勢從c到d，則回路中的電流方向為abcda，故A正確；設回路中的總電阻為R，電流為i，ab的加速度大小為aab，cd的加速度大小為acd，對ab、cd進行受力分析，并沿導軌方向和垂直導軌方向進行正交分解，在沿導軌方向，根據牛頓第二定律，對ab有2mgsin30°－2BiLcos30°＝2maab，對cd有mgsin30°－BiLcos30°＝macd，故aab＝acd，即ab與cd加速度大小之比始終為1∶1，故C錯誤；由C項分析可知，兩導體棒的速度大小始終相等，設為v，則由法拉第電磁感應定律可知，ab產生的感應電動勢大小為Eab＝2BL·vcos30°＝BLv，cd產生的感應電動勢大小為Ecd＝BLvcos30°＝BLv，則Eab≠Ecd，D錯誤；由A、D項分析可知，回路中的總感應電動勢大小為E＝Eab＋Ecd＝BLv，隨著導體棒速度v的增大，回路中的總感應電動勢E增大，回路中的電流i＝增大，導體棒受到的安培力在增大，當ab所受安培力沿導軌向上的分力與ab所受重力沿導軌向下的分力平衡時，設閉合回路中的電流為I，對ab有2mgsin30°＝2BILcos30°，則mgsin30°＝BILcos30°，即此時cd也受力平衡，則此后導體棒ab、cd將勻速運動，此時電路中的電流達到穩(wěn)定值且最大，解得I＝，即ab中電流趨于，故B正確。
8．(2024·全國甲卷)(多選)如圖，一絕緣細繩跨過兩個在同一豎直面(紙面)內的光滑定滑輪，繩的一端連接一矩形金屬線框，另一端連接一物塊。線框與左側滑輪之間的虛線區(qū)域內有方向垂直紙面的勻強磁場，磁場上下邊界水平，在t＝0時刻線框的上邊框以不同的初速度從磁場下方進入磁場。運動過程中，線框始終在紙面內且上下邊框保持水平。以向上為速度的正方向，下列線框的速度v隨時間t變化的圖像中可能正確的是(　　)
答案：AC
解析：設虛線區(qū)域內磁場的磁感應強度大小為B，線框的質量為M，電阻為R，上下邊框長度為L，物塊的質量為m，細繩上的拉力大小為T，以初速度的反方向為加速度的正方向，設線框與物塊的加速度均為a。線框穿過磁場的過程中，由牛頓第二定律，對線框有Mg＋F安－T＝Ma，對物塊有T－mg＝ma，其中線框所受安培力大小F安＝BIL，線框中電流大小I＝，線框產生的感應電動勢大小E＝BLv，聯(lián)立解得a＝＋g。根據四個選項中的v t圖，只考慮t＝0時線框速度開始減小的情況。根據表達式a＝＋g可知，可以分三種情況分析v的變化的可能性：(1)M>m，線框進入磁場的過程，隨著v的減小，a逐漸減小且趨于某個非零值，線框完全進入磁場運動時，a>0且恒定，線框做勻減速直線運動，分析四個選項的圖，可知沒有與這種情況對應的圖。(2)M9．(2024·河北高考)如圖，邊長為2L的正方形金屬細框固定放置在絕緣水平面上，細框中心O處固定一豎直細導體軸OO′。間距為L、與水平面成θ角的平行導軌通過導線分別與細框及導體軸相連。導軌和細框分別處在與各自所在平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度大小均為B。足夠長的細導體棒OA在水平面內繞O點以角速度ω勻速轉動，水平放置在導軌上的導體棒CD始終靜止。OA棒在轉動過程中，CD棒在所受安培力達到最大和最小時均恰好能靜止。已知CD棒在導軌間的電阻值為R，電路中其余部分的電阻均不計，CD棒始終與導軌垂直，各部分始終接觸良好，不計空氣阻力，重力加速度大小為g。
(1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
(2)鎖定OA棒，推動CD棒下滑，撤去推力瞬間，CD棒的加速度大小為a，所受安培力大小等于(1)問中安培力的最大值，求CD棒與導軌間的動摩擦因數。
答案：(1)　　(2)－tanθ
解析：(1)設OA棒接入電路的長度為l，則OA棒切割磁感線的平均速度＝ωl
