資源簡介

第1講　萬有引力定律和相對論
1.（2025·廣東廣州期中）關于重力和萬有引力的關系，下列說法正確的是（　　）
A.物體在南極受到的萬有引力大于重力
B.物體在赤道受到的萬有引力大于重力
C.離地越高，物體的重力加速度越大
D.萬有引力是重力的一個分力，因此重力大于萬有引力
2.火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知（　　）
A.太陽位于木星運行軌道的中心
B.火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等
C.火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方
D.相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積
3.（2025·廣東佛山質量檢測）中國空間站軌道高度為400～450千米，地球半徑約為6 370千米。當航天員出艙在空間站艙外作業時，其所受地球的引力大約是他在地面所受地球引力的（　　）
A.0.9倍 B.0.25倍
C.0.1倍 D.0.01倍
4.（2024·海南高考6題）嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為（　　）
A. B.
C. D.
5.將地球看成一個半徑為R的圓球，在北極用彈簧測力計將一個物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧測力計示數大小為F1；在赤道用彈簧測力計將同一物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧測力計示數大小為F2。已知地球自轉周期為T，重力加速度為g，則該物體的質量為（　　）
A. B.
C. D.
6.（2024·山東高考5題）“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為（　　）
A. B.
C. D.
7.登月艙在離月球表面112 km的高空圓軌道上，環繞月球做勻速圓周運動，運動周期為120.5 min，月球的半徑約為1.7×103 km，只考慮月球對登月艙的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則月球質量約為（　　）
A.6.7×1022 kg B.6.7×1023 kg
C.6.7×1024 kg D.6.7×1025 kg
8.某類地天體可視為質量分布均勻的球體，由于自轉的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉周期為T，則該天體的半徑為（　　）
A. B.
C. D.
9.（2024·全國甲卷16題）2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是（　　）
A.在環月飛行時，樣品所受合力為零
B.若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C.樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D.樣品放置在月球背面時對月球的壓力、比放置在地球表面時對地球的壓力小
10.（2025·四川成都模擬）嫦娥五號探測器完成月球表面采樣后，進入環月等待階段，在該階段進行若干次變軌，每次變軌后在半徑更大的軌道上繞月球做勻速圓周運動，其加速度a與軌道半徑r的關系圖a-如圖所示，其中b為縱坐標的最大值，圖線的斜率為k，引力常量為G，下列說法正確的是（　　）
A.月球的質量為
B.月球的質量為Gk
C.月球的半徑為
D.每次變軌后探測器的機械能不變
11.（2024·浙江6月8題）與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則（　　）
A.小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B.小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C.小行星甲與乙的運行周期之比≈
D.甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比≈
12.（2023·浙江6月9題）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1∶2∶4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（　　）
A.木衛一軌道半徑為r
B.木衛二軌道半徑為r
C.周期T與T0之比為
D.木星質量與地球質量之比為n3
13.（2025·陜西商洛一模）用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M，自轉周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數是F0。
（1）若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數為F1，求比值的表達式，并就h＝1.0％R的情形算出具體數值（計算結果保留2位有效數字）；
（2）若在赤道地面稱量，彈簧測力計讀數為F2，求比值的表達式。
第1講　萬有引力定律和相對論
1.B　萬有引力的一個分力表現為重力，另一個分力提供物體轉動的向心力，在赤道處地球自轉線速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，物體在赤道受到的萬有引力大于重力，物體在地球兩極萬有引力等于重力，故A、D錯誤，B正確；離地越高，物體的重力加速度越小，故C錯誤。
2.C　由開普勒第一定律（軌道定律）可知，太陽位于木星運行的橢圓軌道的一個焦點上，故A錯誤；火星和木星繞太陽運行的軌道不同，運行速度的大小不可能始終相等，故B錯誤；根據開普勒第三定律（周期定律）知，太陽系中所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的平方的比值是一個常量，故C正確；對于太陽系某一個行星來說，其與太陽連線在相同的時間內掃過的面積相等，不同行星在相同時間內掃過的面積不相等，故D錯誤。
3.A　設地球半徑為R，空間站的軌道高度為h，航天員的質量為m，地球質量為M，航天員在地球表面時所受地球的引力F1＝，在空間站艙外作業時所受地球的引力F2＝，可得＝≈0.9，故選A。
4.D　萬有引力提供向心力：
5.C　設地球質量為M，物體質量為m，在北極萬有引力等于重力即等于彈簧測力計的示數，根據萬有引力定律有F1＝，在赤道處，萬有引力減去重力的差值提供向心力，所以有－mg＝m··R，mg＝F2，聯立解得m＝，故選C。
6.D　“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道上運行時，由開普勒第三定律有＝k，對地球同步衛星由開普勒第三定律有＝k'，又常量k與中心天體的質量成正比，所以＝＝，D正確。
