資源簡介

第2講　拋體運動
1.如圖所示，兒童在公園里玩水槍，她握緊槍桿保持水平，水源源不斷地沿水平方向射出。若槍口距地面的高度為h，水從水槍的管口噴出的速度恒為v，管口水流橫截面積為S，重力加速度為g，則水流穩定后在空中的體積為（　　）
A.Sv B.Sv
C.S D.S
2.（2024·湖北高考3題）如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到（　　）
A.荷葉a B.荷葉b
C.荷葉c D.荷葉d
3.（2025·廣東湛江二模）如圖所示，某同學在籃筐前某位置跳起投籃。籃球出手點離水平地面的高度h＝1.8 m。籃球離開手的瞬間到籃筐的水平距離為5 m，水平分速度大小v＝10 m/s，要使籃球到達籃筐時，豎直方向的分速度剛好為零。將籃球看成質點，籃筐大小忽略不計，忽略空氣阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。籃筐離地面的高度為（　　）
A.2.85 m B.3.05 m
C.3.25 m D.3.5 m
4.（2024·新課標卷15題）福建艦是我國自主設計建造的首艘彈射型航空母艦。借助配重小車可以進行彈射測試，測試時配重小車被彈射器從甲板上水平彈出后，落到海面上。調整彈射裝置，使小車水平離開甲板時的動能變為調整前的4倍。忽略空氣阻力，則小車在海面上的落點與其離開甲板處的水平距離為調整前的（　　）
A.0.25倍 B.0.5倍
C.2倍 D.4倍
5.（2025·福建泉州模擬）如圖所示，從水池里同一位置噴出兩水柱A、B，分別落在水平面上的M、N兩點，兩水柱運動的最大高度相同，如圖所示。不計空氣阻力，對比水柱A、B（　　）
A.A在空中運動的時間比B長
B.B在空中運動的時間比A長
C.在空中運動過程中B速度變化更大
D.A、B加速度始終相等
6.〔多選〕（2024·江西高考8題）一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是（　　）
7.（2024·浙江1月選考8題）如圖所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為（　　）
A. B.
C. D.（＋1）D
8.如圖所示，運動員將網球從O點以速度v0水平擊出，網球經過M點時速度方向與豎直方向的夾角為60°，落到水平地面上的N點時速度方向與豎直方向的夾角為45°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A.O點距水平地面的高度為
B.M點距水平地面的高度為
C.網球從O點運動到N點的時間為
D.O、N兩點間的水平距離為
9.（2025·湖北黃岡二模）如圖所示，小球A從地面向上斜拋，拋出時的速度大小為10 m/s，方向與水平方向夾角為53°，在A拋出的同時有小球B從某高處自由下落，當A上升到最高點時恰能擊中下落的B，不計空氣阻力，sin 53°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，則A、B兩球初始距離是（　　）
A.4.8 m B.6.4 m
C.8.0 m D.11.2 m
10.〔多選〕（2024·山東高考12題）如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是（　　）
A.運動時間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠距離為10 m
D.軌跡最高點與落點的高度差為45 m
11.將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔0.05 s發出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
12.（2025·福建廈門期中）在光滑水平面內建立xOy坐標系，質量為m＝0.25 kg的小球正沿y軸正方向做勻速運動，其速度為v0＝2 m/s。當小球運動到原點O處時開始受到＋x方向的恒力F作用。經一段時間小球恰能經過坐標為（4，4）的P點，求：
（1）恒力F有多大？
（2）小球經過P點時的速度大小。（答案可用包含根號的表達式表示）
第2講　拋體運動
1.A　以t表示水由管口處到落地所用的時間，有h＝gt2，單位時間內噴出的水量為Q＝Sv，空中水的總量應為V＝Qt，由以上各式得V＝Sv，所以A正確，B、C、D錯誤。
2.C　水平方向：x＝v0t，豎直方向：h＝gt2，解得v0＝因為最小，所以v0c最小，故C正確。
3.B　籃球離開手到籃筐的時間為t＝＝ s＝0.5 s，要使籃球到達籃筐時，豎直方向的分速度剛好為零，則有＝2g（H－h），vy＝gt，聯立解得H＝3.05 m，故選B。
4.C　因＝，由Ek＝mv2得＝，又因為h＝gt2，x＝vt，所以＝，C正確。
5.D　兩水柱A、B做斜拋運動，在豎直方向為豎直上拋運動，則在豎直方向有h＝gt2，解得t＝，由于豎直高度相同，可得在空中運動時間相同，故A、B錯誤；水柱在空中做斜上拋運動，合力為重力，因此A、B加速度均為g，則速度變化為Δv＝gΔt，所以，兩水柱A、B速度變化相同，故C錯誤，D正確。
6.AD　由于小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運動，即vx為一定值，則有x＝vxt，A可能正確，C錯誤；小魚在豎直方向上做豎直上拋運動，則有y＝v0yt－gt2，vy＝v0y－gt，且vy最終減為0，B錯誤，D可能正確。
7.C　設出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0，落到桶底A點時x＋＝v0，解得v0＝，故選C。
8.C　根據平拋運動規律可知，網球在M點時的豎直分速度vMy＝＝，在N點時的豎直分速度vNy＝＝v0，則O點距水平地面的高度hO＝，故A錯誤；M點距水平地面的高度hM＝＝，故B錯誤；網球從O點運動到N點的時間t＝，故C正確；O、N兩點間的水平距離x＝v0t＝，故D錯誤。
9.C　小球A的運動可以看成平拋運動的逆過程。水平速度為v0＝vcos 53°＝6 m/s，豎直速度為vy＝vsin 53°＝8 m/s，相遇時A球豎直方向位移為yA＝＝3.2 m，運動時間為t＝＝0.8 s，水平方向位移為x＝v0t＝4.8 m，B球豎直方向的位移yB＝gt2＝3.2 m，初始時A、B兩球豎直距離y＝yA＋yB＝6.4 m，根據勾股定理可得，A、B兩球初始距離為s＝＝8 m，故選C。