根據法拉第電磁感應定律，此時回路的感應電動勢大小E＝Bl
根據閉合電路歐姆定律，此時通過CD棒的電流大小I＝
則CD棒所受安培力大小F＝ILB
聯(lián)立得F＝
當OA棒運動到細框對角線位置時，l最大，為lmax＝L，此時CD棒所受的安培力最大
可解得CD棒所受安培力的最大值為
Fmax＝
當OA棒運動到與細框一邊平行時，l最小，為lmin＝L，此時CD棒所受的安培力最小
可解得CD棒所受安培力的最小值為
Fmin＝。
(2)設CD棒的質量為m，CD棒與導軌間的最大靜摩擦力為fm，CD棒與導軌間的動摩擦因數為μ。CD棒在導軌上靜止時，根據題意，當CD棒受到的安培力最小時，根據平衡條件有
mgsinθ＝fm＋Fmin
當CD棒受到的安培力最大時，根據平衡條件有Fmax＝mgsinθ＋fm
撤去推力瞬間，對CD棒，沿導軌方向，根據牛頓第二定律有Fmax＋f－mgsinθ＝ma
其中滑動摩擦力大小f＝μN
垂直導軌方向，根據平衡條件有N＝mgcosθ
聯(lián)立解得μ＝－tanθ。
[C組　拔尖培優(yōu)練]
10．如圖所示，兩平行金屬導軌水平放入磁感應強度為B、方向豎直向上的勻強磁場中，導軌間距為L，導軌左端接有一電容為C的平行板電容器。一質量為m的金屬棒ab垂直放在導軌上，在水平恒力F的作用下從靜止開始運動。棒與導軌接觸良好，不計金屬棒和導軌的電阻以及金屬棒和導軌間的摩擦。求金屬棒的加速度并分析金屬棒的運動性質。
答案：　勻加速直線運動
解析：設金屬棒速度大小為v時，其加速度大小為a，根據法拉第電磁感應定律，可知金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢E＝BLv
電容器兩端電壓U等于金屬棒產生的感應電動勢E，則電容器上的電荷量Q＝CE
在極短時間Δt內，金屬棒增加的速度大小Δv＝a·Δt
電容器兩端電壓的改變量ΔU＝BL·Δv
電容器上電荷量的變化量ΔQ＝C·ΔU
由電流的定義式，有ΔQ＝I·Δt
聯(lián)立可得I＝CBLa
對金屬棒，根據牛頓第二定律，有F－BIL＝ma
聯(lián)立解得a＝
與速度v無關，且為定值，所以金屬棒做勻加速直線運動。
14(共51張PPT)
第十一章　電磁感應
第4講　專題：電磁感應中的
動力學和能量問題
目錄
1
2
考點一　電磁感應中的動力學問題
考點二　電磁感應中的能量問題
課時作業(yè)
3
考點一　電磁感應中的動力學問題
1．概述
電磁感應現(xiàn)象中產生的感應電流在磁場中受到安培力的作用，從而影響導體棒(或線圈)的受力情況和運動情況。涉及安培力大小、方向的分析。
2．兩種狀態(tài)及處理方法
狀態(tài) 特征 處理方法
平衡態(tài) 加速度為零 根據平衡條件列式分析
非平衡態(tài) 加速度不為零 根據牛頓第二定律進行分析或結合功能關系進行分析
3．力學對象和電學對象的相互關系
例1　(2025·湖北省高三上10月聯(lián)考)艦載機返回航母甲板時有多種減速方式，如圖所示為一種電磁減速方式的簡要模型。固定在水平面上足夠長的平行光滑導軌，左端接有定值電阻，整個裝置處在勻強磁場中。現(xiàn)有一艦載機可等效為垂直于導軌的導體棒ab，以一定初速度水平向右運動，導體棒和導軌的電阻不計。則導體棒運動過程中，其速度v、加速度a隨運動時間t的關系圖像可能正確的是(　　)
考點二　電磁感應中的能量問題
1．電磁感應中的能量轉化
2．求解電磁感應中的焦耳熱Q的三種方法
例4　(人教版選擇性必修第二冊·第二章[復習與提高]B組T2改編)(多選)如圖所示，單匝線圈ABCD在外力作用下以速度v向右勻速進入勻強磁場，第二次又以速度2v勻速進入同一勻強磁場，則下列說法正確的是(　　)
A．第二次與第一次進入時線圈中電流之比為2∶1
B．第二次與第一次進入時外力做功的功率之比為2∶1
