資源簡介

物理
第講　實驗：用單擺測量重力加速度
考點一　教材原型實驗
一、實驗原理
當擺角較小時，單擺做簡諧運動，由單擺的周期公式T＝2π，可得出g＝l，測出單擺的擺長l和振動周期T，就可求出當地的重力加速度g。
二、實驗器材
帶中心孔的小鋼球、約1 m長的細線、帶有鐵夾的鐵架臺、游標卡尺、毫米刻度尺、停表。
三、實驗步驟
1．做單擺
將細線穿過中心帶有孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結，然后把線的另一端用鐵夾固定在鐵架上，讓擺球自然下垂。如圖所示。
2．測擺長
用毫米刻度尺量出擺線長L(精確到毫米)，用游標卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝L＋。
3．測周期
將單擺從平衡位置拉開一個角度(不超過5°)，然后釋放小球，記下單擺做30次或50次全振動的總時間，算出平均做一次全振動的時間，即為單擺的振動周期T。
4．改變擺長，重做幾次實驗。
四、數據處理
數據處理的兩種方法：
方法一：公式法。
根據公式T＝2π，得g＝。將測得的幾組周期T和擺長l分別代入公式g＝中算出多組重力加速度g的值，再求出g的平均值，即為當地重力加速度的值。
方法二：圖像法。
由單擺的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以擺長l為縱軸，以T2為橫軸描點作圖，作出的l T2圖像理論上是一條過原點的直線，如圖所示，求出圖像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝。
五、誤差分析
1．本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點固定，小球質量大、體積小，細線輕質非彈性，振動是在同一豎直平面內的振動等。
2．本實驗的偶然誤差主要來自時間的測量和擺線長度的測量，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計擺球的全振動次數；使用刻度尺測量擺線長度時，要多次測量取平均值以減小誤差。
3．利用圖像法處理數據具有形象、直觀的特點，同時也能減小實驗誤差。利用圖像法分析處理數據時要特別注意圖像的斜率及截距的物理意義。
六、注意事項
1．小球選用質量大、體積小的鋼球。
2．選用1 m左右難以伸縮且盡量輕的細線。
3．懸點位置不能發生變化，懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。
4．單擺必須在同一平面內振動，且擺角小于5°。
5．選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數準全振動的次數。
例1　(2024·河北省邯鄲市高三下5月檢測)某同學在利用單擺測定當地重力加速度的實驗中：
(1)用20分度游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖甲所示，游標尺左側數據由于磨損已經看不清，則該擺球的直徑d＝________ cm。
(2)下列選項哪些可以減小實驗誤差________。
A．組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線
B．實驗擺長越長越好
C．擺長一定的情況下，單擺的振幅盡量大
D．測周期時從小球位于最高點時開始計時
(3)如圖乙所示，在選擇合適的器材后進行組裝實驗，測得擺線長為l，單擺n次全振動所用時間為t，用上述測量結果，寫出重力加速度的表達式g＝________(用所測物理量字母表示)。
例2　(2023·河北高考)某實驗小組利用圖1裝置測量重力加速度。擺線上端固定在O點，下端懸掛一小鋼球，通過光電門傳感器采集擺動周期。
(1)關于本實驗，下列說法正確的是________。(多選)
A．小鋼球擺動平面應與光電門U形平面垂直
B．應在小鋼球自然下垂時測量擺線長度
C．小鋼球可以換成較輕的橡膠球
D．應無初速度、小擺角釋放小鋼球
(2)組裝好裝置，用毫米刻度尺測量擺線長度L，用螺旋測微器測量小鋼球直徑d。螺旋測微器示數如圖2，小鋼球直徑d＝________ mm，記擺長l＝L＋。
(3)多次改變擺線長度，在小擺角下測得不同擺長l對應的小鋼球擺動周期T，并作出l T2圖像，如圖3。
根據圖線斜率可計算重力加速度g＝________ m/s2(保留三位有效數字，π2取9．87)。
(4)若將擺線長度誤認為擺長，仍用上述圖像法處理數據，得到的重力加速度值將________(填“偏大”“偏小”或“不變”)。
考點二　實驗拓展與創新
例3　(2025·廣東省高三上月考)某智能手機中的磁傳感器功能可實時記錄手機附近磁場的變化，磁極越靠近手機，磁感應強度越大。寧德某中學的小寧在家里用手機、磁化的小球、支架、塑料夾子等實驗器材組裝成如圖甲所示的裝置來測量重力加速度，實驗步驟如下：
①把智能手機正面朝上放在懸點的正下方，接著往側邊拉開小球，并用夾子夾住。
②打開夾子釋放小球，小球運動，取下夾子。
③運行手機磁傳感器功能，手機記錄磁感應強度的變化。
④改變擺線長和夾子的位置，測量出各次實驗的擺線長L及相應的周期T。
(1)如圖乙所示，圖中記錄了實驗中磁感應強度的變化情況，測得第1個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期T的測量值為________。
(2)實驗中用游標卡尺測量擺球直徑如圖丙所示，則擺球直徑為________ cm。
(3)得到多組擺線長L及相應的周期T后，作出了T2 L圖像，如圖丁所示。根據圖中數據可得當地重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，結果保留三位有效數字)。
(4)查表可知寧德地區的重力加速度為9．79 m/s2，則本實驗的相對誤差為________%(結果保留兩位有效數字)。
例4　某班同學組織春游爬山，在山頂發現一棵合抱古樹，他們想知道這顆古樹的樹圍。由于未帶卷尺，只備有救生繩(質量不計且不可伸長)，于是他們利用單擺原理對古樹的樹圍進行粗略測量。他們用救生繩繞樹一周，截取長度等于樹干周長的一段(已預留出打結部分的長度)，然后在這段救生繩的一端系一個小石塊。接下來的操作步驟為：
Ⅰ．將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；
