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第五節　機械能守恒定律
核心素養點擊
物理觀念 (1)知道什么是機械能，理解物體動能和勢能的相互轉化
(2)通過機械能守恒定律的學習， 初步建立能量觀念、體會守恒思想
(3)知道機械能守恒定律的內容和守恒條件
科學思維 (1)會分析機械能守恒的條件，在具體實例中分析動能與勢能(包括彈性勢能)之間的相互轉化
(2)理解機械能守恒定律的推導過程
(3)會從做功和能量轉化的角度判斷機械能是否守恒，能應用機械能守恒定律解決有關問題
科學態度與責任 (1)通過對機械能守恒定律的驗證，能認識科學規律的建立需要實驗證據的檢驗
(2)能認識機械能守恒定律對日常生活的影響
1．填一填
(1)機械能：物體的 與 (包括重力勢能和彈性勢能)統稱為機械能，表達式為E＝Ep＋Ek。
(2)動能與勢能的相互轉化。
①重力勢能與動能：過山車向下運動，則重力勢能 ，動能 ， 轉化成了動能；過山車向上運動，重力做負功，則 轉化為 。
②彈性勢能與動能：射箭時，弓的彈性勢能 ，箭的動能 ， 轉化為動能。
動能
勢能
減少
增加
重力勢能
動能
重力勢能
減少
增加
彈性勢能
2．判一判
(1)通過重力做功，動能和重力勢能可以相互轉化。 ( )
(2)彈性勢能發生了改變，一定有彈力做功。 ( )
3．想一想
毛澤東的詩詞中曾寫到“一代天驕……彎弓射大雕”。
試分析在彎弓射雕過程中，涉及機械能中哪些能量之
間的轉化？
提示：箭被射出過程中，弓的彈性勢能轉化為箭的動
能；箭上升過程中，箭的動能轉化為重力勢能；箭下落過程中，箭的重力勢能轉化為動能。
√
√
1．填一填
(1)機械能守恒定律：在只有 或 做功的系統內，動能和勢能發生相互轉化，而系統的機械能總量 。
(2)表達式： 或E1＝E2。
(3)守恒條件：物體系統內只有 或 做功。
2．判一判
(1)合力為零，物體的機械能一定守恒。 ( )
(2)合力做功為零，物體的機械能一定守恒。 ( )
(3)只有重力做功，物體的機械能一定守恒。 ( )
(4)物體向上運動時，其機械能也可能守恒。 ( )
重力
彈力
保持不變
Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2
重力
彈力
×
×
√
√
3．想一想
用細繩把鐵鎖吊在高處，并把鐵鎖拉到鼻子尖前由靜止釋放，保持頭的位置不動，鐵鎖擺回來時，會打到鼻子嗎？試試看，并解釋原因。
提示：不會打到鼻子。聯想伽利略的理想斜面實驗，若沒有阻力，鐵鎖剛好能回到初位置，遵循機械能守恒定律。若存在阻力，機械能損失，鐵鎖速度為零時的高度低于開始下落時的高度，鐵鎖一定不能打到鼻子。
如圖所示，過山車由高處在關閉發動機的情況下飛奔而下。
(忽略軌道的阻力和其他阻力)
過山車下滑時，過山車受哪些力作用？各做什么功？動能和
勢能怎么變化？機械能守恒嗎？
提示：過山車下滑時，如果忽略阻力作用，過山車受重力和軌道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，動能增加，重力勢能減少，機械能保持不變。
[重難釋解]
1．機械能守恒的條件
(1)從做功的角度看，只有重力(或系統內彈力)做功，機械能守恒。
①只有重力做功，單個物體的動能和重力勢能相互轉化，物體的機械能守恒。
②只有系統內彈力做功，物體的動能和彈簧的彈性勢能相互轉化，物體與彈簧組成的系統機械能守恒。
③只有重力和彈力做功，物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，物體和彈簧組成的系統機械能守恒。
(2)從能量轉化的角度看，只有系統內動能和勢能的相互轉化，無其他形式能量的轉化，系統機械能守恒。
2．機械能守恒的判斷
(1)做功分析法(常用于單個物體)。
(2)能量分析法(常用于多個物體組成的系統)。
