資源簡介

課時跟蹤檢測（十五） 萬有引力定律與航天
A組—重基礎·體現(xiàn)綜合
1．北斗問天，國之夙愿。我國北斗三號系統(tǒng)的收官之星是地球靜止軌道衛(wèi)星，其軌道半徑約為地球半徑的7倍。與近地軌道衛(wèi)星相比，地球靜止軌道衛(wèi)星(　　)
A．周期大 B．線速度大
C．角速度大 D．加速度大
解析：選A　近地軌道衛(wèi)星的軌道半徑稍大于地球半徑，由萬有引力提供向心力，可得G＝m，解得線速度v＝，由于地球靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑大于近地軌道衛(wèi)星的軌道半徑，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的線速度較小，選項B錯誤；由萬有引力提供向心力，可得G＝mr2，解得周期T＝2π ，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的周期較大，選項A正確；由ω＝，可知地球靜止軌道衛(wèi)星的角速度較小，選項C錯誤；由萬有引力提供向心力，可得G＝ma，解得加速度a＝G，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度較小，選項D錯誤。
2.如圖所示，在同一軌道平面內的兩顆人造地球衛(wèi)星A、B繞地球做同方向的勻速圓周運動，周期分別為TA、TB。某時刻A、B和地球恰好在同一條直線上，從此時刻開始到A、B和地球再次共線的時間間隔為t，下列說法中正確的是(　　)
A．A、B衛(wèi)星的線速度vAB．A、B衛(wèi)星的向心加速度aAC．t一定大于TA
D．t一定大于
解析：選D　設衛(wèi)星的質量為m、軌道半徑為r、地球的質量為M，根據萬有引力提供向心力，得G＝m＝ma，可得v＝　，a＝。由v＝　知衛(wèi)星的軌道半徑越大，線速度越小，所以有vA＞vB，故A錯誤；由a＝知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B錯誤；由幾何關系可知，從圖中位置開始至A、B和地球再次共線，A比B多轉過的角度為nπ(n＝1,2,3，…)，
則有·t－·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，
可得t＝(n＝1,2,3，…)，
即t一定大于，故C錯誤，D正確。
3．[多選]北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)由不同軌道衛(wèi)星組成，其中北斗IGSO 3衛(wèi)星的運行軌道為傾斜地球同步軌道，傾角為55.9°，高度約為3.59萬千米；北斗 M3衛(wèi)星運行軌道為中圓地球軌道，傾角為55.3°，高度約為2.16萬千米。已知地球半徑約為6 400千米，兩顆衛(wèi)星的運行軌道均可視為圓軌道，則下列說法中正確的是(　　)
A．北斗IGSO 3衛(wèi)星的線速度大于北斗 M3衛(wèi)星的線速度
B．北斗IGSO 3衛(wèi)星的周期大于北斗 M3衛(wèi)星的周期
C．北斗IGSO 3衛(wèi)星連續(xù)經過地球非赤道上某處正上方的時間間隔約為24 h
D．北斗IGSO 3衛(wèi)星與地面上的北京市的距離恒定
解析：選BC　根據G＝m＝mr，可知v＝　，T＝2π　，因北斗 IGSO3衛(wèi)星的軌道半徑大于北斗 M3衛(wèi)星的軌道半徑，則北斗 IGSO3衛(wèi)星的線速度小于北斗 M3衛(wèi)星的線速度，北斗 IGSO3衛(wèi)星的周期大于北斗 M3衛(wèi)星的周期，選項A錯誤，B正確；北斗 IGSO3衛(wèi)星運行軌道為傾斜地球同步軌道，可知其周期為24 h，可以在每天的同一時刻經過地球上某點的上空，則衛(wèi)星連續(xù)經過地球非赤道上某處正上方的時間間隔約為24 h，但是不能定點在北京市的上空，故選項C正確，D錯誤。
4．由中山大學發(fā)起的空間引力波探測工程“天琴計劃”擬對一個超緊湊雙白矮星系統(tǒng)產生的引力波進行探測。該計劃采用三顆相同的衛(wèi)星岱(SC1、SC2、SC3)構成一個等邊三角形，三角形邊長約為地球半徑的27倍，地球恰好處于三角形中心，衛(wèi)星將在以地球為中心的圓軌道上運行，如圖所示(只考慮衛(wèi)星和地球之間的引力作用)，則(　　)
A．衛(wèi)星繞地球運行的周期大于近地衛(wèi)星的運行周期
B．衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度大于近地衛(wèi)星的向心加速度
C．衛(wèi)星繞地球運行的速度等于第一宇宙速度
D．衛(wèi)星的發(fā)射速度應大于第二宇宙速度
解析：選A　根據G＝mr，可知軌道半徑越大，周期越大，故衛(wèi)星繞地球運行的周期大于近地衛(wèi)星的運行周期，A正確；由G＝ma，可知軌道半徑越大，向心加速度越小，所以衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度小于近地衛(wèi)星的向心加速度，故B錯誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，該衛(wèi)星繞地球運行的速度小于第一宇宙速度，所以C錯誤；地球衛(wèi)星的發(fā)射速度應大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，所以D錯誤。