Ⅱ．移動小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個小于5°的角度，然后由靜止釋放，使小石塊在同一豎直面內擺動；
Ⅲ．從小石塊經過平衡位置(已經選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1次經過平衡位置)，至小石塊第41次經過平衡位置，測出這一過程所用的總時間為94．20 s。
(1)根據步驟Ⅲ，可得小石塊擺動的周期T＝________ s(π取3．14)。
(2)經百度查得該地區的重力加速度為9．79 m/s2，可估得該古樹的樹圍C＝________ m。(結果保留兩位有效數字)
(3)若空氣阻力的影響可不計，同時小石塊擺動的周期T測量結果準確，考慮到該山的海拔較高，則該古樹樹圍的測量值________(填“>”“<”或“＝”)真實值。
課時作業
1．(2025·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗器材有：鐵架臺、細線、擺球、停表、卷尺等。完成下列問題：
(1)實驗時，將細線的一端連接擺球，另一端固定在鐵架臺上O點，如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置，使細線與豎直方向成夾角θ(θ<5°)，釋放擺球，讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差，應該在擺球擺至________(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
(2)選取擺線長度為100．0 cm時，測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60．60 s。若將擺線長度視為擺長，求得重力加速度大小為________ m/s2。(取π2＝9．870，結果保留三位有效數字)
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗，相關數據匯總在下表中，在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線，如圖2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0．800 54．17 3．26
0．900 57．54 3．68
1．000 60．60 4．08
1．100 63．55 4．49
1．200 66．34 4．89
設直線斜率為k，則重力加速度可表示為g＝________(用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為________m/s2(結果保留三位有效數字)。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，原因是________________________________。
2．實驗小組的同學在實驗室做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。
(1)下列最合理的裝置是________。
(2)為使重力加速度的測量結果更加準確，下列做法合理的有________。
A．測量擺長時，應測量水平拉直后的擺線長
B．要使擺球在同一豎直面內運動，不能做圓錐擺運動
C．擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大
D．測量周期時，應該從擺球運動到最高點時開始計時
(3)某同學課后嘗試在家里做用單擺測量重力加速度的實驗。由于沒有合適的擺球，于是他找到了一塊雞蛋大小、外形不規則的大理石塊代替小球進行實驗。
如圖1所示，實驗過程中他先將石塊用細線系好，結點為M，將細線的上端固定于O點。然后利用刻度尺測出OM間細線的長度l作為擺長，利用手機的秒表功能測出石塊做簡諧運動的周期T。
在測出幾組不同擺長l對應的周期T的數值后，他作出的T2 l圖像如圖2所示。
①該圖像的斜率為________。
A．g B．
C． D．
②由此得出重力加速度的測量值為________m/s2。(π取3．14，計算結果保留三位有效數字)
③實驗中，該同學測量擺長時使用細線長，而非懸點到石塊重心之間的距離，這對重力加速度測量結果的影響是：測量值________真實值。(填“>”“＝”或“<”)
3．(2024·安徽省高三下模擬)在用單擺測量重力加速度的實驗中：
(1)某同學組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺量得從懸點到擺球最頂端的長度L0＝97．00 cm，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖甲所示，則擺球直徑d＝________ cm。
(2)實驗時，他利用如圖乙所示裝置記錄振動周期，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，光敏電阻與某自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖丙所示，則該單擺的振動周期為T＝________ s。
(3)根據以上測量數據可得重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，結果保留三位有效數字)。
4．(1)某同學在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，測量擺長。用米尺測得擺線長度為99．50 cm，用游標卡尺測得小鐵球的直徑如圖甲所示，則擺球的直徑為________ cm。
(2)用停表測量單擺的周期。把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，當單擺穩定時，擺球到達________(選填“最高”或“最低”)點時開始計時，并計數為零。單擺每經過這點時計一次數，當數到100次時，如圖乙所示，所用的時間為________ s，則單擺的周期為________ s。
(3)他計算得出的重力加速度為________ m/s2(π取3．14，結果保留兩位小數)，比實際的重力加速度要大，其原因是________。
A．擺球太重 B．擺角太小
C．開始計時時停表過遲按下 D．實驗中全振動次數計少了