[多選]如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是 (　　)
A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A機械能守恒
B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒
C．丙圖中，不計任何阻力時A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統機械能守恒
D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒
[解題指導]　判斷機械能是否守恒的關鍵：一是注意系統的選擇；二是看系統內重力、彈力之外的力是否做功。
解析：甲圖中重力和彈簧彈力做功，系統機械能守恒，但彈簧的彈性勢能增加，物體A的機械能減少，A錯；物體B下滑，物體B對A的彈力做功，A的動能增加，物體B的機械能減少，B錯；丙圖中A、B組成的系統只有重力做功，機械能守恒，C對；丁圖中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球動能不變，機械能守恒，D對。
答案：CD　
[素養訓練]
1．關于以下四幅圖，下列說法中正確的是 (　　)
A．圖甲中“蛟龍號”載人潛水器被吊車吊下水的過程中它的機械能守恒
B．圖乙中火車在勻速轉彎時動能不變，故所受合外力為零
C．圖丙中握力器在手的壓力作用下彈性勢能增加了
D．圖丁中撐竿跳高運動員在上升過程中機械能守恒
解析：題圖甲中“蛟龍號”載人潛水器被吊車吊下水的過程，鋼繩對它做負功，所以機械能不守恒，故A錯誤；題圖乙中火車在勻速轉彎時做勻速圓周運動，所受的合外力指向圓心且不為零，故B錯誤；題圖丙中握力器在手的壓力下形變增大，所以彈性勢能增大，C正確；題圖丁中撐竿跳高運動員在上升過程中撐竿的彈性勢能轉化為運動員的機械能，所以運動員的機械能不守恒，故D錯誤。
答案：C　
2．以下四種情境中，物體a機械能守恒的是(不計空氣阻力) (　　)
解析：物塊a在沿固定斜面勻速下滑和沿粗糙的圓弧面加速下滑過程中都受到摩擦力作用，有內能的產生，物塊a的機械能不守恒，故A、B錯誤；擺球a由靜止釋放，自由擺動過程中只有重力做功，擺球a的動能和重力勢能相互轉化，機械能守恒，故C正確；小球a由靜止釋放至最低點的過程中，小球a和彈簧組成的系統機械能守恒，小球a的機械能不守恒，故D錯誤。
答案：C　
如圖所示，小球在高處由靜止下落，設下落過程中經過高度為h1
的A點時速度為v1，經過高度為h2的B點時速度為v2。用學過的知識
(動能定理和重力做功與重力勢能的關系)，分析下落過程中A、B兩位
置的機械能之間的數量關系。
[重難釋解]
1．機械能守恒定律的不同表達式和意義
表達式 特點
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初狀態的機械能等于末狀態的機械能
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 動能(或勢能)的增加量等于勢能(或動能)的減少量
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系統中，A物體機械能的增加量等于B物體機械能的減少量
2．應用機械能守恒定律的基本思路
把一個小球用細線懸掛起來，就成為一個擺(如圖所示)，
擺長為l，最大
偏角為θ。如果阻力可以忽略，小球運動到最低點時的速
度大小是多少？
[解題指導]　在阻力可以忽略的情況下，小球擺動過程中受重力和細線的拉力。細線的拉力與小球的運動方向垂直，不做功，所以這個過程中只有重力做功，機械能守恒。