7.A　由題意可知，h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230 s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，設月球的質量為M，登月艙的質量為m，由月球對登月艙的萬有引力提供向心力，可得G＝m（R＋h），整理得M＝，代入數據，解得M≈6.7×1022 kg，A正確，B、C、D錯誤。
8.C　在“極點”處，有mg2＝；在其表面“赤道”處，有－mg1＝mR，聯立解得R＝，故C正確。
9.D　在環月飛行時，樣品所受的合力提供向心力，不為零，A錯誤；若將樣品放置在月球正面，根據牛頓第三定律可知，它對月球表面的壓力等于月球對它的支持力，根據平衡條件可知，月球對它的支持力等于它在月球上的重力，不為零，故它對月球表面的壓力不為零，B錯誤；質量是物體本身的固有屬性，不會隨受到的引力的變化而變化，C錯誤；由于月球表面重力加速度較地球表面的小，則樣品在月球表面所受重力較在地球表面的小，樣品放置在月球背面時對月球的壓力較其放在地球表面時對地球的壓力小，D正確。
10.C　根據萬有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝GM·，由題圖可知，當r＝R時，a最大，則有b＝，a-圖像的斜率k＝GM，則月球的質量和月球的半徑分別為M＝，R＝，故A、B錯誤，C正確；每次變軌需要加速，消耗燃料的化學能，所以探測器的機械能增加，故D錯誤。
11.D　由開普勒第二定律知小行星甲在遠日點的速度小于在近日點的速度，A錯誤；小行星乙在遠日點到太陽的距離與地球到太陽的距離相等，由G＝ma可知，小行星乙在遠日點的加速度和地球的公轉加速度相等，B錯誤；根據開普勒第三定律，有＝，解得＝，C錯誤；甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比＝＝，D正確。
12.D　由題意可知木衛三的公轉軌道半徑為r3＝nr，對木衛一和木衛三，由開普勒第三定律得＝，解得r1＝，A錯誤；對木衛二和木衛三，由開普勒第三定律得＝，解得r2＝，B錯誤；根據題中條件不能求出T和T0的比值，C錯誤；對木衛三，由牛頓第二定律得＝m3（nr），解得m木＝，對月球，由牛頓第二定律得＝m月r，解得m地＝，整理得＝n3，D正確。
13.（1）＝　0.98　（2）＝1－
解析：（1）在北極地面稱量時，物體受到的重力等于地球的引力，則G＝F0，在北極上空高出地面h處稱量時，有G＝F1，則＝。
當h＝1.0％R時≈0.98。
（2）在赤道地面稱量時，考慮地球的自轉，地球的引力提供重力（大小等于彈簧測力計示數）與物體隨地球自轉需要的向心力；在赤道上小物體隨地球自轉做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧測力計的作用力，有G－F2＝mR
得＝1－＝1－。
3 / 3第1講　萬有引力定律和相對論
開普勒定律
1.定律內容
（1）開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是　　　，太陽處在橢圓的一個　　　上。
（2）開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的　　　　相等。
（3）開普勒第三定律：所有行星軌道的　　　　　的三次方跟它的　　　　　　的二次方的　　　　　　，即　　　　　　　。
2.適用條件：適用于宇宙中一切環繞同一中心天體的運動。
萬有引力定律及應用
1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與　　　　　　　　　　　　　　成正比、與　　　　　　　　　　　　　成反比。
2.公式：F＝　　　　　　　，其中G叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過扭秤實驗測得。
3.公式的適用條件：計算兩個　　　　間的萬有引力。
4.萬有引力理論的主要成就
（1）發現未知天體。
（2）計算天體質量。
相對論時空觀
1.狹義相對論的兩個基本假設
（1）狹義相對性原理：在不同的慣性參考系中，物理規律的形式都是　　　　的。
（2）光速不變原理：真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是　　　　　　的，光速和光源、觀測者間的相對運動沒有關系。
2.時間延緩效應
如果相對于地面以v運動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運動的物體完成某個動作的時間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體完成這個動作的時間間隔為Δt，則有Δt＝。
3.長度收縮效應
如果與桿相對靜止的人測得桿長是l0，沿著桿的方向，以v相對桿運動的人測得桿長是l，那么兩者之間的關系是l＝　　　　　　　　　　　　。
1.當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。（　　）
2.地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。（　　）
3.卡文迪什利用扭秤實驗裝置比較準確地測出了引力常量。（　　）
4.行星在橢圓軌道上的運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越小。（　　）
1.（2024·廣西高考1題）潮汐現象出現的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。圖中a、b和c處單位質量的海水受月球引力大小在（　　）
A.a處最大　　 B.b處最大
C.c處最大 D.a、c處相等，b處最小
2.（人教版必修第二冊·第七章第3節“練習與應用”T4節選）地球的公轉軌道接近圓，哈雷彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示。天文學家哈雷成功預言了哈雷彗星的回歸。哈雷彗星最近出現的時間是1986年，預測下次飛近地球在2061年左右。
請根據開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉半徑的多少倍。
考點一　開普勒定律的理解與應用
1.微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠日點時的速度方向與兩點連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內的運動可看作勻速直線運動，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。
2.行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。
3.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
