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第1講　曲線運動　運動的合成與分解
1.（2025·廣西南寧期中）如圖所示，虛線是跳水運動員在某次訓練中，運動員離開跳臺后其在空中的軌跡示意圖。A為曲線軌跡起始點，B為軌跡最高點，C點的切線沿豎直方向，D點是即將入水點。關于運動員在空中的運動，下述正確的是（　　）
A.在A處速度和加速度都沿豎直方向
B.在B處加速度豎直向下，速度沿水平方向
C.在C處速度和加速度都沿水平方向
D.在D處速度向下，加速度向上
2.（2025·陜西寶雞二模）體育課上兩位同學在室內羽毛球場進行羽毛球比賽，羽毛球在空中上升的運動軌跡如圖中虛線所示，羽毛球加速度方向示意圖可能正確的是（　　）
3.（2025·高郵期初學情調研）已知河水流速穩定為2 m/s，汽艇在靜水中的速度恒為1 m/s。圖中實線為河岸，虛線為汽艇從河岸M駛向對岸N的實際航線。若以最短的航線渡河，下列情形可能正確的是（　　）
4.〔多選〕（2025·江西模擬預測）如圖，光滑水平面上的物體受五個沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做勻速直線運動，速度方向與恒力F5的方向相反，與F1的方向垂直。若撤去其中某個力（其他力不變），則在以后的運動中，下列說法正確的是（　　）
A.若撤去的是F1，則物體可能做勻速圓周運動
B.若撤去的是F2，則經過一段時間后物體的速率可能再次變為v0
C.若撤去的是F4，則經過一段時間后物體的速率可能再次變為v0
D.無論撤去這五個力中的哪一個，物體都做勻變速運動
5.（2025·海南海口一模）一條兩岸平直的寬度為d的小河如圖所示，河水流速恒定。一人駕駛小船從上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在靜水中的速度大小恒定，船在靜水中的速度大小與河水流速大小之比為∶1，行駛中船頭始終垂直于河岸，則A、B兩渡口沿河岸方向的距離為（　　）
A.d B.d
C.d D.d
6.〔多選〕如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為d，M、N分別是甲、乙兩船的出發點，兩船頭與河岸均成α角，甲船船頭恰好對準N點的正對岸P點，經過一段時間乙船恰好到達P點，如果劃船速度均為v0，且兩船相遇不影響各自的航行。下列說法正確的是（　　）
A.水流方向向右，大小為v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移為
C.甲、乙兩船不會在NP上某點相遇
D.兩船同時到達河對岸，渡河時間均為
7.〔多選〕如圖所示，物體P套在光滑的細桿上，P和Q通過輕質細繩連接并跨過定滑輪，一水平力F拉著水平面上的物體Q向左運動。在某一小段時間內，P沿細桿勻速向上運動通過AB段的過程中，下列說法正確的是（　　）
A.Q做加速直線運動 B.Q做減速直線運動
C.細繩對P的拉力在增大 D.桿對P的彈力在減小
8.（2025·南京師大附中）某質量m＝0.1 kg的質點在x軸正方向做初速度v0＝4 m/s的勻速直線運動，在y軸方向的速度—時間圖像如圖所示，則下列說法中正確的是（　　）
A.該質點做勻變速直線運動
B.該質點在4 s末的位移大小為8 m
C.該質點在4 s末的速度大小為4 m/s
D.該質點所受合外力大小恒為0.2 N
9.如圖所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直（沿AA'方向）。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的碼頭B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是（　　）
A.小船沿AB、AC過河的時間相等
B.小船沿AC過河的時間更長
C.v1∶v2＝1∶2
D.當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A'，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
10.（2025·河南開封階段練習）河水的流速隨位置到一指定河岸的距離的變化關系如圖甲所示，船在靜水中的加速度與時間的關系如圖乙所示，若要使船以最短時間渡河，則以下判斷正確的是（　　）
A.船在河水中做勻變速運動
B.船渡河的最短時間是10 s
C.船在行駛過程中，船頭始終與航線垂直
D.船在剛登陸時的速度是64 m/s
11.如圖所示，在風洞實驗室中，從A點以水平速度v0向左拋出一個質量為m的小球（可視為質點），小球拋出后所受空氣作用力沿水平方向，其大小為F，經過一段時間小球運動到A點正下方的B點處，重力加速度為g，在此過程中，求：
（1）小球離A、B所在直線的最遠距離；
（2）A、B兩點間的距離；
（3）小球到達B點時的速率vB。
12.活塞帶動飛輪轉動可簡化為如圖所示的模型：圖中A、B、O三處都是轉軸，當活塞在水平方向上移動時，帶動連桿AB運動，進而帶動OB桿以O點為軸轉動。若某時刻活塞的水平速度大小為v，連桿AB與水平方向夾角為α，AB桿與OB桿的夾角為β，此時B點做圓周運動的線速度大小為（　　）
