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第3講　機械能守恒定律
1.〔多選〕（2025·湖北黃岡期末）如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是（　　）
A.圖甲中，物體A豎直向下壓縮彈簧，不計空氣阻力，物體A、彈簧和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒
B.圖乙中，物體B沿固定斜面勻速下滑，物體B機械能守恒
C.圖丙中，物體A豎直加速下落，物體B豎直加速上升，不計定滑輪質(zhì)量和任何阻力，物體A的機械能守恒
D.圖丁中，小球沿水平面做勻速圓周運動，小球的機械能不變
2.質(zhì)量為m的小球，從離地面h高處以初速度v0豎直上拋，小球上升到最高點時離拋出點距離為H，若選取最高點為零勢能面，不計空氣阻力，則（　　）
A.小球在拋出點（剛拋出時）的機械能為零
B.小球落回拋出點時的機械能為－mgH
C.小球落到地面時的動能為m－mgh
D.小球落到地面時的重力勢能為－mgh
3.（2025·北京海淀模擬）如圖所示，將輕質(zhì)彈簧的一端固定在水平桌面上O點，當(dāng)彈簧處于自由狀態(tài)時，彈簧另一端在A點。用一個金屬小球擠壓彈簧至B點，由靜止釋放小球，隨即小球被彈簧豎直彈出，已知C點為AB的中點，則（　　）
A.從B到A過程中，小球的機械能守恒
B.從B到A過程中，小球的動能一直在增大
C.從B到A過程中，彈簧的彈性勢能先增大后減小
D.從B到C過程彈簧彈力對小球做功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做功
4.（2024·北京高考7題）如圖所示，光滑水平軌道AB與豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道BC在B點平滑連接。一小物體將輕彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，物體脫離彈簧后進(jìn)入半圓形軌道，恰好能夠到達(dá)最高點C。下列說法正確的是（　　）
A.物體在C點所受合力為零
B.物體在C點的速度為零
C.物體在C點的向心加速度等于重力加速度
D.物體在A點時彈簧的彈性勢能等于物體在C點的動能
5.一長為L、質(zhì)量可不計的剛性硬桿，左端通過鉸鏈固定于O點，中點及右端分別固定質(zhì)量為m和質(zhì)量為2m的小球，兩球與桿可在豎直平面內(nèi)繞O點無摩擦地轉(zhuǎn)動。開始時使桿處于水平狀態(tài)并由靜止釋放，如圖所示。當(dāng)桿下落到豎直位置時，在桿中點的球的速率為（　　）
A. B.
C. D.
6.（2024·江西撫州一模）如圖所示，某人站在山頂上，將一質(zhì)量m＝0.5 kg的石塊沿與水平方向成θ＝45°夾角的方向斜向上拋出，石塊出手時離地面的高度h＝40 m，石塊落在水平地面上的動能Ek＝400 J，不計空氣阻力作用，重力加速度g取10 m/s2，則（　　）
A.石塊拋出時的速度大小為40 m/s
B.石塊在空中運動的時間約為2.8 s
C.石塊在運動過程中，最大速度為50 m/s
D.石塊在運動過程中，最小速度為20 m/s
7.（2025·青海西寧模擬）如圖所示，頂角P為53°的光滑“”形硬桿固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的小球甲、乙（均視為質(zhì)點）用長度為L的輕質(zhì)硬桿連接，分別套在“”形硬桿的傾斜和水平部分，當(dāng)輕質(zhì)硬桿呈豎直狀態(tài)時甲靜止在A點，乙靜止在C點。甲由于受到輕微的擾動開始運動，當(dāng)甲運動到B點時，輕質(zhì)硬桿與“”形硬桿的傾斜部分垂直，重力加速度大小為g，則甲在B點的速度大小為（　　）
