資源簡介

重難突破2　動態平衡和平衡中的臨界極值問題
1.（2025·河北唐山調研）如圖所示，木板A與物體B疊放在水平地面上，物體B與木板左端立柱間放置輕質彈簧，在水平外力F作用下，木板和物體B都靜止不動，彈簧處于壓縮狀態。將外力F緩慢減小到零，物體始終不動，在此過程中（　　）
A.彈簧彈力逐漸減小
B.物體B所受摩擦力逐漸減小
C.物體B所受摩擦力始終向左
D.木板A所受地面的摩擦力逐漸減小
2.（2025·重慶模擬預測）圖甲是古代某次測量弓力時的情境，圖乙為其簡化圖，弓弦掛在固定點O上，弓下端掛一重物，已知弓弦可看成遵循胡克定律的彈性繩，重物質量增減時弓弦始終處于彈性限度內，不計弓弦的質量和O點處的摩擦，忽略弓身的形變，則（　　）
A.若減小重物的質量，OA與OB的夾角不變
B.若增加重物的質量，OA與OB的夾角減小
C.若減小重物的質量，弓弦的長度不變
D.若增加重物的質量，弓弦的長度變短
3.（2025·重慶沙坪壩三模）如圖所示，小明將一小型條形磁鐵對著原本用輕繩豎直懸掛的金屬小球（未觸地）作用，金屬小球緩慢上升，輕繩偏離豎直方向較小角度。該過程中小磁鐵和小球連線與豎直方向的夾角保持不變，則（　　）
A.輕繩拉力逐漸變大
B.輕繩拉力逐漸變小
C.磁鐵與小球的距離不變
D.磁鐵與小球的距離變大
4.（2025·海南三亞模擬預測）如圖，物體A、B相對靜止，共同沿粗糙斜面勻速下滑，若默認最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力的大小，則下列說法中正確的是（　　）
A.A與B之間可能沒有摩擦力
B.B受到斜面的滑動摩擦力大于mBgsin θ
C.B與斜面的滑動摩擦因數μ＞tan θ
D.A與B的滑動摩擦因數一定等于B與斜面間的滑動摩擦因數
5.（2025·四川遂寧三模）如圖所示，輕直桿BC的一端用鉸鏈固定于豎直墻壁，另一端固定一個輕小滑輪C，輕細繩下端掛一重物，重物處于靜止狀態，細繩的AC段水平。忽略所有摩擦，若將細繩的端點A緩慢向上移動一小段距離，則下列說法正確的是（　　）
A.移動過程中直桿逆時針轉動了一些
B.移動過程中直桿處于靜止狀態
C.移動過程中直桿的彈力不變
D.移動過程中直桿的彈力減小
6.（2025·江蘇鹽城中學模擬考試）如圖所示，用硬鐵絲彎成的光滑半圓環豎直放置，直徑豎直，O為圓心，最高點B處固定一光滑輕質滑輪，質量為m的小環A穿在半圓環上。現用細線一端拴在A上，另一端跨過滑輪用力F拉動，使A緩慢向上移動。小環A及滑輪B大小不計，在移動過程中，關于拉力F以及半圓環對A的彈力N的說法正確的是（　　）
A.F逐漸增大
B.N的方向始終指向圓心O
C.N大小不變
D.N逐漸變小
7.（2025·四川巴中模擬預測）如圖所示，表面粗糙的固定斜面頂端安有滑輪，兩物塊P、Q用輕繩連接并跨過滑輪（不計滑輪的質量和摩擦），P懸于空中，Q放在斜面上，均處于靜止狀態。當用沿斜面向上的恒力推Q時，P、Q仍靜止不動，則（　　）
A.Q受到斜面的摩擦力一定變小
B.Q受到斜面的摩擦力不變
C.輕繩上拉力一定變小
D.輕繩上拉力一定不變
8.（2025·浙江麗水模擬）如圖所示，OA為遵從胡克定律的彈性輕繩，其一端固定于天花板上的O點，另一端與靜止在水平地面上的滑塊A相連，滑塊A與地面間的動摩擦因數恒定。當彈性輕繩處于豎直位置時，滑塊A對地面有壓力作用。現有一水平力F作用于A，使A向右緩慢地沿直線運動，彈性輕繩始終在彈性限度范圍內，則在運動過程中（　　）
A.地面對A的支持力保持不變 B.地面對A的摩擦力保持不變
C.地面對A的摩擦力變小 D.地面對A的摩擦力增大
9.（2025·株洲一模）碗內部為半球形，半徑為R，碗口水平。生米與碗內側間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，靜止于碗內的生米粒與碗口間的最小距離d為（　　）
A.R B.R
C.R D.R
10.（2025·四川南充三模）如圖a，某人借助瑜伽球鍛煉腿部力量，她曲膝靜蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球緊靠豎直墻面，假設瑜伽球光滑且視為均勻球體，整體可簡化成如圖b。當人緩慢豎直站立的過程中，人的背部與水平面夾角逐漸增大，且θ＜，下列說法正確的是（　　）
A.墻面對球的力保持不變 B.人受到地面的摩擦力變大
C.地面對人的支持力變大 D.球對人的壓力先增大后減小
11.（2025·河北省名校聯盟模擬考試）如圖所示，質量分別為m和2m的小球a、b之間用輕繩相連，小球a固定在輕桿一端，輕桿另一端固定在左側豎直墻壁上且與豎直墻壁的夾角為30°。現改變作用在小球b上的外力F的大小和方向，但輕繩與豎直方向的夾角保持60°不變，則（　　）
A.輕繩上的拉力一定小于2mg
B.外力F的最小值為mg
C.輕桿對小球a的作用力的方向不變
D.輕桿對小球a的作用力的最小值為3mg