A. B.
C. D.
第1講　曲線運動　運動的合成與分解
1.B　做曲線運動的跳水運動員，某位置的速度方向在該點所在軌跡的切線方向上，合力方向指向軌跡的凹側，則各點的加速度方向都是豎直向下的方向；在A處速度方向斜向上；在B處速度沿水平方向；在C處和D處速度都是豎直向下；故A、C、D錯誤，B正確。
2.C　羽毛球在空中做曲線運動，可知羽毛球所受合力產生的加速度應指向軌跡的凹側，故A、D錯誤；羽毛球處于上升過程，速度在減小，可知所受合力產生的加速度與速度之間的夾角應為鈍角，故B錯誤，C正確。
3.B　因為汽艇在靜水中的速度小于河水的流速，可知汽艇合速度方向不能垂直于河對岸，即汽艇不能垂直于河岸渡河；當汽艇的速度方向垂直于合速度的方向時，此時合速度方向與河岸的夾角最大，汽艇的位移最短，故選B。
4.BD　撤去F1后，剩余的四個力的合力與F1等大反向，因為合力為恒力，所以物體做類平拋運動，故A錯誤；撤去F2后，剩余的四個力的合力與F2等大反向，合力對物體先做負功后做正功，當合力做功為零時，物體的速率再次為v0，故B正確；撤去F4后，剩余的四個力的合力與F4等大反向，合力一直做正功，故物體的速率不可能再次變為v0，故C錯誤；無論撤去這五個力中的哪一個，物體的合力均為恒力，故物體都做勻變速運動，故D正確。
5.B　設船在靜水中速度為v1、河水流速為v2，船頭垂直于河岸，小船實際行駛方向與河岸之間夾角為α，則tan α＝＝，A、B兩渡口沿河岸方向的距離為x＝＝d，故B正確。
6.AD　由于乙船恰好到達P點，則水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正確；設甲船的過河時間為t，則d＝v0tsin α，甲船沿岸方向水平位移x甲＝（v0cos α＋v水）t，聯立解得x甲＝，故B錯誤；由于乙船沿NP運動，在水流的作用下，甲船到達對岸時，應在P點的右側，而甲、乙兩船在垂直于河岸方向速度相同，所以一定會相遇，且在NP上某點相遇，故C錯誤；兩船在垂直于河岸方向的分速度都為v垂直＝v0sin α，河寬d一定，因此兩船同時到達河對岸，渡河時間均為t＝＝，故D正確。
7.BC　設繩與豎直方向夾角為θ，則vPcos θ＝vQ，當P勻速運動，θ增大時，Q做減速直線運動，故A錯誤，B正確；對P有mg＝FTcos θ，θ角增大時繩子拉力FT在增大，桿對P的彈力FN＝FTsin θ在增大，故C正確，D錯誤。
8.B　根據圖像可知質點在y軸方向做勻加速直線運動，在x軸正方向做勻速直線運動，則質點在做勻變速曲線運動，A錯誤；4 s末質點沿x軸的分位移x＝v0t＝16 m，4 s末質點沿y軸的位移y＝×4 m＝8 m，則該質點在4 s末的位移大小為x0＝＝8 m，B正確；根據速度的合成可知，該質點在4 s末的速度大小v＝4 m/s，C錯誤；根據牛頓第二定律，該質點所受合外力大小恒為F＝ma＝m＝0.1× N＝0.1 N，D錯誤。
9.A　因船頭始終垂直于河岸，所以小船過河的時間為t＝，即小船沿AB、AC過河的時間相等，選項A正確，B錯誤；由題意可知tan 60°＝，tan 30°＝，聯立解得v1∶v2＝1∶3，選項C錯誤；當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A'，則合速度應該垂直于河對岸，船頭應指向河的上游且與河岸夾角滿足cos θ＝＝，則θ≠60°，選項D錯誤。
10.B　船在沿河岸方向上做變速運動，在垂直于河岸方向上做勻變速直線運動，兩運動的合運動是變加速運動，故A錯誤；當船頭始終與河岸垂直時（船頭不與航線垂直），渡河時間最短，根據d＝at2，解得t＝＝10 s，故B正確，C錯誤；由圖甲知，船在剛登陸時河水的流速為0，船的速度是v＝at＝60 m/s，故D錯誤。
11.（1）　（2）　（3）
解析：（1）將小球的運動沿水平方向和豎直方向分解，水平方向有F＝max，
＝2axxmax
解得xmax＝。
（2）水平方向，小球的速度減小為零所需時間t1＝
由對稱性知小球從A運動到B的總時間t＝2t1
則豎直方向上有y＝gt2＝。
（3）小球運動到B點時，有vx＝v0
vy＝gt，則vB＝＝。
12.B　設B點做圓周運動的線速度大小為v'，此速度為B點的實際速度，根據運動的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度，如圖，沿桿方向的分速度為vB＝v'cos＝v'sin β，A點實際速度為水平方向的v，根據運動的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度，如圖，沿桿方向的分速度為vA＝vcos α，又二者沿桿方向的分速度相等，即v'sin β＝vcos α，則v'＝，故B正確。
4 / 4第1講　曲線運動　運動的合成與分解
曲線運動的特點
1.運動軌跡是　　　　的運動，運動軌跡夾在速度方向和　　　　方向之間。
2.一定是　　　　運動，但速度的大小可以改變，也可以不變。
3.一定有　　　　　，但加速度的大小可以改變，也可以不變，加速度的方向可以改變，也可以不變。
物體做曲線運動的條件
1.物體所受合力的方向與它的速度的方向　　　　　　同一條直線上。
2.所受的合力一定不為0：合力可以是恒力，也可以是變力，合力指向運動軌跡的　　　側。
3.若合力為變力，則為一般變速曲線運動；若合力為恒力，則為　　　　　曲線運動。
運動的合成與分解
1.如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就叫那幾個運動的　　　　；那幾個運動叫這個實際運動的　　　　　　　。
2.運動的合成與分解：由分運動求合運動的過程叫運動的　　　　，由合運動求分運動的過程叫運動的　　　　。運動的合成與分解遵循　　　　　　　　　　。
1.曲線運動一定是變速運動。（　　）
2.曲線運動的速度大小可能不變。（　　）
3.曲線運動的加速度可以不變。（　　）
4.合運動的速度一定大于分運動的速度。（　　）
5.兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。（　　）
1.（人教版必修第二冊第五章第1節“演示”拓展）在演示“做曲線運動的條件”的實驗中，有一個在水平桌面上向右做直線運動的小鋼球，第一次在其運動路線的正前方放置條形磁鐵，第二次在其運動路線的旁邊放置條形磁鐵，如圖所示，虛線表示小鋼球的運動軌跡。觀察實驗現象，以下敘述正確的是（　　）
A.第一次實驗中，小鋼球的運動是勻速直線運動
B.第二次實驗中，小鋼球的運動類似平拋運動，其運動軌跡是一條拋物線
C.該實驗說明做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方向
D.該實驗說明物體做曲線運動的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一直線上
2.（2023·全國乙卷15題）小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是（　　）