5．(2023·新課標卷)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖a所示，該示數為________ mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖b所示，該示數為________ mm，則擺球的直徑為________ mm。
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖c所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81．50 cm，則擺長為________ cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54．60 s，則此單擺周期為________ s，該小組測得的重力加速度大小為________ m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9．870)
6．將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部分露于筒外)，如圖甲所示。將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設單擺擺動的過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數關系圖像，那么就可以通過此圖像得出當地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3．14。回答下列問題：
(1)現有可選擇的測量工具如下，本實驗不需要的測量工具是________。
A．停表 B．時鐘
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果實驗中所得到的T2 L圖像如圖乙所示，那么真正的圖像應該是線a、b、c中的________(選填“a”“b”或“c”)。
(3)由圖像可知，當地的重力加速度g＝________ m/s2(結果保留三位有效數字)，小筒的深度h＝________ m。
（答案及解析）
例1　(2024·河北省邯鄲市高三下5月檢測)某同學在利用單擺測定當地重力加速度的實驗中：
(1)用20分度游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖甲所示，游標尺左側數據由于磨損已經看不清，則該擺球的直徑d＝________ cm。
(2)下列選項哪些可以減小實驗誤差________。
A．組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線
B．實驗擺長越長越好
C．擺長一定的情況下，單擺的振幅盡量大
D．測周期時從小球位于最高點時開始計時
(3)如圖乙所示，在選擇合適的器材后進行組裝實驗，測得擺線長為l，單擺n次全振動所用時間為t，用上述測量結果，寫出重力加速度的表達式g＝________(用所測物理量字母表示)。
[答案]　(1)1．130　(2)A　(3)
[解析]　(1)由游標卡尺的原理可知，20分度游標卡尺的游標尺上的每1小格實際長度為＝0．95 mm，從圖甲中可以看出游標尺的第6小格與主尺上的17 mm對齊，故該擺球的直徑為d＝(17－6×0．95) mm＝11．30 mm＝1．130 cm。
(2)組裝單擺時，擺線應該選用輕且細且不易伸長的細線，故A正確；根據單擺周期公式T＝2π可知，擺長越大，周期越大，便于測量，減小誤差，但擺線越長，單擺所受阻力對實驗結果的影響越大，且懸掛點變高會使實驗裝置變得復雜和不穩定，擺長的測量誤差也會變大，所以擺線長度應適度，一般選擇1 m左右，并非越長越好，故B錯誤；單擺只有擺角在5°范圍內時才可近似看作簡諧運動，故在擺長一定的情況下，單擺的振幅不能太大，故C錯誤；小球在平衡位置即最低點時速度最大，故測周期時，為減小誤差，應從小球位于最低點時開始計時，D錯誤。
(3)單擺的周期為T＝，單擺的擺長為L＝l＋d，單擺的周期公式為T＝2π，聯立可解得重力加速度的表達式為g＝。
例2　(2023·河北高考)某實驗小組利用圖1裝置測量重力加速度。擺線上端固定在O點，下端懸掛一小鋼球，通過光電門傳感器采集擺動周期。
(1)關于本實驗，下列說法正確的是________。(多選)
A．小鋼球擺動平面應與光電門U形平面垂直
B．應在小鋼球自然下垂時測量擺線長度
C．小鋼球可以換成較輕的橡膠球
D．應無初速度、小擺角釋放小鋼球
(2)組裝好裝置，用毫米刻度尺測量擺線長度L，用螺旋測微器測量小鋼球直徑d。螺旋測微器示數如圖2，小鋼球直徑d＝________ mm，記擺長l＝L＋。
(3)多次改變擺線長度，在小擺角下測得不同擺長l對應的小鋼球擺動周期T，并作出l T2圖像，如圖3。
根據圖線斜率可計算重力加速度g＝________ m/s2(保留三位有效數字，π2取9．87)。
(4)若將擺線長度誤認為擺長，仍用上述圖像法處理數據，得到的重力加速度值將________(填“偏大”“偏小”或“不變”)。
[答案]　(1)ABD　(2)20．035
(3)9．87　(4)不變
[解析]　(1)使用光電門測量時，光電門U形平面與被測物體的運動方向垂直是光電門使用的基本要求，故A正確。測量擺線長度時，要保證擺線處于伸直狀態，故B正確。單擺是一個擺線長度不變、擺線質量不計、擺球可視為質點的理想化模型，研究單擺時，需要使空氣對擺球的阻力可以忽略，若用較輕的橡膠球代替小鋼球，則擺線質量的影響變大，空氣阻力對擺球的影響變大，會增大誤差，故C錯誤。為了保證小鋼球在豎直平面內做單擺運動，而不形成圓錐擺，應無初速度釋放小鋼球；單擺只有在擺角很小的情況下才可視為做簡諧運動，才能使用公式T＝2π計算重力加速度，因此應小擺角釋放小鋼球，故D正確。
(2)由題圖2可知，小鋼球直徑d＝20 mm＋3．5×0．01 mm＝20．035 mm。
(3)由單擺周期公式T＝2π，得l＝·T2，則l T2圖像中圖線的斜率k＝，可得g＝4π2k，由題圖3知，圖線的斜率k＝ m/s2＝ m/s2，解得g＝9．87 m/s2。
(4)若將擺線長度L誤認為擺長l，因L＝l－＝·T2－，則仍用上述圖像法處理數據，圖線斜率不變，仍為k＝，所以得到的重力加速度值將不變。
例3　(2025·廣東省高三上月考)某智能手機中的磁傳感器功能可實時記錄手機附近磁場的變化，磁極越靠近手機，磁感應強度越大。寧德某中學的小寧在家里用手機、磁化的小球、支架、塑料夾子等實驗器材組裝成如圖甲所示的裝置來測量重力加速度，實驗步驟如下：