5.如圖為某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動的示意圖，若A星的軌道半徑大于B星的軌道半徑，雙星的總質量為M，雙星間的距離為L，其運動周期為T，則(　　)
A．A的質量一定大于B的質量
B．A的線速度一定大于B的線速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越小，T越大
解析：選B　雙星系統(tǒng)中兩星間距不變，角速度相等，根據v＝rω，因為rBvB，故B正確；雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrB ω2，因為rBmA，即B的質量一定大于A的質量，故A錯誤；根據牛頓第二定律得G＝mArA＝mBrB，其中rA＋rB＝L，聯(lián)立解得：T＝2π ＝2π ，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D錯誤。
6．[多選]甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應用公式進行的推論正確的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍
解析：選CD　兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，則乙的速度是甲的倍，選項A錯誤；由ma＝，可得a＝，則乙的向心加速度是甲的4倍，選項B錯誤，由F＝，結合兩人造衛(wèi)星質量相等，可知甲的向心力是乙的，選項C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動，且甲的軌道半徑是乙的2倍，結合開普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，選項D正確。
7．半徑R＝4 500 km的某星球上有一傾角為30°的固定斜面，一質量為1 kg的小物塊在力F作用下從靜止開始沿斜面向上運動，力F始終與斜面平行。如果物塊和斜面間的動摩擦因數μ＝，力F隨時間變化的規(guī)律如圖所示(取沿斜面向上方向為正)，2 s末物塊速度恰好又為0。引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。試問：
(1)該星球的質量大約是多少？
(2)要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，至少需要多大速度？(計算結果保留兩位有效數字)
解析：(1)設星球表面的重力加速度為g。小物塊在力F1＝20 N作用過程中有：F1－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，
1 s末速度為v＝a1t1，
小物塊在力F2＝4 N作用過程中有：
F2＋mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，
且有 v＝a2t2，
聯(lián)立以上四式，解得 g＝8 m/s2，
由G＝mg，
得 M＝＝ kg＝2.4×1024 kg。
(2)要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，拋出物體的最小速度為v′，必須滿足：mg＝m，
得v′＝＝ m/s＝
6×103 m/s＝6.0 km/s。
答案：(1)2.4×1024 kg　(2)6.0 km/s
組—重應用·體現(xiàn)創(chuàng)新
8．(2024·安徽高考)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼衛(wèi)星成功發(fā)射升空。當抵達距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
A．周期約為144 h
B．近月點的速度大于遠月點的速度
C．近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D．近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
解析：選B　凍結軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據開普勒第三定律得＝，解得在捕獲軌道運行周期T2＝T1≈288 h，A錯誤；根據開普勒第二定律得，近月點的速度大于遠月點的速度，B正確；鵲橋二號從捕獲軌道到凍結軌道進行近月制動，在捕獲軌道運行時近月點的速度大于在凍結軌道運行時近月點的速度，C錯誤；兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據牛頓第二定律可知，近月點的加速度等于在凍結軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。
9．(2024·重慶高考)在萬有引力作用下，太空中的某三個天體可以做相對位置不變的圓周運動。假設a、b兩個天體的質量均為M，相距為2r，其連線的中點為O，另一天體c(圖中未畫出)質量為m(m M)，若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置，a、b、c可視為繞O點做角速度相同的勻速圓周運動，且相對位置不變，忽略其他天體的影響。引力常量為G。則(　　)