3.〔多選〕（人教版必修第二冊·第五章第2節“練習與應用”T2改編）跳傘運動是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當運動員從直升機上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風力的影響，下列說法中正確的是（　　）
A.風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成更多的動作
B.風力越大，運動員著地速度越大，有可能對運動員造成傷害
C.運動員下落時間與風力無關
D.運動員著地速度與風力無關
考點一　曲線運動的理解
1.運動軌跡的判斷
（1）若物體所受合力方向與它的速度方向在同一直線上，則物體做直線運動。
（2）若物體所受合力方向與它的速度方向不在同一直線上，則物體做曲線運動。
2.曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
（1）速度方向與運動軌跡相切；
（2）合力方向指向軌跡曲線的“凹”側；
（3）運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間，且彎向合力方向。
3.合力與速率變化的關系
（1）當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率增大；
（2）當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率減小；
（3）當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。
【練1】 （2025·四川眉山模擬）關于做曲線運動的物體，下列說法正確的是（　　）
A.所受合力可以為零
B.所受合力一定為恒力
C.所受合力一定為變力
D.所受合力的方向與物體的速度方向一定不在一條直線上
【練2】 （2025·河北張家口模擬）雙人滑冰運動員在光滑的水平冰面上做表演，甲運動員給乙運動員一個水平恒力F，乙運動員在冰面上完成了一段優美的弧線MN。vM與vN正好成90°角，則此過程中，乙運動員受到甲運動員的恒力可能是圖中的（　　）
A.F1　 B.F2　
C.F3　 D.F4
【練3】 （2025·福建三明質量檢測）如圖是一種創新設計的“空氣傘”，它的原理是：從傘柄下方吸入空氣并將空氣加速，最后空氣從頂部噴出，形成輻射狀氣流，從而改變周圍雨水的運動軌跡，形成一個無雨區，起到遮擋雨水的作用。在無風的雨天，若“空氣傘”噴出的氣流水平，則雨滴從氣流上方某處下落并穿過氣流區的運動軌跡，可能是下列哪一幅圖（　　）
考點二　運動的合成與分解
1.合運動和分運動的關系
（1）等時性：各個分運動與合運動總是同時開始、同時進行、同時結束，經歷時間相等（不同時的運動不能合成）。
（2）獨立性：一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響。
（3）等效性：各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果。
（4）同一性：各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發生的運動，不能是幾個不同物體發生的不同運動。
2.運動的合成與分解的運算法則：運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵從平行四邊形定則。
質點Q在xOy平面內運動，其在x軸方向和y軸方向的分運動圖像如圖甲和圖乙所示，下列說法正確的是（　　）
A.質點Q做勻變速直線運動，初速度為12 m/s
B.質點Q做勻變速曲線運動，加速度為5 m/s2
C.質點Q做勻變速直線運動，2 s末的速度為20 m/s
D.質點Q做勻變速曲線運動，2 s內的位移為45 m
嘗試解答
（2025·安徽合肥期中）某同學用如圖所示的裝置研究運動合成規律，長方體物塊上固定一長為L的豎直桿，物塊及桿的總質量為M，質量為m的小環套在桿上，當小環從桿頂端由靜止滑下時（小環與桿的摩擦可忽略），物塊在水平恒力F的作用下，從靜止開始沿光滑水平面向右運動。小環落到桿底端時，物塊移動的距離為2L，重力加速度大小為g，則小環從頂端下落到底端的過程中（　　）
A.小環通過的路程為2L
B.小環落到底端的時間為
C.桿對小環的作用力為mg
D.桿對小環的作用力為2mg
嘗試解答
總結提升
1.求解運動的合成與分解問題的技巧
（1）求解運動的合成與分解問題，應抓住合運動與分運動具有等時性、獨立性。
（2）物體的實際運動是合運動。運動分解時一般按運動效果進行分解。
2.合運動性質的判斷
（1）合加速度（或合力）
（2）合加速度（或合力）
考點三　小船渡河問題
　　
1.船的實際運動：水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
2.三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v。
3.兩類問題、三種情景
渡河時間最短 當船頭方向垂直于河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝
渡河位移最短 如果v船＞v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水時，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河寬d
如果v船＜v水，當船頭方向（即v船方向）與合速度方向垂直時，渡河位移最短，等于
有一條小河，兩岸平行，河水勻速流動的速度為v0，小船在靜水中速度大小始終為v，且v＞v0。若小船以最短位移過河，所用的時間為t；若小船以最短時間過河，所用的時間為t，則河水流速與小船在靜水中的速度之比為（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
嘗試解答
（2025·河南名校聯盟期末）在某次抗洪救援演練中，一條可視為質點的救災沖鋒舟要渡過一條兩岸平行的河流。已知沖鋒舟在靜水中的速度大小為v1＝5 m/s，河水的流速大小為v2＝4 m/s，沖鋒舟渡河的最短時間為t＝40 s。若沖鋒舟在靜水中的速度大小為v2，河水的流速大小為v1，河寬不變，則沖鋒舟渡河的最短距離為（　　）
A.225 m B.238 m
C.242 m D.250 m
嘗試解答
關聯速度模型
1.模型特點
兩物體或桿子之間通過繩（或桿）連接，且兩物體在運動過程中繩（或桿）發生轉動，這里隱含沿繩（或桿）方向的速度分量大小相等。
2.思路與方法
合運動→繩（或桿）拉物體的實際運動速度v
分運動→
方法：兩分速度的合成遵循平行四邊形定則。
3.解題的原則
把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，這兩分速度一定是相互垂直的，根據沿繩（桿）方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。
（2025·福建寧德期末）如圖，一條不可伸長的輕繩跨過一個光滑輕小滑輪，將A、B兩物體連在一起，B物體在外力作用下以速度v0向右勻速運動。當輕繩與水平方向成θ角時（0＜θ＜90°），下列說法正確的是（　　）