12.〔多選〕（2025·山東煙臺期末）如圖所示，輕質不可伸長的晾衣繩左端固定在晾衣架上O點，右端系在a點，光滑小滑輪懸掛一衣服可在輕繩上滑動。先將輕繩右端沿豎直桿緩慢上移到b點，然后再沿水平桿緩慢移至c點，整個過程衣服始終沒與地面和桿接觸，設輕繩張力為F，滑輪左側輕繩與豎直方向夾角為θ，則輕繩右端沿桿（　　）
A.由a→b的過程，F不變，θ不變，衣服的位置不變
B.由a→b的過程，F不變，θ不變，衣服的位置升高
C.由b→c的過程，F減小，θ變小，衣服的位置下降
D.由b→c的過程，F不變，θ不變，衣服的位置升高
重難突破2　動態平衡和平衡中的臨界極值問題
1.D　因為物體B始終沒有運動，所以彈簧的長度不變，彈簧彈力不變，選項A錯誤；彈簧彈力T與F的大小關系不確定，若T≥F，物體B所受摩擦力逐漸增大，若T＜F，物體B所受摩擦力先減小到零再反向增大，選項B、C錯誤；對整體受力分析可知木板A所受地面的摩擦力fA＝F，則fA逐漸減小，選項D正確。
2.B　設弓弦的張力為F，兩側弓弦與豎直方向夾角為θ，根據平衡條件有2Fcos θ＝mg，增加重物質量，θ減小，OA與OB的夾角減小，根據胡克定律可知，弓弦的長度變長。反之，減小重物質量，OA與OB的夾角增大，弓弦的長度變短。故選B。
3.B　金屬球緩慢上升時，以球為研究對象進行受力分析，可知小球在豎直方向上偏一個較小角度時，輕繩拉力T逐漸減小，磁鐵對小球作用力F逐漸增大，則二者距離逐漸變小。故選B。
4.B　A、B整體，受力情況如圖甲所示，由共點力平衡條件得f＝（mA＋mB）gsin θ，FN＝（mA＋mB）gcos θ，滑動摩擦力為f＝μFN，由以上三式可以解得μ＝tan θ，故B正確，C錯誤；A物體，受力情況如圖乙所示，由共點力平衡條件可得fA＝mAgsin θ，FNA＝mAgcos θ，滑動摩擦力為fmax＝μABFNA，又有fmax≥fA，聯立以上關系式可解得μAB≥tan θ＝μ，故A、D錯誤。
　
5.D　由于桿處于動態平衡狀態，滑輪C兩側的細繩拉力大小相等，且合力沿桿的方向向下，根據平行四邊形定則可知，合力一定在滑輪C兩側的細繩形成的夾角的角平分線上，若將細繩的端點A緩慢向上移動一小段距離，若桿不動，則∠ACB＞∠BCG，則不能平衡，若要桿保持平衡，則兩繩的合力一定還在角平分線上，則直桿BC應順時針轉動一定的角度，故A、B錯誤；移動過程中繩的彈力始終等于重物重力，根據F桿＝2FTcos＝2Gcos，由于∠ACG變大，所以移動過程中桿的彈力減小，故C錯誤，D正確。
6.C　對A進行受力分析如圖所示，根據平衡條件和相似三角形知識可得＝＝，L為A、B間距離，使A緩慢向上移動時L減小，F逐漸減小，N的方向始終背向圓心O，N大小不變，只有選項C正確。
7.D　不施加外力時，對Q受力分析，其受重力、支持力和拉力，可能受靜摩擦力，靜摩擦力的方向可能沿斜面向上或向下，也可能不受摩擦力；若原靜摩擦力沿斜面向上，施加外力時，靜摩擦力可能減小但方向不變，也可能等于0或者反向大小不定；若原靜摩擦力沿斜面向下，施加外力時，靜摩擦力變大；若原來不受靜摩擦力時，施加外力時，Q受到的靜摩擦力沿斜面向下，故A、B錯誤；對P受力分析，其受重力和輕繩拉力，處于靜止狀態，二力平衡，則輕繩上拉力等于P的重力，則輕繩上拉力一定不變，故C錯誤，D正確。
8.C　彈性輕繩處于豎直方向上時，設其伸長量為x1，勁度系數為k，則受力分析如圖甲所示。根據平衡條件得T1＋N1＝G，T1＝kx1。向右拉至某一位置時，受力分析如圖乙所示，其中θ為此時彈性輕繩與水平面的夾角，根據正交分解和力的平衡條件可得T2sin θ＋N2＝G，T2cos θ＋f＝F，T2＝kx2。設彈性輕繩自然長度為l，則l＋x1＝（l＋x2）·sin θ，所以有N2＝G－kx2sin θ＜G－kx1＝N1，即地面對A的支持力減小，又f＝μN2，則地面對A間的摩擦力變小。所以C正確。
9.D　設生米粒的質量為m，當米粒受到碗的摩擦力達到最大時，米粒距碗口的距離最小，設支持力與水平方向的夾角為θ，以生米粒為研究對象，受力分析如圖所示，根據平衡條件有mgcos θ＝fm，fm＝μFN，FN＝mgsin θ，聯立解得μ＝，而根據幾何關系有cos θ＝，sin θ＝，聯立解得d＝R，故選D。
10.B　對瑜伽球受力分析，如圖甲，由平衡條件可知N1＝mgtan θ，N2＝，人緩慢豎直站立的過程中，人的背部與水平面夾角逐漸變大，則墻面對球的力N1增大。人對球的支持力增大。根據牛頓第三定律可知球對人的壓力增大，故A、D錯誤；對整體受力分析，如圖乙，由平衡條件，可知FN＝g，f＝N1，人受到地面的摩擦力變大，地面對人的支持力不變，故B正確，C錯誤。
　
11.B　對小球b進行受力分析如圖甲所示，并作出力的矢量三角形，如圖乙所示，當改變作用在小球b上的外力F的大小和方向時，由圖乙知輕繩上的拉力可能小于2mg，可能等于2mg，也可能大于2mg，所以選項A錯誤；外力F的最小值為Fmin＝2mgsin 60°＝mg，選項B正確；由于輕桿是“死桿”，所以輕桿對小球a的作用力的方向可以變化，選項C錯誤；當輕繩的拉力為零時，輕桿對小球a的作用力最小，最小值為mg，選項D錯誤。