A. B.
C. D.
8.（2025·山東菏澤期末）如圖所示，ABC為固定于豎直平面內(nèi)的一段內(nèi)壁光滑的中空細(xì)管，BC段被彎成以O(shè)為圓心、半徑R＝0.2 m的一小段圓弧，A點、O點位于地面，OC連線豎直。一質(zhì)量m＝0.4 kg的小球（可視為質(zhì)點）從圓弧底端A點沿切線以初速度v0進(jìn)入細(xì)管ABC，從C點水平飛出，落地點到O點的距離x＝0.2 m。已知重力加速度取g＝10 m/s2，不計空氣阻力，小球橫截面略小于細(xì)管中空部分的橫截面。求：
（1）小球在C點對細(xì)管壁的壓力FN；
（2）小球在A點的初速度大小v0。
9.（2025·江蘇蘇州三模）如圖所示，一半徑為R的光滑硬質(zhì)圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)與光滑足夠長的水平桿相連，在圓環(huán)最高點的豎直切線和最低點的水平切線的交點處固定一光滑輕質(zhì)小滑輪C，質(zhì)量為m的小球A穿在環(huán)上，且可以自由滑動，小球A通過足夠長的不可伸長細(xì)線連接另一質(zhì)量也為m的小球B，細(xì)線搭在滑輪上，現(xiàn)將小球A從環(huán)上最高點由靜止釋放，重力加速度為g，不計空氣阻力，求：
（1）小球A到達(dá)D點時細(xì)線中的張力；
（2）小球A到達(dá)D點時小球B的速度；
（3）小球A運動一個周期小球B的路程。
第3講　機械能守恒定律
1.AD　題圖甲中，物體A豎直向下將彈簧壓縮的過程中，物體A的機械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，物體A的重力勢能是物體A與地球所共有，所以物體A、彈簧和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，故A正確；題圖乙中，物體B沿固定斜面勻速下滑，說明B受到向上的摩擦力作用，對物體B做負(fù)功，物體B機械能減少，故B錯誤；題圖丙中，不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時A加速下落，B加速上升的過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，B物體的機械能增加，所以A物體的機械能減少，物體A的機械能不守恒，故C錯誤；題圖丁中，小球沿水平面做勻速圓周運動時，小球的動能和重力勢能都不變，故小球的機械能不變，故D正確。
2.A　小球上升到最高點時，動能為0，勢能也為0，所以在最高點的機械能為0，在小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒，故任意位置的機械能都為0，所以小球落回到拋出點時的機械能是0，故A正確，B錯誤；小球從拋出點到落地過程中，只有重力做功，由動能定理得mgh＝mv2－m，解得小球落地時的動能Ek＝mv2＝m＋mgh，故C錯誤；小球落到地面時的重力勢能為－mg（h＋H），D錯誤。
3.D　從B到A過程中，小球除受重力外還受彈簧對小球的彈力，且彈力做正功，故小球的機械能不守恒，故A錯誤；從B到A過程中，彈簧彈力和重力平衡位置處動能最大，合力對小球先做正功后做負(fù)功，小球的動能先增大后減小，故B錯誤；從B到A過程中，彈簧的壓縮量一直在減小，故彈簧的彈性勢能一直減小，故C錯誤；因為從B到C過程彈簧的平均作用力大于從C到A過程彈簧的平均作用力，兩過程位移大小相等，故從B到C過程彈簧彈力對小球做功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做功，故D正確。
4.C　設(shè)物體恰好到達(dá)C點的速度大小為v，則在C點，根據(jù)恰好由重力提供向心力，有mg＝m＝ma向，解得v＝，向心加速度a向＝g，A、B錯誤，C正確；物體從A點到C點的過程，由機械能守恒定律可知，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體在C點的重力勢能和動能，D錯誤。
5.A　兩球轉(zhuǎn)動的角速度相等，根據(jù)v＝ωr可知兩球的線速度大小之比為1∶2，設(shè)桿中點處小球的速度為v，則外端小球的速度為2v，桿由初狀態(tài)下落到豎直位置過程中，對系統(tǒng)由機械能守恒定律得2mgL＋mg＝mv2＋×2m（2v）2，可解得在桿中點的球的速率為v＝，故A正確。
6.D　石塊落地時速度最大，根據(jù)Ek＝mv2，可得石塊的最大速度v＝40 m/s，故C錯誤；根據(jù)機械能守恒定律有mgh＋m＝mv2，解得石塊拋出時的速度大小v0＝20 m/s，故A錯誤；石塊拋出后，在豎直方向上做上拋運動，總運動時間比自由落體運動時間要長，即t＞≈2.8 s，故B錯誤；石塊運動到軌跡最高點時，豎直方向速度為零，其速度最小，最小速度等于拋出時速度的水平分速度，即vx＝v0cos 45°＝20 m/s，故D正確。
7.B　由于甲在B位置時，輕質(zhì)硬桿與AP傾斜部分垂直，根據(jù)關(guān)聯(lián)速度的分解規(guī)律可知，甲沿輕質(zhì)硬桿的分速度為0，即此時乙的速度為0，甲小球減小的重力勢能轉(zhuǎn)化為甲的動能，則有mg（L－Lsin 37°）＝mv2，解得v＝，故選B。