A.A物體的速度為v0cos θ，輕繩的拉力大于A物體重力
B.A物體的速度為v0cos θ，輕繩的拉力小于A物體重力
C.A物體的速度為v0sin θ，輕繩的拉力大于A物體重力
D.A物體的速度為v0sin θ，輕繩的拉力小于A物體重力
嘗試解答
甲、乙兩光滑小球（均可視為質點）用鉸鏈與輕直桿連接，乙球處于光滑水平地面上，甲球套在光滑的豎直桿上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。施加微小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3 m時，甲球的速度為v1，乙球的速度為v2，如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A.v1∶v2＝∶3
B.v1∶v2＝3∶7
C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D.甲球即將落地時，乙球的速度達到最大
嘗試解答
第1講　曲線運動　運動的合成與分解
【立足“四層”·夯基礎】
基礎知識梳理
知識點1
1.曲線　合力　2.變速　3.加速度
知識點2
1.不在　2.凹　3.勻變速
知識點3
1.合運動　分運動　2.合成　分解　平行四邊形定則
易錯易混辨析
1.√　2.√　3.√　4.×　5.√
雙基落實筑牢
1.D　第一次實驗中，小鋼球受到沿初速度方向的磁鐵的吸引力作用，做直線運動，并且隨著距離的減小，吸引力變大，加速度變大，故小鋼球做非勻變速直線運動，選項A錯誤；第二次實驗中，小鋼球所受的磁鐵的吸引力方向總是指向磁鐵，是變力，故小鋼球的運動不是類平拋運動，其運動軌跡也不是一條拋物線，選項B錯誤；該實驗說明物體做曲線運動的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一直線上，但是不能說明做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方向，選項C錯誤，D正確。
2.D　做曲線運動的小車所受合外力指向軌跡的凹側，A、B錯誤；小車沿軌道從左向右運動，動能一直增加，故合力與運動方向夾角為銳角，C錯誤，D正確。
3.BC　運動員同時參與兩個分運動：豎直向下的運動和水平方向沿風力的運動。兩個分運動具有獨立性、等時性，豎直分運動不受風力影響，所以運動員下落時間由豎直分運動決定，與風力無關，風力越大，落地時的水平分速度越大，合速度越大，有可能對運動員造成傷害，故B、C正確，A、D錯誤。
【著眼“四翼”·探考點】
考點一
【練1】 D　做曲線運動的物體，速度方向時刻在發生變化，所以一定是變速運動，合力一定不為零，合力可以是恒力，例如平拋運動，合力也可以是變力，例如勻速圓周運動，故A、B、C錯誤；做曲線運動的條件是所受合力的方向與物體的速度方向不在一條直線上，故D正確。
【練2】 C　根據題圖可知，乙運動員由M向N做曲線運動，乙運動員向上的速度減小，同時向右的速度增大，故乙運動員所受合外力的方向指向右下，故恒力F3的方向可能是正確的，故選C。
【練3】 C　雨滴從氣流上方某處下落進入氣流區前，做自由落體運動，其運動軌跡為一條豎直向下的直線，若“空氣傘”噴出的氣流水平，則雨滴剛進入氣流區時，雨滴受到重力和垂直于傘柄向外的氣流作用力，合力斜向下指向傘柄外側，而速度方向豎直向下，則雨滴的運動軌跡將向傘柄外側彎曲，穿過氣流后，雨滴僅受重力作用，此時雨滴速度方向斜向下指向傘柄外側，與重力方向不在同一條直線上，則雨滴的運動軌跡將向豎直方向彎曲，可知只有C項符合題意。
考點二
【例1】 C　根據勻變速直線運動位移公式x＝v0t＋at2，可得＝at＋v0，根據題圖甲可得＝k1t＋v0x，所以質點在x軸上的分運動是勻變速直線運動，可得初速度v0x＝6 m/s，加速度ax＝2k1＝2× m/s2＝3 m/s2。根據題圖乙可知，質點在y軸上的分運動是勻變速直線運動，初速度v0y＝8 m/s，加速度ay＝k2＝ m/s2＝4 m/s2，因為＝＝，可知質點的初速度和加速度在同一條直線上，所以質點做勻變速直線運動，初速度為v0＝＝10 m/s，加速度為a＝＝5 m/s2，故A、B、D錯誤；質點做勻變速直線運動，2 s末的速度為v＝v0＋at＝（10＋5×2）m/s＝20 m/s，故C正確。
【例2】 D　小環從頂端下落到底端的過程中，其水平位移為2L，豎直位移為L，其實際位移為x合＝＝L，所以小環通過的路程大于2L，故A錯誤；小環在豎直方向做自由落體運動，則有L＝gt2，解得t＝，故B錯誤；設小環在水平方向的加速度大小為ax，則有2L＝axt2，又t＝，聯立解得ax＝2g，根據牛頓第二定律可得，桿對小環的作用力大小為F＝max＝2mg，故C錯誤，D正確。
考點三
【例3】 D　當合速度垂直于河岸時，船以最短位移過河，如圖所示船以最短位移過河所用的時間為t＝，當船頭垂直于河岸時，即v垂直于河岸時，最短時間為tmin＝＝t，聯立解得＝，故選D。
【例4】 D　當船頭方向垂直于河岸時，渡河時間最短，可得河寬d＝v1t＝200 m。若沖鋒舟在靜水中的速度大小為v2，河水的流速大小為v1，則沖鋒舟在靜水中的速度小于水速，設合速度方向與河岸夾角為θ，當船頭方向垂直于合速度時，此時小船渡河位移最短，有sin θ＝，則沖鋒舟渡河的最短距離s＝＝＝250 m，D正確。
【聚焦“素養”·提能力】
【典例1】 A　將B物體的速度沿繩和垂直于繩進行分解，可知A物體的速度為vA＝v0cos θ，當B向右勻速運動時，夾角θ不斷增大，A物體的速度不斷減小，因此A物體做減速運動，加速度向上，即輕繩的拉力大于A物體的重力，A正確，B、C、D錯誤。
【典例2】 B　設當乙球距離起點3 m時，輕桿與豎直方向的夾角為θ，則v1在沿輕桿方向的分量為v1桿＝v1cos θ，v2在沿輕桿方向的分量為v2桿＝v2sin θ，而v1桿＝v2桿，由題意知cos θ＝，sin θ＝，聯立解得＝，選項A錯誤，B正確；甲球即將落地時，θ＝90°，此時甲球的速度達到最大，而乙球的速度為零，選項C、D錯誤。
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第1講　曲線運動　運動的合成與分解
高中總復習·物理
目 錄
01
立足”四層”·夯基礎
02
著眼“四翼”·探考點
03
聚焦“素養”·提能力
04
培養“思維”·重落實
概念 公式 定理
立足“四層”·夯基礎
曲線運動的特點
1. 運動軌跡是 的運動，運動軌跡夾在速度方向和 方
向之間。
2. 一定是 運動，但速度的大小可以改變，也可以不變。
3. 一定有 ，但加速度的大小可以改變，也可以不變，加速度的
方向可以改變，也可以不變。
曲線　
合力　
變速　
加速度　
物體做曲線運動的條件
1. 物體所受合力的方向與它的速度的方向 同一條直線上。
2. 所受的合力一定不為0：合力可以是恒力，也可以是變力，合力指向運
動軌跡的 側。
3. 若合力為變力，則為一般變速曲線運動；若合力為恒力，則為
曲線運動。
不在　
凹　
勻變
速　
運動的合成與分解
1. 如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就叫那幾個運