12.BC　根據幾何關系可知兩段繩子間的夾角為2θ，由平衡條件可知2Fcos θ＝mg，所以F＝，設繩子總長為L，兩桿間距離為s，由幾何關系L1sin θ＋L2sin θ＝s，得sin θ＝＝，由a→b的過程，L、s都不變，θ不變，繩子張力F也不變，由幾何關系可知衣服的位置升高，B正確，A錯誤；由b→c的過程，s變小，θ變小，cos θ變大，F變小，由幾何關系可知衣服的位置下降，C正確，D錯誤。
4 / 4　動態平衡和平衡中的臨界極值問題
突破點一　動態平衡問題
1.基本思路
化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
2.分析動態平衡問題的常用方法
（1）解析法
①列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式。
②根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況。
（2）圖解法
①根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形邊、角的變化。
②確定未知量大小、方向的變化。
（3）相似三角形法
①根據已知條件畫出兩個不同情況對應的力的三角形和空間幾何三角形，確定對應邊，利用三角形相似知識列出比例式。
②確定未知量大小的變化情況。
（2025·陜西西安期末）如圖甲所示，某手機店用放在水平面上的折疊支架來展示手機，圖乙為示意圖，背部支撐面與底部支撐面垂直，不計背部支撐面與手機間的摩擦，減小背部支撐面與水平面的夾角θ，則（　　）
A.支架底座與水平面間摩擦力增大
B.手機對底部支撐面的壓力增大
C.手機對支架的作用力增大
D.手機重力和底部支撐面對手機作用力的合力增大
嘗試解答
（2025·安徽合肥期末）如圖所示，用OA、OB兩根輕繩將花盆懸于兩豎直墻之間，開始時OB繩水平。現保持O點位置不變，改變OB繩長使繩右端由B點緩慢上移至B'點，此時OB'與OA之間的夾角θ＜90°。設此過程中OA、OB繩的拉力分別為FOA、FOB，則下列說法中正確的是（　　）
A.FOA一直減小
B.FOA一直增大
C.FOB一直減小
D.FOB先增大，后減小
嘗試解答
（2025·遼寧遼陽期末）某建筑工地通過如圖所示的裝置將工件運到樓頂，工人通過細繩搭在光滑定滑輪上將帶鉸鏈的輕桿緩慢上拉，從而取得工件。在輕桿被緩慢上拉到取到工件前的過程中（　　）
A.輕桿所受壓力大小始終不變
B.輕桿所受壓力先減小，后增大
C.工人手上所受的拉力始終不變
D.工人手上所受的拉力增大
嘗試解答
突破點二　平衡中的臨界與極值問題
1.臨界問題
當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，該類問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。臨界常見的種類：
（1）由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力。
（2）繩子由松弛到繃緊，拉力F＝0。
（3）恰好離開接觸面，支持力N＝0。
2.極值問題
平衡問題的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
3.解決極值問題和臨界問題的方法
（1）物理分析方法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與最小值。
（2）數學方法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系（或畫出函數圖像），用數學方法求極值（如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值）。但利用數學方法求出極值后，一定要依據物理原理對該值的合理性及物理意義進行討論或說明。
（2025·貴州貴陽模擬）如圖所示，三根細輕繩系于O點，其中OA繩另一端固定于A點，OB繩的另一端與放在粗糙水平地面上質量為60 kg的物體乙相連，乙與水平地面的動摩擦因數為0.2，OC繩的另一端懸掛物體甲，輕繩OA與豎直方向的夾角θ＝37°，OB繩水平。欲使乙物體靜止，則甲物體的質量最大為（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）（　　）
A.24 kg B.20 kg
C.16 kg D.12 kg
嘗試解答
（2025·山東濰坊模擬預測）小明同學喜歡體育運動，他拖拉重物時拉力最大為1 000 N，某次訓練中，體育老師將不同質量的重物置于傾角為15°的斜面上，讓他拉動重物沿斜面向上運動， 重物與斜面間的動摩擦因數為，則他能拉動的重物質量最大為（　　）