A．c的線速度大小為a的倍
B．c的向心加速度大小為b的一半
C．c在一個周期內的路程為2πr
D．c的角速度大小為
解析：選A　a、b、c三個天體角速度相同，由于m M，則對a天體有G＝Mω2r，解得ω＝，故D錯誤；設c與a、b的連線跟a、b連線中垂線的夾角為α，對c天體有2Gcos α＝mω2，解得α＝30°，則c的軌道半徑為rc＝＝r，由v＝ωr，可知c的線速度大小為a的倍，故A正確；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B錯誤；c在一個周期內運動的路程為s＝2πrc＝2πr，故C錯誤。
10．神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律，天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX 3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星可視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的線速度v和運行周期T。
(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力，設A和B的質量分別為m1、m2，試求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的質量m2與可見星A的線速度v、運行周期T和質量m1之間的關系式。
解析：(1)設A、B的軌道半徑分別為r1、r2，由題意知A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設為ω。由牛頓第二定律，有FA＝m1ω2r1，F(xiàn)B＝m2ω2r2，又FA＝FB，
設A、B之間的距離為r，有r＝r1＋r2，
由以上各式得r＝r1， ①
由萬有引力定律，有FA＝G，
將①代入上式得FA＝G，
令FA＝G，
可得m′＝。 ②
(2)由牛頓第二定律，有G＝m1， ③
可見星A的軌道半徑r1＝， ④
由②③④式解得＝。 ⑤
答案：(1)　(2)＝
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習題課二　萬有引力定律與航天
綜合提能(一)　　天體運動問題的分析
[知識貫通]
天體運動問題的分析
1．一種模型
無論自然天體(如火星、地球、月球等)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看作質點，圍繞中心天體在萬有引力作用下做勻速圓周運動。
[典例1]　在距地面不同高度的太空中有許多飛行器。其中“天舟一號”距地面高度約為393 km，哈勃望遠鏡距地面高度約為612 km，“張衡一號”距地面高度約為500 km。若它們均可視為繞地球做圓周運動，則 (　　)
A．“天舟一號”的加速度大于“張衡一號”的加速度
B．哈勃望遠鏡的線速度大于“張衡一號”的線速度
C．“天舟一號”的周期大于哈勃望遠鏡的周期
D．哈勃望遠鏡的角速度大于“張衡一號”的角速度
應用萬有引力定律應注意的問題
(1)衛(wèi)星的a、v、ω、T與衛(wèi)星的質量無關，僅由被環(huán)繞的天體的質量M和軌道半徑r決定。
(2)應用萬有引力定律求解時還要注意挖掘題目中的隱含條件，如地球的公轉周期是365天，自轉一周是24小時，其表面的重力加速度約為9.8 m/s2。
[集訓提能]
1．(2024·濟南高一檢測)如圖所示是一人造地球衛(wèi)星軌道示意圖，其中圓軌道a、c、d的圓心均與地心重合，a與赤道平面重合，b與某一緯線圈共面，c經過地球兩極正上空。下列說法正確的是(　　)
A．a、b、c、d都有可能是衛(wèi)星的軌道
B．軌道a上衛(wèi)星的線速度大于7.9 km/s
C．軌道c上衛(wèi)星的運行周期可能與地球自轉周期相同
D．僅根據軌道d上衛(wèi)星的軌道半徑、角速度和引力常量，不能求出地球質量
答案：C　
2． “祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季是各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動。下列關于火星、地球公轉的說法正確的是 (　　)
A．火星公轉的線速度比地球的大
B．火星公轉的角速度比地球的大
C．火星公轉的半徑比地球的小
D．火星公轉的加速度比地球的小
綜合提能(二) 人造衛(wèi)星的變軌問題
[知識貫通]
1．變軌問題概述
2．變軌問題的兩種常見形式
(1)漸變。
由于某個因素的影響使衛(wèi)星的軌道半徑發(fā)生緩慢的變化，由于半徑變化緩慢，衛(wèi)星每一周的運動仍可以看成是勻速圓周運動。
①關鍵要點：軌道半徑r減小(近心運動)。
這種變軌運動的起因是阻力使衛(wèi)星速度減小，所需要的向心力減小了，而萬有引力大小沒有變，因此衛(wèi)星將做近心運動，即軌道半徑r將減小。
②各個物理參量的變化：當軌道半徑r減小時，衛(wèi)星線速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T減小。
(2)突變。