①把智能手機正面朝上放在懸點的正下方，接著往側邊拉開小球，并用夾子夾住。
②打開夾子釋放小球，小球運動，取下夾子。
③運行手機磁傳感器功能，手機記錄磁感應強度的變化。
④改變擺線長和夾子的位置，測量出各次實驗的擺線長L及相應的周期T。
(1)如圖乙所示，圖中記錄了實驗中磁感應強度的變化情況，測得第1個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期T的測量值為________。
(2)實驗中用游標卡尺測量擺球直徑如圖丙所示，則擺球直徑為________ cm。
(3)得到多組擺線長L及相應的周期T后，作出了T2 L圖像，如圖丁所示。根據圖中數據可得當地重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，結果保留三位有效數字)。
(4)查表可知寧德地區的重力加速度為9．79 m/s2，則本實驗的相對誤差為________%(結果保留兩位有效數字)。
[答案]　(1)　(2)2．00
(3)9．96　(4)1．7
[解析]　(1)易知磁化小球在最低點時距離手機最近，此時手機測得的磁感應強度最大，測得第1個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，一個周期內磁化小球兩次經過最低點，則單擺周期T的測量值為T＝＝。
(2)由圖丙可知，擺球直徑為d＝20 mm＋0×0．1 mm＝20．0 mm＝2．00 cm。
(3)根據單擺周期公式可得T＝2π，其中r＝＝1．00 cm，整理可得T2＝(L＋r)，對比圖丁可得圖線斜率k＝＝ s2/m，解得當地重力加速度g＝9．96 m/s2。
(4)本實驗的相對誤差為η＝＝×100%＝1．7%。
例4　某班同學組織春游爬山，在山頂發現一棵合抱古樹，他們想知道這顆古樹的樹圍。由于未帶卷尺，只備有救生繩(質量不計且不可伸長)，于是他們利用單擺原理對古樹的樹圍進行粗略測量。他們用救生繩繞樹一周，截取長度等于樹干周長的一段(已預留出打結部分的長度)，然后在這段救生繩的一端系一個小石塊。接下來的操作步驟為：
Ⅰ．將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；
Ⅱ．移動小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個小于5°的角度，然后由靜止釋放，使小石塊在同一豎直面內擺動；
Ⅲ．從小石塊經過平衡位置(已經選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1次經過平衡位置)，至小石塊第41次經過平衡位置，測出這一過程所用的總時間為94．20 s。
(1)根據步驟Ⅲ，可得小石塊擺動的周期T＝________ s(π取3．14)。
(2)經百度查得該地區的重力加速度為9．79 m/s2，可估得該古樹的樹圍C＝________ m。(結果保留兩位有效數字)
(3)若空氣阻力的影響可不計，同時小石塊擺動的周期T測量結果準確，考慮到該山的海拔較高，則該古樹樹圍的測量值________(填“>”“<”或“＝”)真實值。
[答案]　(1)4．71　(2)5．5　(3)>
[解析]　(1)從小石塊經過平衡位置(已經選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1次經過平衡位置)，至小石塊第41次經過平衡位置，共經歷n＝＝20個周期，總時間為n·T＝t，解得T＝＝4．71 s。
(2)根據單擺的周期公式T＝2π，解得擺長為l＝＝ m＝5．5 m，擺長即為古樹的樹圍，即C＝l＝5．5 m。
(3)山頂的海拔較高，所以實際重力加速度較小，而計算所使用的重力加速度偏大，所以該古樹樹圍的測量值>真實值。
課時作業
1．(2025·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗器材有：鐵架臺、細線、擺球、停表、卷尺等。完成下列問題：
(1)實驗時，將細線的一端連接擺球，另一端固定在鐵架臺上O點，如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置，使細線與豎直方向成夾角θ(θ<5°)，釋放擺球，讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差，應該在擺球擺至________(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
(2)選取擺線長度為100．0 cm時，測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60．60 s。若將擺線長度視為擺長，求得重力加速度大小為________ m/s2。(取π2＝9．870，結果保留三位有效數字)
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗，相關數據匯總在下表中，在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線，如圖2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0．800 54．17 3．26
0．900 57．54 3．68
1．000 60．60 4．08
1．100 63．55 4．49
1．200 66．34 4．89
設直線斜率為k，則重力加速度可表示為g＝________(用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為________m/s2(結果保留三位有效數字)。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，原因是________________________________。
答案：(1)最低點　(2)9．68　(3)4π2k　9．87　(4)見解析
解析：(1)擺球經過最低點時速度最大，在相等的距離誤差內引起的時間誤差最小，測出的周期誤差最小，所以為了減小測量周期的誤差，應該在擺球擺至最低點時開始計時。
(2)根據題意可知小球擺動的周期T＝＝2．02 s，擺長L＝100．0 cm＝1．000 m，根據單擺周期公式有T＝2π，解得重力加速度g＝＝9．68 m/s2。