10.BD　重物從P點運動到Q點的過程，水平方向上有x＝v0tcos 30°，豎直方向上有y＝－v0tsin 30°＋gt2，由幾何關系有＝tan 30°，聯立解得重物的運動時間t＝4 s，A錯誤；結合A項分析可知，重物落地時的水平分速度vx＝v0cos 30°，豎直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，則tan θ＝＝，所以重物的落地速度與水平方向夾角為60°，B正確；對重物從P點運動到Q點的過程，垂直于PQ連線方向有（v0sin 60°）2＝2ghmcos 30°，解得重物離PQ連線的最遠距離hm＝10 m，C錯誤；結合B項分析，豎直方向上有＝2gym，聯立解得重物軌跡最高點與落點的高度差ym＝45 m，D正確。
11. m/s
解析：設s1對應的水平位移為x，對應的豎直位移為y，則根據平拋運動的特點可知，s2對應的水平位移也為x，對應的豎直位移為3y
有y＝g（4T）2＝0.2 m
s1＝
s2＝
＝
聯立解得x＝ m
拋出瞬間小球速度的大小為v0＝
解得v0＝ m/s。
12.（1）0.5 N　（2）2 m/s
解析：（1）小球在xOy平面內，在y軸方向做勻速直線運動，在x軸方向做初速度為零的勻加速直線運動，設小球加速度為a，經過時間t從坐標原點到P點，則
xP＝at2
yP＝v0t
代入數據得a＝2 m/s2，t＝2 s
由牛頓第二定律得F＝ma
代入數據得恒力F＝0.5 N。
（2）小球經過P點時，沿x方向的速度
vx＝at＝4 m/s
所以小球經過P點時的速度大小vP＝＝2 m/s。
3 / 3第2講　拋體運動
平拋運動
1.定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在　　　　作用下的運動。
2.性質：平拋運動是加速度為g的　　　　曲線運動，其運動軌跡是　　　　。
3.平拋運動的條件：v0≠0，沿　　　　　　，只受　　　　作用。
4.研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的　　　　　運動和豎直方向的　　　　　運動。
平拋運動規律
如圖所示，以拋出點為原點，以水平方向（初速度v0方向）為x軸，以豎直向下的方向為y軸建立平面直角坐標系，則
1.水平方向：做　　　　　　運動，速度vx＝　　　　，位移x＝　　　　。
2.豎直方向：做　　　　　　運動，速度vy＝　　　　，位移y＝　　　　　　　　。
3.合運動
（1）合速度：v＝，設方向與水平方向夾角為θ，則tan θ＝＝　　　　　　。
（2）合位移：s＝，設方向與水平方向夾角為α，則tan α＝＝　　　　　　。
斜拋運動
1.定義：將物體以初速度v0沿　　　　　　或　　　　　　拋出，物體只在　　　　作用下的運動。
2.性質：加速度為　　　　　　的勻變速曲線運動，軌跡是　　　　　。
3.研究方法
（1）如果運動最后末位置在最高點、速度水平，則將斜拋運動等效處理，等效為逆向平拋運動。
（2）如果運動最后末位置物體處于下落狀態，與拋出點等高，利用斜拋運動的對稱性，同時將斜拋運動分割成由最高點開始的平拋運動，再充分利用對稱性分析。
1.以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。（　　）
2.平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻變化。（　　）
3.從同一高度做平拋運動的物體初速度越大，落地時速度越大。（　　）
4.平拋運動的時間由高度決定。（　　）
5.斜拋運動是勻變速曲線運動。（　　）
1.（人教版必修第二冊·第五章第4節“例題1”改編）將一個物體以10 m/s的速度從20 m的高度水平拋出（不計空氣阻力，取g＝10 m/s2），下列說法正確的是（　　）
A.落地時間為2 s
B.落地時速度為20 m/s
C.落地時速度方向與水平地面夾角的正切值為
D.物體的位移為20 m
2.（2024·江蘇高考4題）噴泉a、b出射點高度相同，形成如圖所示的形狀，不計空氣阻力，則噴泉a、b的（　　）
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高點的速度相同 D.在空中運動的時間相同
考點一　平拋運動的基本規律
1.飛行時間：由t＝知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關。
2.水平位移：x＝v0t＝v0，即水平位移由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關。
3.落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度與x軸正方向的夾角，有tan θ＝＝，所以落地速度只與初速度v0和下落高度h有關。
4.速度改變量Δv：因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示。
5.平拋運動的兩個重要推論
（1）做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖甲所示。其推導過程為tan θ＝＝＝。
（2）做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tan θ＝2tan α。如圖乙所示。其推導過程為tan θ＝＝＝＝2tan α。
（2025·八省聯考云南卷）如圖所示，“套圈”活動中，某同學將相同套環分兩次從同一位置水平拋出，分別套中Ⅰ、Ⅱ號物品。若套環可近似視為質點，不計空氣阻力，則（　　）
A.套中Ⅰ號物品，套環被拋出的速度較大
B.套中Ⅰ號物品，重力對套環做功較小
C.套中Ⅱ號物品，套環飛行時間較長
D.套中Ⅱ號物品，套環動能變化量較小
嘗試解答
（2024·海南高考3題）如圖，在跨越河流表演中，一人騎車以v0＝25 m/s的速度水平沖出平臺，恰好跨越寬度為d＝25 m的河流落在河對岸平臺上，不計空氣阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，則兩平臺的高度差h為（　　）
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
嘗試解答
本題源于人教版必修第二冊P19T4