小球在最高點只有重力勢能，動能為0，計算小球在最高點和最低點重力勢能的差值，根據機械能守恒定律就能得出小球在最低點的動能，從而算出小球在最低點的速度。
應用機械能守恒定律解題的基本步驟
(1)根據題意，選取研究對象(物體或系統)。
(2)明確研究對象的運動過程，分析研究對象在運動過程中的受力情況，弄清各力的做功情況，判斷是否符合機械能守恒的條件。
(3)恰當地選取零勢能參考平面，確定研究對象的運動過程的初狀態和末狀態的機械能(包括動能和勢能)。
(4)根據機械能守恒定律列方程求解。
如圖所示，繞過光滑定滑輪兩端分別拴有A、B兩個小球，A球的質量為
3m，B球的質量為m，現將兩球從距地面高度為h處由靜止釋放。若細繩足夠長，細繩的質量、空氣的阻力均不計。求：
(1)A球落地的瞬間，B球的速度多大？
(2)B球上升到距地面的最大高度為多少？
2．固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環，小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于(　　)
A．它滑過的弧長
B．它下降的高度
C．它到P點的距離
D．它與P點的連線掃過的面積
一、培養創新意識和創新思維
情境：小明同學用實驗研究“圓珠筆的上跳”，一支可伸縮
的圓珠筆，內有一根彈簧，尾部有一個小帽，壓一下小帽，筆尖
就伸出。如圖所示，手握筆桿，使筆尖向上，小帽抵在桌面上，
在壓下后突然放手，筆桿將豎直向上跳起一定的高度。
問題：在某次實驗中，小明用刻度尺測得圓珠筆跳起的高度
為12 cm，請你幫他分析：
(1)圓珠筆由桌面靜止起跳到上升至最大高度的過程中，能量發生了怎樣的變化？
(2)從能量轉化的角度計算出圓珠筆起跳的初速度v0多大？(g取10 m/s2)
二、注重學以致用和思維建模
1.如圖是某城市廣場噴泉噴出水柱的場景。從遠處看，噴泉噴出的水柱超過了40層樓的高度；靠近看，噴管的直徑約為10 cm。請你據此估計用于給噴管噴水的電動機輸出功率至少有多大？
2.蹦極是一項非常刺激的運動，為了研究蹦極過程，可將人視為質
點，人的運動沿豎直方向，人離開蹦極臺時的初速度、彈性繩的
質量、空氣阻力均可忽略。某次蹦極時，人從蹦極臺跳下，到A點
時彈性繩恰好伸直，人繼續下落，能到達的最低位置為B點，如圖
所示。已知人的質量m＝50 kg，彈性繩的彈力大小F＝kx，其中x
為彈性繩的形變量，k＝200 N/m，彈性繩的原長L0＝10 m，整個
過程中彈性繩的形變始終在彈性限度內。取重力加速度g＝10 m/s2，在人離開蹦極臺至第一次到達B點的過程中，機械能損失可忽略。PAGE
課時跟蹤檢測（二十一） 機械能守恒定律
A組—重基礎·體現綜合
1．如圖所示的四種情景中，屬于重力勢能轉化為動能的是(　　)
A．甲圖運動員把彎弓拉開將箭射出
B．乙圖跳傘運動員勻速下落
C．丙圖跳水運動員從空中下落
D．丁圖運動員騎自行車沖向坡頂
解析：選C　運動員把彎弓拉開將箭射出，是彈性勢能轉化為動能的過程，故A錯誤；跳傘運動員勻速下落，質量不變，速度不變，動能不變，高度變小，重力勢能減小，所以重力勢能轉化為其他形式的能，故B錯誤；跳水運動員從空中下落，質量不變，速度增大，動能增大，高度減小，重力勢能減小，此過程中，重力勢能轉化為動能，故C正確；運動員騎自行車沖向坡頂，運動員和自行車的質量不變，速度減小，動能減小，高度增大，重力勢能增大，此過程中，動能轉化為重力勢能，故D錯誤。
2．(2024·重慶高考)2024年5月3日，嫦娥六號探測器成功發射，開啟月球背面采樣之旅，探測器的著陸器上升器組合體著陸月球要經過減速、懸停、自由下落等階段。則組合體著陸月球的過程中(　　)
A．減速階段所受合外力為0
B．懸停階段不受力
C．自由下落階段機械能守恒
D．自由下落階段加速度大小g＝9.8 m/s2
