資源簡介

重難突破6　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題
1.（2025·北京豐臺(tái)期中）胎壓監(jiān)測器可以實(shí)時(shí)監(jiān)測汽車輪胎內(nèi)部的氣壓，在汽車上安裝胎壓監(jiān)測報(bào)警器，可以預(yù)防因汽車輪胎胎壓異常而引發(fā)的事故。一輛裝有胎壓報(bào)警器的載重汽車在高低不平的路面上行駛，其中一段路面的水平觀察視圖如圖所示，圖中虛線是水平線，在保證安全行駛的情況下，下列說法正確的是（　?。?br/>A.若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A、B處均應(yīng)增大行駛速度
B.若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A、B處均應(yīng)減小行駛速度
C.若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A處應(yīng)增大行駛速度
D.若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在B處應(yīng)增大行駛速度
2.（2025·四川樂山期末）如圖，一質(zhì)量為m的汽車駛上半徑為R的拱橋，到達(dá)拱橋最高點(diǎn)時(shí)的行駛速度為v且不騰空。則下列說法正確的是（　　）
A.汽車對拱橋面的壓力為mg
B.汽車在拱橋最高點(diǎn)處于超重狀態(tài)
C.拱橋?qū)ζ嚨闹С至閙g＋m
D.行駛速度大于時(shí)，汽車會(huì)騰空
3.（2025·四川成都模擬）如圖，一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，緊貼在一起的M、N兩物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)，N恰好不下滑，M恰好不滑動(dòng)，兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r，已知M與N間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為（　　）
A.μ1＋μ2＝1 B.＝1
C.μ1μ2＝1 D.＝1
4.（2025·遼寧朝陽模擬）如圖所示，在一固定、中空的圓錐零件內(nèi)部頂端用輕繩系有一小球（視為質(zhì)點(diǎn)），懸點(diǎn)到小球的距離為L?，F(xiàn)給小球一初速度，使小球恰好能在圓錐內(nèi)側(cè)面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓錐體母線與水平面的夾角為θ，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力，則該初速度大小為（　?。?br/>A. B.cos θ
C.sin θ D.
5.（2025·四川樂山期末）如圖，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO'重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且物塊與O點(diǎn)的連線與OO'之間的夾角為60°，重力加速度為g，則轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（　　）
A. B.
C. D.
6.（2025·貴州貴陽模擬）某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為1 kg的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，其簡化示意圖如圖所示。握繩的手離地面高度為1.0 m且保持不變，現(xiàn)不斷改變繩長使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，每次繩在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)都恰好達(dá)到最大拉力被拉斷，球以繩斷時(shí)的速度水平飛出，通過水平距離x后落地。已知繩能承受的最大拉力為15 N，重力加速度大小g取10 m/s2，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力，則x的最大值為（　　）
A.0.4 m B.0.5 m
C.1.0 m D.1.2 m
7.（2025·山東濟(jì)寧期末）如圖所示，長度為4L的輕桿兩端分別固定小球A、B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），小球A、B的質(zhì)量分別為m、3m，桿上距A球L處的O點(diǎn)套在光滑的水平轉(zhuǎn)軸上，桿可繞水平轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)A、B兩球靜止在圖示位置時(shí)，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為F1；當(dāng)A、B兩球轉(zhuǎn)動(dòng)至圖示位置時(shí)，桿OA部分恰好不受力，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為F2。忽略空氣阻力，則F1與F2的比值為（　?。?br/>A.1∶12 B.1∶4
C.1∶3 D.4∶9
8.（2025·山西太原模擬）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤與水平桌面的夾角為θ，圓盤的半徑為R，圓盤邊緣處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＞3tan θ，小物塊經(jīng)過圓盤的最低點(diǎn)A處時(shí)受到的摩擦力大小為最大靜摩擦力的。已知小物塊的質(zhì)量為m，取最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g，則小物塊經(jīng)過圓盤最高點(diǎn)B處時(shí)，下列說法正確的是（　?。?br/>A.小物塊恰好不受圓盤面的摩擦力
B.小物塊受到的摩擦力方向沿BO方向
C.小物塊受到的摩擦力大小為μmg－2mgsin θ
D.小物塊受到的向心力大小為μmgcos θ－2mgsin θ
9.（2025·江西宜春期中）有一豎直轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸上不同高度處的兩點(diǎn)分別系有一長為2l和l的細(xì)繩，細(xì)繩另一端分別系有質(zhì)量均為m的小球A和B，與A球相連的繩子系得更高，將小球放置在光滑的水平桌面上，使小球隨轉(zhuǎn)軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)逐漸增大轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速，直到兩小球均離開桌面，則下列說法正確的是（　　）
A.B球比A球先離開桌面
B.兩球同時(shí)離開桌面
C.將與A球連接的繩子更換為3l長，則A球?qū)⒑箅x開桌面
D.將與A球連接的繩子更換為3l長，A球兩次離開桌面時(shí)的轉(zhuǎn)速相同
10.〔多選〕（2025·陜西咸陽模擬）某國家體育訓(xùn)練基地中有一臺(tái)我國自主研發(fā)，世界首創(chuàng)的轉(zhuǎn)盤滑雪訓(xùn)練機(jī)。運(yùn)動(dòng)員的某次訓(xùn)練過程可簡化為如圖所示的模型，轉(zhuǎn)盤滑雪訓(xùn)練機(jī)繞垂直于盤面的固定轉(zhuǎn)軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面邊緣處離轉(zhuǎn)軸距離為r的運(yùn)動(dòng)員（可視為質(zhì)點(diǎn)）始終相對于盤面靜止。已知運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)恰好不受摩擦力，接觸面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，盤面與水平面的夾角為θ，重力加速度大小為g，則下列說法正確的是（　　）
A.圓盤的角速度大小為
B.運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)受到的摩擦力大小為2mgsin θ
C.運(yùn)動(dòng)員與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)可能小于tan θ
D.若僅減小圓盤的轉(zhuǎn)速，則運(yùn)動(dòng)員可能相對于圓盤滑動(dòng)
11.〔多選〕（2025·遼寧大連模擬）過山車是一種緊張刺激的娛樂項(xiàng)目，但未經(jīng)訓(xùn)練的普通人，在向上的加速度達(dá)到大約5倍重力加速度時(shí)，由于血液向下運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致頭部缺血，就會(huì)發(fā)生暈厥。圖甲為某地過山車軌道，其中回環(huán)部分是半徑為R的經(jīng)典圓環(huán)軌道，A為圓軌道最高點(diǎn)、B為最低點(diǎn)；圖乙為另一處過山車軌道，其回環(huán)部分是倒水滴形軌道，上半部分是半徑為R的半圓軌道、C為最高點(diǎn)，下半部分為兩個(gè)半徑為2R的四分之一圓弧軌道、D為最低點(diǎn)。若載人過山車可視為質(zhì)點(diǎn)，分別從兩軌道頂峰處由靜止下降，經(jīng)過A、C兩點(diǎn)時(shí)均和軌道沒有相互作用力，兩點(diǎn)B、D等高，忽略空氣阻力和摩擦。則下列說法正確的是（　?。?br/>A.圖甲過山車軌道比圖乙軌道更安全
B.圖乙過山車軌道比圖甲軌道更安全
C.圖甲軌道的頂峰高度比圖乙軌道的頂峰高度低R
D.圖甲過山車經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度等于圖乙過山車經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度