在水平路面上騎摩托車的人，遇到一個壕溝，其尺寸如圖所示。摩托車后輪離開地面后失去動力，可以視為平拋運動。摩托車后輪落到壕溝對面才算安全。摩托車的速度至少要多大才能越過這個壕溝？g取10 m/s2。
（2025·福建莆田模擬）如圖，某人從O點對準正前方豎直靶上的a點，分別將兩支飛鏢水平擲出，飛鏢打在靶上b、c兩點，且與豎直方向的夾角分別為60°與30°，忽略空氣阻力，則（　　）
A.兩飛鏢擊中靶的速度大小相同
B.a、b間距為a、c間距的一半
C.兩飛鏢在空中運動時間相同
D.兩飛鏢離開手時，速度大小相同
嘗試解答
考點二　斜拋運動
1.斜上拋運動的分析
利用運動的合成與分解分析：斜上拋運動可看作沿水平方向的勻速直線運動和沿豎直方向的豎直上拋運動的合運動。
以拋出點為坐標原點O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy。
初速度可以分解為v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。在水平方向，物體的速度和位移分別為
vx＝v0x＝v0cos θ ①
x＝v0xt＝v0cos θ·t ②
在豎直方向，物體的速度和位移分別為
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ③
y＝v0yt－gt2＝v0sin θ·t－gt2 ④
2.斜上拋運動的極值
在最高點，vy＝0，由③式得t＝ ⑤
將⑤式代入④式得物體的射高ym＝ ⑥
物體落回與拋出點同一高度時，有y＝0，
由④式得總時間t總＝ ⑦
將⑦式代入②式得物體的射程xm＝
當θ＝45°時，sin 2θ最大，射程最大。
3.斜上拋運動問題的處理技巧
（1）對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動，可逆向看成平拋運動。
（2）分析完整的斜上拋運動時，可根據對稱性求解某些問題。
〔多選〕（2025·遼寧大連模擬）種植水稻需育苗插秧，這是傳統的做法；而如今農民一改“面朝稻田背朝天”的傳統手工插秧轉而用水稻拋秧。水稻拋秧需要軟盤育秧，拋秧時村民把手中秧苗拋向半空，挾帶營養土塊的秧苗，在重力作用下均勻地降落到水田中。拋秧相比傳統人工插秧，具有省秧苗、省勞力、省成本等很多優點。某次拋秧時秧苗甲與秧苗乙同時拋出，軌跡如圖所示，拋出點均為O點，秧苗乙做平拋運動，秧苗甲做斜拋運動，兩個軌跡相交于P點，不計空氣阻力，則（　　）
A.秧苗甲與秧苗乙同時到達P點
B.秧苗乙先經過P點
C.只要秧苗甲的初速度足夠大就可以先經過P點
D.秧苗乙的初速度一定大于秧苗甲的初速度的水平分量
嘗試解答
（2025·南通第一次調研）某噴灌機進行農田噴灌的示意圖如圖所示，噴頭出水速度的大小和方向均可調節。設噴頭出水速度大小為v，方向與水平地面的夾角為θ，忽略噴頭距離地面的高度及空氣阻力，則（　　）
A.v越大，噴灌的射程越遠
B.θ越大，噴灌的射程越遠
C.噴灌射程最遠時，水在空中的時間不是最長
D.噴灌射程相同時，水在空中上升的最大高度相同
嘗試解答
類平拋運動
1.類平拋運動與平拋運動的區別
做平拋運動的物體初速度水平，物體只受與初速度垂直的豎直向下的重力，a＝g；做類平拋運動的物體初速度不一定水平，但物體所受合力與初速度的方向垂直且為恒力，a＝。
2.求解方法
（1）常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的勻加速直線運動。
（2）特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向上列方程求解。
〔多選〕如圖，一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h，現有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下列說法正確的是（　　）
A.小球的運動軌跡為拋物線
B.小球的加速度為gsin θ
C.小球從A處到達B處所用的時間為
D.小球到達B處的水平方向位移大小s＝v0
嘗試解答
〔多選〕如圖所示，兩個傾角分別為30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，兩斜面間距大于小球直徑，斜面高度相等。有三個完全相同的小球a、b、c，開始均靜止于同一高度處，其中b小球在兩斜面之間，a、c兩小球在斜面頂端。若同時釋放，小球a、b、c到達該水平面的時間分別為t1、t2、t3。若同時沿水平方向拋出，初速度方向如圖所示，小球a、b、c到達該水平面的時間分別為t1'、t2'、t3'。下列關于這些時間的關系正確的是（　　）
A.t1＞t3＞t2　 B.t1＝t1'、t2＝t2'、t3＝t3'
C.t1'＞t2'＞t3' D.t1＜t1'、t2＜t2'、t3＜t3'
嘗試解答
第2講　拋體運動
【立足“四層”·夯基礎】
基礎知識梳理
知識點1
1.重力　2.勻加速　拋物線　3.水平方向　重力
4.勻速直線　自由落體
知識點2
1.勻速直線　v0　v0t　2.自由落體　gt　gt2　3.（1）
（2）
知識點3
1.斜向上方　斜向下方　重力　2.重力加速度g　拋物線
易錯易混辨析
1.×　2.×　3.√　4.√　5.√
雙基落實筑牢
1.A　由h＝gt2得落地時間為t＝＝2 s，故A正確；落地時豎直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地時速度為v＝＝10 m/s，故B錯誤；落地時速度方向與水平地面夾角的正切值tan θ＝＝2，故C錯誤；物體的水平位移x＝v0t＝20 m，物體的位移為s＝＝20 m，故D錯誤。
2.A　水在空中的運動為斜拋運動，只受重力作用，則a、b加速度相同，均為重力加速度，A正確；噴泉由出射點到落地的過程，由h＝gt2與對稱性可知，噴泉a在空中運動的時間小于噴泉b在空中運動的時間，D錯誤；噴泉在最高點的速度等于水平分速度，結合x水平＝v0xt可知兩噴泉在最高點的速度不相同，C錯誤；由噴泉軌跡可知兩噴泉出射點的速度方向不同，則兩噴泉的初速度不同，B錯誤。
【著眼“四翼”·探考點】
考點一
【例1】 D　根據平拋運動規律，知水平方向和豎直方向的位移公式為x＝v0t，h＝gt2，聯立可得v0＝x，套中Ⅰ號物品時，x位移較小，h下落高度較大，可知套環被拋出的速度v0一定較小，A錯誤；根據重力做功表達式W＝mgh可知，套中Ⅰ號物品時h下落高度較大，重力對套環做功較大，B錯誤；根據平拋運動規律，豎直方向的位移公式h＝gt2可得t＝，套中Ⅱ號物品，h下落高度較小，所以，套環飛行時間較短，C錯誤；套中物品過程中，由動能定理得mgh＝ΔEk，套中Ⅱ號物品，h下落高度較小，重力做功較小，可知套環動能變化量較小，D正確。