4.開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在繞同一中心天體公轉的兩星體之間。
【練1】 〔多選〕如圖所示，八大行星沿橢圓軌道繞太陽公轉，下列說法中正確的是（　　）
A.太陽處在八大行星的橢圓軌道的一個公共焦點上
B.火星繞太陽運行過程中，速率不變
C.土星比地球的公轉周期大
D.地球和土星分別與太陽的連線在相同時間內掃過的面積相等
【練2】 （2025·鎮江模擬）北京冬奧會開幕式二十四節氣倒計時驚艷全球，如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應的節氣，地球運行速度最小的節氣是（　　）
A.春分 B.夏至
C.秋分 D.冬至
【練3】 2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105 m。已知火星半徑約為3.4×106 m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為（　　）
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
考點二　萬有引力定律
1.萬有引力與重力的關系
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。
（1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
（2）在兩極上：G＝mg0。
（3）在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和。
越靠近兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即＝mg。
2.星體表面及上空的重力加速度（以地球為例）
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考慮地球自轉）：mg＝G，得g＝。
（2）地球上空的重力加速度g'
地球上空距離地球中心r＝R＋h處的重力加速度g'：mg'＝，得g'＝。
〔多選〕如圖所示，三顆質量均為m的地球同步衛星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設地球質量為M，半徑為R。下列說法正確的是（　　）
A.地球對一顆衛星的引力大小為
B.一顆衛星對地球的引力大小為
C.兩顆衛星之間的引力大小為
D.三顆衛星對地球引力的合力大小為
嘗試解答
火星的質量約為地球質量的，半徑約為地球半徑的，則火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值約為（　　）
A.0.4 B.2
C.3 D.5
嘗試解答
（2025·八省聯考河南卷）水星是太陽系中距離太陽最近的行星，其平均質量密度與地球的平均質量密度可視為相同。已知水星半徑約為地球半徑的，則靠近水星表面運動的衛星與地球近地衛星做勻速圓周運動的線速度之比約為（　　）
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
嘗試解答
考點三　天體質量和密度的計算
利用天體表面重力加速度g和天體半徑R計算
1.由G＝mg，得天體質量M＝。
2.天體密度ρ＝＝＝。
宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R（不考慮月球自轉的影響）。求：
（1）月球表面的自由落體加速度大小g月；
（2）月球的質量M；
（3）月球的密度ρ。
嘗試解答
利用運行天體的軌道半徑r和周期T計算
1.由G＝mr，得M＝。
2.若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝。
3.若衛星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，故只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。
（2024·新課標卷16題）天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的（　　）
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
嘗試解答
人教版必修第一冊P56“思考與討論”
　已知太陽與地球間的平均距離約為1.5×1011 m，你能估算太陽的質量嗎？
總結提升
估算天體質量和密度應注意的問題
（1）利用萬有引力提供天體做圓周運動所需的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，而非環繞天體的質量。
（2）區別天體半徑R和衛星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛星，才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。
（3）天體質量估算中常有隱含條件，如地球的自轉周期為24 h，公轉周期為365天等。
（4）注意黃金代換式GM＝gR2的應用。
考點四　相對論的理解
　　
1.兩種時空觀
（1）經典時空觀
空間、時間是獨立于物體及其運動而存在的。
（2）相對論時空觀
物體占有的空間以及物理過程、化學過程，甚至還有生命過程的持續時間，都與它們的運動狀態有關。
2.狹義相對論的三個有用的結論
（1）運動的時鐘變慢了。
（2）運動的尺子長度縮短了。
（3）運動的物體質量增大了。
以上三個結論均為相對觀察者運動時產生的現象。
【練1】 一艘太空飛船靜止時的長度為30 m，它以0.6c（c為光速）的速度沿長度方向飛行越過地球，下列說法正確的是（　　）
A.飛船上的觀測者測得該飛船的長度小于30 m
B.地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30 m
C.飛船上的觀測者測得地球上發來的光信號速度小于c
D.地球上的觀測者測得飛船上發來的光信號速度小于c
【練2】 〔多選〕接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子鐘，飛船和地球上的人觀測這兩只鐘的快慢，下列說法正確的有（　　）
A.飛船上的人觀測到飛船上的鐘較快
B.飛船上的人觀測到飛船上的鐘較慢
C.地球上的人觀測到地球上的鐘較快
D.地球上的人觀測到地球上的鐘較慢
用填補法計算萬有引力
　　運用“填補法”解題的關鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法”解題主要體現了等效思想。
如圖所示，一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對質點P的萬有引力為（　　）
A.F B.F
C.F D.F
嘗試解答
有一質量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m的質點。現從球體中挖去半徑為0.5R的小球體，如圖所示，引力常量為G，則剩余部分對質點m的萬有引力為（　　）