動的 ；那幾個運動叫這個實際運動的 。
2. 運動的合成與分解：由分運動求合運動的過程叫運動的 ，由合
運動求分運動的過程叫運動的 。運動的合成與分解遵循
。
合運動　
分運動　
合成　
分解　
平行四
邊形定則　
1. 曲線運動一定是變速運動。 （　√　）
2. 曲線運動的速度大小可能不變。 （　√　）
3. 曲線運動的加速度可以不變。 （　√　）
4. 合運動的速度一定大于分運動的速度。 （　×　）
5. 兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。 （　√　）
√
√
√
×
√
1. （人教版必修第二冊第五章第1節“演示”拓展）在演
示“做曲線運動的條件”的實驗中，有一個在水平桌面上
向右做直線運動的小鋼球，第一次在其運動路線的正前方放置條形磁鐵，第二次在其運動路線的旁邊放置條形磁鐵，如圖所示，虛線表示小鋼球的運動軌跡。觀察實驗現象，以下敘述正確的是（　　）
A. 第一次實驗中，小鋼球的運動是勻速直線運動
B. 第二次實驗中，小鋼球的運動類似平拋運動，其運動軌
跡是一條拋物線
C. 該實驗說明做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方向
D. 該實驗說明物體做曲線運動的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一直線上
√
解析： 　第一次實驗中，小鋼球受到沿初速度方向的磁鐵的吸引力作
用，做直線運動，并且隨著距離的減小，吸引力變大，加速度變大，
故小鋼球做非勻變速直線運動，選項A錯誤；第二次實驗中，小鋼球所
受的磁鐵的吸引力方向總是指向磁鐵，是變力，故小鋼球的運動不是
類平拋運動，其運動軌跡也不是一條拋物線，選項B錯誤；該實驗說明
物體做曲線運動的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一
直線上，但是不能說明做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方
向，選項C錯誤，D正確。
2. （2023·全國乙卷15題）小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能
一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，
下列四幅圖可能正確的是（　　）
解析： 　做曲線運動的小車所受合外力指向軌跡的凹側，A、B錯誤；小
車沿軌道從左向右運動，動能一直增加，故合力與運動方向夾角為銳角，
C錯誤，D正確。
√
3. 〔多選〕（人教版必修第二冊·第五章第2節“練習與應用”T2改編）跳
傘運動是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當運動員從直升機
上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風力的影響，下列說法中正
確的是（　　）
A. 風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成更多的
動作
B. 風力越大，運動員著地速度越大，有可能對運動員造成
傷害
C. 運動員下落時間與風力無關
D. 運動員著地速度與風力無關
√
√
解析： 　運動員同時參與兩個分運動：豎直向下的運動和水平方向沿風
力的運動。兩個分運動具有獨立性、等時性，豎直分運動不受風力影響，
所以運動員下落時間由豎直分運動決定，與風力無關，風力越大，落地時
的水平分速度越大，合速度越大，有可能對運動員造成傷害，故B、C正
確，A、D錯誤。
題型 規律 方法
著眼“四翼”·探考點
考點一　曲線運動的理解
1. 運動軌跡的判斷
（1）若物體所受合力方向與它的速度方向在同一直線上，則物體做直線
運動。
（2）若物體所受合力方向與它的速度方向不在同一直線上，則物體做曲
線運動。
2. 曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
（1）速度方向與運動軌跡相切；
（2）合力方向指向軌跡曲線的“凹”側；
（3）運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間，且彎向合力方向。
3. 合力與速率變化的關系
（1）當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率增大；
（2）當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率減小；
（3）當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。
【練1】 （2025·四川眉山模擬）關于做曲線運動的物體，下列說法正確的
是（　　）
A. 所受合力可以為零
B. 所受合力一定為恒力
C. 所受合力一定為變力
D. 所受合力的方向與物體的速度方向一定不在一條直線上
解析： 　做曲線運動的物體，速度方向時刻在發生變化，所以一定是變
速運動，合力一定不為零，合力可以是恒力，例如平拋運動，合力也可以
是變力，例如勻速圓周運動，故A、B、C錯誤；做曲線運動的條件是所受
合力的方向與物體的速度方向不在一條直線上，故D正確。
√
【練2】 （2025·河北張家口模擬）雙人滑冰運動員在光滑的水平冰面上做
表演，甲運動員給乙運動員一個水平恒力F，乙運動員在冰面上完成了一
段優美的弧線MN。vM與vN正好成90°角，則此過程中，乙運動員受到甲運
動員的恒力可能是圖中的（　　）
A. F1
B. F2
C. F3
D. F4
√
解析： 　根據題圖可知，乙運動員由M向N做曲線運動，乙運動員向上的
速度減小，同時向右的速度增大，故乙運動員所受合外力的方向指向右
下，故恒力F3的方向可能是正確的，故選C。
【練3】 （2025·福建三明質量檢測）如圖是一種創新設計的“空氣傘”，
它的原理是：從傘柄下方吸入空氣并將空氣加速，最后空氣從頂部噴出，
形成輻射狀氣流，從而改變周圍雨水的運動軌跡，形成一個無雨區，起到
遮擋雨水的作用。在無風的雨天，若“空氣傘”噴出的氣流水平，則雨滴
從氣流上方某處下落并穿過氣流區的運動軌跡，可能是下列哪一幅圖（　）
√
解析： 　雨滴從氣流上方某處下落進入氣流區前，做自由落體運動，其
運動軌跡為一條豎直向下的直線，若“空氣傘”噴出的氣流水平，則雨滴
剛進入氣流區時，雨滴受到重力和垂直于傘柄向外的氣流作用力，合力斜
向下指向傘柄外側，而速度方向豎直向下，則雨滴的運動軌跡將向傘柄外
側彎曲，穿過氣流后，雨滴僅受重力作用，此時雨滴速度方向斜向下指向
傘柄外側，與重力方向不在同一條直線上，則雨滴的運動軌跡將向豎直方
向彎曲，可知只有C項符合題意。
考點二　運動的合成與分解
1. 合運動和分運動的關系
（1）等時性：各個分運動與合運動總是同時開始、同時進行、同時結
束，經歷時間相等（不同時的運動不能合成）。
（2）獨立性：一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互
不影響。