12.（2025·北京朝陽二模）如圖所示，水平圓臺(tái)可以繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓臺(tái)中心兩側(cè)放上甲、乙兩物體，兩物體的質(zhì)量均為m，均可視為質(zhì)點(diǎn)，甲、乙兩物體到圓臺(tái)中心距離分別為2R、R，其連線過圓臺(tái)中心。兩物體與圓臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。
（1）若圓臺(tái)以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)。求兩物體的加速度之比a甲∶a乙；
（2）若圓臺(tái)的角速度逐漸增大，請分析說明甲、乙兩物體誰先滑動(dòng)；
（3）若將甲、乙兩物體用不可伸長的輕繩連接，輕繩最初拉直而不張緊，緩慢增加圓臺(tái)的轉(zhuǎn)速，求兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。
13.（2025·黑龍江哈爾濱模擬）如圖所示，一水平圓盤繞豎直中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，緊貼在一起的M、N兩物體（均可視為質(zhì)點(diǎn)）隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)，物體N與圓盤未接觸。已知兩物體與轉(zhuǎn)軸間的距離r＝0.5 m，特殊材料制作的物體M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝1.8，物體M、N間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1＝0.8，各接觸面間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小取g＝10 m/s2。
（1）為了使物體N不下滑，求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω1；
（2）為了使物體M、N整體不相對于盤面滑動(dòng)，求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度ω2。
重難突破6　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題
1.D　在A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)，汽車的向心加速度分別是向上和向下，所以在A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)汽車分別處于超重狀態(tài)和失重狀態(tài)，在A點(diǎn)時(shí)，有FA－mg＝m，得FA＝mg＋m，在B點(diǎn)時(shí)，有mg－FB＝m，得FB＝mg－m，可知若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A處應(yīng)減少行駛速度，汽車在B處應(yīng)增大行駛速度。故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。
2.D　根據(jù)牛頓第二定律知汽車在拱橋最高點(diǎn)時(shí)，有mg－N＝m，則拱橋?qū)ζ嚨闹С至镹＝mg－m，根據(jù)牛頓第三定律知，汽車對拱橋面的壓力為N'＝mg－m＜mg，在最高點(diǎn)處于失重狀態(tài)，故A、B、C錯(cuò)誤；汽車在恰好離開橋頂時(shí)，有N＝0，根據(jù)mg＝m，解得汽車做離心運(yùn)動(dòng)離開橋頂時(shí)的臨界速度為，故當(dāng)行駛速度大于時(shí)，汽車會(huì)騰空，故D正確。
3.C　以M、N兩物體組成的整體為研究對象，受力分析如圖甲所示，由靜摩擦力提供向心力可得μ2（mM＋mN）g＝（mM＋mN）ω2r，以N為研究對象，受力分析如圖乙所示。
　　　
由M對N的彈力提供向心力，則有FN＝mNω2r，由平衡條件可得μ1FN＝mNg，聯(lián)立解得μ1μ2＝1，故選C。
4.B　當(dāng)小球恰好能在圓錐內(nèi)側(cè)面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球?qū)A錐內(nèi)表面的壓力為零，此時(shí)繩子的拉力與重力的合力提供向心力，即＝＝，解得v＝cos θ，故選B。
5.A　對小物塊受力分析，小物塊受重力和罐壁的支持力，由牛頓第二定律可得mgtan 60°＝mRsin 60°，解得ω0＝，故選A。
6.B　設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，已知h＝1 m，F(xiàn)max＝15 N，m＝1 kg，則繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向，小球做自由落體運(yùn)動(dòng)有h－r＝gt2，F(xiàn)max－mg＝m，x＝vmaxt，聯(lián)立得x＝，可知，當(dāng)r＝0.5 m時(shí)x值最大，xm＝0.5 m，故選B。
7.C　當(dāng)A、B兩球靜止在圖示位置時(shí)，對整體由平衡條件得F1'＝mg＋3mg＝4mg，由牛頓第三定律可知，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為F1＝F1'＝4mg，當(dāng)A、B兩球轉(zhuǎn)動(dòng)至圖示位置時(shí)，桿OA部分恰好不受力，對A球mg＝mω2L，對B球F2'－3mg＝3mω2·3L，聯(lián)立解得F2'＝12mg，由牛頓第三定律可知F2＝F2'＝12mg，則＝，故選C。
8.B　小物塊在A處時(shí)，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R，在B點(diǎn)時(shí)，設(shè)摩擦力方向指向O點(diǎn)，則f＋mgsin θ＝mω2R，解得f＝μmgcos θ－2mgsin θ，因?yàn)棣蹋?tan θ，所以f＞0，則小物塊受到的摩擦力方向沿BO方向。小物塊受到的摩擦力大小為μmgcos θ－2mgsin θ，小物塊受到的向心力大小為μmgcos θ－mgsin θ，選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
9.D　小球離開桌面時(shí)，設(shè)繩子與豎直方向夾角為θ，則mgtan θ＝mω2R，又tan θ＝，聯(lián)立可得ω2＝，A球繩子懸點(diǎn)更高，故A球先離開桌面，離開桌面時(shí)的角速度與繩長無關(guān)，則離開桌面時(shí)的轉(zhuǎn)速與繩長無關(guān)，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。
10.AB　運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)恰好不受摩擦力，則有mgsin θ＝mω2r，解得圓盤的角速度大小為ω＝，故A正確；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)受到的摩擦力最大，根據(jù)牛頓第二定律可得fm－mgsin θ＝mω2r，解得fm＝mgsin θ＋mω2r＝2mgsin θ，又fm＝μN(yùn)＝μmgcos θ，可得運(yùn)動(dòng)員與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足μ≥2tan θ，故B正確，C錯(cuò)誤；若僅減小圓盤的轉(zhuǎn)速，即角速度減小，運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)時(shí)有fm'＝mgsin θ＋mω2r，可知隨著角速度的減小，運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)受到的靜摩擦力減小，當(dāng)角速度減小為0時(shí)，根據(jù)受力平衡可知，摩擦力大小為f＝mgsin θ＜fm＝2mgsin θ，可知運(yùn)動(dòng)員不可能相對于圓盤滑動(dòng)，故D錯(cuò)誤。
11.BCD　已知過山車經(jīng)過A、C兩點(diǎn)時(shí)和軌道沒有相互作用力，在A、C兩點(diǎn)均是重力剛好提供向心力，則有mg＝，mg＝，解得vA＝vC＝，故D正確；分別運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)B、D兩點(diǎn)時(shí)，人所受加速度最大。對圖甲圓環(huán)軌道，由動(dòng)能定理得mg·2R＝m－m，經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)加速度aB＝，聯(lián)立解得aB＝5g，圖甲過山車軌道存在安全隱患。對圖乙倒水滴形軌道，由動(dòng)能定理得mg·3R＝m－m，經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)加速度aD＝，解得aD＝3.5g＜5g，故圖乙過山車軌道比圖甲軌道更安全，故A錯(cuò)誤，B正確；相同載人過山車在頂峰處動(dòng)能為0，經(jīng)A、C兩點(diǎn)時(shí)動(dòng)能相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mgh甲＝EkA＋mg·2R，mgh乙＝EkC＋mg·3R，其中EkA＝EkC，可得h乙－h(huán)甲＝R，即圖甲軌道的頂峰高度比圖乙軌道的頂峰高度低R，故C正確。
12.（1）2∶1?。?）甲?。?）
解析：（1）若圓臺(tái)以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)，根據(jù)向心加速度a＝ω2r
可得兩物體的加速度之比a甲∶a乙＝2R∶R＝2∶1。
（2）若圓臺(tái)的角速度逐漸增大，根據(jù)μmg＝mr
可得ω0＝