8.（1）2 N，方向豎直向下　（2） m/s
解析：（1）小球從C點飛出后做平拋運動，則有R＝gt2，x＝vCt
解得vC＝1 m/s
在C點的速度vC＝1 m/s＜
則有mg－F＝m
解得F＝2 N
根據(jù)牛頓第三定律，小球在C點對細(xì)管壁的壓力FN＝2 N，方向豎直向下。
（2）小球從A到C過程，根據(jù)機械能守恒定律，有mgR＝m－m
解得v0＝ m/s。
9.（1）0.5mg　（2）　（3）（10－4）R
解析：（1）對小球A，有F＝ma
對小球B，有mg－F＝ma
聯(lián)立解得張力F＝0.5mg。
（2）小球A到達(dá)D點時，小球B回到原位置，系統(tǒng)機械能守恒，有mgR＝m＋m
此時兩小球速度大小相等，有vA＝vB
聯(lián)立解得vB＝。
（3）小球A過D點后沿桿向左運動，小球B高度上升，到兩者速度為零。假設(shè)小球B上升距離為x，由機械能守恒定律可知mgR＝mgx
解得x＝R
小球A恰好經(jīng)過OC與圓環(huán)的交點處，此時小球B下降的高度hB＝R－（R－R）＝（2－）R
由于系統(tǒng)機械能守恒，系統(tǒng)做周期性運動，在小球A再次回到最高點的過程中，小球B的路程為s＝2（2hB＋x）
解得s＝（10－4）R。
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重力做功與重力勢能
1.重力做功的特點
（1）重力做功與　　　　無關(guān)，只與初、末位置的　　　　　有關(guān)。
（2）重力做功不引起物體　　　　　　　的變化。
2.重力勢能
（1）定義：物體由于　　　　　而具有的能。
（2）表達(dá)式：Ep＝　　　　。
（3）矢標(biāo)性：重力勢能是　　　　，正負(fù)表示其　　　　。
3.重力做功與重力勢能變化的關(guān)系
（1）定性關(guān)系：重力對物體做正功，重力勢能就　　　　；重力對物體做負(fù)功，重力勢能就　　　　。
（2）定量關(guān)系：重力對物體做的功　　　　物體重力勢能的減少量。即WG＝－（Ep2－Ep1）＝　　　　。
彈性勢能
1.定義：物體由于發(fā)生　　　　　　而具有的能。
2.大小：彈簧的彈性勢能的大小與形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，彈簧的形變量　　　　，勁度系數(shù)　　　　，彈簧的彈性勢能越大。
3.彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系：類似于重力做功與重力勢能變化的關(guān)系，用公式表示：W＝　　　　。
機械能守恒定律
1.機械能：　　　　和　　　　統(tǒng)稱為機械能，其中勢能包括　　　　　　和　　　　　。
2.機械能守恒定律的內(nèi)容：在只有　　　　　做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能　　　　　　。
3.機械能守恒定律的表達(dá)式
mgh1＋m＝mgh2＋m。
4.機械能守恒定律的條件：只有重力或彈簧的彈力做功。
1.被舉到高處的物體重力勢能可以為零。（　　）
2.物體在速度增大時，其機械能可能在減小。（　　）
3.物體所受合外力為零時，機械能一定守恒。（　　）
4.物體受到摩擦力作用時，機械能一定變化。（　　）
5.物體除受重力外，還受其他力，但其他力不做功，則物體的機械能一定守恒。（　　）
1.（2023·浙江1月選考4題）一位游客正在體驗蹦極，綁上蹦極專用的橡皮繩后從跳臺縱身而下。游客從跳臺下落直到最低點過程中（　　）
A.彈性勢能減小
B.重力勢能減小
C.機械能保持不變
D.繩一繃緊動能就開始減小
2.〔多選〕（人教版必修第二冊·第八章第4節(jié)“練習(xí)與應(yīng)用”T3改編）如圖所示，在地面上以初速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上。若以地面為零勢能面，而且不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A.重力對物體做的功為mgh
B.物體在海平面上的重力勢能為mgh
C.物體在海平面上的動能為m－mgh
D.物體在海平面上的機械能為m
考點一　機械能守恒的理解與判斷
1.對機械能守恒條件的理解
（1）只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運動，物體的機械能守恒。
（2）除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數(shù)和為零。
（3）除重力外，只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢能變化量的負(fù)值，那么系統(tǒng)的機械能守恒，注意并非物體的機械能守恒，如與彈簧相連的小球下擺的過程機械能減少。
2.機械能守恒的判定方法