（3）等效性：各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果。
（4）同一性：各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發生
的運動，不能是幾個不同物體發生的不同運動。
2. 運動的合成與分解的運算法則：運動的合成與分解是指描述運動的各物
理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與
分解都遵從平行四邊形定則。
質點Q在xOy平面內運動，其在x軸方向和y軸方向的分運動圖像如圖
甲和圖乙所示，下列說法正確的是（　　）
A. 質點Q做勻變速直線運動，初速度為12 m/s
B. 質點Q做勻變速曲線運動，加速度為5 m/s2
C. 質點Q做勻變速直線運動，2 s末的速度為20 m/s
D. 質點Q做勻變速曲線運動，2 s內的位移為45 m
√
解析：根據勻變速直線運動位移公式x＝v0t＋at2，可得＝at＋v0，根
據題圖甲可得＝k1t＋v0x，所以質點在x軸上的分運動是勻變速直線運
動，可得初速度v0x＝6 m/s，加速度ax＝2k1＝2× m/s2＝3 m/s2。
根據題圖乙可知，質點在y軸上的分運動是勻變速直線運動，初速度v0y
＝8 m/s，加速度ay＝k2＝ m/s2＝4 m/s2，因為＝＝，可知質
點的初速度和加速度在同一條直線上，所以質點做勻變速直線運動，
初速度為v0＝＝10 m/s，加速度為a＝＝5 m/s2，
故A、B、D錯誤；質點做勻變速直線運動，2 s末的速度為v＝v0＋at＝
（10＋5×2）m/s＝20 m/s，故C正確。
（2025·安徽合肥期中）某同學用如圖所示的裝置研究運動合成規
律，長方體物塊上固定一長為L的豎直桿，物塊及桿的總質量為M，質量為
m的小環套在桿上，當小環從桿頂端由靜止滑下時（小環與桿的摩擦可忽
略），物塊在水平恒力F的作用下，從靜止開始沿光滑水平面向右運動。
小環落到桿底端時，物塊移動的距離為2L，重力加速度大小為g，則小環
從頂端下落到底端的過程中（　　）
A. 小環通過的路程為2L
B. 小環落到底端的時間為
C. 桿對小環的作用力為mg
D. 桿對小環的作用力為2mg
√
解析：小環從頂端下落到底端的過程中，其水平位移為2L，豎直位移為
L，其實際位移為x合＝＝L，所以小環通過的路程大于
2L，故A錯誤；小環在豎直方向做自由落體運動，則有L＝gt2，解得t＝
，故B錯誤；設小環在水平方向的加速度大小為ax，則有2L＝axt2，又t＝，聯立解得ax＝2g，根據牛頓第二定律可得，桿對小環的作用力大小為F＝max＝2mg，故C錯誤，D正確。
總結提升
1. 求解運動的合成與分解問題的技巧
（1）求解運動的合成與分解問題，應抓住合運動與分運動具有等時性、
獨立性。
（2）物體的實際運動是合運動。運動分解時一般按運動效果進行分解。
2. 合運動性質的判斷
（1）合加速度（或合力）
（2）合加速度（或合力）
考點三　小船渡河問題
1. 船的實際運動：水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
2. 三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v。
3. 兩類問題、三種情景
渡河時
間最短 當船頭方向垂直于河岸時，渡河時間最短，最
短時間tmin＝
渡河位
移最短 如果v船＞v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿
足v船cos θ＝v水
時，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于
河寬d
如果v船＜v水，當船頭方向（即v船方向）與合
速度方向垂直時，渡河位移最短，等于
有一條小河，兩岸平行，河水勻速流動的速度為v0，小船在靜水中速
度大小始終為v，且v＞v0。若小船以最短位移過河，所用的時間為t；若小
船以最短時間過河，所用的時間為t，則河水流速與小船在靜水中的速度
之比為（　　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
√
解析：當合速度垂直于河岸時，船以最短位移過河，如圖
所示船以最短位移過河所用的時間為t＝，當船頭
垂直于河岸時，即v垂直于河岸時，最短時間為tmin＝＝t，聯立解得＝，故選D。
　（2025·福建福州模擬）洪水無情人有情，每一次重大搶險救災，都有子
弟兵的身影。如圖所示，水速為v，消防武警駕駛沖鋒舟行駛，若沖鋒舟沿
與平直河岸成30°角的線路把被困群眾從A處送到對岸安全地B處，采取以
最小速度和最短時間兩種方案行駛，則兩種方案中沖鋒舟的最小速度v1和
以最短時間行駛沖鋒舟的速度v2之比為（　　）
A. 1∶2 B. 1∶
C. 2∶ D. ∶2
√
解析： 　沖鋒舟以最小速度v1和最短時間分別從A到B，沖鋒舟最小速度
v1垂直于AB連線，有v1＝vsin 30°，最短時間行駛時沖鋒舟速度v2垂直于平
直河岸，有v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故選項D正確。
（2025·河南名校聯盟期末）在某次抗洪救援演練中，一條可視為質
點的救災沖鋒舟要渡過一條兩岸平行的河流。已知沖鋒舟在靜水中的速度
大小為v1＝5 m/s，河水的流速大小為v2＝4 m/s，沖鋒舟渡河的最短時間為t
＝40 s。若沖鋒舟在靜水中的速度大小為v2，河水的流速大小為v1，河寬不
變，則沖鋒舟渡河的最短距離為（　　）
A. 225 m B. 238 m
C. 242 m D. 250 m
√
解析：當船頭方向垂直于河岸時，渡河時間最短，可得河寬d＝v1t＝200
m。若沖鋒舟在靜水中的速度大小為v2，河水的流速大小為v1，則沖鋒舟在
靜水中的速度小于水速，設合速度方向與河岸夾角為θ，當船頭方向垂直
于合速度時，此時小船渡河位移最短，有sin θ＝，則沖鋒舟渡河的最短
距離s＝＝＝250 m，D正確。
現實 科技 應用
聚焦“素養”·提能力
關聯速度模型
1. 模型特點
兩物體或桿子之間通過繩（或桿）連接，且兩物體在運動過程中繩（或
桿）發生轉動，這里隱含沿繩（或桿）方向的速度分量大小相等。
2. 思路與方法
合運動→繩（或桿）拉物體的實際運動速度v
分運動→
方法：兩分速度的合成遵循平行四邊形定則。
3. 解題的原則
把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，這
兩分速度一定是相互垂直的，根據沿繩（桿）方向的分速度大小相等求
解。常見的模型如圖所示。
A. A物體的速度為v0cos θ，輕繩的拉力大于A物體重力
B. A物體的速度為v0cos θ，輕繩的拉力小于A物體重力
C. A物體的速度為v0sin θ，輕繩的拉力大于A物體重力
D. A物體的速度為v0sin θ，輕繩的拉力小于A物體重力
（2025·福建寧德期末）如圖，一條不可伸長的輕繩跨過一個光滑
輕小滑輪，將A、B兩物體連在一起，B物體在外力作用下以速度v0向右勻
速運動。當輕繩與水平方向成θ角時（0＜θ＜90°），下列說法正確的是
（　　）
√
解析：將B物體的速度沿繩和垂直于繩進行分解，可知A物體的速度為vA＝