A. B.
C. D.
嘗試解答
總結提升
（1）萬有引力定律只適用于求質點間的萬有引力。
（2）在質量分布均勻的實心球中挖去小球后其質量分布不再均勻，不可再隨意視為質點處理。
（3）可以采用先填補后運算的方法計算萬有引力大小。
第1講　萬有引力定律和相對論
【立足“四層”·夯基礎】
基礎知識梳理
知識點1
1.（1）橢圓　焦點　（2）面積　（3）半長軸　公轉周期
比都相等　＝k
知識點2
1.物體的質量m1和m2的乘積　它們之間距離r的二次方　2.G　3.質點
知識點3
1.（1）相同　（2）相同　3.l0
易錯易混辨析
1.×　2.√　3.√　4.√
雙基落實筑牢
1.A　根據萬有引力公式F＝G，可知圖中a處單位質量的海水受到月球的引力最大，故選A。
2.17.8
解析：設地球繞太陽公轉的軌道半徑為R0，周期為T0，哈雷彗星繞太陽公轉的軌道半長軸為a，周期為T，由題意可知T＝2061年－1986年＝75年，根據開普勒第三定律得＝k，有＝，則＝≈17.8。
【著眼“四翼”·探考點】
考點一
【練1】 AC　根據開普勒第一定律可知，太陽處在每顆行星運動的橢圓軌道的一個焦點上，故必然處在八大行星的橢圓軌道的一個公共焦點上，故A正確；根據開普勒第二定律可知，火星繞太陽運行過程中，在離太陽較近的位置運行速率較大，在離太陽較遠的位置運行速率較小，故B錯誤；由題圖可知土星軌道的半長軸比地球軌道的半長軸長，根據開普勒第三定律＝k可知，土星比地球的公轉周期大，故C正確；根據開普勒第二定律可知，同一顆行星與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等，而地球和土星不是同一顆行星，二者分別與太陽的連線在相同時間內掃過的面積不相等，故D錯誤。
【練2】 B　根據開普勒第二定律可知，對太陽的每一個行星而言，太陽與行星的連線在相同時間內掃過的面積相等，設地球到太陽中心的距離為r，根據扇形的面積公式可得S＝lr＝vtr，由此式可以判斷，當面積S和時間t相等時，r越小，v越大，r越大，v越小，故地球在近日點的速度最大，遠日點的速度最小，即地球運行速度最小的節氣是夏至，故B正確。
【練3】 C　忽略火星自轉，則＝mg，可知GM＝gR2；設與橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道的半徑為r，由萬有引力提供向心力可知＝mr；設近火點到火星中心的距離為R1＝R＋d1，遠火點到火星中心的距離為R2＝R＋d2，由開普勒第三定律可知＝。解得d2≈6×107 m，故選C。
考點二
【例1】 BC　由萬有引力定律知地球對一顆衛星的引力大小為F＝G，一顆衛星對地球的引力大小為F＝G，故A項錯誤，B項正確；因三顆衛星連線構成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數學知識知任意兩顆衛星間距d＝2rcos 30°＝r，由萬有引力定律知C項正確；因三顆衛星對地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛星對地球引力的合力為0，則D項錯誤。
【例2】 A　根據萬有引力定律，在天體表面有mg＝G，解得g＝，故火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值＝·＝0.4，選項A正確。
【例3】 C　由萬有引力提供向心力得G＝m，解得v＝＝＝，所以＝＝＝，故選C。
考點三
【例4】 （1）　（2）　（3）
解析：（1）月球表面附近的物體做自由落體運動，有h＝g月t2
所以月球表面的自由落體加速度大小g月＝。
（2）不考慮月球自轉的影響，有G＝mg月，
得月球的質量M＝。
（3）月球的密度ρ＝＝＝。
【例5】 B　由＝mr得M＝，所以＝＝≈0.1，B正確。
考教銜接
　2.0×1030 kg
考點四
【練1】 B　飛船上的觀測者測得飛船的長度不變，仍為30 m，由l＝l0＜l0可知，地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30 m，A錯誤，B正確；由光速不變原理可知C、D錯誤。
【練2】 AC　相對論告訴我們，運動的鐘會變慢，由于飛船上的人相對飛船上的鐘是靜止的，而觀測到地球上的鐘是高速運動的，因此飛船上的人觀測到飛船上的鐘相對于地球上的鐘快，A正確，B錯誤；同樣，地球上的人觀測到飛船上的鐘是高速運動的，因此地球上的人觀測到地球上的鐘比飛船上的鐘快，C正確，D錯誤。
【聚焦“素養”·提能力】
【典例1】 C　設球心O點與球外質點P的距離為r0，設挖去中心部分前，球體質量為m，球外質點質量為M，挖去部分的質量為m0，根據m＝πR3ρ，m0＝πr2ρ，可知m0＝m，則沒挖去中心部分前，球體對質點P的萬有引力F＝G，挖去的部分對球外質點P的萬有引力F'＝G＝F，則球體剩余部分對球外質點P的引力F″＝F－F'＝F，故選項C正確。
【典例2】 A　挖去小球前球與質點的萬有引力F1＝G＝，挖去的球體的質量M'＝M＝，被挖部分對質點的萬有引力為F2＝＝，則剩余部分對質點m的萬有引力F＝F1－F2＝，故A正確。
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第1講　萬有引力定律和相對論
高中總復習·物理
目 錄
01
立足”四層”·夯基礎
02
著眼“四翼”·探考點
03
聚焦“素養”·提能力
04
培養“思維”·重落實
概念 公式 定理
立足“四層”·夯基礎
開普勒定律
1. 定律內容
（1）開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是 ，太陽
處在橢圓的一個 上。
（2）開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的
時間內掃過的 相等。
（3）開普勒第三定律：所有行星軌道的 的三次方跟它的
的二次方的 ，即 。
橢圓　
焦點　
面積　
半長軸　
公
轉周期　
比都相等　
＝k　
2. 適用條件：適用于宇宙中一切環繞同一中心天體的運動。
萬有引力定律及應用
1. 內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線
上，引力的大小與 成正比、與
成反比。
2. 公式：F＝ ，其中G叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過扭秤實驗測得。
3. 公式的適用條件：計算兩個 間的萬有引力。
4. 萬有引力理論的主要成就
（1）發現未知天體。
（2）計算天體質量。
物體的質量m1和m2的乘積　
它們之間距
離r的二次方　
G　
質點　
相對論時空觀
1. 狹義相對論的兩個基本假設
（1）狹義相對性原理：在不同的慣性參考系中，物理規律的形式都
是 的。
（2）光速不變原理：真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是
的，光速和光源、觀測者間的相對運動沒有關系。
相同　
相
同　
2. 時間延緩效應
如果相對于地面以v運動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運動的物體完
成某個動作的時間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體完成這個動作的時
間間隔為Δt，則有Δt＝。
3. 長度收縮效應
如果與桿相對靜止的人測得桿長是l0，沿著桿的方向，以v相對桿運動的人
測得桿長是l，那么兩者之間的關系是l＝ 。
l0　
1. 當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。 （　×　）
2. 地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。 （　√　）
3. 卡文迪什利用扭秤實驗裝置比較準確地測出了引力常量。 （　√　）