（1）做功條件分析法：若物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈簧彈力做功，其他力均不做功，則系統(tǒng)的機械能守恒。
（2）能量轉(zhuǎn)化分析法：若只有系統(tǒng)內(nèi)物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉(zhuǎn)變成其他形式的能（如沒有內(nèi)能增加），則系統(tǒng)的機械能守恒。
（2024·重慶高考2題）2024年5月3日，嫦娥六號探測器成功發(fā)射，開啟月球背面采樣之旅，探測器的著陸器、上升器組合體著陸月球要經(jīng)過減速、懸停、自由下落等階段。則組合體著陸月球的過程中（　　）
A.減速階段所受合外力為0
B.懸停階段不受力
C.自由下落階段機械能守恒
D.自由下落階段加速度大小g＝9.8 m/s2
嘗試解答
如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上。現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A.斜劈對小球的彈力不做功
B.斜劈與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒
C.斜劈的機械能守恒
D.小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量
嘗試解答
考點二　單物體的機械能守恒問題
1.機械能守恒定律表達(dá)式
說明：單個物體應(yīng)用機械能守恒定律時選用守恒觀點或轉(zhuǎn)化觀點進(jìn)行列式。
2.應(yīng)用機械能守恒定律解題的一般步驟
（2025·海南海口期中）如圖所示是體育課上某同學(xué)水平拋出鉛球的示意圖，不考慮空氣阻力，選地面作為參考平面，用h表示鉛球離地面的高度、E表示鉛球的機械能，Ep表示鉛球的重力勢能、Ek表示鉛球的動能，則鉛球下落過程中，下列圖像可能正確的是（　　）
嘗試解答
（2024·全國甲卷17題）如圖，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為m的小環(huán)套在大圓環(huán)上，小環(huán)從靜止開始由大圓環(huán)頂端經(jīng)Q點自由下滑至其底部，Q為豎直線與大圓環(huán)的切點。則小環(huán)下滑過程中對大圓環(huán)的作用力大小（　　）
A.在Q點最大 B.在Q點最小
C.先減小后增大 D.先增大后減小
嘗試解答
考點三　多物體系統(tǒng)的機械能守恒問題
1.解決多物體系統(tǒng)機械能守恒的注意點
（1）對多個物體組成的系統(tǒng)，要注意判斷物體運動過程中系統(tǒng)的機械能是否守恒。一般情況為：不計空氣阻力和一切摩擦，系統(tǒng)的機械能守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
（3）列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.三種實際情景的分析
（1）速率相等情景
注意分析各個物體在豎直方向的高度變化。
（2）角速度相等情景
兩點提醒
①用桿連接的兩個物體，若繞某一固定點做圓周運動，根據(jù)角速度ω相等確定兩物體線速度v的大小關(guān)系。
②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
（3）某一方向分速度相等情景（關(guān)聯(lián)速度情景）
兩物體速度的關(guān)聯(lián)實質(zhì)：沿繩（或沿桿）方向的分速度大小相等。
如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B用不可伸長的細(xì)軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍。當(dāng)B位于地面上時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是（　　）
A.2R B.
C. D.
嘗試解答
（2025·江蘇贛榆中學(xué)質(zhì)檢）質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為L，在離P球處有一個光滑固定轉(zhuǎn)軸O，如圖所示。現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，小球Q順時針擺動到最低位置，則（重力加速度為g）（　　）
A.小球P在最高位置的速度大小為
B.小球Q在最低位置的速度大小為
C.小球P在此過程中機械能增加mgL
D.小球Q在此過程中機械能減少mgL
嘗試解答
〔多選〕（2025·福建廈門一中檢測）
如圖所示，質(zhì)量均為m的物塊A和B，用不可伸長的輕繩連接，A放在傾角為θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑豎直桿上下滑動，桿和滑輪中心間的距離為L，物塊B從與滑輪等高處由靜止開始下落，斜面與桿足夠長，重力加速度為g。在物塊B下落到繩與水平方向的夾角為θ的過程中，下列說法正確的是（　　）