v0cos θ，當B向右勻速運動時，夾角θ不斷增大，A物體的速度不斷減小，
因此A物體做減速運動，加速度向上，即輕繩的拉力大于A物體的重力，A
正確，B、C、D錯誤。
甲、乙兩光滑小球（均可視為質點）用鉸鏈與輕直桿連接，乙球處
于光滑水平地面上，甲球套在光滑的豎直桿上，初始時輕桿豎直，桿長為
4 m。施加微小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3
m時，甲球的速度為v1，乙球的速度為v2，如圖所示，下列說法正確的是
（　　）
A. v1∶v2＝∶3
B. v1∶v2＝3∶7
C. 甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D. 甲球即將落地時，乙球的速度達到最大
√
解析：設當乙球距離起點3 m時，輕桿與豎直方向的夾角為θ，則v1在沿輕
桿方向的分量為v1桿＝v1cos θ，v2在沿輕桿方向的分量為v2桿＝v2sin θ，而v1
桿＝v2桿，由題意知cos θ＝，sin θ＝，聯立解得＝，選項A錯誤，B
正確；甲球即將落地時，θ＝90°，此時甲球的速度達到最大，而乙球的
速度為零，選項C、D錯誤。
培養“思維”·重落實
夯基 提能 升華
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1. （2025·廣西南寧期中）如圖所示，虛線是跳水運動員在某次訓練中，
運動員離開跳臺后其在空中的軌跡示意圖。A為曲線軌跡起始點，B為軌跡
最高點，C點的切線沿豎直方向，D點是即將入水點。關于運動員在空中的
運動，下述正確的是（　　）
A. 在A處速度和加速度都沿豎直方向
B. 在B處加速度豎直向下，速度沿水平方向
C. 在C處速度和加速度都沿水平方向
D. 在D處速度向下，加速度向上
√
解析： 　做曲線運動的跳水運動員，某位置的速度方向在該點所在軌跡
的切線方向上，合力方向指向軌跡的凹側，則各點的加速度方向都是豎直
向下的方向；在A處速度方向斜向上；在B處速度沿水平方向；在C處和D
處速度都是豎直向下；故A、C、D錯誤，B正確。
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2. （2025·陜西寶雞二模）體育課上兩位同學在室內羽毛球場進行羽毛球
比賽，羽毛球在空中上升的運動軌跡如圖中虛線所示，羽毛球加速度方向
示意圖可能正確的是（　　）
解析： 　羽毛球在空中做曲線運動，可知羽毛球所受合力產生的加速度
應指向軌跡的凹側，故A、D錯誤；羽毛球處于上升過程，速度在減小，可
知所受合力產生的加速度與速度之間的夾角應為鈍角，故B錯誤，C正確。
√
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3. （2025·高郵期初學情調研）已知河水流速穩定為2 m/s，汽艇在靜水中
的速度恒為1 m/s。圖中實線為河岸，虛線為汽艇從河岸M駛向對岸N的實
際航線。若以最短的航線渡河，下列情形可能正確的是（　　）
√
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解析： 　因為汽艇在靜水中的速度小于河水的流速，可知汽艇合速度方
向不能垂直于河對岸，即汽艇不能垂直于河岸渡河；當汽艇的速度方向垂
直于合速度的方向時，此時合速度方向與河岸的夾角最大，汽艇的位移最
短，故選B。
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4. 〔多選〕（2025·江西模擬預測）如圖，光滑水平面上的物體受五個沿
水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做勻速直線運
動，速度方向與恒力F5的方向相反，與F1的方向垂直。若撤去其中某個力
（其他力不變），則在以后的運動中，下列說法正確的是（　　）
A. 若撤去的是F1，則物體可能做勻速圓周運動
B. 若撤去的是F2，則經過一段時間后物體的速率可能再次變
為v0
C. 若撤去的是F4，則經過一段時間后物體的速率可能再次變為v0
D. 無論撤去這五個力中的哪一個，物體都做勻變速運動
√
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解析： 　撤去F1后，剩余的四個力的合力與F1等大反向，因為合力為恒
力，所以物體做類平拋運動，故A錯誤；撤去F2后，剩余的四個力的合力
與F2等大反向，合力對物體先做負功后做正功，當合力做功為零時，物體
的速率再次為v0，故B正確；撤去F4后，剩余的四個力的合力與F4等大反
向，合力一直做正功，故物體的速率不可能再次變為v0，故C錯誤；無論撤
去這五個力中的哪一個，物體的合力均為恒力，故物體都做勻變速運動，
故D正確。
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5. （2025·海南海口一模）一條兩岸平直的寬度為d的小河如圖所示，河水
流速恒定。一人駕駛小船從上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在靜水
中的速度大小恒定，船在靜水中的速度大小與河水流速大小之比為
∶1，行駛中船頭始終垂直于河岸，則A、B兩渡口沿河岸方向的距離為
（　　）
A. d B. d
C. d D. d
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解析： 　設船在靜水中速度為v1、河水流速為v2，船頭垂直于河岸，小船
實際行駛方向與河岸之間夾角為α，則tan α＝＝，A、B兩渡口沿河岸
方向的距離為x＝＝d，故B正確。
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6. 〔多選〕如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為
d，M、N分別是甲、乙兩船的出發點，兩船頭與河岸均成α角，甲船船頭
恰好對準N點的正對岸P點，經過一段時間乙船恰好到達P點，如果劃船速
度均為v0，且兩船相遇不影響各自的航行。下列說法正確的是（　　）
A. 水流方向向右，大小為v0cos α
B. 甲船沿岸方向水平位移為
C. 甲、乙兩船不會在NP上某點相遇
D. 兩船同時到達河對岸，渡河時間均為
√
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解析： 　由于乙船恰好到達P點，則水流方向向右，且乙船沿河岸方向
的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正確；設甲船的過河
時間為t，則d＝v0tsin α，甲船沿岸方向水平位移x甲＝（v0cos α＋v水）t，聯
立解得x甲＝，故B錯誤；由于乙船沿NP運動，在水流的作用下，甲
船到達對岸時，應在P點的右側，而甲、乙兩船在垂直于河岸方向速度相
同，所以一定會相遇，且在NP上某點相遇，故C錯誤；兩船在垂直于河岸
方向的分速度都為v垂直＝v0sin α，河寬d一定，因此兩船同時到達河對岸，
渡河時間均為t＝＝，故D正確。