解析：選C　組合體在減速階段有加速度，合外力不為0，故A錯誤；組合體在懸停階段加速度為0，處于平衡狀態，合外力為0，但仍受重力和向上的力，故B錯誤；組合體在自由下落階段只受重力，機械能守恒，故C正確；月球表面重力加速度不為9.8 m/s2，故D錯誤。
3.[多選]豎直放置的輕彈簧下連接一個小球，用手托起小球，使彈簧處于壓縮狀態，如圖所示。迅速放手后(不計空氣阻力)(　　)
A．放手瞬間小球的加速度等于重力加速度
B．小球和彈簧與地球組成的系統機械能守恒
C．小球的機械能守恒
D．小球向下運動過程中，小球動能與彈簧彈性勢能之和不斷增大
解析：選BD　放手瞬間小球受彈簧彈力和重力，故其加速度大于重力加速度，A錯；整個系統(包括地球)的機械能守恒，B對，C錯；在向下運動過程中，由于重力勢能減小，所以小球的動能與彈簧彈性勢能之和增大，D對。
4．鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
解析：選D　由于不計空氣阻力，鉛球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不隨時間改變，故A錯誤；鉛球被水平推出后做平拋運動，豎直方向有vy＝gt，則被水平推出后速度大小為v＝，可知速度大小與時間不是一次函數關系，故B錯誤；鉛球被水平推出后的動能Ek＝mv2＝m，可知動能與時間不是一次函數關系，故C錯誤；由于忽略空氣阻力，所以被水平推出后鉛球機械能守恒，故D正確。
5．如圖所示，質量為m的小球以速度v0離開桌面，若以桌面為零勢能參考平面，則它經過A點時所具有的機械能是(不計空氣阻力)(　　)
A.mv02＋mgh B.mv02－mgh
C.mv02 D.mv02＋mg(H－h)
解析：選C　小球下落過程機械能守恒，所以EA＝E初＝mv02，C正確。
6．[多選] 長征途中，為了突破敵方關隘，戰士爬上陡峭的山頭，居高臨下向敵方工事內投擲手榴彈。戰士在同一位置先后投出甲、乙兩顆質量均為m的手榴彈。手榴彈從投出的位置到落地點的高度差為h，在空中的運動可視為平拋運動，軌跡如圖所示，重力加速度為g，下列說法正確的有(　　)
A．甲在空中的運動時間比乙的長
B．兩手榴彈在落地前瞬間，重力的功率相等
C．從投出到落地，每顆手榴彈的重力勢能減少mgh
D．從投出到落地，每顆手榴彈的機械能變化量為mgh
解析：選BC　甲、乙兩顆手榴彈豎直方向下落的高度相同，由平拋運動的特點可知，它們的運動時間相等，A錯誤。落地前瞬間，PG＝mgvy＝mg2t，由于運動時間相等，故重力的瞬時功率相等，B正確。從投出到落地，重力做功為mgh，故重力勢能減少mgh，C正確。從投出到落地過程中只有重力做功，手榴彈的機械能守恒，D錯誤。
7.[多選]如圖所示，在兩個質量分別為m和2m的小球a和b之間，用一根輕質細桿連接，兩小球可繞過輕桿中心的水平軸無摩擦轉動，現讓輕桿處于水平位置，靜止釋放小球后，重球b向下轉動，輕球a向上轉動，在轉過90°的過程中，以下說法正確的是(　　)
A．b球的重力勢能減少，動能增加
B．a球的重力勢能增加，動能減少
C．a球和b球的機械能總和保持不變
D．a球和b球的機械能總和不斷減小
解析：選AC　在b球向下、a球向上擺動過程中，兩球均在加速轉動，兩球動能增加，同時b球重力勢能減少，a球重力勢能增加，A正確，B錯誤；a、b兩球組成的系統只有重力和系統內彈力做功，系統機械能守恒，C正確，D錯誤。
B組—重應用·體現創新
8．[多選]兩個質量不同的小鐵塊A和B，分別從高度相同的都是光滑的斜面和圓弧面的頂點滑向底部，如圖所示。如果它們的初速度都為0，則下列說法正確的是(　　)
A．下滑過程中重力所做的功相等
B．它們到達底部時動能相等
C．它們到達底部時速率相等
D．它們在最高點時的機械能和它們到達最低點時的機械能大小各自相等
解析：選CD　小鐵塊A和B在下滑過程中，只有重力做功，機械能守恒，則由mgH＝mv2，得v＝，所以A和B到達底部時速率相等，故C、D正確；由于A和B的質量不同，所以下滑過程中重力所做的功不相等，到達底部時的動能也不相等，故A、B錯誤。