【例2】 B　水平方向：d＝v0t，豎直方向：h＝gt2，代入數據得：h＝5 m，B正確。
考教銜接
　5 m/s
【例3】 A　根據平拋運動推論，速度方向的反向延長線過水平位移的中點可得tan 60°＝，tan 30°＝，聯立得＝，故B錯誤；飛鏢打在靶上b點時的豎直分速度為vby＝，飛鏢打在靶上b點時速度vb＝＝2，飛鏢打在靶上c點時的豎直分速度為vcy＝＝，飛鏢打在靶上c點時速度vc＝＝2＝vb，故A正確；兩飛鏢在空中下落的高度不同，可知在空中運動時間不相同，故C錯誤；根據x＝v0t，兩飛鏢在空中通過的水平位移相同，但運動時間不同，可知兩飛鏢離開手時，速度大小不相同，故D錯誤。
考點二
【例4】 BD　O與P的豎直距離一定，從O到P的過程中，秧苗乙的豎直分運動是自由落體運動，秧苗甲的豎直分運動是豎直上拋運動，秧苗乙用時短，所以秧苗乙先經過P點，若甲的初速度變大而拋出的角度不變則運動到P點同一高度時間變大，水平速度分量變大，則水平位移變大，此時秧苗甲不會落在P點，故A、C錯誤，B正確；O與P的水平距離一定，秧苗乙用時短，所以秧苗乙的初速度一定大于秧苗甲的初速度的水平分量，故D正確。
【例5】 C　水的初速度可以分解為vx＝vcos θ，vy＝vsin θ，水在空中運動的時間為t＝，則水平射程為s＝vcos θ·t＝vcos θ·＝，所以當v一定時，拋射角為θ＝45°時，射程s最大，最大值為，故A錯誤；只有θ一定時，v越大，射程s越大，故B錯誤；當v一定時，由t＝知，θ＝90°時，水在空中的時間最長，θ＝45°時，噴灌射程最遠，C正確；水在空中上升的最大高度H＝，當θ＝60°和30°時，噴灌射程相同時，水在空中上升的最大高度不相同，D錯誤。
【聚焦“素養”·提能力】
【典例1】 ABC　小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度方向垂直，小球做類平拋運動，其運動軌跡為拋物線，故A正確；根據牛頓第二定律知，小球的加速度a＝＝gsin θ，故B正確；小球在沿加速度方向上的位移為，根據＝at2，解得t＝ ，故C正確；小球在沿初速度方向的位移x＝v0t＝ ，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移y＝cos θ＝，則小球在到達B處的水平方向的總位移s＝＞ ＞v0，故D錯誤。
【典例2】 AB　第一種情況，b球做自由落體運動，a、c兩球均做勻加速運動。設斜面的高度為h，對a球有＝gsin 30°·，對b球有h＝g，對c球有＝gsin 45°·，由數學知識得t1＞t3＞t2。第二種情況，a、c兩個球都做類平拋運動，沿斜面方向都向下做初速度為零的勻加速直線運動，a的加速度為gsin 30°，c的加速度為gsin 45°，b球做平拋運動，對a球有＝gsin 30°·t1'2，對b球有h＝gt2'2，對c球有＝gsin 45°·t3'2，比較可知t1＝t1'，t2＝t2'，t3＝t3'，t1'＞t3'＞t2'，故A、B正確，C、D錯誤。
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第2講　拋體運動
高中總復習·物理
目 錄
01
立足”四層”·夯基礎
02
著眼“四翼”·探考點
03
聚焦“素養”·提能力
04
培養“思維”·重落實
概念 公式 定理
立足“四層”·夯基礎
平拋運動
1. 定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在 作用下
的運動。
2. 性質：平拋運動是加速度為g的 曲線運動，其運動軌跡
是 。
3. 平拋運動的條件：v0≠0，沿 ，只受 作用。
重力　
勻加速　
拋物線　
水平方向　
重力　
4. 研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的 運動和豎直方
向的 運動。
勻速直線　
自由落體　
平拋運動規律
如圖所示，以拋出點為原點，以水平方向（初速度v0方向）為x軸，以豎直向下的方向為y軸建立平面直角坐標系，則
1. 水平方向：做 運動，速度vx＝ ，
位移x＝ 。
勻速直線　
v0　
v0t　
2. 豎直方向：做 運動，速度vy＝ ，位移y＝ 。
自由落體　
gt　
gt2　
3. 合運動
（1）合速度：v＝，設方向與水平方向夾角為θ，則tan θ＝
＝ 。
（2）合位移：s＝，設方向與水平方向夾角為α，則tan α＝
＝ 。
　
　
斜拋運動
1. 定義：將物體以初速度v0沿 或 拋出，物體只
在 作用下的運動。
2. 性質：加速度為 的勻變速曲線運動，軌跡是
。
斜向上方　
斜向下方　
重力　
重力加速度g　
拋物
線　
（1）如果運動最后末位置在最高點、速度水平，則將斜拋運動等效處
理，等效為逆向平拋運動。
（2）如果運動最后末位置物體處于下落狀態，與拋出點等高，利用斜拋
運動的對稱性，同時將斜拋運動分割成由最高點開始的平拋運動，再充分
利用對稱性分析。
3. 研究方法
1. 以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。 （　×　）
2. 平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻
變化。 （　×　）
3. 從同一高度做平拋運動的物體初速度越大，落地時速度越大。
（　√　）
4. 平拋運動的時間由高度決定。 （　√　）
5. 斜拋運動是勻變速曲線運動。 （　√　）
×
×
√
√
√
1. （人教版必修第二冊·第五章第4節“例題1”改編）將一個物體以10 m/s
的速度從20 m的高度水平拋出（不計空氣阻力，取g＝10 m/s2），下列說
法正確的是（　　）
A. 落地時間為2 s
B. 落地時速度為20 m/s
C. 落地時速度方向與水平地面夾角的正切值為
D. 物體的位移為20 m
√
解析： 　由h＝gt2得落地時間為t＝＝2 s，故A正確；落地時豎直分
速度vy＝gt＝20 m/s，落地時速度為v＝＝10 m/s，故B錯誤；
落地時速度方向與水平地面夾角的正切值tan θ＝＝2，故C錯誤；物體的
水平位移x＝v0t＝20 m，物體的位移為s＝＝20 m，故D錯誤。
2. （2024·江蘇高考4題）噴泉a、b出射點高度相同，形成如圖所示的形