4. 行星在橢圓軌道上的運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越小。
（　√　）
×
√
√
√
1. （2024·廣西高考1題）潮汐現象出現的原因之一是在地球的不同位置海
水受到月球的引力不相同。圖中a、b和c處單位質量的海水受月球引力大小
在（　　）
A. a處最大 B. b處最大
C. c處最大 D. a、c處相等，b處最小
解析： 　根據萬有引力公式F＝G，可知圖中a處單位質量的海水受到
月球的引力最大，故選A。
√
2. （人教版必修第二冊·第七章第3節“練習與應用”T4節選）地球的公轉
軌道接近圓，哈雷彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示。天
文學家哈雷成功預言了哈雷彗星的回歸。哈雷彗星最近出現的時間是1986
年，預測下次飛近地球在2061年左右。
請根據開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉半徑的
多少倍。
答案：17.8
解析：設地球繞太陽公轉的軌道半徑為R0，周期為T0，哈雷彗星繞太陽公
轉的軌道半長軸為a，周期為T，由題意可知T＝2061年－1986年＝75年，
根據開普勒第三定律得＝k，有＝，則＝≈17.8。
題型 規律 方法
著眼“四翼”·探考點
考點一　開普勒定律的理解與應用
1. 微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠日點時的速度方向與兩
點連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠
短的時間Δt，則行星在Δt時間內的運動可看作勻速直線運動，由Sa＝Sb知
va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太陽的距離越大，行星的速率越
小，反之越大。
2. 行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。
4. 開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天
體k值不同，故該定律只能用在繞同一中心天體公轉的兩星體之間。
3. 開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的
運動。
【練1】 〔多選〕如圖所示，八大行星沿橢圓軌道繞太陽公轉，下列說法
中正確的是（　　）
A. 太陽處在八大行星的橢圓軌道的一個公共
焦點上
B. 火星繞太陽運行過程中，速率不變
C. 土星比地球的公轉周期大
D. 地球和土星分別與太陽的連線在相同時間內掃過的面積相等
√
√
解析： 　根據開普勒第一定律可知，太陽處在每顆行星運動的橢圓軌道
的一個焦點上，故必然處在八大行星的橢圓軌道的一個公共焦點上，故A
正確；根據開普勒第二定律可知，火星繞太陽運行過程中，在離太陽較近
的位置運行速率較大，在離太陽較遠的位置運行速率較小，故B錯誤；由
題圖可知土星軌道的半長軸比地球軌道的半長軸長，根據開普勒第三定律
＝k可知，土星比地球的公轉周期大，故C正確；根據開普勒第二定律可
知，同一顆行星與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等，而地球和
土星不是同一顆行星，二者分別與太陽的連線在相同時間內掃過的面積不
相等，故D錯誤。
【練2】 （2025·鎮江模擬）北京冬奧會開幕式二十四節氣倒計時驚艷全
球，如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應的節氣，地球運
行速度最小的節氣是（　　）
A. 春分 B. 夏至
C. 秋分 D. 冬至
√
解析： 　根據開普勒第二定律可知，對太陽的每一個行星而言，太陽與
行星的連線在相同時間內掃過的面積相等，設地球到太陽中心的距離為r，
根據扇形的面積公式可得S＝lr＝vtr，由此式可以判斷，當面積S和時間t
相等時，r越小，v越大，r越大，v越小，故地球在近日點的速度最大，遠日點的速度最小，即地球運行速度最小的節氣是夏至，故B正確。
【練3】 2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功
實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道，
軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105 m。已知火星半徑約為3.4×106
m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”的停
泊軌道與火星表面的最遠距離約為（　　）
A. 6×105 m B. 6×106 m
C. 6×107 m D. 6×108 m
√
解析： 　忽略火星自轉，則＝mg，可知GM＝gR2；設與橢圓形停泊
軌道周期相同的圓形軌道的半徑為r，由萬有引力提供向心力可知＝
mr；設近火點到火星中心的距離為R1＝R＋d1，遠火點到火星中心的距
離為R2＝R＋d2，由開普勒第三定律可知＝。解得d2≈6×107
m，故選C。
考點二　萬有引力定律
1. 萬有引力與重力的關系
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。
（1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
（2）在兩極上：G＝mg0。
（3）在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和。
越靠近兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉所需的向心力
較小，常認為萬有引力近似等于重力，即＝mg。
2. 星體表面及上空的重力加速度（以地球為例）
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考慮地球自轉）：mg＝G，得g
＝。
（2）地球上空的重力加速度g'
地球上空距離地球中心r＝R＋h處的重力加速度g'：mg'＝，得g'
＝。
〔多選〕如圖所示，三顆質量均為m的地球同步衛星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設地球質量為M，半徑為R。下列說法正確的是（　　）
A. 地球對一顆衛星的引力大小為
B. 一顆衛星對地球的引力大小為
C. 兩顆衛星之間的引力大小為
D. 三顆衛星對地球引力的合力大小為
√
√
解析：由萬有引力定律知地球對一顆衛星的引力大小為F＝G，一顆衛
星對地球的引力大小為F＝G，故A項錯誤，B項正確；因三顆衛星連線
構成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數學知識知任意兩顆衛星間距d＝
2rcos 30°＝r，由萬有引力定律知C項正確；因三顆衛星對地球的引力
大小相等且互成120°，故三顆衛星對地球引力的合力為0，則D項錯誤。
火星的質量約為地球質量的，半徑約為地球半徑的，則火星表面
的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值約為（　　）
A. 0.4 B. 2
C. 3 D. 5
解析：根據萬有引力定律，在天體表面有mg＝G，解得g＝，故火星
表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值＝·＝0.4，
選項A正確。
√
（2025·八省聯考河南卷）水星是太陽系中距離太陽最近的行星，其
平均質量密度與地球的平均質量密度可視為相同。已知水星半徑約為地球
半徑的，則靠近水星表面運動的衛星與地球近地衛星做勻速圓周運動的線
速度之比約為（　　）
A. 64∶9 B. 8∶3
C. 3∶8 D. 9∶64
解析：由萬有引力提供向心力得G＝m，解得v＝＝＝
，所以＝＝＝，故選C。