A.100 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
嘗試解答
重難突破2　動態平衡和平衡中的臨界極值問題
【著眼“四翼”·探考點】
突破點一
【例1】 D　以整體為研究對象，整體受到重力與地面的支持力，方向均在豎直方向上，水平方向沒有運動趨勢，可知支架底座與水平面間摩擦力為零，故A錯誤；對手機受力分析，則底部支撐面對手機的支持力為N＝mgsin θ，根據牛頓第三定律知手機對底部支撐面的壓力N'＝N，減小背部支撐面與水平面的夾角θ，手機對底部支撐面的壓力減小，故B錯誤；對手機受力分析，根據平衡條件可知，手機對支架的作用力大小始終等于手機的重力，故C錯誤；根據平衡條件可知，手機重力和底部支撐面對手機作用力的合力等于背部支撐面對手機的支持力，背部支撐面對手機的支持力N1＝mgcos θ，減小背部支撐面與水平面的夾角θ，背部支撐面對手機的支持力增大，故D正確。
【例2】 A　以結點O為研究對象，其受重力G、繩OA的拉力FOA和繩BO的拉力FOB，如圖所示，根據平衡條件知，兩根繩子的拉力的合力與重力大小相等、方向相反，作出輕繩OB在不同位置時力的合成圖，由圖看出，FOA一直減小，FOB先減小，后增大，當θ＝90°時，FOB最小，故A正確。
【例3】 A　如圖所示，對結點C受力分析，緩慢上拉，三個力平衡，三個力組成首尾相接的閉合三角形，力三角形與幾何三角形ABC相似，根據相似三角形對應邊比值相等，有＝＝，因上拉過程mg、AB不變，因為AC減小，則F減小，即工人手上所受的拉力減小；BC不變，則N不變，即輕桿所受壓力大小始終不變，故選A。
突破點二
【例4】 C　根據題意可知，甲對繩子的拉力大小等于甲的重力，對結點O，受力分析如圖所示，則當乙與地面的靜摩擦力達到最大時，物體甲的質量最大，有TB＝μm乙g＝m甲gtan 37°，解得物塊質量最大為m甲＝16 kg，故A、B、D錯誤，C正確。
【例5】 C　設拉力F與斜面夾角為θ，則他恰好拉動重物時有Fcos θ＝mgsin 15°＋μ，整理可得F＝＝＝，故當sin＝1時，m最大，則他能拉動的重物質量最大為m＝＝200 kg，故選C。
3 / 3(共48張PPT)
重難突破2 動態平衡和平衡中的臨界極值問題
高中總復習·物理
目 錄
01
著眼“四翼”·探考點
02
培養“思維”·重落實
題型 規律 方法
著眼“四翼”·探考點
突破點一　動態平衡問題
1. 基本思路
化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
2. 分析動態平衡問題的常用方法
（1）解析法
①列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式。
②根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況。
（2）圖解法
①根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形邊、角的變化。
②確定未知量大小、方向的變化。
（3）相似三角形法
①根據已知條件畫出兩個不同情況對應的力的三角形和空間幾何三角形，
確定對應邊，利用三角形相似知識列出比例式。
②確定未知量大小的變化情況。
（2025·陜西西安期末）如圖甲所示，某手機店用放在水平面上的折
疊支架來展示手機，圖乙為示意圖，背部支撐面與底部支撐面垂直，不計
背部支撐面與手機間的摩擦，減小背部支撐面與水平面的夾角θ，則（　）
A. 支架底座與水平面間摩擦力增大
B. 手機對底部支撐面的壓力增大
C. 手機對支架的作用力增大
D. 手機重力和底部支撐面對手機作用力的合力增大
√
解析：以整體為研究對象，整體受到重力與地面的支持力，方向均在豎直
方向上，水平方向沒有運動趨勢，可知支架底座與水平面間摩擦力為零，
故A錯誤；對手機受力分析，則底部支撐面對手機的支持力為N＝mgsin
θ，根據牛頓第三定律知手機對底部支撐面的壓力N'＝N，減小背部支撐面
與水平面的夾角θ，手機對底部支撐面的壓力減小，故B錯誤；對手機受力
分析，根據平衡條件可知，手機對支架的作用力大小始終等于手機的重
力，故C錯誤；根據平衡條件可知，手機重力和底部支撐面對手機作用力
的合力等于背部支撐面對手機的支持力，背部支撐面對手機的支持力N1＝
mgcos θ，減小背部支撐面與水平面的夾角θ，背部支撐面對手機的支持力
增大，故D正確。
（2025·安徽合肥期末）如圖所示，用OA、OB兩根輕繩將花盆懸于兩
豎直墻之間，開始時OB繩水平。現保持O點位置不變，改變OB繩長使繩右
端由B點緩慢上移至B'點，此時OB'與OA之間的夾角θ＜90°。設此過程中
OA、OB繩的拉力分別為FOA、FOB，則下列說法中正確的是（　　）
A. FOA一直減小 B. FOA一直增大
C. FOB一直減小 D. FOB先增大，后減小