因甲物體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑較大，臨界角速度較小，可知甲物體先滑動(dòng)。
（3）兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)，甲受最大靜摩擦力指向圓心，乙受最大靜摩擦力背離圓心，則對甲，有
T＋μmg＝mω2·2R，對乙，有T－μmg＝mω2R
解得兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝。
13.（1）5 rad/s?。?）6 rad/s
解析：（1）設(shè)物體N的質(zhì)量為m1，物體N不下滑時(shí)對物體N受力分析，豎直方向上有f1＝m1g
水平方向上有FN1＝m1r
其中f1＝μ1FN1
解得ω1＝5 rad/s。
（2）設(shè)物體M的質(zhì)量為m2，對物體M、N整體受力分析，豎直方向上有FN2＝（m1＋m2）g
水平方向上有f2＝（m1＋m2）r
其中f2＝μ2FN2
解得ω2＝6 rad/s。
4 / 4　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題
突破點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題
物體間恰好不發(fā)生相對滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。
如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝，靜摩擦力的方向一定指向圓心。
2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題
（1）兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
（2）繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。
發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)的臨界問題
（2025·安徽淮北模擬）港珠澳大橋總長約55 km，是世界上總體跨度最長、鋼結(jié)構(gòu)橋體最長、海底沉管隧道最長的路海大橋，設(shè)計(jì)時(shí)速100 km/h。如圖所示，該路段是港珠澳大橋的一段半徑r＝150 m的圓弧形彎道，總質(zhì)量m＝1 800 kg的汽車通過該圓弧形彎道時(shí)以速度v＝90 km/h做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（汽車可視為質(zhì)點(diǎn)，路面視為水平且不考慮車道的寬度）。已知路面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的，重力加速度g取10 m/s2，則（　?。?br/>A.汽車過該彎道時(shí)受到重力、支持力、摩擦力、牽引力和向心力
B.汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜摩擦力大小為4 000 N
C.汽車過該彎道時(shí)的向心加速度大小為4 m/s2
D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為15 m/s
嘗試解答
〔多選〕如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說法正確的是（　　）
A.b一定比a先開始滑動(dòng)
B.a、b所受的摩擦力始終相等
C.ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
D.當(dāng)ω＝時(shí)，a所受摩擦力的大小為kmg
嘗試解答
物體間恰好分離的臨界問題
〔多選〕如圖所示，三角形為一光滑圓錐體的正視圖，錐面與豎直方向的夾角為θ＝37°。一根長為l＝1 m的細(xì)線一端系在圓錐體頂端，另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球在水平面內(nèi)繞圓錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，則（　　）
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.當(dāng)ω0＝ rad/s時(shí)，小球?qū)A錐體的壓力剛好為零
D.當(dāng)ω＝2 rad/s時(shí)，小球受重力、支持力和拉力作用
嘗試解答
繩的彈力恰好有無的臨界問題
如圖所示，AC、BC兩繩系一質(zhì)量為m＝0.1 kg的小球，AC繩長L＝2 m，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，兩繩拉直時(shí)與豎直軸的夾角分別為30°和45°。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若兩繩中始終有張力，小球的角速度可能是（取g＝10 m/s2）（　?。?br/>A.2 rad/s B.2.5 rad/s
C.3.5 rad/s D.4 rad/s
嘗試解答
總結(jié)提升
　　物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)，分析圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各物理量的變化，找出臨界狀態(tài)。
突破點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型
輕繩模型 輕桿模型
常見類型 小球最高點(diǎn) 沒有支撐 小球最高點(diǎn)有支撐
最高點(diǎn)受力特征 除受重力外，物體受到的彈力方向：向下或等于零 除受重力外，物體受到的彈力方向：向下、等于零或向上
最高點(diǎn)受力示意圖
動(dòng)力學(xué) 方程 mg＋F彈＝m mg±F彈＝m
臨界特征 F彈＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好過最高點(diǎn)，v＝0，F(xiàn)彈＝mg （2）恰好無彈力，F(xiàn)彈＝0，v＝
過最高點(diǎn)的條件 在最高點(diǎn)的速度v≥ v≥0
2.解題技巧
（1）物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；
（2）物體從某一位置到另一位置的過程中，用動(dòng)能定理找出兩位置間的速度關(guān)系；
（3）注意：求對軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。
輕繩模型
〔多選〕（2025·陜西漢中模擬）如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，取g＝10 m/s2，下列說法正確的是（　?。?br/>A.小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2 m/s
B.當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4 m/s時(shí)，輕繩拉力大小為15 N
C.若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過4 m/s
D.若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過4 m/s
嘗試解答
輕桿模型
如圖所示，長為L的輕桿，一端固定一個(gè)小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于小球在過最高點(diǎn)時(shí)的速度v，下列說法中正確的是（　?。?br/>A.v的最小值為
B.v由零逐漸增大，向心力逐漸減小
C.v由逐漸減小，桿對小球的彈力也逐漸減小
D.v由逐漸增大，桿對小球的彈力也逐漸增大
嘗試解答
總結(jié)提升
分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路
突破點(diǎn)三　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
　　在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制（圖甲）、輕繩控制（圖乙）、輕桿控制（圖丙），物體的受力情況和臨界條件也不相同。
在斜面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速率不斷變化，運(yùn)動(dòng)情況與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似，所以通常分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況。
如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5 m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），盤面與水平面的夾角為30°，g取10 m/s2，則ω的最大值是（　?。?br/>A. rad/s B. rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
嘗試解答
總結(jié)提升
　　與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來解題。只是在受力分析時(shí)，一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化，這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問題的難點(diǎn)。
重難突破6　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題
【著眼“四翼”·探考點(diǎn)】
突破點(diǎn)一