√
〔多選〕萬有引力定律能夠很好地將天體運行規律與地球上物體運動規
律具有的內在一致性統一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的
小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為
M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質量分布均勻的球體。下列說法
正確的是（　　）
A. 在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數為F0＝G
B. 在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數為F1＝G
C. 在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數為F2＝G
D. 在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數為F3＝G
√
√
解析： 　在北極地面稱量時，物體不隨地球自轉，萬有引力等于重力，
則有F0＝G，故A正確；在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上物
體隨地球一起自轉所需要的向心力，則有F1＜G，故B錯誤；在北極上
空高出地面h處稱量時，萬有引力等于重力，則有F2＝G，故C正
確；在赤道上空高出地面h處稱量時，萬有引力大于重力，則彈簧測力計
讀數F3＜G，故D錯誤。
考點三　天體質量和密度的計算
利用天體表面重力加速度g和天體
半徑R計算
1. 由G＝mg，得天體質量M＝。
2. 天體密度ρ＝＝＝。
宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋
放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經時間t落到
月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R（不考慮月球自轉的影
響）。求：
（1）月球表面的自由落體加速度大小g月；
答案： 　
解析： 月球表面附近的物體做自由落體運動，有h＝g月t2
所以月球表面的自由落體加速度大小g月＝。
（2）月球的質量M；
答案： 　
解析： 不考慮月球自轉的影響，有G＝mg月，
得月球的質量M＝。
（3）月球的密度ρ。
答案：
解析： 月球的密度ρ＝＝＝。
利用運行天體的軌道半徑r和周期
T計算
1. 由G＝mr，得M＝。
2. 若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝。
3. 若衛星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度
ρ＝，故只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體
的密度。
（2024·新課標卷16題）天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有
兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日
地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的
（　　）
A. 0.001倍 B. 0.1倍
C. 10倍 D. 1 000倍
解析：由＝mr得M＝，所以＝＝≈0.1，B
正確。
√
　已知太陽與地球間的平均距離約為1.5×1011 m，你能估算太陽的質
量嗎？
答案：2.0×1030 kg
人教版必修第一冊P56“思考與討論”
　〔多選〕（2025·山東臨沂模擬）中國新聞網宣布：在摩洛哥墜落的隕石
被證實來自火星。某同學想根據平時收集的部分火星資料計算出火星的密
度，再與這顆隕石的密度進行比較。下列計算火星密度的公式正確的是
（引力常量G已知，忽略火星自轉的影響）（　　）
火星的小檔案
直徑d＝6 794 km
質量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2
近火衛星周期T＝3.4 h
A. ρ＝ B. ρ＝
C. ρ＝ D. ρ＝
√
√
√
解析： 　設近火衛星的質量為m，火星的質量為M，對近火衛星，火
星的萬有引力提供其做勻速圓周運動所需的向心力，則有＝·，
可得M＝，可得火星的密度為ρ＝＝，將M＝代入上式可
得ρ＝，故C、D正確；又火星對近火衛星的萬有引力近似等于近火衛星
的重力，則有mg0＝G，解得M＝，因此火星的密度為ρ＝＝
＝，故A正確，B錯誤。
總結提升
估算天體質量和密度應注意的問題
（1）利用萬有引力提供天體做圓周運動所需的向心力估算天體質量時，
估算的只是中心天體的質量，而非環繞天體的質量。
（2）區別天體半徑R和衛星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛星，才
有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。
（3）天體質量估算中常有隱含條件，如地球的自轉周期為24 h，公轉周期
為365天等。
（4）注意黃金代換式GM＝gR2的應用。
考點四　相對論的理解
1. 兩種時空觀
（1）經典時空觀
空間、時間是獨立于物體及其運動而存在的。
（2）相對論時空觀
物體占有的空間以及物理過程、化學過程，甚至還有生命過程的持續時
間，都與它們的運動狀態有關。
2. 狹義相對論的三個有用的結論
（1）運動的時鐘變慢了。
（2）運動的尺子長度縮短了。
（3）運動的物體質量增大了。
以上三個結論均為相對觀察者運動時產生的現象。
【練1】 一艘太空飛船靜止時的長度為30 m，它以0.6c（c為光速）的速度
沿長度方向飛行越過地球，下列說法正確的是（　　）
A. 飛船上的觀測者測得該飛船的長度小于30 m
B. 地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30 m
C. 飛船上的觀測者測得地球上發來的光信號速度小于c
D. 地球上的觀測者測得飛船上發來的光信號速度小于c
解析： 　飛船上的觀測者測得飛船的長度不變，仍為30 m，由l＝
l0＜l0可知，地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30 m，A錯
誤，B正確；由光速不變原理可知C、D錯誤。
√
【練2】 〔多選〕接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子
鐘，飛船和地球上的人觀測這兩只鐘的快慢，下列說法正確的有（　　）
A. 飛船上的人觀測到飛船上的鐘較快
B. 飛船上的人觀測到飛船上的鐘較慢
C. 地球上的人觀測到地球上的鐘較快
D. 地球上的人觀測到地球上的鐘較慢
√
√
解析： 　相對論告訴我們，運動的鐘會變慢，由于飛船上的人相對飛船
上的鐘是靜止的，而觀測到地球上的鐘是高速運動的，因此飛船上的人觀
測到飛船上的鐘相對于地球上的鐘快，A正確，B錯誤；同樣，地球上的人
觀測到飛船上的鐘是高速運動的，因此地球上的人觀測到地球上的鐘比飛
船上的鐘快，C正確，D錯誤。
現實 科技 應用
聚焦“素養”·提能力
用填補法計算萬有引力
　　運用“填補法”解題的關鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補
后運算，運用“填補法”解題主要體現了等效思想。
如圖所示，一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬
有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球
體剩余部分對質點P的萬有引力為（　　）
A. F B. F
C. F D. F
√