(3)根據單擺周期公式有T＝2π，其中r為擺球半徑，整理可得l＝·T2－r，可知l T2圖線的斜率k＝，則重力加速度可表示為g＝4π2k，由圖2求得當地的重力加速度大小為g＝4π2× m/s2＝9．87 m/s2。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，其原因是用圖像法處理數據時，無論是否考慮擺球的半徑，圖像斜率均為，即對g的測量沒有影響。
2．實驗小組的同學在實驗室做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。
(1)下列最合理的裝置是________。
(2)為使重力加速度的測量結果更加準確，下列做法合理的有________。
A．測量擺長時，應測量水平拉直后的擺線長
B．要使擺球在同一豎直面內運動，不能做圓錐擺運動
C．擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大
D．測量周期時，應該從擺球運動到最高點時開始計時
(3)某同學課后嘗試在家里做用單擺測量重力加速度的實驗。由于沒有合適的擺球，于是他找到了一塊雞蛋大小、外形不規則的大理石塊代替小球進行實驗。
如圖1所示，實驗過程中他先將石塊用細線系好，結點為M，將細線的上端固定于O點。然后利用刻度尺測出OM間細線的長度l作為擺長，利用手機的秒表功能測出石塊做簡諧運動的周期T。
在測出幾組不同擺長l對應的周期T的數值后，他作出的T2 l圖像如圖2所示。
①該圖像的斜率為________。
A．g B．
C． D．
②由此得出重力加速度的測量值為________m/s2。(π取3．14，計算結果保留三位有效數字)
③實驗中，該同學測量擺長時使用細線長，而非懸點到石塊重心之間的距離，這對重力加速度測量結果的影響是：測量值________真實值。(填“>”“＝”或“<”)
答案：(1)D　(2)BC　(3)①C　②9．86　③＝
解析：(1)根據單擺模型可知，為減小空氣阻力的影響，擺球應使用密度較大、體積較小的鐵球；為使單擺擺動時擺長不變化，擺線應用不易形變的細絲線，懸點應該用鐵夾固定。故選D。
(2)測量擺長時，應在擺線豎直拉直時測量，故A錯誤；要使擺球在同一豎直面內運動，不能做圓錐擺運動，故B正確；擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大，如擺角太大，單擺運動將不能再看作簡諧運動，單擺周期公式不再適用，故C正確；測量周期時，為減小測量誤差，應該從擺球運動到最低點時開始計時，故D錯誤。
(3)①由題圖1可知，設M點到石塊重心的距離為d，根據單擺的周期公式可得T＝2π，整理得T2＝l＋，故該圖像的斜率為k＝，故選C。
②由題圖2可知，k＝×102 s2/m＝4 s2/m，又k＝，解得g＝π2＝9．86 m/s2。
③由上述分析有T2＝l＋，可知d是否等于零，即l是否為擺長，并不影響T2 l圖像斜率，而題中用斜率計算重力加速度，故重力加速度的測量結果不受影響，測量值＝真實值。
3．(2024·安徽省高三下模擬)在用單擺測量重力加速度的實驗中：
(1)某同學組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺量得從懸點到擺球最頂端的長度L0＝97．00 cm，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖甲所示，則擺球直徑d＝________ cm。
(2)實驗時，他利用如圖乙所示裝置記錄振動周期，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，光敏電阻與某自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖丙所示，則該單擺的振動周期為T＝________ s。
(3)根據以上測量數據可得重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，結果保留三位有效數字)。
答案：(1)2．03　(2)2．000　(3)9．66
解析：(1)由圖甲可知，擺球直徑為d＝20 mm＋3×0．1 mm＝20．3 mm＝2．03 cm。
(2)根據光敏電阻的特性以及單擺運動的規律，結合圖丙可知，該單擺的振動周期為T＝2．246 s－0．246 s＝2．000 s。
(3)單擺的擺長為L＝L0＋＝97．00 cm＋ cm＝98．02 cm，根據單擺的周期公式有T＝2π，得重力加速度g＝，代入數據解得g＝9．66 m/s2。
4．(1)某同學在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，測量擺長。用米尺測得擺線長度為99．50 cm，用游標卡尺測得小鐵球的直徑如圖甲所示，則擺球的直徑為________ cm。
(2)用停表測量單擺的周期。把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，當單擺穩定時，擺球到達________(選填“最高”或“最低”)點時開始計時，并計數為零。單擺每經過這點時計一次數，當數到100次時，如圖乙所示，所用的時間為________ s，則單擺的周期為________ s。
(3)他計算得出的重力加速度為________ m/s2(π取3．14，結果保留兩位小數)，比實際的重力加速度要大，其原因是________。
A．擺球太重 B．擺角太小
C．開始計時時停表過遲按下 D．實驗中全振動次數計少了
答案：(1)1．04　(2)最低　97．5　1．95
(3)10．37　C
解析：(1)由題圖甲可知，擺球的直徑為1 cm＋4×0．1 mm＝1．04 cm。
(2)擺球在最低點時速度最大，為減小時間測量誤差，故應從擺球到達最低點時開始計時，并計數為零。單擺每經過這點時計一次數，當數到100次時，單擺全振動的次數為50次，由題圖乙可知，所用的時間為1分37．5秒，即97．5 s，故單擺的周期為T＝＝1．95 s。
(3)由(1)(2)可知，該單擺的擺長為l＝99．50 cm＋ cm＝100．02 cm，周期為T＝1．95 s，根據單擺做簡諧運動的周期公式T＝2π，解得g＝＝10．37 m/s2。由g＝可知，g值與擺球質量太大、擺角太小無關，故A、B錯誤；若開始計時時停表過遲按下，使記錄時間變小，次數不變，故單擺的周期測量值比實際值小，則g的測量值比實際的重力加速度要大，故C正確；若實驗中全振動次數計少了，記錄時間不變，則單擺的周期測量值比實際值大，則g的測量值比實際值要小，故D錯誤。