【例1】 D　汽車過該彎道時(shí)受到重力、牽引力、支持力和摩擦力作用，摩擦力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故A錯(cuò)誤；汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜摩擦力大小為Ff＝m＝7 500 N，故B錯(cuò)誤；汽車過該彎道時(shí)的向心加速度大小為a＝＝ m/s2，故C錯(cuò)誤；汽車能安全通過該彎道，速度最大時(shí)滿足mg＝m，解得vm＝15 m/s，故D正確。
【例2】 AC　小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即F＝mω2R。當(dāng)角速度增大時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對滑動(dòng)，對木塊a有Fa＝ml，當(dāng)Fa＝kmg時(shí)，kmg＝ml，ωa＝，對木塊b有Fb＝m·2l，當(dāng)Fb＝kmg時(shí)，kmg＝m·2l，ωb＝，則ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度，即b一定比a先開始滑動(dòng)，選項(xiàng)A、C正確；兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則Fa＝mω2l，F(xiàn)b＝mω2·2l，F(xiàn)a＜Fb，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；ω＝＜ωa＝，a沒有滑動(dòng)，則Fa'＝mω2l＝kmg，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
【例3】 BC　向心力是效果力，不是小球?qū)嶋H受到的力。對小球受力分析，小球受重力、細(xì)線的拉力，小球可能受圓錐體的支持力，也可能不受圓錐體的支持力；轉(zhuǎn)速較小時(shí)，小球緊貼圓錐面，則FTcos θ＋FNsin θ＝mg，F(xiàn)Tsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，隨著轉(zhuǎn)速的增加，F(xiàn)T增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到ω0時(shí)支持力為零，支持力恰好為零時(shí)有mgtan θ＝mlsin θ，解得ω0＝ rad/s，A錯(cuò)誤，B、C正確；因?yàn)? rad/s＞ rad/s，所以，當(dāng)ω＝2 rad/s時(shí)，小球已經(jīng)離開斜面，小球只受重力、拉力的作用，D錯(cuò)誤。
【例4】 B　當(dāng)上繩繃緊、下繩恰好伸直但無張力時(shí)，小球受力如圖甲所示，由牛頓第二定律得mgtan 30°＝mr，又有r＝Lsin 30°，解得ω1＝ rad/s≈2.4 rad/s，當(dāng)下繩繃緊、上繩恰好伸直無張力時(shí)，小球受力如圖乙所示，由牛頓第二定律得mgtan 45°＝mr，解得ω2＝ rad/s≈3.2 rad/s，故當(dāng)角速度2.4 rad/s＜ω＜3.2 rad/s 時(shí)，兩繩始終有張力，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
突破點(diǎn)二
【例5】 ABC　設(shè)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為v0，則根據(jù)牛頓第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為v1＝4 m/s時(shí)，設(shè)輕繩拉力大小為FT，根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正確；小球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤。
【例6】 D　輕桿拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)速度的最小值為零，A錯(cuò)誤；根據(jù)Fn＝m知小球的速度逐漸增大時(shí)，向心力逐漸增大，B錯(cuò)誤；當(dāng)v＝時(shí)，桿對小球的作用力為零，當(dāng)v＜時(shí)，桿對小球的力表現(xiàn)為支持力，且mg－FN＝m，所以桿對小球的彈力FN＝mg－m，則此時(shí)v由值逐漸減小，桿對小球的彈力逐漸增大，C錯(cuò)誤；當(dāng)v＞時(shí)，桿對小球的所用力表現(xiàn)為拉力，且mg＋FN＝m，所以桿對小球的彈力FN＝m－mg，則此時(shí)v由值逐漸增大，桿對小球的彈力逐漸增大，D正確。
突破點(diǎn)三
【例7】 C　小物體與圓盤始終相對靜止，當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)恰好要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)盤的角速度最大，對物體受力分析如圖所示（其中O為對稱軸位置）。由沿斜面的合力提供向心力，有μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，得ω＝＝1.0 rad/s，C正確。
5 / 5(共64張PPT)
重難突破6 圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題
高中總復(fù)習(xí)·物理
目 錄
01
著眼“四翼”·探考點(diǎn)
02
培養(yǎng)“思維”·重落實(shí)
題型 規(guī)律 方法
著眼“四翼”·探考點(diǎn)
突破點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1. 與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題
物體間恰好不發(fā)生相對滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。
如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝，靜摩擦力的方向
一定指向圓心。
2. 與彈力有關(guān)的臨界極值問題
（1）兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
（2）繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大
承受力。
發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)的臨界問題
（2025·安徽淮北模擬）港珠澳大橋總長約55 km，是世界上總體跨度
最長、鋼結(jié)構(gòu)橋體最長、海底沉管隧道最長的路海大橋，設(shè)計(jì)時(shí)速100
km/h。如圖所示，該路段是港珠澳大橋的一段半徑r＝150 m的圓弧形彎
道，總質(zhì)量m＝1 800 kg的汽車通過該圓弧形彎道時(shí)以速度v＝90 km/h做勻
速圓周運(yùn)動(dòng)（汽車可視為質(zhì)點(diǎn)，路面視為水平且不考慮車道的寬度）。已
知路面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的，重力加速度
g取10 m/s2，則（　?。?br/>A. 汽車過該彎道時(shí)受到重力、支持力、摩擦力、牽引力和向心力
B. 汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜摩擦力大小為4 000 N
C. 汽車過該彎道時(shí)的向心加速度大小為4 m/s2
D. 汽車能安全通過該彎道的最大速度為15 m/s
√
解析：汽車過該彎道時(shí)受到重力、牽引力、支持力和摩擦力作用，摩擦力
提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故A錯(cuò)誤；汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜
摩擦力大小為Ff＝m＝7 500 N，故B錯(cuò)誤；汽車過該彎道時(shí)的向心加速度
大小為a＝＝ m/s2，故C錯(cuò)誤；汽車能安全通過該彎道，速度最大時(shí)滿
足mg＝m，解得vm＝15 m/s，故D正確。
〔多選〕如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）放
在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木塊與圓盤
間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從
靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，且最大靜
摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說法正確的是（　?。?br/>A. b一定比a先開始滑動(dòng)
B. a、b所受的摩擦力始終相等
C. ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
D. 當(dāng)ω＝時(shí)，a所受摩擦力的大小為kmg
√
√
解析：小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即F＝
mω2R。當(dāng)角速度增大時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，
發(fā)生相對滑動(dòng)，對木塊a有Fa＝ml，當(dāng)Fa＝kmg時(shí)，kmg＝ml，
ωa＝，對木塊b有Fb＝m·2l，當(dāng)Fb＝kmg時(shí)，kmg＝m·2l，
ωb＝，則ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度，即b一定比a先開始滑
動(dòng)，選項(xiàng)A、C正確；兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則Fa＝mω2l，