狀，不計空氣阻力，則噴泉a、b的（　　）
A. 加速度相同 B. 初速度相同
C. 最高點的速度相同 D. 在空中運動的時間相同
√
解析： 水在空中的運動為斜拋運動，只受重力作用，則a、b加速度相
同，均為重力加速度，A正確；噴泉由出射點到落地的過程，由h＝gt2與
對稱性可知，噴泉a在空中運動的時間小于噴泉b在空中運動的時間，D錯
誤；噴泉在最高點的速度等于水平分速度，結合x水平＝v0xt可知兩噴泉在最
高點的速度不相同，C錯誤；由噴泉軌跡可知兩噴泉出射點的速度方向不
同，則兩噴泉的初速度不同，B錯誤。
題型 規律 方法
著眼“四翼”·探考點
考點一　平拋運動的基本規律
1. 飛行時間：由t＝知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關。
2. 水平位移：x＝v0t＝v0，即水平位移由初速度v0和下落高度h共同決
定，與其他因素無關。
3. 落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度與x軸
正方向的夾角，有tan θ＝＝，所以落地速度只與初速度v0和下落
高度h有關。
因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在
任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如
圖所示。
4. 速度改變量Δv：
5. 平拋運動的兩個重要推論
（1）做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時
水平位移的中點，如圖甲所示。其推導過程為tan θ＝＝＝。
（2）做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設其速度方向與水平方
向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tan θ＝2tan α。如圖乙所
示。其推導過程為tan θ＝＝＝＝2tan α。
（2025·八省聯考云南卷）如圖所示，“套圈”活動中，某同學將相
同套環分兩次從同一位置水平拋出，分別套中Ⅰ、Ⅱ號物品。若套環可近似
視為質點，不計空氣阻力，則（　　）
A. 套中Ⅰ號物品，套環被拋出的速度較大
B. 套中Ⅰ號物品，重力對套環做功較小
C. 套中Ⅱ號物品，套環飛行時間較長
D. 套中Ⅱ號物品，套環動能變化量較小
√
解析：根據平拋運動規律，知水平方向和豎直方向的位移公式為x＝v0t，h
＝gt2，聯立可得v0＝x，套中Ⅰ號物品時，x位移較小，h下落高度較
大，可知套環被拋出的速度v0一定較小，A錯誤；根據重力做功表達式W＝
mgh可知，套中Ⅰ號物品時h下落高度較大，重力對套環做功較大，B錯誤；
根據平拋運動規律，豎直方向的位移公式h＝gt2可得t＝，套中Ⅱ號物
品，h下落高度較小，所以，套環飛行時間較短，C錯誤；套中物品過程
中，由動能定理得mgh＝ΔEk，套中Ⅱ號物品，h下落高度較小，重力做功較
小，可知套環動能變化量較小，D正確。
（2024·海南高考3題）如圖，在跨越河流表演中，一人騎車以v0＝25
m/s的速度水平沖出平臺，恰好跨越寬度為d＝25 m的河流落在河對岸平臺
上，不計空氣阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，則兩平臺的高度差h為
（　　）
A. 0.5 m B. 5 m
C. 10 m D. 20 m
解析：水平方向：d＝v0t，豎直方向：h＝gt2，代入數據得：h＝5
m，B正確。
√
本題源于人教版必修第二冊P19T4
　在水平路面上騎摩托車的人，遇到一個壕溝，其尺寸如圖所示。摩托車
后輪離開地面后失去動力，可以視為平拋運動。摩托車后輪落到壕溝對面
才算安全。摩托車的速度至少要多大才能越過這個壕溝？g取10 m/s2。
答案：5 m/s
（2025·福建莆田模擬）如圖，某人從O點對準正前方豎直靶上的a
點，分別將兩支飛鏢水平擲出，飛鏢打在靶上b、c兩點，且與豎直方向的
夾角分別為60°與30°，忽略空氣阻力，則（　　）
A. 兩飛鏢擊中靶的速度大小相同
B. a、b間距為a、c間距的一半
C. 兩飛鏢在空中運動時間相同
D. 兩飛鏢離開手時，速度大小相同
√
解析：根據平拋運動推論，速度方向的反向延長線過水平位移的中點可得
tan 60°＝，tan 30°＝，聯立得＝，故B錯誤；飛鏢打在靶上b點
時的豎直分速度為vby＝，飛鏢打在靶上b點時速度vb＝＝
2，飛鏢打在靶上c點時的豎直分速度為vcy＝＝，飛
鏢打在靶上c點時速度vc＝＝2＝vb，故A正確；兩飛鏢在空
中下落的高度不同，可知在空中運動時間不相同，故C錯誤；根據x＝v0t，
兩飛鏢在空中通過的水平位移相同，但運動時間不同，可知兩飛鏢離開手
時，速度大小不相同，故D錯誤。
　〔多選〕（2025·遼寧朝陽模擬）投壺是古代士大夫所做的一種投射游
戲。《禮記傳》中提到：“投壺，射之細也。宴飲有射以樂賓，以習容而
講藝也。”若甲、乙兩人站在距壺相同水平距離處沿水平方向各投出一支
完全相同的箭，箭尖插入同一個壺中時與水平面的夾角分別為53°和
37°，忽略空氣阻力、箭長、壺的高度、壺口大小等因素的影響，下列說
法正確的是（　　）
A. 甲所投箭的初速度大小比乙的大
B. 甲所投箭的位置比乙所投箭的位置高
C. 甲、乙所投的箭在空中運動的時間相等
D. 此運動過程中，甲所投箭的速度的變化量比乙大
√
√
解析： 　設箭拋出點離壺口的豎直高度為h，水平距離為x，箭尖插入壺
中時與水平面的夾角為θ。箭在空中做平拋運動，根據平拋運動的推論，
速度的反向延長線過水平位移的中點，可知tan θ＝＝，x相同，h越大，
θ越大，則可知甲所投箭的位置比乙的高，根據h＝gt2可知，甲所投的箭
在空中運動的時間比乙的長，故B正確，C錯誤；x相等，甲所投的箭在空
中運動的時間比乙的長，由x＝v0t，可知，則甲所投箭的初速度大小比乙
的小，故A錯誤；速度變化量Δv＝gt，甲所投的箭在空中運動的時間比乙
的長，則甲所投箭的速度變化量比乙的大，故D正確。
考點二　斜拋運動
1. 斜上拋運動的分析
利用運動的合成與分解分析：斜上拋運動可看作沿水平方向的勻速直線運
動和沿豎直方向的豎直上拋運動的合運動。
以拋出點為坐標原點O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方