5．(2023·新課標卷)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖a所示，該示數為________ mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖b所示，該示數為________ mm，則擺球的直徑為________ mm。
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖c所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81．50 cm，則擺長為________ cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54．60 s，則此單擺周期為________ s，該小組測得的重力加速度大小為________ m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9．870)
答案：(1)0．007(0．006、0．007、0．008均可)　20．033(20．032、20．033、20．034均可)　20．026(20．024、20．025、20．026、20．027、20．028均可，須對應前兩空的差值)
(2)大于　(3)82．5　1．82　9．83
解析：(1)題圖a中示數為d0＝0 mm＋0．7×0．01 mm＝0．007 mm，題圖b中示數為d1＝20 mm＋3．3×0．01 mm＝20．033 mm，則擺球的直徑為d＝d1－d0＝20．026 mm。
(2)如圖所示，O1為懸點，AB∥OO1，A和B是角度盤上示數為5°的位置。由題意知，角度盤固定在桿上O點時，∠AO1O＝5°，由圖可知，將角度盤固定在O點上方，示數為5°時，實際擺角∠BO1O>∠AO1O＝5°。
(3)單擺的擺線長度為l0＝81．50 cm，則擺長為l＝l0＋＝81．50 cm＋ cm＝82．5 cm。
每完成一次全振動，單擺經過最低點兩次，故此單擺全振動次數N＝＝30，周期為T＝＝ s＝1．82 s，由單擺的周期公式T＝2π得，該小組測得的重力加速度大小g＝＝9．83 m/s2。
6．將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部分露于筒外)，如圖甲所示。將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設單擺擺動的過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數關系圖像，那么就可以通過此圖像得出當地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3．14。回答下列問題：
(1)現有可選擇的測量工具如下，本實驗不需要的測量工具是________。
A．停表 B．時鐘
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果實驗中所得到的T2 L圖像如圖乙所示，那么真正的圖像應該是線a、b、c中的________(選填“a”“b”或“c”)。
(3)由圖像可知，當地的重力加速度g＝________ m/s2(結果保留三位有效數字)，小筒的深度h＝________ m。
答案：(1)BC　(2)a　(3)9．86　0．45
解析：(1)本實驗需要測量時間以求出單擺的周期，并要測量筒的下端口到擺球球心的距離L，則所需要的測量工具是停表和毫米刻度尺，本題選擇不需要的測量工具，即為時鐘和天平。故選B、C。
(2)由題圖甲可得，單擺的擺長l＝L＋h，由單擺的周期公式得T＝2π，整理得T2＝L＋，因為>0，所以真正的圖像應該是線a。
(3)根據(2)可知，T2 L圖像的斜率k＝，縱截距d＝h，由圖乙圖線a可知，k＝，d＝1．80，可解得g＝9．86 m/s2，h＝0．45 m。
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第十三章　機械振動
機械波
第3講　實驗：用單擺測量重力加速度
目錄
1
2
考點一　教材原型實驗
考點二　實驗拓展與創新
課時作業
3
考點一　教材原型實驗
三、實驗步驟
1．做單擺
將細線穿過中心帶有孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結，然后把線的另一端用鐵夾固定在鐵架上，讓擺球自然下垂。如圖所示。
五、誤差分析
1．本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點固定，小球質量大、體積小，細線輕質非彈性，振動是在同一豎直平面內的振動等。
2．本實驗的偶然誤差主要來自時間的測量和擺線長度的測量，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計擺球的全振動次數；使用刻度尺測量擺線長度時，要多次測量取平均值以減小誤差。
3．利用圖像法處理數據具有形象、直觀的特點，同時也能減小實驗誤差。利用圖像法分析處理數據時要特別注意圖像的斜率及截距的物理意義。
六、注意事項
1．小球選用質量大、體積小的鋼球。
2．選用1 m左右難以伸縮且盡量輕的細線。
3．懸點位置不能發生變化，懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。
4．單擺必須在同一平面內振動，且擺角小于5°。
5．選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數準全振動的次數。
例1　(2024·河北省邯鄲市高三下5月檢測)某同學在利用單擺測定當地重力加速度的實驗中：
(1)用20分度游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖甲所示，游標尺左側數據由于磨損已經看不清，則該擺球的直徑d＝________ cm。
1．130
(2)下列選項哪些可以減小實驗誤差______。
A．組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線
B．實驗擺長越長越好
C．擺長一定的情況下，單擺的振幅盡量大
D．測周期時從小球位于最高點時開始計時
(3)如圖乙所示，在選擇合適的器材后進行組裝實驗，測得擺線長為l，單擺n次全振動所用時間為t，用上
述測量結果，寫出重力加速度的表達式g＝_________(用所測物理量字母表示)。
A
