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第七章 萬有引力與宇宙航行 單元測試
一、單選題
1．衛(wèi)星甲是定點(diǎn)于地球赤道平面的地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星乙是地球極地衛(wèi)星，甲、乙均繞地球做勻速圓周運(yùn)動。已知乙的軌道半徑為r，甲的軌道半徑為4r。某時刻甲位于乙的正上方，則到下一次甲位于乙的正上方所經(jīng)過的最短時間為（　　）
A．24h B．12h C．6h D．3h
2．某行星繞太陽運(yùn)行的橢圓軌道如圖所示，a、c為橢圓軌道長軸的端點(diǎn)，b、d為橢圓軌道短軸的端點(diǎn)，行星沿圖中箭頭方向運(yùn)行。若行星某時刻位于b點(diǎn)，則經(jīng)過二分之一周期，行星位于軌道的（　　）
A．d、a兩點(diǎn)之間 B．d點(diǎn) C．c、d兩點(diǎn)之間 D．c點(diǎn)
3．山西陶寺遺址考古發(fā)現(xiàn)，早在四千年前陶寺先民通過觀象臺夯土墻間的12道縫隙，觀測日月星辰，劃分了節(jié)氣。地球繞太陽運(yùn)行的軌道如圖所示，則地球在夏至?xí)r（　　）
A．加速度與立夏時的相同
B．動能與立夏時的相同
C．角速度與立夏時的相同
D．與太陽連線單位時間內(nèi)掃過的面積與立夏時的相同
4．2025年中國航天將迎來更多突破，新一代載人飛船和月面著陸器將進(jìn)入實(shí)質(zhì)性測試階段，我國第四批預(yù)備航天員不僅要執(zhí)行空間站任務(wù)，未來也將執(zhí)行載人登月任務(wù)。假設(shè)以同樣大小的初速度分別在月面和地面豎直上拋小球（不計(jì)地面上的空氣阻力），小球在月面上升的最大高度為在地面上的6倍。已知地球半徑為月球半徑的4倍，則地球和月球的平均密度之比為（　　）
A．6∶1 B．1∶6 C．2∶3 D．3∶2
5．“天問二號”探測器即將出征，將再次創(chuàng)造中國航天新高度。假設(shè)“天問二號”繞地球的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，距地面的高度為h，飛行n圈所用時間為t，“天問二號”的總質(zhì)量為m，地球半徑為R，引力常量為G，則（　　）
A．地球的質(zhì)量
B．地球表面的重力加速度
C．探測器的向心加速度
D．探測器的線速度
6．“食雙星”是特殊的雙星系統(tǒng)，由兩顆亮度不同的恒星組成，它們在相互引力作用下繞連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，且軌道平面與觀測者視線方向幾乎平行。由于兩顆恒星相互遮擋，造成觀測者觀察到雙星的亮度L發(fā)生周期性變化，如圖所示。若較亮的恒星和較暗的恒星軌道半徑分別為和（和遠(yuǎn)小于該雙星系統(tǒng)到觀測者的距離）。下列說法正確的是（　　）
A．時刻，較亮的恒星遮擋住較暗的恒星
B．較亮的恒星與較暗的恒星質(zhì)量之比為
C．兩顆恒星做勻速圓周運(yùn)動的周期均為
D．較亮的恒星線速度與較暗的恒星線速度之比為
7．下列說法中，正確的是 （　　）
A．牛頓發(fā)現(xiàn)了行星的運(yùn)動規(guī)律
B．卡文迪許第一次在實(shí)驗(yàn)室里測出了萬有引力常量
C．在慣性系中，光源運(yùn)動的情況下觀察者觀測到的光速不一定是c
D．在高速運(yùn)動情況下，慣性系中的物理規(guī)律不一定相同
二、多選題
8．關(guān)于天體的運(yùn)動，下列說法正確的是（ ）
A．伽利略在天文觀測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，總結(jié)了行星運(yùn)動的規(guī)律
B．離太陽的平均距離越遠(yuǎn)的行星，繞太陽公轉(zhuǎn)周期越長
C．地球在近日點(diǎn)的速率大于遠(yuǎn)日點(diǎn)的速率
D．相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積
9．如圖所示，已知均勻球體對其他物體的萬有引力等效于將其全部質(zhì)量集中于球心時對其他物體的萬有引力，如圖所示，有一半徑為R的均勻球體，球心為O1，質(zhì)量為8M，今在其內(nèi)挖去一個半徑為的小球，形成球形腔的球心為O2，將小球移出至圖示位置與大球相切，小球球心為O3，圖中O1、O2、切點(diǎn)及O3點(diǎn)共線，，關(guān)于挖去后剩余部分對小球的引力說法正確的是（　　）
A．可以直接利用萬有引力定律進(jìn)行計(jì)算大小
B．不可以直接利用萬有引力定律進(jìn)行計(jì)算大小
C．大小為
D．大小為
10．截至2024年7月，我國在軌衛(wèi)星的數(shù)量已超過900顆，這些衛(wèi)星服務(wù)于通信、導(dǎo)航、遙感、氣象、科學(xué)研究等多個領(lǐng)域。現(xiàn)有一顆人造地球衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動，近地點(diǎn)到地心距離為a，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心距離為b，周期為T。已知引力常量為G，地球?yàn)橘|(zhì)量均勻的球體，下列說法正確的是（　　）
A．繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的所有衛(wèi)星與地心的連線單位時間掃過的面積均相等
B．衛(wèi)星在近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度大小之比為