向，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy。
初速度可以分解為v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。在水平方向，物體的速度和
位移分別為
vx＝v0x＝v0cos θ ①
x＝v0xt＝v0cos θ·t ②
在豎直方向，物體的速度和位移分別為
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ③
y＝v0yt－gt2＝v0sin θ·t－gt2 ④
2. 斜上拋運動的極值
在最高點，vy＝0，由③式得t＝ ⑤
將⑤式代入④式得物體的射高ym＝ ⑥
物體落回與拋出點同一高度時，有y＝0，
由④式得總時間t總＝　⑦
將⑦式代入②式得物體的射程xm＝
當θ＝45°時，sin 2θ最大，射程最大。
3. 斜上拋運動問題的處理技巧
（1）對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動，可逆向看成平拋運動。
（2）分析完整的斜上拋運動時，可根據對稱性求解某些問題。
〔多選〕（2025·遼寧大連模擬）種植水稻需育苗插秧，這是傳統的
做法；而如今農民一改“面朝稻田背朝天”的傳統手工插秧轉而用水稻拋
秧。水稻拋秧需要軟盤育秧，拋秧時村民把手中秧苗拋向半空，挾帶營養
土塊的秧苗，在重力作用下均勻地降落到水田中。拋秧相比傳統人工插
秧，具有省秧苗、省勞力、省成本等很多優點。某次拋秧時秧苗甲與秧苗
乙同時拋出，軌跡如圖所示，拋出點均為O點，秧苗乙做平拋運動，秧苗
甲做斜拋運動，兩個軌跡相交于P點，不計空氣阻力，則（　　）
A. 秧苗甲與秧苗乙同時到達P點
B. 秧苗乙先經過P點
C. 只要秧苗甲的初速度足夠大就可以先經過P點
D. 秧苗乙的初速度一定大于秧苗甲的初速度的水平分量
√
√
解析：O與P的豎直距離一定，從O到P的過程中，秧苗乙的豎直分運動是
自由落體運動，秧苗甲的豎直分運動是豎直上拋運動，秧苗乙用時短，所
以秧苗乙先經過P點，若甲的初速度變大而拋出的角度不變則運動到P點同
一高度時間變大，水平速度分量變大，則水平位移變大，此時秧苗甲不會
落在P點，故A、C錯誤，B正確；O與P的水平距離一定，秧苗乙用時短，
所以秧苗乙的初速度一定大于秧苗甲的初速度的水平分量，故D正確。
（2025·南通第一次調研）某噴灌機進行農田噴灌的示意圖如圖所
示，噴頭出水速度的大小和方向均可調節。設噴頭出水速度大小為v，方向
與水平地面的夾角為θ，忽略噴頭距離地面的高度及空氣阻力，則（　　）
A. v越大，噴灌的射程越遠
B. θ越大，噴灌的射程越遠
C. 噴灌射程最遠時，水在空中的時間不是最長
D. 噴灌射程相同時，水在空中上升的最大高度相同
√
解析：水的初速度可以分解為vx＝vcos θ，vy＝vsin θ，水在空中運動的時間
為t＝，則水平射程為s＝vcos θ·t＝vcos θ·＝，所以當v一定
時，拋射角為θ＝45°時，射程s最大，最大值為，故A錯誤；只有θ一定
時，v越大，射程s越大，故B錯誤；當v一定時，由t＝知，θ＝90°
時，水在空中的時間最長，θ＝45°時，噴灌射程最遠，C正確；水在空中
上升的最大高度H＝，當θ＝60°和30°時，噴灌射程相同時，
水在空中上升的最大高度不相同，D錯誤。
　（2025·河北邯鄲模擬）如圖所示，某噴泉中間有一噴水口豎直向上噴
水，外面的噴水口環繞成一個圓形，圓的半徑為10 m，調節噴水孔的噴射
角度，讓噴出的水全部匯聚到中間噴水口，并且讓外圈的水最高噴射5
m，若g取10 m/s2，不考慮空氣阻力，則外圈噴出水的合速度的大小為（　）
A. 5 m/s
B. 5 m/s
C. 10 m/s
D. 15 m/s
√
解析： 　外圈噴水口噴出水的運動可以簡化為斜拋運
動，如圖所示，將此運動分解為水平、豎直兩個方向，豎
直方向為豎直上拋運動，水平方向為勻速直線，豎直方向
噴水高度為y＝g，豎直方向上升和下降過程具有對稱性，則總時間為t＝2t1＝2 s，水平速度v2＝ m/s＝5 m/s，豎直速度vy＝gt1＝10 m/s，則外圈噴出水的合速度大小為v＝＝5 m/s，故選A。
現實 科技 應用
聚焦“素養”·提能力
類平拋運動
1. 類平拋運動與平拋運動的區別
做平拋運動的物體初速度水平，物體只受與初速度垂直的豎直向下的重
力，a＝g；做類平拋運動的物體初速度不一定水平，但物體所受合力與初
速度的方向垂直且為恒力，a＝。
2. 求解方法
（1）常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和
垂直于初速度方向（即沿合力方向）的勻加速直線運動。
（2）特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標
系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向
上列方程求解。
〔多選〕如圖，一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h，現有一小球
在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下列說法正確的是（　　）
A. 小球的運動軌跡為拋物線
B. 小球的加速度為gsin θ
C. 小球從A處到達B處所用的時間為
D. 小球到達B處的水平方向位移大小s＝v0
√
√
√
解析：小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度方向
垂直，小球做類平拋運動，其運動軌跡為拋物線，故A正確；根據牛頓第
二定律知，小球的加速度a＝＝gsin θ，故B正確；小球在沿加速度方
向上的位移為，根據＝at2，解得t＝ ，故C正確；小球在沿
初速度方向的位移x＝v0t＝ ，小球在沿加速度方向的位移的水平分
位移y＝cos θ＝，則小球在到達B處的水平方向的總位移s＝
＞ ＞v0，故D錯誤。
〔多選〕如圖所示，兩個傾角分別為30°、45°的光滑斜面放在同
一水平面上，兩斜面間距大于小球直徑，斜面高度相等。有三個完全相同
的小球a、b、c，開始均靜止于同一高度處，其中b小球在兩斜面之間，a、
c兩小球在斜面頂端。若同時釋放，小球a、b、c到達該水平面的時間分別
為t1、t2、t3。若同時沿水平方向拋出，初速度方向如圖所示，小球a、b、c
到達該水平面的時間分別為t1'、t2'、t3'。下列關于這些時間的關系正確的
是（　　）