C．第二次與第一次進入過程中通過線圈某橫截面的電荷量之比為2∶1
D．第二次與第一次進入時線圈中產生熱量之比為2∶1
答案　(1)4 W　(2)0．1 m
課時作業(yè)
［A組　基礎鞏固練］
2．(2024·湖北省十堰市高三下4月二模)如圖甲所示，電阻不計、間距為0．5 m的光滑平行金屬導軌豎直放置，上端連接阻值為3 Ω的定值電阻，虛線OO′下方存在垂直于導軌平面向里、磁感應強度大小為2 T的勻強磁場。現(xiàn)將電阻為1 Ω的金屬桿ab從OO′上方某處由靜止釋放，金屬桿ab下落過程中始終水平且與導軌接觸良好，其速度大小v與下落時間t的關系圖像如圖乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．金屬桿進入磁場后a端的電勢較高
B．金屬桿進入磁場后產生的電功率為8 W
C．金屬桿進入磁場后兩端的電壓為4 V
D．金屬桿的質量為0．1 kg
4．(2022·上海高考)如圖，一個正方形導線框以初速度v0向右穿過一個有界的勻強磁場。線框兩次速度發(fā)生變化所用時間分別為t1和t2，這兩段時間內克服安培力做的功分別為W1和W2，則(　　)
A．t1＜t2，W1＜W2
B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2
D．t1＞t2，W1＞W2
6．如圖所示，光滑絕緣水平面上嵌入一無限長通電直導線。一質量為0．02 kg的金屬片在該平面內以大小為v0＝2 m/s、方向與電流方向成60°角的初速度滑出。則(　　)
A．圓形金屬片最終將靜止在水平面上的某處
B．圓形金屬片最終沿垂直導線方向做勻速直線運動
C．圓形金屬片所受安培力方向始終和運動方向相反
D．圓形金屬片中產生的電能最多為0．03 J
［B組　綜合提升練］
8．(2024·全國甲卷)(多選)如圖，一絕緣細繩跨過兩個在同一豎直面(紙面)內的光滑定滑輪，繩的一端連接一矩形金屬線框，另一端連接一物塊。線框與左側滑輪之間的虛線區(qū)域內有方向垂直紙面的勻強磁場，磁場上下邊界水平，在t＝0時刻線框的上邊框以不同的初速度從磁場下方進入磁場。運動過程中，線框始終在紙面內且上下邊框保持水平。以向上為速度的正方向，下列線框的速度v隨時間t變化的圖像中可能正確的是(　　)
9．(2024·河北高考)如圖，邊長為2L的正方形金屬細框固定放置在絕緣水平面上，細框中心O處固定一豎直細導體軸OO′。間距為L、與水平面成θ角的平行導軌通過導線分別與細框及導體軸相連。導軌和細框分別處在與各自所在平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度大小均為B。足夠長的細導體棒OA在水平面內繞O點以角速度ω勻速轉動，水平放置在導軌上的導體棒CD始終靜止。OA棒在轉動過程中，CD棒在所受安培力達到最大和最小時均恰好能靜止。已知CD棒在導軌間的電阻值為R，電路中其余部分的電阻均不計，CD棒始終與導軌垂直，各部分始終接觸良好，不計空氣阻力，重力加速度大小為g。
(1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
(2)鎖定OA棒，推動CD棒下滑，撤去推力瞬間，CD棒的加速度大小為a，所受安培力大小等于(1)問中安培力的最大值，求CD棒與導軌間的動摩擦因數。
10．如圖所示，兩平行金屬導軌水平放入磁感應強度為B、方向豎直向上的勻強磁場中，導軌間距為L，導軌左端接有一電容為C的平行板電容器。一質量為m的金屬棒ab垂直放在導軌上，在水平恒力F的作用下從靜止開始運動。棒與導軌接觸良好，不計金屬棒和導軌的電阻以及金屬棒和導軌間的摩擦。求金屬棒的加速度并分析金屬棒的運動性質。
［C組　拔尖培優(yōu)練］

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