A.物塊B的機械能的減少量大于物塊A的重力勢能的增加量
B.物塊B的重力勢能減少量為mgLtan θ
C.物塊A的速度大于物塊B的速度
D.物塊B的末速度為
嘗試解答
含彈簧系統(tǒng)的機械能守恒問題
　由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能守恒。分析含彈簧問題時，注意以下兩點：
（1）對同一彈簧，彈簧的彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。
（2）彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈簧的彈性勢能最大。
〔多選〕如圖所示，物體A、B通過細(xì)繩及輕質(zhì)彈簧連接在輕滑輪兩側(cè)，物體A、B的質(zhì)量分別為2m、m，開始時細(xì)繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上，放手后物體A下落，與地面即將接觸時速度大小為v，此時物體B對地面恰好無壓力，不計一切摩擦及空氣阻力，重力加速度大小為g，則下列說法中正確的是（　　）
A.物體A下落過程中，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒
B.彈簧的勁度系數(shù)為
C.物體A著地時的加速度大小為
D.物體A著地時彈簧的彈性勢能為2mgh
嘗試解答
如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)光滑定滑輪的細(xì)線相連，A放在固定的傾角為30°的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上。現(xiàn)用手控制住A，使細(xì)線恰好伸直，保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g。松手后A由靜止開始沿斜面下滑，當(dāng)A速度最大時C恰好離開地面，則A下滑的最大速度為（　　）
A.2g B.g
C. D.g
嘗試解答
第3講　機械能守恒定律
【立足“四層”·夯基礎(chǔ)】
基礎(chǔ)知識梳理
知識點1
1.（1）路徑　高度差　（2）機械能　2.（1）被舉高　（2）mgh　（3）標(biāo)量　大小　3.（1）減少　增加　（2）等于　－ΔEp
知識點2
1.彈性形變　2.越大　越大　3.－ΔEp
知識點3
1.動能　勢能　彈性勢能　重力勢能　2.重力或彈力
保持不變
易錯易混辨析
1.√　2.√　3.×　4.×　5.√
雙基落實筑牢
1.B　開始階段橡皮繩未拉直，游客做加速運動，下落到一定高度時橡皮繩繃緊，游客開始受到向上的彈力作用，彈力從零逐漸增大，游客所受合力逐漸減小，但速度繼續(xù)增大，直到合力減為零時速度達(dá)到最大，之后合力變?yōu)橄蛏喜⒅饾u增大，速度開始減小，到最低點時速度減小為零，彈力達(dá)到最大值。橡皮繩繃緊后彈性勢能一直增大，A錯誤；游客高度一直降低，重力勢能一直減小，B正確；下落過程游客受到空氣阻力的作用，橡皮繩繃緊瞬間機械能也有損失，C錯誤；橡皮繩繃緊后的一段時間內(nèi)，游客動能繼續(xù)增加，合力變?yōu)橄蛏虾螅瑒幽懿砰_始減小，D錯誤。
2.AD　從地面到海平面重力對物體做的功為mgh，故A正確；地面為零勢能面，所以物體在海平面上的重力勢能為－mgh，故B錯誤；物體在地面上的機械能為m，由機械能守恒定律得，物體在海平面上的機械能也為m，故D正確；物體在海平面上的動能為m－（－mgh）＝m＋mgh，故C錯誤。
【著眼“四翼”·探考點】
考點一
【例1】 C　組合體在減速階段有加速度，所受合外力不為零，故A錯誤；組合體在懸停階段速度為零，處于平衡狀態(tài)，合力為零，仍受重力和升力，故B錯誤；組合體在自由下落階段只受重力，機械能守恒，故C正確；月球表面重力加速度不為9.8 m/s2，故D錯誤。
【例2】 B　不計一切摩擦，小球下滑時，斜劈和小球組成的系統(tǒng)只有小球的重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，B正確；斜劈動能增加，重力勢能不變，故斜劈的機械能增加，C錯誤；由系統(tǒng)機械能守恒可知，小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量和小球動能的增加量之和，D錯誤；斜劈對小球的彈力與小球位移的夾角大于90°，故斜劈對小球的彈力做負(fù)功，A錯誤。
考點二
【例3】 B　不考慮空氣阻力，拋出后的鉛球機械能守恒，故A錯誤，B正確；鉛球的重力勢能為Ep＝mgh，h表示鉛球離地面的高度，鉛球拋出后，h越來越小，重力勢能也越來越小，故C錯誤；設(shè)拋出時鉛球的動能為E0，距地面的高度為h0，根據(jù)機械能守恒定律得mgh0＋E0＝mgh＋Ek，可得Ek＝mgh0＋E0－mgh，故D錯誤。