√
解析：以結點O為研究對象，其受重力G、繩OA的拉力
FOA和繩BO的拉力FOB，如圖所示，根據平衡條件知，兩
根繩子的拉力的合力與重力大小相等、方向相反，作出
輕繩OB在不同位置時力的合成圖，由圖看出，FOA一直
減小，FOB先減小，后增大，當θ＝90°時，FOB最小，故A正確。
（2025·遼寧遼陽期末）某建筑工地通過如圖所示的裝置將工件運到
樓頂，工人通過細繩搭在光滑定滑輪上將帶鉸鏈的輕桿緩慢上拉，從而取
得工件。在輕桿被緩慢上拉到取到工件前的過程中（　　）
A. 輕桿所受壓力大小始終不變
B. 輕桿所受壓力先減小，后增大
C. 工人手上所受的拉力始終不變
D. 工人手上所受的拉力增大
√
解析：如圖所示，對結點C受力分析，緩慢上拉，三個
力平衡，三個力組成首尾相接的閉合三角形，力三角形
與幾何三角形ABC相似，根據相似三角形對應邊比值相
等，有＝＝，因上拉過程mg、AB不變，因為AC
減小，則F減小，即工人手上所受的拉力減小；BC不變，則N不變，即輕桿所受壓力大小始終不變，故選A。
如圖所示，豎直墻壁O處用光滑鉸鏈鉸接一輕質桿的一端，桿的另一端固
定小球（可以看成質點），輕繩的一端懸于P點，另一端與小球相連。已
知輕質桿長度為R，輕繩的長度為L，且R＜L＜2R。A、B是墻上兩點，且
OA＝OB＝R。現將輕繩的上端點P沿墻壁緩慢下移至A點，此過程中輕繩
對小球的拉力F1及輕質桿對小球的支持力F2的大小變化情況為（　　）
A. F1和F2均增大
B. F1保持不變，F2先增大后減小
C. F1和F2均減小
D. F1先減小后增大，F2保持不變
√
解析： 　以小球為研究對象，小球受重力、輕繩的拉力和輕桿
的支持力，由于小球處于平衡狀態，則三個力可以構成矢量三
角形，如圖所示。根據平衡條件，該力的矢量三角形與幾何三
角形POC相似，則有＝＝，解得F1＝G，F2＝G，當P
點下移時，PO減小，L、R不變，故F1增大，F2增大，故選A。
突破點二　平衡中的臨界與極值問題
1. 臨界問題
當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平
衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，該類問題的描述中常用“剛
好”“剛能”“恰好”等語言敘述。臨界常見的種類：
（1）由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力。
（2）繩子由松弛到繃緊，拉力F＝0。
（3）恰好離開接觸面，支持力N＝0。
2. 極值問題
平衡問題的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
3. 解決極值問題和臨界問題的方法
（1）物理分析方法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對
物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與
最小值。
（2）數學方法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之
間的函數關系（或畫出函數圖像），用數學方法求極值（如求二次函數極
值、公式極值、三角函數極值）。但利用數學方法求出極值后，一定要依
據物理原理對該值的合理性及物理意義進行討論或說明。
（2025·貴州貴陽模擬）如圖所示，三根細輕繩系于O點，其中OA繩
另一端固定于A點，OB繩的另一端與放在粗糙水平地面上質量為60 kg的物
體乙相連，乙與水平地面的動摩擦因數為0.2，OC繩的另一端懸掛物體
甲，輕繩OA與豎直方向的夾角θ＝37°，OB繩水平。欲使乙物體靜止，則
甲物體的質量最大為（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）（　　）
A. 24 kg
B. 20 kg
C. 16 kg
D. 12 kg
√
解析：根據題意可知，甲對繩子的拉力大小等于甲的重
力，對結點O，受力分析如圖所示，則當乙與地面的靜
摩擦力達到最大時，物體甲的質量最大，有TB＝μm乙g＝
m甲gtan 37°，解得物塊質量最大為m甲＝16 kg，故A、
B、D錯誤，C正確。
（2025·山東濰坊模擬預測）小明同學喜歡體育運動，他拖拉重物時
拉力最大為1 000 N，某次訓練中，體育老師將不同質量的重物置于傾角
為15°的斜面上，讓他拉動重物沿斜面向上運動， 重物與斜面間的動摩擦
因數為，則他能拉動的重物質量最大為（　　）
A. 100 kg B. 100 kg
C. 200 kg D. 200 kg
√
解析：設拉力F與斜面夾角為θ，則他恰好拉動重物時有Fcos θ＝mgsin 15°
＋μ，整理可得F＝＝
＝，故當sin＝1時，m最大，則他能拉動的
重物質量最大為m＝＝200 kg，故選C。