例2　(2023·河北高考)某實驗小組利用圖1裝置測量重力加速度。擺線上端固定在O點，下端懸掛一小鋼球，通過光電門傳感器采集擺動周期。
(1)關于本實驗，下列說法正確的是________。(多選)
A．小鋼球擺動平面應與光電門U形平面垂直
B．應在小鋼球自然下垂時測量擺線長度
C．小鋼球可以換成較輕的橡膠球
D．應無初速度、小擺角釋放小鋼球
ABD
20．035
(3)多次改變擺線長度，在小擺角下測得不同擺長l對應的小鋼球擺動周期T，并作出l T2圖像，如圖3。
根據圖線斜率可計算重力加速度g＝________ m/s2(保留三位有效數字，π2取9．87)。
(4)若將擺線長度誤認為擺長，仍用上述圖像法處理數據，得到的重力加速度值將_____ (填“偏大”“偏小”或“不變”)。
9．87
不變
考點二　實驗拓展與創新
例3　(2025·廣東省高三上月考)某智能手機中的磁傳感器功能可實時記錄手機附近磁場的變化，磁極越靠近手機，磁感應強度越大。寧德某中學的小寧在家里用手機、磁化的小球、支架、塑料夾子等實驗器材組裝成如圖甲所示的裝置來測量重力加速度，實驗步驟如下：
①把智能手機正面朝上放在懸點的正下方，接著往
側邊拉開小球，并用夾子夾住。
②打開夾子釋放小球，小球運動，取下夾子。
③運行手機磁傳感器功能，手機記錄磁感應強度的變化。
④改變擺線長和夾子的位置，測量出各次實驗的擺線長L及相應的周期T。
(1)如圖乙所示，圖中記錄了實驗中磁感應強度的變化情況，測得第1個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期T的測量值為
________。
(2)實驗中用游標卡尺測量擺球直徑如圖丙所示，則擺球直徑為_______cm。
2．00
(3)得到多組擺線長L及相應的周期T后，作出了T2 L圖像，如圖丁所示。根據圖中數據可得當地重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，結果保留三位有效數字)。
(4)查表可知寧德地區的重力加速度為9．79 m/s2，則本實驗的相對誤差為_______%(結果保留兩位有效數字)。
9．96
1．7
例4　某班同學組織春游爬山，在山頂發現一棵合抱古樹，他們想知道這顆古樹的樹圍。由于未帶卷尺，只備有救生繩(質量不計且不可伸長)，于是他們利用單擺原理對古樹的樹圍進行粗略測量。他們用救生繩繞樹一周，截取長度等于樹干周長的一段(已預留出打結部分的長度)，然后在這段救生繩的一端系一個小石塊。接下來的操作步驟為：
Ⅰ．將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；
Ⅱ．移動小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個小于5°的角度，然后由靜止釋放，使小石塊在同一豎直面內擺動；
Ⅲ．從小石塊經過平衡位置(已經選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1次經過平衡位置)，至小石塊第41次經過平衡位置，測出這一過程所用的總時間為94．20 s。
(1)根據步驟Ⅲ，可得小石塊擺動的周期T＝________ s(π取3．14)。
(2)經百度查得該地區的重力加速度為9．79 m/s2，可估得該古樹的樹圍C＝______ m。(結果保留兩位有效數字)
(3)若空氣阻力的影響可不計，同時小石塊擺動的周期T測量結果準確，考慮到該山的海拔較高，則該古樹樹圍的測量值_____(填“>”“<”或“＝”)真實值。
4．71
5．5
>
課時作業
1．(2025·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗器材有：鐵架臺、細線、擺球、停表、卷尺等。完成下列問題：
(1)實驗時，將細線的一端連接擺球，另一端固定在鐵架臺上
O點，如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置，使細線與豎直方向成
夾角θ(θ<5°)，釋放擺球，讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差，應
該在擺球擺至________(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
(2)選取擺線長度為100．0 cm時，測得擺球擺動30個完整周期
的時間(t)為60．60 s。若將擺線長度視為擺長，求得重力加速度大小為________ m/s2。(取π2＝9．870，結果保留三位有效數字)
最低點
9．68
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗，相關數據匯總在下表中，在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線，如圖2所示。
設直線斜率為k，則重力加速度可表示為g＝_______(用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為________m/s2(結果保留三位有效數字)。
l(m) t(s) T2(s2)
0．800 54．17 3．26
0．900 57．54 3．68
1．000 60．60 4．08
1．100 63．55 4．49
1．200 66．34 4．89
4π2k
9．87
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，原因是________________________________________________________________________________________________________________________________________。
2．實驗小組的同學在實驗室做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗。
(1)下列最合理的裝置是______。
D
(2)為使重力加速度的測量結果更加準確，下列做法合理的有______。
A．測量擺長時，應測量水平拉直后的擺線長
B．要使擺球在同一豎直面內運動，不能做圓錐擺運動
C．擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大
D．測量周期時，應該從擺球運動到最高點時開始計時
BC