Fb＝mω2·2l，F(xiàn)a＜Fb，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；ω＝＜ωa＝，a沒有滑動(dòng)，則Fa'＝mω2l＝kmg，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
物體間恰好分離的臨界問題
〔多選〕如圖所示，三角形為一光滑圓錐體的正視圖，錐面與豎直方
向的夾角為θ＝37°。一根長為l＝1 m的細(xì)線一端系在圓錐體頂端，另一端
系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球在水平面內(nèi)繞圓錐體的軸做勻速圓周運(yùn)
動(dòng)，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，則（　?。?br/>A. 小球受重力、支持力、拉力和向心力
B. 小球可能只受拉力和重力
C. 當(dāng)ω0＝ rad/s時(shí)，小球?qū)A錐體的壓力剛好為零
D. 當(dāng)ω＝2 rad/s時(shí)，小球受重力、支持力和拉力作用
√
√
解析：向心力是效果力，不是小球?qū)嶋H受到的力。對小球受力分析，小球
受重力、細(xì)線的拉力，小球可能受圓錐體的支持力，也可能不受圓錐體的
支持力；轉(zhuǎn)速較小時(shí)，小球緊貼圓錐面，則FTcos θ＋FNsin θ＝mg，F(xiàn)Tsin θ
－FNcos θ＝mω2lsin θ，隨著轉(zhuǎn)速的增加，F(xiàn)T增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到ω0
時(shí)支持力為零，支持力恰好為零時(shí)有mgtan θ＝mlsin θ，解得ω0＝
rad/s，A錯(cuò)誤，B、C正確；因?yàn)? rad/s＞ rad/s，所以，當(dāng)ω＝2
rad/s時(shí)，小球已經(jīng)離開斜面，小球只受重力、拉力的作用，D錯(cuò)誤。
繩的彈力恰好有無的臨界問題
如圖所示，AC、BC兩繩系一質(zhì)量為m＝0.1 kg的小球，
AC繩長L＝2 m，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，
兩繩拉直時(shí)與豎直軸的夾角分別為30°和45°。小球在水
平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若兩繩中始終有張力，小球的
角速度可能是（取g＝10 m/s2）（　　）
A. 2 rad/s B. 2.5 rad/s
C. 3.5 rad/s D. 4 rad/s
√
解析：當(dāng)上繩繃緊、下繩恰好伸直但無張力時(shí)，
小球受力如圖甲所示，由牛頓第二定律得mgtan
30°＝mr，又有r＝Lsin 30°，解得ω1＝
rad/s≈2.4 rad/s，當(dāng)下繩繃緊、上繩恰好伸直無張力時(shí)，小球受力如圖乙所示，由牛頓第二定律得mgtan 45°＝mr，解得ω2＝ rad/s≈3.2 rad/s，故當(dāng)角速度2.4 rad/s＜ω＜3.2 rad/s 時(shí)，兩繩始終有張力，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
總結(jié)提升
　　物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力
（如拉力、支持力、摩擦力）發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)
的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)，分析圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的方法是讓角速度或線
速度從小逐漸增大，分析各物理量的變化，找出臨界狀態(tài)。
　〔多選〕（2025·黑龍江哈爾濱市第二中學(xué)期中）質(zhì)量為m的小球（視為
質(zhì)點(diǎn)）由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)輕桿繞
軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，a繩與水平方向成θ角，b繩在水平方向上且長為
l。重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A. a繩的彈力隨角速度的增大而增大
B. 當(dāng)角速度ω＞時(shí)，b繩中產(chǎn)生彈力
C. 當(dāng)b繩中產(chǎn)生彈力后，角速度再增大時(shí)a繩的彈力不變
D. 當(dāng)b繩突然被剪斷時(shí)，a繩的彈力一定發(fā)生變化
√
√
解析： 　當(dāng)b繩的彈力為零時(shí)，小球受重力和a繩的彈力，合力提供向心
力，有＝mlω2，解得ω＝，可知當(dāng)角速度ω＞時(shí)，b繩出現(xiàn)
彈力，故B正確；根據(jù)豎直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，
可知a繩的彈力不隨角速度的增大而增大，故A錯(cuò)誤，C正確；由于b繩可能
沒有彈力，故b繩突然被剪斷時(shí)，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。
突破點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1. 豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型
輕繩模型 輕桿模型
常見類型 小球最高點(diǎn) 沒有支撐
小球最高點(diǎn)有支撐
最高點(diǎn)受 力特征 除受重力外，物體受到
的彈力方向：向下或等
于零 除受重力外，物體受到的彈力方
向：向下、等于零或向上
輕繩模型 輕桿模型
最高點(diǎn)受 力示意圖
輕繩模型 輕桿模型
動(dòng)力學(xué) 方程 mg＋F彈＝m mg±F彈＝m
臨界特征 F彈＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好過最高點(diǎn)，v＝0，F(xiàn)彈＝
mg
（2）恰好無彈力，F(xiàn)彈＝0，v＝
過最高點(diǎn) 的條件 在最高點(diǎn)的速度v≥ v≥0
2. 解題技巧
（1）物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓
第二定律方程；
（2）物體從某一位置到另一位置的過程中，用動(dòng)能定理找出兩位置間的
速度關(guān)系；
（3）注意：求對軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支持力，
再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。
輕繩模型
〔多選〕（2025·陜西漢中模擬）如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，取g＝10 m/s2，下列說法正確的是（　?。?br/>A. 小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2 m/s
B. 當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4 m/s時(shí)，輕繩拉力大小為15 N
C. 若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過4 m/s
D. 若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過4 m/s
√
√
√
解析：設(shè)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為v0，則根據(jù)牛頓第二定律有mg＝
m，解得v0＝2 m/s，故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為v1＝4 m/s時(shí)，
設(shè)輕繩拉力大小為FT，根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15
N，故B正確；小球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)
牛頓第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤。
輕桿模型
如圖所示，長為L的輕桿，一端固定一個(gè)小球，另一端固定在光滑的
水平軸上，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于小球在過最高點(diǎn)時(shí)的速
度v，下列說法中正確的是（　　）
A. v的最小值為
B. v由零逐漸增大，向心力逐漸減小
C. v由逐漸減小，桿對小球的彈力也逐漸減小
D. v由逐漸增大，桿對小球的彈力也逐漸增大
√
解析：輕桿拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)速度的最小值為
零，A錯(cuò)誤；根據(jù)Fn＝m知小球的速度逐漸增大時(shí)，向心力逐漸增大，B
錯(cuò)誤；當(dāng)v＝時(shí)，桿對小球的作用力為零，當(dāng)v＜時(shí)，桿對小球的力
表現(xiàn)為支持力，且mg－FN＝m，所以桿對小球的彈力FN＝mg－m，則
此時(shí)v由值逐漸減小，桿對小球的彈力逐漸增大，C錯(cuò)誤；當(dāng)v＞
時(shí)，桿對小球的所用力表現(xiàn)為拉力，且mg＋FN＝m，所以桿對小球的彈
力FN＝m－mg，則此時(shí)v由值逐漸增大，桿對小球的彈力逐漸增大，
D正確。
總結(jié)提升
分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路
如圖所示，質(zhì)量為1.6 kg、半徑為0.5 m的光滑細(xì)圓管用
輕桿固定在豎直平面內(nèi)，小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）的