如圖所示，質量為m的物體放在一固定斜面上，當斜面傾角為30°時恰能
沿斜面勻速下滑。對物體施加一大小為F、方向水平向右的恒力，物體可
沿斜面勻速向上滑行。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角增大
并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑
行。求：
（1）物體與斜面間的動摩擦因數；
答案： 　
解析： 如圖甲所示，未施加力F時，對物體受力分析
由平衡條件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝。
（2）這一臨界角θ0的大小。
答案： 60°
解析： 設斜面傾角為α時，物體無法向上滑行，受力情況如圖乙所
示，由平衡條件得
Fcos α＝mgsin α＋Ff'
FN'＝mgcos α＋Fsin α，Ff'≤μFN'
解得F≤
當cos α－μsin α＝0，即tan α＝時
不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，此時，臨界角θ0＝α
＝60°。
培養“思維”·重落實
夯基 提能 升華
1. （2025·河北唐山調研）如圖所示，木板A與物體B疊放在水平地面上，
物體B與木板左端立柱間放置輕質彈簧，在水平外力F作用下，木板和物體
B都靜止不動，彈簧處于壓縮狀態。將外力F緩慢減小到零，物體始終不
動，在此過程中（　　）
A. 彈簧彈力逐漸減小
B. 物體B所受摩擦力逐漸減小
C. 物體B所受摩擦力始終向左
D. 木板A所受地面的摩擦力逐漸減小
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
解析： 　因為物體B始終沒有運動，所以彈簧的長度不變，彈簧彈力不
變，選項A錯誤；彈簧彈力T與F的大小關系不確定，若T≥F，物體B所受
摩擦力逐漸增大，若T＜F，物體B所受摩擦力先減小到零再反向增大，選
項B、C錯誤；對整體受力分析可知木板A所受地面的摩擦力fA＝F，則fA逐
漸減小，選項D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025·重慶模擬預測）圖甲是古代某
次測量弓力時的情境，圖乙為其簡化圖，
弓弦掛在固定點O上，弓下端掛一重物，
已知弓弦可看成遵循胡克定律的彈性繩，重物質量增減時弓弦始終處于彈性限度內，不計弓弦的質量和O點處的摩擦，忽略弓身的形變，則（　　）
A. 若減小重物的質量，OA與OB的夾角不變
B. 若增加重物的質量，OA與OB的夾角減小
C. 若減小重物的質量，弓弦的長度不變
D. 若增加重物的質量，弓弦的長度變短
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　設弓弦的張力為F，兩側弓弦與豎直方向夾角為θ，根據平衡條
件有2Fcos θ＝mg，增加重物質量，θ減小，OA與OB的夾角減小，根據胡
克定律可知，弓弦的長度變長。反之，減小重物質量，OA與OB的夾角增
大，弓弦的長度變短。故選B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2025·重慶沙坪壩三模）如圖所示，小明將一小型條形磁鐵對著原本
用輕繩豎直懸掛的金屬小球（未觸地）作用，金屬小球緩慢上升，輕繩偏
離豎直方向較小角度。該過程中小磁鐵和小球連線與豎直方向的夾角保持
不變，則（　　）
A. 輕繩拉力逐漸變大
B. 輕繩拉力逐漸變小
C. 磁鐵與小球的距離不變
D. 磁鐵與小球的距離變大
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　金屬球緩慢上升時，以球為研究對象進行受力分析，可知小球
在豎直方向上偏一個較小角度時，輕繩拉力T逐漸減小，磁鐵對小球作用
力F逐漸增大，則二者距離逐漸變小。故選B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2025·海南三亞模擬預測）如圖，物體A、B相對靜止，共同沿粗糙斜
面勻速下滑，若默認最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力的大小，則下列說
法中正確的是（　　）
A. A與B之間可能沒有摩擦力
B. B受到斜面的滑動摩擦力大于mBgsin θ
C. B與斜面的滑動摩擦因數μ＞tan θ
D. A與B的滑動摩擦因數一定等于B與斜面間的滑動摩擦因數
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　A、B整體，受力情況如圖甲所示，由共點力平衡條件得f＝（mA
＋mB）gsin θ，FN＝（mA＋mB）gcos θ，滑動摩擦力為f＝μFN，由以上三式
可以解得μ＝tan θ，故B正確，C錯誤；A物體，受力情況如圖乙所示，由共