【例4】 C　設(shè)小環(huán)運動軌跡所對的圓心角為θ（0≤θ≤π），大圓環(huán)的半徑為R，大圓環(huán)對小環(huán)的作用力為F，則由動能定理有mgR（1－cos θ）＝mv2，又小環(huán)做圓周運動，則有F＋mgcos θ＝m，聯(lián)立得小環(huán)下滑過程中受到大圓環(huán)的作用力F＝mg（2－3cos θ），則F的大小先減小后增大，且當(dāng)cos θ＝時F最小，當(dāng)cos θ＝－1，即小環(huán)在大圓環(huán)最低點時F最大，結(jié)合牛頓第三定律可知，C正確。
考點三
【例5】 C　設(shè)小球B的質(zhì)量為m，則小球A的質(zhì)量為2m，小球A剛落地時，兩球速度大小都為v，根據(jù)機械能守恒定律得2mgR＝×（2m＋m）v2＋mgR，小球B繼續(xù)上升的過程，由動能定理可得－mgh＝0－mv2，聯(lián)立解得h＝，小球B上升的最大高度為h＋R＝，故選C。
【例6】 C　設(shè)小球Q順時針擺動到最低位置時的速度為v1，此時P運動到最高點的速度為v2，整個系統(tǒng)機械能守恒，有2mg·L－mg·＝×2m＋m，又由于兩球都繞O點轉(zhuǎn)動，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝，v2＝，A、B錯誤；在此過程中，小球P的機械能增加ΔE＝mg·＋m＝mgL，由于整個系統(tǒng)機械能守恒，因此小球Q在此過程中機械能減少mgL，C正確，D錯誤。
【例7】 ABD　在物塊B下落到繩與水平方向的夾角為θ時，物塊B下降的高度為h＝Ltan θ，則物塊B的重力勢能減少量為ΔEpB＝mgLtan θ，物塊A沿斜面上升的距離為x＝－L，設(shè)此時物塊A的速度為vA，物塊B的速度為vB，A、B組成的系統(tǒng)運動過程中只有重力做功，故系統(tǒng)機械能守恒，所以物塊B的機械能減少量等于物塊A的機械能增加量，有mgLtan θ－m＝m＋mgxsin θ，物塊A沿斜面上升時動能和勢能都增加，故A、B正確；將物塊B的速度分解為沿繩方向的速度和垂直于繩方向的速度，則vA＝v繩＝vBsin θ，則物塊A的速度小于物塊B的速度，故C錯誤；聯(lián)立以上表達(dá)式可得vB＝，故D正確。
【聚焦“素養(yǎng)”·提能力】
【典例1】 AC　物體A下落過程中，物體B一直靜止不動，對于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和彈力做功，則物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，故A正確；A即將觸地時，物體B對地面的壓力恰好為零，故彈簧的拉力為FT＝mg，開始時彈簧處于原長，由胡克定律知F＝kΔx，得彈簧的勁度系數(shù)為k＝，故B錯誤；物體A著地時，細(xì)繩對A的拉力等于mg，對A受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得2mg－mg＝2ma，得a＝，故C正確；物體A與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，有2mgh＝Ep＋×2mv2，所以Ep＝2mgh－mv2，故D錯誤。
【典例2】 A　對A、B兩小球組成的整體，由平衡條件可得mAgsin 30°＝F＋mg，F(xiàn)為此時彈簧的彈力，因此時C恰好離開地面，則有F＝mg，聯(lián)立解得mA＝4m，C恰好離開地面時，對C，有kx2＝mg，解得x2＝，此時A、B有最大速度，且A、B速度大小相等。開始時系統(tǒng)靜止，彈簧被壓縮，繩上無拉力，對B，有kx1＝mg，解得x1＝，從釋放A到C恰好離開地面的過程中，彈簧的彈性勢能變化量是零，在此過程中A、B、C組成的系統(tǒng)機械能守恒，由機械能守恒定律可得4mg（x1＋x2）sin 30°＝mg（x1＋x2）＋·（4m＋m），解得vAm＝2g ，故選A。
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第3講　機械能守恒定律
高中總復(fù)習(xí)·物理
目 錄
01
立足”四層”·夯基礎(chǔ)
02
著眼“四翼”·探考點
03
聚焦“素養(yǎng)”·提能力
04
培養(yǎng)“思維”·重落實
概念 公式 定理
立足“四層”·夯基礎(chǔ)
重力做功與重力勢能
1. 重力做功的特點
（1）重力做功與 無關(guān)，只與初、末位置的 有關(guān)。
（2）重力做功不引起物體 的變化。
路徑　
高度差　
機械能　
2. 重力勢能
（1）定義：物體由于 而具有的能。
（2）表達(dá)式：Ep＝ 。
（3）矢標(biāo)性：重力勢能是 ，正負(fù)表示其 。
3. 重力做功與重力勢能變化的關(guān)系
（1）定性關(guān)系：重力對物體做正功，重力勢能就 ；重力對物體
做負(fù)功，重力勢能就 。
（2）定量關(guān)系：重力對物體做的功 物體重力勢能的減少量。即
WG＝－（Ep2－Ep1）＝ 。
被舉高　
mgh　
標(biāo)量　
大小　
減少　
增加　
等于　
－ΔEp　
彈性勢能
1. 定義：物體由于發(fā)生 而具有的能。
2. 大小：彈簧的彈性勢能的大小與形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，彈簧的形變