直徑略小于細(xì)圓管的內(nèi)徑（內(nèi)徑遠(yuǎn)小于細(xì)圓管半徑）。
小球A、B的質(zhì)量分別為mA＝1 kg、mB＝2 kg。某時(shí)刻，
小球A、B分別位于圓管最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，且A球的速度
大小為vA＝3 m/s，此時(shí)桿對圓管的彈力為零，則B球的速度大小vB為（取g＝10 m/s2）（　?。?br/>A. 2 m/s B. 4 m/s
C. 6 m/s D. 8 m/s
√
解析： 　對A球，合外力提供向心力，設(shè)管對A的支持力為FA，由牛頓第
二定律有FA－mAg＝mA，代入數(shù)據(jù)解得FA＝28 N，由牛頓第三定律可
得，A球?qū)艿牧ωQ直向下，為28 N，設(shè)B球?qū)艿牧镕B'，由管的受力平
衡可得FB'＋28 N＋m管g＝0，解得FB'＝－44 N，負(fù)號(hào)表示和重力方向相
反，由牛頓第三定律可得，管對B球的力FB為44 N，方向豎直向下，對B
球，由牛頓第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故選B。
突破點(diǎn)三　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
　　在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控
制（圖甲）、輕繩控制（圖乙）、輕桿控制（圖丙），物體的受力情況和
臨界條件也不相同。
在斜面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速率不斷變化，運(yùn)動(dòng)情況與豎直面內(nèi)的
圓周運(yùn)動(dòng)類似，所以通常分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況。
如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速
度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5 m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜
止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦
力），盤面與水平面的夾角為30°，g取10 m/s2，則ω的最大值是（　?。?br/>A. rad/s B. rad/s
C. 1.0 rad/s D. 0.5 rad/s
√
解析：小物體與圓盤始終相對靜止，當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最
低點(diǎn)恰好要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)盤的角速度最大，對物體受力分析
如圖所示（其中O為對稱軸位置）。由沿斜面的合力提供向
心力，有μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，得ω＝＝1.0 rad/s，C正確。
總結(jié)提升
　　與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在
最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來解題。只是在受力分
析時(shí)，一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化，這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問題
的難點(diǎn)。
如圖所示，在傾角為θ的足夠大的固定斜面上，一長度為L的輕繩一端固定
在O點(diǎn)，另一端連著一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），可繞斜面上的O點(diǎn)自
由轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)使小球從最低點(diǎn)A以速率v開始在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)，通過最高
點(diǎn)B。重力加速度大小為g，輕繩與斜面平行，不計(jì)一切摩擦。下列說法正
確的是（　　）
A. 小球通過B點(diǎn)時(shí)的最小速度可以小于
B. 小球通過A點(diǎn)時(shí)的加速度為gsin θ＋
C. 若小球以的速率通過B點(diǎn)時(shí)突然脫落而離開輕繩，則小球到達(dá)
與A點(diǎn)等高處時(shí)與A點(diǎn)間的距離為2L
D. 小球通過A點(diǎn)時(shí)的速度越大，此時(shí)斜面對小球的支持力越大
√
解析： 　小球通過最高點(diǎn)B時(shí)，當(dāng)繩的拉力為零時(shí)速度最小，即mgsin θ＝
，可得最小速度vmin＝，故A錯(cuò)誤；小球在A點(diǎn)受重力、斜面
的支持力以及繩的拉力，沿斜面方向有F－mgsin θ＝＝maA，可得aA＝
，故B錯(cuò)誤；若小球以的速率通過B點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷裂，則小球
在斜面上做類平拋運(yùn)動(dòng)，在平行于斜面底邊方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直
于斜面底邊方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故s水平＝vBt＝
·t，2L＝at2，其中a＝gsin θ，聯(lián)立解得s水平＝2L，即小球到達(dá)與A
點(diǎn)等高處時(shí)與A點(diǎn)間的距離為2L，故C正確；斜面對小球的支持力始終等于
重力沿垂直于斜面方向的分力，與小球的速度大小無關(guān)，故D錯(cuò)誤。
培養(yǎng)“思維”·重落實(shí)
夯基 提能 升華
1. （2025·北京豐臺(tái)期中）胎壓監(jiān)測器可以實(shí)時(shí)監(jiān)測汽
車輪胎內(nèi)部的氣壓，在汽車上安裝胎壓監(jiān)測報(bào)警器，可
以預(yù)防因汽車輪胎胎壓異常而引發(fā)的事故。一輛裝有胎壓報(bào)警器的載重汽車在高低不平的路面上行駛，其中一段路面的水平觀察視圖如圖所示，圖中虛線是水平線，在保證安全行駛的情況下，下列說法正確的是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A. 若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A、B處均
應(yīng)增大行駛速度
B. 若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A、B處均應(yīng)減小行駛速度
C. 若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A處應(yīng)增大行駛速度
D. 若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在B處應(yīng)增大行駛速度
√
解析： 　在A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)，汽車的向心加速度分別是向上和向下，所以在
A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)汽車分別處于超重狀態(tài)和失重狀態(tài)，在A點(diǎn)時(shí)，有FA－mg＝
m，得FA＝mg＋m，在B點(diǎn)時(shí)，有mg－FB＝m，得FB＝mg－m，
可知若要盡量使胎壓報(bào)警器不會(huì)超壓報(bào)警，汽車在A處應(yīng)減少行駛速度，
汽車在B處應(yīng)增大行駛速度。故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （2025·四川樂山期末）如圖，一質(zhì)量為m的汽車駛上半徑為R的拱橋，
到達(dá)拱橋最高點(diǎn)時(shí)的行駛速度為v且不騰空。則下列說法正確的是（　?。?br/>A. 汽車對拱橋面的壓力為mg
B. 汽車在拱橋最高點(diǎn)處于超重狀態(tài)
C. 拱橋?qū)ζ嚨闹С至閙g＋m
D. 行駛速度大于時(shí)，汽車會(huì)騰空
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　根據(jù)牛頓第二定律知汽車在拱橋最高點(diǎn)時(shí)，有mg－N＝m，則
拱橋?qū)ζ嚨闹С至镹＝mg－m，根據(jù)牛頓第三定律知，汽車對拱橋面
的壓力為N'＝mg－m＜mg，在最高點(diǎn)處于失重狀態(tài)，故A、B、C錯(cuò)誤；
汽車在恰好離開橋頂時(shí)，有N＝0，根據(jù)mg＝m，解得汽車做離心運(yùn)動(dòng)離
開橋頂時(shí)的臨界速度為，故當(dāng)行駛速度大于時(shí)，汽車會(huì)騰空，故
D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. （2025·四川成都模擬）如圖，一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻
速圓周運(yùn)動(dòng)，緊貼在一起的M、N兩物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）隨圓盤做圓周運(yùn)
動(dòng)，N恰好不下滑，M恰好不滑動(dòng)，兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r，已知M與N間的
動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2，最大靜摩擦力等于滑
動(dòng)摩擦力。μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為（　　）