點力平衡條件可得fA＝mAgsin θ，FNA＝mAgcos θ，滑動摩擦力為fmax＝
μABFNA，又有fmax≥fA，聯立以上關系式可解得μAB≥tan θ＝μ，故A、D錯誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2025·四川遂寧三模）如圖所示，輕直桿BC的一端用鉸鏈固定于豎直
墻壁，另一端固定一個輕小滑輪C，輕細繩下端掛一重物，重物處于靜止
狀態，細繩的AC段水平。忽略所有摩擦，若將細繩的端點A緩慢向上移動
一小段距離，則下列說法正確的是（　　）
A. 移動過程中直桿逆時針轉動了一些
B. 移動過程中直桿處于靜止狀態
C. 移動過程中直桿的彈力不變
D. 移動過程中直桿的彈力減小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　由于桿處于動態平衡狀態，滑輪C兩側的細繩拉力大小相等，且
合力沿桿的方向向下，根據平行四邊形定則可知，合力一定在滑輪C兩側
的細繩形成的夾角的角平分線上，若將細繩的端點A緩慢向上移動一小段
距離，若桿不動，則∠ACB＞∠BCG，則不能平衡，若要桿保持平衡，則
兩繩的合力一定還在角平分線上，則直桿BC應順時針轉動一定的角度，故
A、B錯誤；移動過程中繩的彈力始終等于重物重力，根據F桿＝2FTcos
＝2Gcos，由于∠ACG變大，所以移動過程中桿的彈力減小，故C錯
誤，D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （2025·江蘇鹽城中學模擬考試）如圖所示，用硬鐵絲彎成的光滑半圓
環豎直放置，直徑豎直，O為圓心，最高點B處固定一光滑輕質滑輪，質量
為m的小環A穿在半圓環上。現用細線一端拴在A上，另一端跨過滑輪用力
F拉動，使A緩慢向上移動。小環A及滑輪B大小不計，在移動過程中，關于
拉力F以及半圓環對A的彈力N的說法正確的是（　　）
A. F逐漸增大 B. N的方向始終指向圓心O
C. N大小不變 D. N逐漸變小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　對A進行受力分析如圖所示，根據平衡條件和相
似三角形知識可得＝＝，L為A、B間距離，使A緩慢向
上移動時L減小，F逐漸減小，N的方向始終背向圓心O，N大
小不變，只有選項C正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （2025·四川巴中模擬預測）如圖所示，表面粗糙的固定斜面頂端安有
滑輪，兩物塊P、Q用輕繩連接并跨過滑輪（不計滑輪的質量和摩擦），P
懸于空中，Q放在斜面上，均處于靜止狀態。當用沿斜面向上的恒力推Q
時，P、Q仍靜止不動，則（　　）
A. Q受到斜面的摩擦力一定變小
B. Q受到斜面的摩擦力不變
C. 輕繩上拉力一定變小
D. 輕繩上拉力一定不變
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　不施加外力時，對Q受力分析，其受重力、支持力和拉力，可能
受靜摩擦力，靜摩擦力的方向可能沿斜面向上或向下，也可能不受摩擦
力；若原靜摩擦力沿斜面向上，施加外力時，靜摩擦力可能減小但方向不
變，也可能等于0或者反向大小不定；若原靜摩擦力沿斜面向下，施加外
力時，靜摩擦力變大；若原來不受靜摩擦力時，施加外力時，Q受到的靜
摩擦力沿斜面向下，故A、B錯誤；對P受力分析，其受重力和輕繩拉力，
處于靜止狀態，二力平衡，則輕繩上拉力等于P的重力，則輕繩上拉力一
定不變，故C錯誤，D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （2025·浙江麗水模擬）如圖所示，OA為遵從胡克定律的彈性輕繩，其
一端固定于天花板上的O點，另一端與靜止在水平地面上的滑塊A相連，滑
塊A與地面間的動摩擦因數恒定。當彈性輕繩處于豎直位置時，滑塊A對地
面有壓力作用。現有一水平力F作用于A，使A向右緩慢地沿直線運動，彈
性輕繩始終在彈性限度范圍內，則在運動過程中（　　）
A. 地面對A的支持力保持不變
B. 地面對A的摩擦力保持不變
C. 地面對A的摩擦力變小
D. 地面對A的摩擦力增大
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　彈性輕繩處于豎直方向上時，設其伸長量
為x1，勁度系數為k，則受力分析如圖甲所示。根據平
衡條件得T1＋N1＝G，T1＝kx1。向右拉至某一位置
時，受力分析如圖乙所示，其中θ為此時彈性輕繩與
水平面的夾角，根據正交分解和力的平衡條件可得