量 ，勁度系數(shù) ，彈簧的彈性勢能越大。
3. 彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系：類似于重力做功與重力勢能變化的關(guān)
系，用公式表示：W＝ 。
彈性形變　
越大　
越大　
－ΔEp　
機械能守恒定律
1. 機械能： 和 統(tǒng)稱為機械能，其中勢能包括
和 。
2. 機械能守恒定律的內(nèi)容：在只有 做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動
能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能 。
3. 機械能守恒定律的表達(dá)式
mgh1＋m＝mgh2＋m。
動能　
勢能　
彈性勢
能　
重力勢能　
重力或彈力　
保持不變　
4. 機械能守恒定律的條件：只有重力或彈簧的彈力做功。
1. 被舉到高處的物體重力勢能可以為零。 （　√　）
2. 物體在速度增大時，其機械能可能在減小。 （　√　）
3. 物體所受合外力為零時，機械能一定守恒。 （　×　）
4. 物體受到摩擦力作用時，機械能一定變化。 （　×　）
5. 物體除受重力外，還受其他力，但其他力不做功，則物體的機械能一定
守恒。 （　√　）
√
√
×
×
√
1. （2023·浙江1月選考4題）一位游客正在體驗蹦極，綁上蹦極專用的橡
皮繩后從跳臺縱身而下。游客從跳臺下落直到最低點過程中（　　）
A. 彈性勢能減小
B. 重力勢能減小
C. 機械能保持不變
D. 繩一繃緊動能就開始減小
√
解析： 　開始階段橡皮繩未拉直，游客做加速運動，下落到一定高度時
橡皮繩繃緊，游客開始受到向上的彈力作用，彈力從零逐漸增大，游客所
受合力逐漸減小，但速度繼續(xù)增大，直到合力減為零時速度達(dá)到最大，之
后合力變?yōu)橄蛏喜⒅饾u增大，速度開始減小，到最低點時速度減小為零，
彈力達(dá)到最大值。橡皮繩繃緊后彈性勢能一直增大，A錯誤；游客高度一
直降低，重力勢能一直減小，B正確；下落過程游客受到空氣阻力的作
用，橡皮繩繃緊瞬間機械能也有損失，C錯誤；橡皮繩繃緊后的一段時間
內(nèi)，游客動能繼續(xù)增加，合力變?yōu)橄蛏虾螅瑒幽懿砰_始減小，D錯誤。
2. 〔多選〕（人教版必修第二冊·第八章第4節(jié)“練習(xí)與應(yīng)用”T3改編）如
圖所示，在地面上以初速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地
面低h的海平面上。若以地面為零勢能面，而且不計空氣阻力，則下列說
法正確的是（　　）
A. 重力對物體做的功為mgh
B. 物體在海平面上的重力勢能為mgh
C. 物體在海平面上的動能為m－mgh
D. 物體在海平面上的機械能為m
√
√
解析： 　從地面到海平面重力對物體做的功為mgh，故A正確；地面為
零勢能面，所以物體在海平面上的重力勢能為－mgh，故B錯誤；物體在地
面上的機械能為m，由機械能守恒定律得，物體在海平面上的機械能
也為m，故D正確；物體在海平面上的動能為m－（－mgh）＝
m＋mgh，故C錯誤。
題型 規(guī)律 方法
著眼“四翼”·探考點
考點一　機械能守恒的理解與判斷
1. 對機械能守恒條件的理解
（1）只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運動，物體的機械
能守恒。
（2）除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數(shù)和為零。
（3）除重力外，只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢能
變化量的負(fù)值，那么系統(tǒng)的機械能守恒，注意并非物體的機械能守恒，如
與彈簧相連的小球下擺的過程機械能減少。
2. 機械能守恒的判定方法
（1）做功條件分析法：若物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈簧彈力做功，其他力
均不做功，則系統(tǒng)的機械能守恒。
（2）能量轉(zhuǎn)化分析法：若只有系統(tǒng)內(nèi)物體間動能和重力勢能及彈性勢能
的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉(zhuǎn)變成其
他形式的能（如沒有內(nèi)能增加），則系統(tǒng)的機械能守恒。
（2024·重慶高考2題）2024年5月3日，嫦娥六號探測器成功發(fā)射，開
啟月球背面采樣之旅，探測器的著陸器、上升器組合體著陸月球要經(jīng)過減
速、懸停、自由下落等階段。則組合體著陸月球的過程中（　　）
A. 減速階段所受合外力為0
B. 懸停階段不受力
C. 自由下落階段機械能守恒
D. 自由下落階段加速度大小g＝9.8 m/s2
√
解析：組合體在減速階段有加速度，所受合外力不為零，故A錯誤；組合
體在懸停階段速度為零，處于平衡狀態(tài)，合力為零，仍受重力和升力，故