A. μ1＋μ2＝1 B. ＝1
C. μ1μ2＝1 D. ＝1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　以M、N兩物體組成的整體為研究對象，受力分析如圖甲所示，
由靜摩擦力提供向心力可得μ2（mM＋mN）g＝（mM＋mN）ω2r，以N為研究
對象，受力分析如圖乙所示。
　　　
由M對N的彈力提供向心力，則有FN＝mNω2r，由平衡條件可得μ1FN＝
mNg，聯(lián)立解得μ1μ2＝1，故選C。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （2025·遼寧朝陽模擬）如圖所示，在一固定、中空的圓錐零件內(nèi)部頂
端用輕繩系有一小球（視為質(zhì)點(diǎn)），懸點(diǎn)到小球的距離為L?，F(xiàn)給小球一
初速度，使小球恰好能在圓錐內(nèi)側(cè)面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓錐體母線與
水平面的夾角為θ，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力，則該初速度大小
為（　?。?br/>A. B. cos θ
C. sin θ D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　當(dāng)小球恰好能在圓錐內(nèi)側(cè)面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球?qū)A錐內(nèi)
表面的壓力為零，此時(shí)繩子的拉力與重力的合力提供向心力，即＝
＝，解得v＝cos θ，故選B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. （2025·四川樂山期末）如圖，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎
直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO'重合。轉(zhuǎn)臺(tái)
以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間
后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好
為0，且物塊與O點(diǎn)的連線與OO'之間的夾角為60°，重力加速度為g，則轉(zhuǎn)
臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（　　）
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　對小物塊受力分析，小物塊受重力和罐壁的支持力，由牛頓第
二定律可得mgtan 60°＝mRsin 60°，解得ω0＝，故選A。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. （2025·貴州貴陽模擬）某人站在水平地面上，手握不
可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為1 kg的小球，
甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，
其簡化示意圖如圖所示。握繩的手離地面高度為1.0 m且
保持不變，現(xiàn)不斷改變繩長使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，每次繩在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)都恰好達(dá)到最大拉力被拉斷，球以繩斷時(shí)的速度水平飛出，通過水平距離x后落地。已知繩能承受的最大拉力為15 N，重力加速度大小g取10 m/s2，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力，則x的最大值為（　?。?br/>A. 0.4 m B. 0.5 m
C. 1.0 m D. 1.2 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，已知h＝1 m，F(xiàn)max＝15 N，m＝1
kg，則繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向，小球做自由落體運(yùn)動(dòng)有h－r＝
gt2，F(xiàn)max－mg＝m，x＝vmaxt，聯(lián)立得x＝，可知，當(dāng)r
＝0.5 m時(shí)x值最大，xm＝0.5 m，故選B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. （2025·山東濟(jì)寧期末）如圖所示，長度為4L的輕桿兩端分別固
定小球A、B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），小球A、B的質(zhì)量分別為m、3m，
桿上距A球L處的O點(diǎn)套在光滑的水平轉(zhuǎn)軸上，桿可繞水平轉(zhuǎn)軸在
豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)A、B兩球靜止在圖示位置時(shí)，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為F1；當(dāng)A、B兩球轉(zhuǎn)動(dòng)至圖示位置時(shí)，桿OA部分恰好不受力，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為F2。忽略空氣阻力，則F1與F2的比值為（　　）
A. 1∶12 B. 1∶4
C. 1∶3 D. 4∶9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　當(dāng)A、B兩球靜止在圖示位置時(shí)，對整體由平衡條件得F1'＝mg＋
3mg＝4mg，由牛頓第三定律可知，轉(zhuǎn)軸受桿的作用力大小為F1＝F1'＝
4mg，當(dāng)A、B兩球轉(zhuǎn)動(dòng)至圖示位置時(shí)，桿OA部分恰好不受力，對A球mg＝
mω2L，對B球F2'－3mg＝3mω2·3L，聯(lián)立解得F2'＝12mg，由牛頓第三定律
可知F2＝F2'＝12mg，則＝，故選C。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. （2025·山西太原模擬）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的
固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤與水平桌面的夾角為θ，圓盤的半徑為R，圓盤邊緣
處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ
＞3tan θ，小物塊經(jīng)過圓盤的最低點(diǎn)A處時(shí)受到的摩擦力大小為最大靜摩擦
力的。已知小物塊的質(zhì)量為m，取最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加
速度大小為g，則小物塊經(jīng)過圓盤最高點(diǎn)B處時(shí)，下列說法正確的是（　?。?br/>A. 小物塊恰好不受圓盤面的摩擦力
B. 小物塊受到的摩擦力方向沿BO方向
C. 小物塊受到的摩擦力大小為μmg－2mgsin θ
D. 小物塊受到的向心力大小為μmgcos θ－2mgsin θ
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 小物塊在A處時(shí)，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R，在B點(diǎn)時(shí)，設(shè)
摩擦力方向指向O點(diǎn)，則f＋mgsin θ＝mω2R，解得f＝μmgcos θ－2mgsin
θ，因?yàn)棣蹋?tan θ，所以f＞0，則小物塊受到的摩擦力方向沿BO方向。小
物塊受到的摩擦力大小為μmgcos θ－2mgsin θ，小物塊受到的向心力大小
為μmgcos θ－mgsin θ，選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. （2025·江西宜春期中）有一豎直轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸上不同高度處的兩點(diǎn)分別
系有一長為2l和l的細(xì)繩，細(xì)繩另一端分別系有質(zhì)量均為m的小球A和B，與
A球相連的繩子系得更高，將小球放置在光滑的水平桌面上，使小球隨轉(zhuǎn)
軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)逐漸增大轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速，直到兩小球均離開桌面，則下列說
法正確的是（　　）
A. B球比A球先離開桌面
B. 兩球同時(shí)離開桌面
C. 將與A球連接的繩子更換為3l長，則A球?qū)⒑箅x開桌面
D. 將與A球連接的繩子更換為3l長，A球兩次離開桌面時(shí)的
轉(zhuǎn)速相同
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　小球離開桌面時(shí)，設(shè)繩子與豎直方向夾角為θ，則mgtan θ＝
mω2R，又tan θ＝，聯(lián)立可得ω2＝，A球繩子懸點(diǎn)更高，故A球先離開桌
面，離開桌面時(shí)的角速度與繩長無關(guān)，則離開桌面時(shí)的轉(zhuǎn)速與繩長無關(guān)，
故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 〔多選〕（2025·陜西咸陽模擬）某國家體育訓(xùn)練基地中有一臺(tái)我國自
主研發(fā)，世界首創(chuàng)的轉(zhuǎn)盤滑雪訓(xùn)練機(jī)。運(yùn)動(dòng)員的某次訓(xùn)練過程可簡化為如