解析：設球心O點與球外質點P的距離為r0，設挖去中心部分前，球體質量
為m，球外質點質量為M，挖去部分的質量為m0，根據m＝πR3ρ，m0＝
πr2ρ，可知m0＝m，則沒挖去中心部分前，球體對質點P的萬有引力F＝
G，挖去的部分對球外質點P的萬有引力F'＝G＝F，則球體剩余部
分對球外質點P的引力F″＝F－F'＝F，故選項C正確。
A. B.
C. D.
有一質量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的
地方有一質量為m的質點。現從球體中挖去半徑為0.5R的小球體，如圖所
示，引力常量為G，則剩余部分對質點m的萬有引力為（　　）
√
解析：挖去小球前球與質點的萬有引力F1＝G＝，挖去的球體
的質量M'＝M＝，被挖部分對質點的萬有引力為F2＝＝，
則剩余部分對質點m的萬有引力F＝F1－F2＝，故A正確。
總結提升
（1）萬有引力定律只適用于求質點間的萬有引力。
（2）在質量分布均勻的實心球中挖去小球后其質量分布不再均勻，不可
再隨意視為質點處理。
（3）可以采用先填補后運算的方法計算萬有引力大小。
培養“思維”·重落實
夯基 提能 升華
1. （2025·廣東廣州期中）關于重力和萬有引力的關系，下列說法正確的
是（　　）
A. 物體在南極受到的萬有引力大于重力
B. 物體在赤道受到的萬有引力大于重力
C. 離地越高，物體的重力加速度越大
D. 萬有引力是重力的一個分力，因此重力大于萬有引力
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
解析： 萬有引力的一個分力表現為重力，另一個分力提供物體轉動
的向心力，在赤道處地球自轉線速度最大，所需向心力最大，故此地
重力最小，物體在赤道受到的萬有引力大于重力，物體在地球兩極萬
有引力等于重力，故A、D錯誤，B正確；離地越高，物體的重力加速
度越小，故C錯誤。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可
知（　　）
A. 太陽位于木星運行軌道的中心
B. 火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等
C. 火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方
D. 相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的
面積
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
解析： 　由開普勒第一定律（軌道定律）可知，太陽位于木星運行的橢
圓軌道的一個焦點上，故A錯誤；火星和木星繞太陽運行的軌道不同，運
行速度的大小不可能始終相等，故B錯誤；根據開普勒第三定律（周期定
律）知，太陽系中所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的平方
的比值是一個常量，故C正確；對于太陽系某一個行星來說，其與太陽連
線在相同的時間內掃過的面積相等，不同行星在相同時間內掃過的面積不
相等，故D錯誤。
1
2
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13
3. （2025·廣東佛山質量檢測）中國空間站軌道高度為400～450千米，地
球半徑約為6 370千米。當航天員出艙在空間站艙外作業時，其所受地球的
引力大約是他在地面所受地球引力的（　　）
A. 0.9倍 B. 0.25倍
C. 0.1倍 D. 0.01倍
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　設地球半徑為R，空間站的軌道高度為h，航天員的質量為
m，地球質量為M，航天員在地球表面時所受地球的引力F1＝，在
空間站艙外作業時所受地球的引力F2＝，可得＝
≈0.9，故選A。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （2024·海南高考6題）嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度
與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為（　　）
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　萬有引力提供向心力：
ρ＝，D正確。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 將地球看成一個半徑為R的圓球，在北極用彈簧測力計將一個物體豎直
懸掛，物體靜止時，彈簧測力計示數大小為F1；在赤道用彈簧測力計將同
一物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧測力計示數大小為F2。已知地球自轉
周期為T，重力加速度為g，則該物體的質量為（　　）
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　設地球質量為M，物體質量為m，在北極萬有引力等于重力即等
于彈簧測力計的示數，根據萬有引力定律有F1＝，在赤道處，萬有引
力減去重力的差值提供向心力，所以有－mg＝m··R，mg＝F2，聯
立解得m＝，故選C。
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
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6. （2024·山東高考5題）“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢
圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質
量之比可表示為（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道上運行時，由開普勒第
三定律有＝k，對地球同步衛星由開普勒第三定律有＝k'，又常量k與中
心天體的質量成正比，所以＝＝，D正確。
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7. 登月艙在離月球表面112 km的高空圓軌道上，環繞月球做勻速圓周運
動，運動周期為120.5 min，月球的半徑約為1.7×103 km，只考慮月球對
登月艙的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則月球質量約為
（　　）
A. 6.7×1022 kg B. 6.7×1023 kg
C. 6.7×1024 kg D. 6.7×1025 kg
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解析： 　由題意可知，h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230
s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，設月球的質量為M，登月艙的質量為
m，由月球對登月艙的萬有引力提供向心力，可得G＝m（R＋
h），整理得M＝，代入數據，解得M≈6.7×1022 kg，A正
確，B、C、D錯誤。
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8. 某類地天體可視為質量分布均勻的球體，由于自轉的原因，其表面“赤
道”處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉周
期為T，則該天體的半徑為（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　在“極點”處，有mg2＝；在其表面“赤道”處，有－