C．根據(jù)已知條件，可估算地球的密度為
D．根據(jù)已知條件，可估算地球的質(zhì)量為
三、解答題
11．2025年3月10日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征三號乙運(yùn)載火箭，成功將通信技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星十五號發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功。假設(shè)衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道后以大小為v的線速度繞地球做勻速圓周運(yùn)動，衛(wèi)星距離地面的高度為h，地球的半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求：
(1)地球的質(zhì)量M；
(2)地球表面的重力加速度大小g；
(3)地球的第一宇宙速度。
12．2024年6月25日，嫦娥六號返回器準(zhǔn)確著陸于內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域，工作正常，標(biāo)志著探月工程嫦娥六號任務(wù)取得圓滿成功，實(shí)現(xiàn)世界首次月球背面采樣返回。“嫦娥六號”探月衛(wèi)星在空中的運(yùn)動可簡化為如圖所示的過程，衛(wèi)星由地面發(fā)射后，經(jīng)過發(fā)射軌道進(jìn)入停泊軌道，在停泊軌道經(jīng)過調(diào)速后進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，再次調(diào)速后進(jìn)入工作軌道．已知衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運(yùn)行的半徑分別為R和R1，地球半徑為r，月球半徑為r1，地球表面的重力加速度為g，月球表面的重力加速度為地球表面的重力加速度的六分之一。求：
(1)衛(wèi)星在停泊軌道上運(yùn)行的速度大小；
(2)衛(wèi)星在工作軌道上運(yùn)行的周期。
13．2024年6月25日，嫦娥六號返回器實(shí)現(xiàn)了世界首次月球背面采樣并順利返回，為后續(xù)載人探月工程打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．設(shè)想載人飛船先在軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動，選準(zhǔn)合適時機(jī)變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)近月點(diǎn)再次變軌到近月軌道Ⅲ（可認(rèn)為軌道半徑等于月球半徑），最后安全落在月球上，其中A、B兩點(diǎn)分別為橢圓軌道Ⅱ與軌道Ⅰ、Ⅲ的切點(diǎn)，已知月球半徑為R，月球表面重力加速度為g0，通過觀測發(fā)現(xiàn)載人飛船在橢圓軌道Ⅱ的周期為近月軌道Ⅲ的周期的倍．求：
(1)載人飛船在軌道Ⅲ上的角速度ω；
(2)軌道Ⅰ的半徑r。
14．2025年3月21日19時07分，谷神星一號（遙十七）運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，火箭順利將云遙氣象星座43-48星共6顆衛(wèi)星送入太陽同步軌道。云遙氣象星座48星在地球表面時受到地球的萬有引力大小為F，地球半徑為R，云遙氣象星座48星繞地球做圓周運(yùn)動時，軌道離地球表面的高度為h，周期為T。
(1)求云遙氣象星座48星在運(yùn)行軌道上受到的地球的萬有引力大小；
(2)已知開普勒行星運(yùn)動定律也適用于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動，某地球同步軌道衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道半徑為r，求該地球同步軌道衛(wèi)星的周期。
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D B B B BC BC BD
1．A
【詳解】由開普勒第三定律可知，甲、乙繞地運(yùn)行的周期之比
甲為地球同步衛(wèi)星，周期為，所以
由于甲、乙的運(yùn)行軌道相互垂直，可知經(jīng)過12h，當(dāng)甲第一次運(yùn)動到原來位置的對面時，乙恰好回到原來的位置，此時甲不在乙的正上方；經(jīng)過24h，當(dāng)甲第一次回到原來的位置時，乙正好也回到原來的位置，此時甲正好位于乙正上方。
故選A。
2．C
【詳解】根據(jù)開普勒第二定律可知，該行星在橢圓軌道上近日點(diǎn)a點(diǎn)的速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)c點(diǎn)的速度最小，根據(jù)對稱性可知，該行星從a點(diǎn)運(yùn)行至c點(diǎn)所用的時間為二分之一周期，且從a點(diǎn)運(yùn)行至b點(diǎn)所用的時間小于從b點(diǎn)運(yùn)行至c點(diǎn)所用的時間，則從該行星位于b點(diǎn)起，經(jīng)過二分之一周期，該行星位于軌道的c、d兩點(diǎn)之間。
故選C。
3．D
【詳解】A．根據(jù)牛頓第二定律，有
解得
由圖可知地球在夏至?xí)r與立夏時到太陽的距離不相等，所以加速度不相同，故A錯誤；
B．根據(jù)開普勒第二定律可知地球由立夏到夏至速度逐漸減小，所以動能不相同，故B錯誤；