圖所示的模型，轉(zhuǎn)盤滑雪訓(xùn)練機(jī)繞垂直于盤面的固定轉(zhuǎn)軸以恒定的角速度
轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面邊緣處離轉(zhuǎn)軸距離為r的運(yùn)動(dòng)員（可視為質(zhì)點(diǎn)）始終相對于盤面
靜止。已知運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)恰好不受摩擦力，
接觸面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，盤面與水平面的夾角為θ，重
力加速度大小為g，則下列說法正確的是（　　）
A. 圓盤的角速度大小為
B. 運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)受到的摩擦力大小為2mgsin θ
C. 運(yùn)動(dòng)員與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)可能小于tan θ
D. 若僅減小圓盤的轉(zhuǎn)速，則運(yùn)動(dòng)員可能相對于圓盤滑動(dòng)
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)恰好不受摩擦力，則有mgsin θ＝
mω2r，解得圓盤的角速度大小為ω＝，故A正確；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)
受到的摩擦力最大，根據(jù)牛頓第二定律可得fm－mgsin θ＝mω2r，解得fm＝
mgsin θ＋mω2r＝2mgsin θ，又fm＝μN(yùn)＝μmgcos θ，可得運(yùn)動(dòng)員與盤面間的
動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足μ≥2tan θ，故B正確，C錯(cuò)誤；若僅減小圓盤的轉(zhuǎn)速，即
角速度減小，運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)時(shí)有fm'＝mgsin θ＋mω2r，可知隨著角速度的
減小，運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)受到的靜摩擦力減小，當(dāng)角速度減小為0時(shí)，根據(jù)
受力平衡可知，摩擦力大小為f＝mgsin θ＜fm＝2mgsin θ，可知運(yùn)動(dòng)員不可
能相對于圓盤滑動(dòng)，故D錯(cuò)誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 〔多選〕（2025·遼寧大連模擬）過山車是一種緊張刺激的娛樂項(xiàng)目，
但未經(jīng)訓(xùn)練的普通人，在向上的加速度達(dá)到大約5倍重力加速度時(shí)，由于
血液向下運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致頭部缺血，就會(huì)發(fā)生暈厥。圖甲為某地過山車軌道，其
中回環(huán)部分是半徑為R的經(jīng)典圓環(huán)軌道，A為圓軌道最高點(diǎn)、B為最低點(diǎn)；
圖乙為另一處過山車軌道，其回環(huán)部分是倒水滴形軌道，上半部分是半徑
為R的半圓軌道、C為最高點(diǎn)，下半部分為兩個(gè)半徑為2R的四分之一圓弧軌
道、D為最低點(diǎn)。若載人過山車可視為質(zhì)點(diǎn)，分別從兩軌道頂峰處由靜止
下降，經(jīng)過A、C兩點(diǎn)時(shí)均和軌道沒有相互作用力，兩點(diǎn)B、D等高，忽略
空氣阻力和摩擦。則下列說法正確的是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A. 圖甲過山車軌道比圖乙軌道更安全
B. 圖乙過山車軌道比圖甲軌道更安全
C. 圖甲軌道的頂峰高度比圖乙軌道的頂峰高度低R
D. 圖甲過山車經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度等于圖乙過山車經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　已知過山車經(jīng)過A、C兩點(diǎn)時(shí)和軌道沒有相互作用力，在A、
C兩點(diǎn)均是重力剛好提供向心力，則有mg＝，mg＝，解得vA＝vC
＝，故D正確；分別運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)B、D兩點(diǎn)時(shí)，人所受加速度最
大。對圖甲圓環(huán)軌道，由動(dòng)能定理得mg·2R＝m－m，經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)
加速度aB＝，聯(lián)立解得aB＝5g，圖甲過山車軌道存在安全隱患。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
對圖乙倒水滴形軌道，由動(dòng)能定理得mg·3R＝m－m，經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)
加速度aD＝，解得aD＝3.5g＜5g，故圖乙過山車軌道比圖甲軌道更安全，
故A錯(cuò)誤，B正確；相同載人過山車在頂峰處動(dòng)能為0，經(jīng)A、C兩點(diǎn)時(shí)動(dòng)能
相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mgh甲＝EkA＋mg·2R，mgh乙＝EkC＋mg·3R，
其中EkA＝EkC，可得h乙－h(huán)甲＝R，即圖甲軌道的頂峰高度比圖乙軌道的頂
峰高度低R，故C正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. （2025·北京朝陽二模）如圖所示，水平圓臺(tái)可以繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在
圓臺(tái)中心兩側(cè)放上甲、乙兩物體，兩物體的質(zhì)量均為m，均可視為質(zhì)點(diǎn)，
甲、乙兩物體到圓臺(tái)中心距離分別為2R、R，其連線過圓臺(tái)中心。兩物體
與圓臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加
速度為g。
（1）若圓臺(tái)以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)。求兩物體的加速度之比a甲∶a乙；
答案： 2∶1　
解析： 若圓臺(tái)以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)，根據(jù)向心加速度a＝ω2r
可得兩物體的加速度之比a甲∶a乙＝2R∶R＝2∶1。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2）若圓臺(tái)的角速度逐漸增大，請分析說明甲、乙兩物體誰先滑動(dòng)；
答案： 甲　
解析：若圓臺(tái)的角速度逐漸增大，根據(jù)μmg＝mr
可得ω0＝
因甲物體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑較大，臨界角速度較小，可知甲物體先滑動(dòng)。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（3）若將甲、乙兩物體用不可伸長的輕繩連接，輕繩最初拉直而不張
緊，緩慢增加圓臺(tái)的轉(zhuǎn)速，求兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。
答案：
解析：兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)，甲受最大靜摩擦力指向圓心，乙受最大靜摩擦
力背離圓心，則對甲，有
T＋μmg＝mω2·2R，對乙，有T－μmg＝mω2R
解得兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. （2025·黑龍江哈爾濱模擬）如圖所示，一水平圓盤繞豎直中心軸做勻
速圓周運(yùn)動(dòng)，緊貼在一起的M、N兩物體（均可視為質(zhì)點(diǎn)）隨圓盤做圓周
運(yùn)動(dòng)，物體N與圓盤未接觸。已知兩物體與轉(zhuǎn)軸間的距離r＝0.5 m，特殊
材料制作的物體M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝1.8，物體M、N間的動(dòng)摩
擦因數(shù)μ1＝0.8，各接觸面間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大
小取g＝10 m/s2。
（1）為了使物體N不下滑，求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω1；
答案： 5 rad/s　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 設(shè)物體N的質(zhì)量為m1，物體N不下滑時(shí)對物體N受力分析，豎
直方向上有f1＝m1g
水平方向上有FN1＝m1r
其中f1＝μ1FN1
解得ω1＝5 rad/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2）為了使物體M、N整體不相對于盤面滑動(dòng)，求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度
ω2。
答案： 6 rad/s
解析：設(shè)物體M的質(zhì)量為m2，對物體M、N整體受力分析，豎直方向上有FN2
＝（m1＋m2）g
水平方向上有f2＝（m1＋m2）r
其中f2＝μ2FN2
解得ω2＝6 rad/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
THANKS
演示完畢 感謝觀看

展開更多......

收起↑