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7. 〔多選〕如圖所示，物體P套在光滑的細桿上，P和Q通過輕質細繩連接
并跨過定滑輪，一水平力F拉著水平面上的物體Q向左運動。在某一小段時
間內，P沿細桿勻速向上運動通過AB段的過程中，下列說法正確的是
（　　）
A. Q做加速直線運動
B. Q做減速直線運動
C. 細繩對P的拉力在增大
D. 桿對P的彈力在減小
√
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解析： 　設繩與豎直方向夾角為θ，則vPcos θ＝vQ，當P勻速運動，
θ增大時，Q做減速直線運動，故A錯誤，B正確；對P有mg＝FTcos θ，
θ角增大時繩子拉力FT在增大，桿對P的彈力FN＝FTsin θ在增大，故C
正確，D錯誤。
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8. （2025·南京師大附中）某質量m＝0.1 kg的質點在x軸正方向做初速度v0
＝4 m/s的勻速直線運動，在y軸方向的速度—時間圖像如圖所示，則下列
說法中正確的是（　　）
A. 該質點做勻變速直線運動
B. 該質點在4 s末的位移大小為8 m
C. 該質點在4 s末的速度大小為4 m/s
D. 該質點所受合外力大小恒為0.2 N
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解析： 　根據圖像可知質點在y軸方向做勻加速直線運動，在x軸正方向
做勻速直線運動，則質點在做勻變速曲線運動，A錯誤；4 s末質點沿x軸的
分位移x＝v0t＝16 m，4 s末質點沿y軸的位移y＝×4 m＝8 m，則該質點在
4 s末的位移大小為x0＝＝8 m，B正確；根據速度的合成可知，
該質點在4 s末的速度大小v＝4 m/s，C錯誤；根據牛頓第二定律，該質
點所受合外力大小恒為F＝ma＝m＝0.1× N＝0.1 N，D錯誤。
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9. 如圖所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向
始終與河岸垂直（沿AA'方向）。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的
碼頭B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到
河對岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是
（　　）
A. 小船沿AB、AC過河的時間相等
B. 小船沿AC過河的時間更長
C. v1∶v2＝1∶2
D. 當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A'，船頭應指向
河的上游且與河岸夾角為60°
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解析： 　因船頭始終垂直于河岸，所以小船過河的時間為t＝，即小船
沿AB、AC過河的時間相等，選項A正確，B錯誤；由題意可知tan 60°＝
，tan 30°＝，聯立解得v1∶v2＝1∶3，選項C錯誤；當水流速度為v1
時，要使小船到達碼頭A'，則合速度應該垂直于河對岸，船頭應指向河的
上游且與河岸夾角滿足cos θ＝＝，則θ≠60°，選項D錯誤。
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10. （2025·河南開封階段練習）河水的流速隨位置到一指定河岸的距離的
變化關系如圖甲所示，船在靜水中的加速度與時間的關系如圖乙所示，若
要使船以最短時間渡河，則以下判斷正確的是（　　）
A. 船在河水中做勻變速運動
B. 船渡河的最短時間是10 s
C. 船在行駛過程中，船頭始終與航線垂直
D. 船在剛登陸時的速度是64 m/s
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解析： 船在沿河岸方向上做變速運動，在垂直于河岸方向上做勻變速
直線運動，兩運動的合運動是變加速運動，故A錯誤；當船頭始終與河岸
垂直時（船頭不與航線垂直），渡河時間最短，根據d＝at2，解得t＝
＝10 s，故B正確，C錯誤；由圖甲知，船在剛登陸時河水的流速為0，船
的速度是v＝at＝60 m/s，故D錯誤。
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11. 如圖所示，在風洞實驗室中，從A點以水平速度v0向左
拋出一個質量為m的小球（可視為質點），小球拋出后所
受空氣作用力沿水平方向，其大小為F，經過一段時間小
球運動到A點正下方的B點處，重力加速度為g，在此過程中，求：
（1）小球離A、B所在直線的最遠距離；
答案： 　
解析： 將小球的運動沿水平方向和豎直方向分解，水平方向有F＝
max，
＝2axxmax
解得xmax＝。
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（2）A、B兩點間的距離；
答案： 　
解析：水平方向，小球的速度減小為零所需時間t1＝
由對稱性知小球從A運動到B的總時間t＝2t1
則豎直方向上有y＝gt2＝。
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（3）小球到達B點時的速率vB。
答案：
解析：小球運動到B點時，有vx＝v0
vy＝gt，則vB＝＝。
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12. 活塞帶動飛輪轉動可簡化為如圖所示的模型：圖中A、B、O三處都是
轉軸，當活塞在水平方向上移動時，帶動連桿AB運動，進而帶動OB桿以O
點為軸轉動。若某時刻活塞的水平速度大小為v，連桿AB與水平方向夾角
為α，AB桿與OB桿的夾角為β，此時B點做圓周運動的線速度大小為（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　設B點做圓周運動的線速度大小為v'，此速
度為B點的實際速度，根據運動的合成與分解，可以分
解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度，如
圖，沿桿方向的分速度為vB＝v'cos＝v'sin β，A點實際速度為水平方向的v，根據運動的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度，如圖，沿桿方向的分速度為vA＝vcos α，又二者沿桿方向的分速度相等，即v'sin β＝vcos α，則v'＝，故B正確。
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THANKS
演示完畢 感謝觀看

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