CD．根據(jù)開普勒第二定律可知地球與太陽連線單位時間內(nèi)掃過的面積相等，可知地球由立夏到夏至角速度逐漸減小，故C錯誤，D正確。
故選D。
4．D
【詳解】根據(jù)
可得
根據(jù)，
可得
故選D。
5．B
【詳解】A．“天問二號”繞地球做圓周運(yùn)動的周期
根據(jù)
可得地球的質(zhì)量
選項(xiàng)A錯誤；
B．根據(jù)
地球表面的重力加速度
選項(xiàng)B正確；
C．根據(jù)
探測器的向心加速度
選項(xiàng)C錯誤；
D．探測器的線速度
選項(xiàng)D錯誤。
故選B。
6．B
【詳解】AC．由題意可知，時刻，較亮的恒星遮擋住較暗的恒星，時刻較暗的恒星遮擋住較亮的恒星，即時間里，轉(zhuǎn)了半個圈，故周期為
故AC錯誤；
B．設(shè)較亮的恒星和較暗的恒星的質(zhì)量分別為和，均由彼此間的萬有引力提供向心力故兩顆恒星的向心力大小相等，有
解得
故B正確；
D．設(shè)較亮的恒星和較暗的恒星的質(zhì)量分別為和，根據(jù)
因?yàn)榻撬俣认嗟龋獾?br/>故D錯誤。
故選B。
7．B
【詳解】A．開普勒發(fā)現(xiàn)了行星的運(yùn)動規(guī)律，選項(xiàng)A錯誤；
B．卡文迪許第一次在實(shí)驗(yàn)室里測出了萬有引力常量，選項(xiàng)B正確；
C．根據(jù)光速不變原理，在慣性系中，光源運(yùn)動的情況下觀察者觀測到的光速一定是c，選項(xiàng)C錯誤；
D．狹義相對論的相對性原理告訴我們，物理規(guī)律在所有慣性系中都具有相同的形式，選項(xiàng)D錯誤。
故選B。
8．BC
【詳解】A．是開普勒在第谷的天文觀測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律，而非伽利略 ，故A錯誤；
B．根據(jù)開普勒第三定律（a是行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動的半長軸，T是公轉(zhuǎn)周期，k是常量）
可知離太陽平均距離越遠(yuǎn)，即半長軸a越大，公轉(zhuǎn)周期T就越長，故B正確；
C．依據(jù)開普勒第二定律，行星和太陽的連線在相等的時間間隔內(nèi)掃過相等的面積。地球在近日點(diǎn)與太陽的距離較近，在遠(yuǎn)日點(diǎn)與太陽距離較遠(yuǎn)，為保證相同時間掃過面積相等，近日點(diǎn)速率大于遠(yuǎn)日點(diǎn)速率 ，故C正確；
D．開普勒第二定律指的是同一行星與太陽連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，火星和木星是不同行星，不適用該定律，故D錯誤。
故選 BC。
9．BC
【詳解】AB．挖去后的部分不是質(zhì)量分布均勻的球體，所以無法利用萬有引力定律直接計(jì)算引力的大小，故A錯物，B正確；
CD．根據(jù)體積公式，挖去的個半徑為的小球的體積為原來球的體積的，則其質(zhì)量為原球質(zhì)量的，即為M，用沒挖之前球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力，減去被挖部分對質(zhì)點(diǎn)的引力
故C正確，D錯誤。
故選BC。
10．BD
【詳解】A．繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的同一衛(wèi)星與地心的連線單位時間掃過的面積相等，故A錯誤；
B．由加速度得，加速度與到地心的距離平方成反比，則衛(wèi)星在近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度大小之比為，故B正確；
C．假設(shè)近地衛(wèi)星周期為，對近地衛(wèi)星滿足
可得地球密度
但此衛(wèi)星不是近地衛(wèi)星，運(yùn)動半徑不等于地球半徑，故C錯誤；
D．根據(jù)開普勒第三定律可知
且有
可得
故D正確。
故選BD。
11．(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為，有
解得
（2）對地面上質(zhì)量為的物體，有
解得
（3）對質(zhì)量為的近地衛(wèi)星，有
解得
12．(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，該衛(wèi)星在停泊軌道上運(yùn)行的線速度為v，地球的質(zhì)量為M，處于地球表面的某一物體的質(zhì)量為m′，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供，有
且有
聯(lián)立解得
（2）設(shè)衛(wèi)星在工作軌道上運(yùn)行的周期為T，月球的質(zhì)量為M1，處于月球表面的某一物體質(zhì)量為m″，則有
由于
聯(lián)立解得
13．(1)
(2)
【詳解】（1）載人飛船在軌道Ⅲ做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力，則有
在月球表面有
解得
（2）根據(jù)開普勒第三定律有
其中
解得
14．(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，云遙氣象星座48星的質(zhì)量為m，引力常量為G，云遙氣象星座48星在地球表面時有
云遙氣象星座48星在運(yùn)行軌道上時有
解得
（2）設(shè)該地球同步軌道衛(wèi)星的周期為，根據(jù)開普勒第三定律有
解得

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