(3)某同學課后嘗試在家里做用單擺測量重力加速度的實驗。由于沒有合適的擺球，于是他找到了一塊雞蛋大小、外形不規則的大理石塊代替小球進行實驗。
如圖1所示，實驗過程中他先將石塊用細線系好，結點為M，將細線的上端固定于O點。然后利用刻度尺測出OM間細線的長度l作為擺長，利用手機的秒表功能測出石塊做簡諧運動的周期T。
在測出幾組不同擺長l對應的周期T的數值后，他作出的T2 l圖像如圖2所示。
C
9．86
＝
解析： (1)根據單擺模型可知，為減小空氣阻力的影響，擺球應使用密度較大、體積較小的鐵球；為使單擺擺動時擺長不變化，擺線應用不易形變的細絲線，懸點應該用鐵夾固定。故選D。
(2)測量擺長時，應在擺線豎直拉直時測量，故A錯誤；要使擺球在同一豎直面內運動，不能做圓錐擺運動，故B正確；擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大，如擺角太大，單擺運動將不能再看作簡諧運動，單擺周期公式不再適用，故C正確；測量周期時，為減小測量誤差，應該從擺球運動到最低點時開始計時，故D錯誤。
3．(2024·安徽省高三下模擬)在用單擺測量重力加速度的實驗中：
(1)某同學組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺量得從懸點到擺球最頂端的長度L0＝97．00 cm，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖甲所示，則擺球直徑d＝________ cm。
2．03
(2)實驗時，他利用如圖乙所示裝置記錄振動周期，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，光敏電阻與某自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖丙所示，則該單擺的振動周期為T＝________ s。
(3)根據以上測量數據可得重力加速度g＝_______ m/s2(π取3．14，結果保留三位有效數字)。
2．000
9．66
4．(1)某同學在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，測量擺長。用米尺測得擺線長度為99．50 cm，用游標卡尺測得小鐵球的直徑如圖甲所示，則擺球的直徑為________ cm。
(2)用停表測量單擺的周期。把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，當單擺穩定時，擺球到達_______(選填“最高”或“最低”)點時開始計時，并計數為零。單擺每經過這點時計一次數，當數到100次時，如圖乙所示，所用的時間為________ s，則單擺的周期為_______ s。
1．04
最低
97．5
1．95
(3)他計算得出的重力加速度為______ m/s2(π取3．14，結果保留兩位小數)，比實際的重力加速度要大，其原因是_____。
A．擺球太重 B．擺角太小
C．開始計時時停表過遲按下 D．實驗中全振動次數計少了
10．37
C
________________________________________ mm，則擺球的直徑為
______________________________________________________________________________ mm。
5．(2023·新課標卷)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖a所示，該示數為___________________________________ mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖b所示，該示數為
0．007(0．006、0．007、0．008均可)
20．033(20．032、20．033、20．034均可)
20．026(20．024、20．025、20．026、20．027、20．028均可，須對應前兩空的差值)
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖c所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81．50 cm，則擺長為_______ cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54．60 s，則此單擺周期為_______ s，該小組測得的重力加速度大小為_______ m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9．870)
大于
82．5
1．82
9．83
解析： (1)題圖a中示數為d0＝0 mm＋0．7×0．01 mm＝0．007 mm，題圖b中示數為d1＝20 mm＋3．3×0．01 mm＝20．033 mm，則擺球的直徑為d＝d1－d0＝20．026 mm。
(2)如圖所示，O1為懸點，AB∥OO1，A和B是角度盤上示數為5°的位置。由題意知，角度盤固定在桿上O點時，∠AO1O＝5°，由圖可知，將角度盤固定在O點上方，示數為5°時，實際擺角∠BO1O>∠AO1O＝5°。
6．將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部分露于筒外)，如圖甲所示。將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設單擺擺動的過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數關系圖像，那么就可以通過此圖像得出當地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3．14。回答下列問題：
(1)現有可選擇的測量工具如下，本實驗不需要的測量工具是______。
A．停表 B．時鐘
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果實驗中所得到的T2 L圖像如圖乙所示，那么
真正的圖像應該是線a、b、c中的_____(選填“a”“b”或“c”)。
(3)由圖像可知，當地的重力加速度g＝_____ m/s2(結果
保留三位有效數字)，小筒的深度h＝________ m。
BC
a
9．86
0．45

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