mg1＝mR，聯立解得R＝，故C正確。
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9. （2024·全國甲卷16題）2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了
人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經
過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表面自由落體加速度約為
地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是（　　）
A. 在環月飛行時，樣品所受合力為零
B. 若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C. 樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D. 樣品放置在月球背面時對月球的壓力、比放置在地球表面時對地球的
壓力小
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解析： 　在環月飛行時，樣品所受的合力提供向心力，不為零，A錯誤；
若將樣品放置在月球正面，根據牛頓第三定律可知，它對月球表面的壓力
等于月球對它的支持力，根據平衡條件可知，月球對它的支持力等于它在
月球上的重力，不為零，故它對月球表面的壓力不為零，B錯誤；質量是
物體本身的固有屬性，不會隨受到的引力的變化而變化，C錯誤；由于月
球表面重力加速度較地球表面的小，則樣品在月球表面所受重力較在地球
表面的小，樣品放置在月球背面時對月球的壓力較其放在地球表面時對地
球的壓力小，D正確。
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10. （2025·四川成都模擬）嫦娥五號探測器完成月球表面采樣后，進入環
月等待階段，在該階段進行若干次變軌，每次變軌后在半徑更大的軌道上
繞月球做勻速圓周運動，其加速度a與軌道半徑r的關系圖a-如圖所示，
其中b為縱坐標的最大值，圖線的斜率為k，引力常量為G，下列說法正確
的是（　　）
A. 月球的質量為
B. 月球的質量為Gk
C. 月球的半徑為
D. 每次變軌后探測器的機械能不變
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解析： 　根據萬有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝GM·，由題圖
可知，當r＝R時，a最大，則有b＝，a-圖像的斜率k＝GM，則月球的
質量和月球的半徑分別為M＝，R＝，故A、B錯誤，C正確；每次變軌
需要加速，消耗燃料的化學能，所以探測器的機械能增加，故D錯誤。
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11. （2024·浙江6月8題）與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”
的小行星乙的公轉軌道如圖所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在
同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為
R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則（　　）
A. 小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B. 小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C. 小行星甲與乙的運行周期之比≈
D. 甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比≈
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解析： 　由開普勒第二定律知小行星甲在遠日點的速度小于在近日點的
速度，A錯誤；小行星乙在遠日點到太陽的距離與地球到太陽的距離相
等，由G＝ma可知，小行星乙在遠日點的加速度和地球的公轉加速度相
等，B錯誤；根據開普勒第三定律，有＝，解得＝
，C錯誤；甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比＝＝
，D正確。
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12. （2023·浙江6月9題）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周
運動的周期之比為1∶2∶4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球
軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（　　）
A. 木衛一軌道半徑為r
B. 木衛二軌道半徑為r
C. 周期T與T0之比為
D. 木星質量與地球質量之比為n3
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解析： 　由題意可知木衛三的公轉軌道半徑為r3＝nr，對木衛一和木衛
三，由開普勒第三定律得＝，解得r1＝，A錯誤；對木衛二和木衛
三，由開普勒第三定律得＝，解得r2＝，B錯誤；根據題中條件不能
求出T和T0的比值，C錯誤；對木衛三，由牛頓第二定律得＝m3
（nr），解得m木＝，對月球，由牛頓第二定律得＝m月
r，解得m地＝，整理得＝n3，D正確。
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13. （2025·陜西商洛一模）用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物
體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M，
自轉周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球
體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數是
F0。
（1）若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數為F1，求比值的
表達式，并就h＝1.0％R的情形算出具體數值（計算結果保留2位有效數
字）；
答案： ＝　0.98
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解析： 在北極地面稱量時，物體受到的重力等于地球的引力，則
G＝F0，在北極上空高出地面h處稱量時，有G＝F1，則＝
。
當h＝1.0％R時≈0.98。
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（2）若在赤道地面稱量，彈簧測力計讀數為F2，求比值的表達式。
答案： ＝1－
解析：在赤道地面稱量時，考慮地球的自轉，地球的引力提供重力（大小
等于彈簧測力計示數）與物體隨地球自轉需要的向心力；在赤道上小物體
隨地球自轉做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧測力計的作用力，有
G－F2＝mR
得＝1－＝1－。
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THANKS
演示完畢 感謝觀看

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