A. t1＞t3＞t2 B. t1＝t1'、t2＝t2'、t3＝t3'
C. t1'＞t2'＞t3' D. t1＜t1'、t2＜t2'、t3＜t3'
√
√
解析：第一種情況，b球做自由落體運動，a、c兩球均做勻加速運動。設斜
面的高度為h，對a球有＝gsin 30°·，對b球有h＝g，對c球有
＝gsin 45°·，由數學知識得t1＞t3＞t2。第二種情況，a、c兩個
球都做類平拋運動，沿斜面方向都向下做初速度為零的勻加速直線運動，
a的加速度為gsin 30°，c的加速度為gsin 45°，b球做平拋運動，對a球有
＝gsin 30°·t1'2，對b球有h＝gt2'2，對c球有＝gsin
45°·t3'2，比較可知t1＝t1'，t2＝t2'，t3＝t3'，t1'＞t3'＞t2'，故A、B正確，C、
D錯誤。
培養“思維”·重落實
夯基 提能 升華
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1. 如圖所示，兒童在公園里玩水槍，她握緊槍桿保持水平，水源源不斷地
沿水平方向射出。若槍口距地面的高度為h，水從水槍的管口噴出的速度
恒為v，管口水流橫截面積為S，重力加速度為g，則水流穩定后在空中的體
積為（　　）
A. Sv B. Sv
C. S D. S
√
解析： 　以t表示水由管口處到落地所用的時間，有h＝gt2，單位時間內
噴出的水量為Q＝Sv，空中水的總量應為V＝Qt，由以上各式得V＝
Sv，所以A正確，B、C、D錯誤。
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2. （2024·湖北高考3題）如圖所示，有五片荷葉伸
出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉
上，設低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面
內，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、
d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到（　　）
A. 荷葉a B. 荷葉b
C. 荷葉c D. 荷葉d
√
解析： 水平方向：x＝v0t，豎直方向：h＝gt2，解得v0＝因為最
小，所以v0c最小，故C正確。
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3. （2025·廣東湛江二模）如圖所示，某同學
在籃筐前某位置跳起投籃。籃球出手點離水平
地面的高度h＝1.8 m。籃球離開手的瞬間到籃
筐的水平距離為5 m，水平分速度大小v＝10 m/s，
要使籃球到達籃筐時，豎直方向的分速度剛好為
零。將籃球看成質點，籃筐大小忽略不計，忽略空氣阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。籃筐離地面的高度為（　　）
A. 2.85 m B. 3.05 m
C. 3.25 m D. 3.5 m
√
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解析： 　籃球離開手到籃筐的時間為t＝＝ s＝0.5 s，要使籃球到達籃
筐時，豎直方向的分速度剛好為零，則有＝2g（H－h），vy＝gt，聯立
解得H＝3.05 m，故選B。
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4. （2024·新課標卷15題）福建艦是我國自主設計建造的首艘彈射型航空
母艦。借助配重小車可以進行彈射測試，測試時配重小車被彈射器從甲板
上水平彈出后，落到海面上。調整彈射裝置，使小車水平離開甲板時的動
能變為調整前的4倍。忽略空氣阻力，則小車在海面上的落點與其離開甲
板處的水平距離為調整前的（　　）
A. 0.25倍 B. 0.5倍
C. 2倍 D. 4倍
解析： 　因＝，由Ek＝mv2得＝，又因為h＝gt2，x＝vt，所以＝
，C正確。
√
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5. （2025·福建泉州模擬）如圖所示，從水池里同一位置噴出兩水柱A、
B，分別落在水平面上的M、N兩點，兩水柱運動的最大高度相同，如圖所
示。不計空氣阻力，對比水柱A、B（　　）
A. A在空中運動的時間比B長
B. B在空中運動的時間比A長
C. 在空中運動過程中B速度變化更大
D. A、B加速度始終相等
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解析： 　兩水柱A、B做斜拋運動，在豎直方向為豎直上拋運動，則在豎
直方向有h＝gt2，解得t＝，由于豎直高度相同，可得在空中運動時間
相同，故A、B錯誤；水柱在空中做斜上拋運動，合力為重力，因此A、B
加速度均為g，則速度變化為Δv＝gΔt，所以，兩水柱A、B速度變化相同，
故C錯誤，D正確。
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6. 〔多選〕（2024·江西高考8題）一條河流某處存在高度差，小魚從低處
向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸
沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在
此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直
位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可
能正確的是（　　）
√
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解析： 　由于小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做
勻速直線運動，即vx為一定值，則有x＝vxt，A可能正確，C錯誤；小魚在
豎直方向上做豎直上拋運動，則有y＝v0yt－gt2，vy＝v0y－gt，且vy最終減
為0，B錯誤，D可能正確。
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7. （2024·浙江1月選考8題）如圖所示，小明取山泉水時發現水平細水管