T2sin θ＋N2＝G，T2cos θ＋f＝F，T2＝kx2。設彈性輕繩自然長度為l，則l＋x1＝（l＋x2）·sin θ，所以有N2＝G－kx2sin θ＜G－kx1＝N1，即地面對A的支持力減小，又f＝μN2，則地面對A間的摩擦力變小。所以C正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （2025·株洲一模）碗內部為半球形，半徑為R，碗口水平。生米與碗內
側間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，靜止于碗內的生
米粒與碗口間的最小距離d為（　　）
A. R B. R
C. R D. R
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　設生米粒的質量為m，當米粒受到碗的摩擦力
達到最大時，米粒距碗口的距離最小，設支持力與水平方
向的夾角為θ，以生米粒為研究對象，受力分析如圖所
示，根據平衡條件有mgcos θ＝fm，fm＝μFN，FN＝mgsin θ，聯立解得μ＝，而根據幾何關系有cos θ＝，sin θ＝，聯立解得d＝R，故選D。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. （2025·四川南充三模）如圖a，某人借助瑜伽球鍛煉腿部力量，她曲
膝靜蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球緊靠豎直墻面，假設瑜伽球光滑且
視為均勻球體，整體可簡化成如圖b。當人緩慢豎直站立的過程中，人的
背部與水平面夾角逐漸增大，且θ＜，下列說法正確的是（　　）
A. 墻面對球的力保持不變
B. 人受到地面的摩擦力變大
C. 地面對人的支持力變大
D. 球對人的壓力先增大后減小
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　對瑜伽球受力分析，如圖甲，由平衡條件可知N1＝mgtan θ，N2
＝，人緩慢豎直站立的過程中，人的背部與水平面夾角逐漸變大，則
墻面對球的力N1增大。人對球的支持力增大。根據牛頓第三定律可知球對
人的壓力增大，故A、D錯誤；對整體受力分析，如圖乙，由平衡條件，可
知FN＝g，f＝N1，人受到地面的摩擦力變大，地面對人的支持力不
變，故B正確，C錯誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （2025·河北省名校聯盟模擬考試）如圖所示，質量分別為m和2m的小
球a、b之間用輕繩相連，小球a固定在輕桿一端，輕桿另一端固定在左側
豎直墻壁上且與豎直墻壁的夾角為30°。現改變作用在小球b上的外力F的
大小和方向，但輕繩與豎直方向的夾角保持60°不變，則（　　）
A. 輕繩上的拉力一定小于2mg
B. 外力F的最小值為mg
C. 輕桿對小球a的作用力的方向不變
D. 輕桿對小球a的作用力的最小值為3mg
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　對小球b進行受力分析如圖
甲所示，并作出力的矢量三角形，如
圖乙所示，當改變作用在小球b上的外
力F的大小和方向時，由圖乙知輕繩
上的拉力可能小于2mg，可能等于
2mg，也可能大于2mg，所以選項A錯誤；外力F的最小值為Fmin＝2mgsin
60°＝mg，選項B正確；由于輕桿是“死桿”，所以輕桿對小球a的作用力的方向可以變化，選項C錯誤；當輕繩的拉力為零時，輕桿對小球a的作用力最小，最小值為mg，選項D錯誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 〔多選〕（2025·山東煙臺期末）如圖所示，輕質不可伸長的晾衣繩左
端固定在晾衣架上O點，右端系在a點，光滑小滑輪懸掛一衣服可在輕繩上
滑動。先將輕繩右端沿豎直桿緩慢上移到b點，然后再沿水平桿緩慢移至c
點，整個過程衣服始終沒與地面和桿接觸，設輕繩張力為F，滑輪左側輕
繩與豎直方向夾角為θ，則輕繩右端沿桿（　　）
A. 由a→b的過程，F不變，θ不變，衣服的位置不變
B. 由a→b的過程，F不變，θ不變，衣服的位置升高
C. 由b→c的過程，F減小，θ變小，衣服的位置下降
D. 由b→c的過程，F不變，θ不變，衣服的位置升高
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　根據幾何關系可知兩段繩子間的夾角為2θ，由平衡條件可知
2Fcos θ＝mg，所以F＝，設繩子總長為L，兩桿間距離為s，由幾何關
系L1sin θ＋L2sin θ＝s，得sin θ＝＝，由a→b的過程，L、s都不變，θ
不變，繩子張力F也不變，由幾何關系可知衣服的位置升高，B正確，A錯
誤；由b→c的過程，s變小，θ變小，cos θ變大，F變小，由幾何關系可知
衣服的位置下降，C正確，D錯誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
THANKS
演示完畢 感謝觀看

展開更多......

收起↑