由于技術上的需要，有時要在適當的位置短時間啟動飛行器上
的發(fā)動機，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其到達預定的軌道。
發(fā)射同步衛(wèi)星時，通常先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運動，速率為v1，在P點第一次點火加速，在短時間內將速率由v1增加到v2，使衛(wèi)星進入橢圓軌道Ⅱ；衛(wèi)星運行到遠地點Q時的速率為v3，此時進行第二次點火加速，在短時間內將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運動。
[典例2]　如圖所示，某次發(fā)射靜止軌道衛(wèi)星的過程如下：先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后再次點火進入橢圓形的過渡軌道2，最后將衛(wèi)星送入靜止軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，則當衛(wèi)星分別在軌道1、2、3上正常運行時，以下說法正確的是(　　)
A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度
C．衛(wèi)星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度
D．衛(wèi)星在軌道2上經過P點時的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度
衛(wèi)星變軌問題的三點提醒
(1)衛(wèi)星在軌道上的變軌點的線速度v增大或減小，但向心加速度a不變。
(2)衛(wèi)星在圓軌道上由低軌道變軌至高軌道后，線速度v將減小，角速度ω將減小，周期T將增大，向心加速度a將減小。
(3)衛(wèi)星在橢圓軌道上由近地點運動至遠地點，線速度v將減小，加速度a將減小。
[集訓提能]
1． [多選]如圖所示，1、2軌道分別是天宮二號飛船在變軌前、后的軌道，下列說法正確的是(　　)
A．飛船從1軌道變到2軌道要點火加速
B．飛船在1軌道的周期大于2軌道的
C．飛船在1軌道的速度大于2軌道的
D．飛船在1軌道的加速度大于2軌道的
答案：D　
2．[多選]在完成各項既定任務后，載人宇宙飛船要安全返回地面。如圖所示，飛船在返回地面時，要在P點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ，Q為軌道Ⅱ上的一點，M為軌道Ⅰ上的另一點。關于飛船的運動，下列說法中正確的是(　　)
A．飛船在軌道Ⅱ上經過P點的速度小于經過Q點的速度
B．飛船在軌道Ⅱ上經過P點的速度小于在軌道Ⅰ上經過M點的速度
C．飛船在軌道Ⅱ上運動的周期大于在軌道Ⅰ上運動的周期
D．飛船在軌道Ⅱ上經過P點的加速度小于在軌道Ⅰ上經過M點的加速度
解析：飛船在軌道Ⅱ上運行時，P為遠地點，從P到Q速度越來越大，所以經過P點的速度小于經過Q點的速度，選項A正確；飛船在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，故飛船經過P、M兩點時的速率相等，由于飛船在P點進入軌道Ⅱ時相對于軌道Ⅰ做近心運動，可知飛船在軌道Ⅱ上P點速度小于在軌道Ⅰ上P點速度，選項B正確；根據開普勒第三定律可知，飛船在軌道Ⅱ上運動的周期小于在軌道Ⅰ上運動的周期，選項C錯誤；根據牛頓第二定律可知，飛船在軌道Ⅱ上經過P點的加速度與在軌道Ⅰ上經過M點的加速度大小相等，選項D錯誤。
答案：AB　
3．(2024·湖北高考)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
A．空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B．空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C．空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
解析：空間站變軌前、后在P點所受到的萬有引力不變，根據牛頓第二定律可知，空間站變軌前、后在P點的加速度相同，故A正確；因為變軌后軌道的半長軸大于原軌道半徑，根據開普勒第三定律可知，空間站變軌后的運動周期比變軌前的運動周期大，故B錯誤；變軌時，空間站噴氣加速，因此變軌后其在P點的速度比變軌前的大，故C錯誤；由于空間站變軌后在P點的速度比變軌前的速度大，比在近地點的速度小，則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的速度小，故D錯誤。
答案：A　
[典例3]　兩個靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖所示。已知雙星的質量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，引力常量為G，求雙星的運行軌道半徑r1和r2及運行周期T。
解雙星問題的兩個關鍵點
(1)對于雙星系統(tǒng)，要抓住三個相等，即向心力、角速度、周期相等。
(2)萬有引力公式中L是兩星球之間的距離，不是星球做圓周運動的軌道半徑。

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