到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中
心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的
速度大小為（　　）
A. B.
C. D. （＋1）D
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解析： 　設出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0，落到桶底A點時x＋
＝v0，解得v0＝，故選C。
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8. 如圖所示，運動員將網球從O點以速度v0水平擊出，網球經過M點時速
度方向與豎直方向的夾角為60°，落到水平地面上的N點時速度方向與豎
直方向的夾角為45°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正
確的是（　　）
A. O點距水平地面的高度為
B. M點距水平地面的高度為
C. 網球從O點運動到N點的時間為
D. O、N兩點間的水平距離為
√
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解析： 　根據平拋運動規律可知，網球在M點時的豎直分速度vMy＝
＝，在N點時的豎直分速度vNy＝＝v0，則O點距水平地面
的高度hO＝，故A錯誤；M點距水平地面的高度hM＝＝，故
B錯誤；網球從O點運動到N點的時間t＝，故C正確；O、N兩點間的水平
距離x＝v0t＝，故D錯誤。
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9. （2025·湖北黃岡二模）如圖所示，小球A從地面向上斜
拋，拋出時的速度大小為10 m/s，方向與水平方向夾角為
53°，在A拋出的同時有小球B從某高處自由下落，當A上
升到最高點時恰能擊中下落的B，不計空氣阻力，sin 53°
＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，則A、B兩球初始距離是（　　）
A. 4.8 m B. 6.4 m
C. 8.0 m D. 11.2 m
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解析： 　小球A的運動可以看成平拋運動的逆過程。水平速度為v0＝vcos
53°＝6 m/s，豎直速度為vy＝vsin 53°＝8 m/s，相遇時A球豎直方向位移
為yA＝＝3.2 m，運動時間為t＝＝0.8 s，水平方向位移為x＝v0t＝4.8
m，B球豎直方向的位移yB＝gt2＝3.2 m，初始時A、B兩球豎直距離y＝yA
＋yB＝6.4 m，根據勾股定理可得，A、B兩球初始距離為s＝＝8
m，故選C。
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10. 〔多選〕（2024·山東高考12題）如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋
射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落
點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣
阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是（　　）
A. 運動時間為2 s
B. 落地速度與水平方向夾角為60°
C. 重物離PQ連線的最遠距離為10 m
D. 軌跡最高點與落點的高度差為45 m
√
√
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解析： 　重物從P點運動到Q點的過程，水平方向上有x＝v0tcos
30°，豎直方向上有y＝－v0tsin 30°＋gt2，由幾何關系有＝tan
30°，聯立解得重物的運動時間t＝4 s，A錯誤；結合A項分析可知，
重物落地時的水平分速度vx＝v0cos 30°，豎直分速度vy＝－v0sin 30°
＋gt，則tan θ＝＝，所以重物的落地速度與水平方向夾角為
60°，B正確；對重物從P點運動到Q點的過程，垂直于PQ連線方向有
（v0sin 60°）2＝2ghmcos 30°，解得重物離PQ連線的最遠距離hm＝
10 m，C錯誤；結合B項分析，豎直方向上有＝2gym，聯立解得
重物軌跡最高點與落點的高度差ym＝45 m，D正確。
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11. 將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻
閃儀每隔0.05 s發出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好
閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影
像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s1和s2
之比為3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空氣阻力。求在拋出瞬
間小球速度的大小。
答案： m/s
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解析：設s1對應的水平位移為x，對應的豎直位移為y，則根據平拋運動的
特點可知，s2對應的水平位移也為x，對應的豎直位移為3y
有y＝g（4T）2＝0.2 m
s1＝
s2＝
＝
聯立解得x＝ m
拋出瞬間小球速度的大小為v0＝
解得v0＝ m/s。
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12. （2025·福建廈門期中）在光滑水平面內建立xOy坐標
系，質量為m＝0.25 kg的小球正沿y軸正方向做勻速運動，
其速度為v0＝2 m/s。當小球運動到原點O處時開始受到＋
x方向的恒力F作用。經一段時間小球恰能經過坐標為（4，4）的P點，求：
（1）恒力F有多大？
答案： 0.5 N　
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解析： 小球在xOy平面內，在y軸方向做勻速直線運動，在x軸方向做
初速度為零的勻加速直線運動，設小球加速度為a，經過時間t從坐標原點
到P點，則
xP＝at2
yP＝v0t
代入數據得a＝2 m/s2，t＝2 s
由牛頓第二定律得F＝ma
代入數據得恒力F＝0.5 N。
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（2）小球經過P點時的速度大小。（答案可用包含根號的表達式表示）
答案： 2 m/s
解析：小球經過P點時，沿x方向的速度
vx＝at＝4 m/s
所以小球經過P點時的速度大小vP＝＝2 m/s。
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THANKS
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