9.如圖所示，長為L的勻質鏈條放在光滑水平桌面上，且有懸于桌面外，鏈條由靜止開始釋放，則它剛滑離桌面時的速度為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B　鐵鏈釋放之后，到離開桌面，由于桌面無摩擦，整個鏈條的機械能守恒。取桌面為零勢能參考平面，整個鏈條的質量為m。根據機械能守恒有：
－mg·＝ mv2－mg×(0.5 L)，
解得：v＝，B正確。
10.空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會發生變化。空間站安裝有發動機，可對軌道進行修正。圖中給出了國際空間站在2020.02～2020.08期間離地高度隨時間變化的曲線，則空間站(　　)
A．繞地運行速度約為2.0 km/s
B．繞地運行速度約為8.0 km/s
C．在4月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒
D．在5月份繞行的任意兩小時內機械能可視為守恒
解析：選D　根據題意可知，空間站在地球表面繞地球做圓周運動，其繞地運行的速度應略小于第一宇宙速度7.9 km/s，故A、B錯誤；在4月份軌道半徑出現明顯的變大，則可知，機械能不守恒，故C錯誤；在5月份軌道半徑基本不變，故可視為機械能守恒，故D正確。
11.滑板運動深得青少年的喜愛。如圖所示為滑板運動軌道的示意圖，某同學(可視為質點)沿傾角為θ＝30°的傾斜光滑直軌道AB滑下，通過M點時速度為5 m/s，后經水平光滑直軌道BC，沖上光滑軌道CD，到N點速度減小為零。已知該同學質量m＝50 kg，M點與 B點的距離L＝3.0 m，取重力加速度g＝10 m/s2。軌道各部分間均平滑連接，不計一切摩擦和空氣阻力。求：
(1)該同學運動到B點時的動能Ek；
(2)N點離水平軌道的高度H。
解析：(1)以水平軌道為零勢能參考平面，設該同學經過M點時是速度為vM，由下滑過程中機械能守恒得，該同學運動到B點時的動能：Ek＝mvM2＋mgLsin 30° ，
代入數據得：Ek＝1 375 J。
(2)由于該同學整個運動過程中機械能守恒，有：
mvM2＋mgLsin 30°＝mgH，
代入數據得：H＝2.75 m。
答案：(1)1 375 J　(2)2.75 m
12.如圖所示，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接內壁光滑、半徑為r＝0.4 m的細圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數為k＝100 N/m的輕彈簧，輕彈簧下端固定，上端恰好與管口D端齊平。質量為m＝0.5 kg的小球從曲面上距BC的高度為h＝0.8 m處由靜止開始下滑，進入管口C端時的速度為2 m/s，通過CD后壓縮彈簧，在壓縮彈簧過程中速度最大時彈簧的彈性勢能為Ep＝0.125 J。已知小球與BC間的動摩擦因數μ＝0.5。求：
(1)小球到達B點時的速度大小vB；
(2)水平面BC的長度；
(3)在壓縮彈簧的過程中小球的最大速度vm。
解析：(1)小球沿AB軌道從靜止滑至B點的過程，由機械能守恒得mgh＝mvB2，解得vB＝4 m/s。
(2)小球在BC段運動的過程中，由動能定理得
－μmgs＝mvC2－mvB2，
解得s＝1.2 m。
(3)小球加速度為零時速度最大，此時有
mg＝kx，x＝0.05 m，
小球從C端到速度最大的過程中，由機械能守恒
mg(r＋x)＝Ep＋ mvm2－mvC2，
解得 vm＝ m/s。
答案：(1)4 m/s　(2)1.2 m　(3) m/s
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