B錯誤；組合體在自由下落階段只受重力，機械能守恒，故C正確；月球表
面重力加速度不為9.8 m/s2，故D錯誤。
如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上。現(xiàn)將一小球從圖
示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，
下列說法中正確的是（　　）
A. 斜劈對小球的彈力不做功
B. 斜劈與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒
C. 斜劈的機械能守恒
D. 小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量
√
解析：不計一切摩擦，小球下滑時，斜劈和小球組成的系統(tǒng)只有小球
的重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，B正確；斜劈動能增加，重力勢能不
變，故斜劈的機械能增加，C錯誤；由系統(tǒng)機械能守恒可知，小球重力
勢能的減少量等于斜劈動能的增加量和小球動能的增加量之和，D錯
誤；斜劈對小球的彈力與小球位移的夾角大于90°，故斜劈對小球的
彈力做負(fù)功，A錯誤。
考點二　單物體的機械能守恒問題
1. 機械能守恒定律表達(dá)式
說明：單個物體應(yīng)用機械能守恒定律時選用守恒觀點或轉(zhuǎn)化觀點進(jìn)行
列式。
2. 應(yīng)用機械能守恒定律解題的一般步驟
（2025·海南海口期中）如圖所示是體育課上某同學(xué)水平拋出鉛球的
示意圖，不考慮空氣阻力，選地面作為參考平面，用h表示鉛球離地面的
高度、E表示鉛球的機械能，Ep表示鉛球的重力勢能、Ek表示鉛球的動
能，則鉛球下落過程中，下列圖像可能正確的是（　　）
√
解析：不考慮空氣阻力，拋出后的鉛球機械能守恒，故A錯誤，B正確；鉛
球的重力勢能為Ep＝mgh，h表示鉛球離地面的高度，鉛球拋出后，h越來
越小，重力勢能也越來越小，故C錯誤；設(shè)拋出時鉛球的動能為E0，距地
面的高度為h0，根據(jù)機械能守恒定律得mgh0＋E0＝mgh＋Ek，可得Ek＝
mgh0＋E0－mgh，故D錯誤。
（2024·全國甲卷17題）如圖，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)
量為m的小環(huán)套在大圓環(huán)上，小環(huán)從靜止開始由大圓環(huán)頂端經(jīng)Q點自由下滑
至其底部，Q為豎直線與大圓環(huán)的切點。則小環(huán)下滑過程中對大圓環(huán)的作
用力大小（　　）
A. 在Q點最大 B. 在Q點最小
C. 先減小后增大 D. 先增大后減小
√
解析：設(shè)小環(huán)運動軌跡所對的圓心角為θ（0≤θ≤π），大圓環(huán)的半徑為
R，大圓環(huán)對小環(huán)的作用力為F，則由動能定理有mgR（1－cos θ）＝
mv2，又小環(huán)做圓周運動，則有F＋mgcos θ＝m，聯(lián)立得小環(huán)下滑過程中
受到大圓環(huán)的作用力F＝mg（2－3cos θ），則F的大小先減小后增大，且
當(dāng)cos θ＝時F最小，當(dāng)cos θ＝－1，即小環(huán)在大圓環(huán)最低點時F最大，結(jié)合
牛頓第三定律可知，C正確。
　如圖所示，滑雪運動員從被冰雪覆蓋的斜坡頂端A以速度vA＝2 m/s滑
下，到達(dá)坡底B時的速度為vB＝16 m/s。運動過程中的阻力均忽略不計，g
取10 m/s2。求：
（1）A、B兩點間的豎直高度差h；
答案： 12.6 m　
解析： 運動員在運動過程中，只有重力做功，因此運動員的機械能
守恒。將坡底B所在的水平面設(shè)為參考平面，根據(jù)機械能守恒定律，有
m＋mgh＝m
解得h＝12.6 m。
（2）如果運動員由坡底以速度vB'＝7 m/s沖上坡面，它能到達(dá)的最高點高
度h'。
答案： 2.45 m
解析：運動員從坡底B運動到最高點的過程中只有重力做功，機械能仍然守
恒，仍以坡底B所在的水平面為參考平面，則有mgh'＝mvB'2
解得h'＝2.45 m。
考點三　多物體系統(tǒng)的機械能守恒問題
1. 解決多物體系統(tǒng)機械能守恒的注意點
（1）對多個物體組成的系統(tǒng)，要注意判斷物體運動過程中系統(tǒng)的機械能
是否守恒。一般情況為：不計空氣阻力和一切摩擦，系統(tǒng)的機械能守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
（3）列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
（1）速率相等情景
注意分析各個物體在豎直方向的高度變化。
（2）角速度相等情景
2. 三種實際情景的分析
①用桿連接的兩個物體，若繞某一固定點做圓周運動，根據(jù)角速度ω相等
確定兩物體線速度v的大小關(guān)系。
②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機
械能不守恒。
兩點提醒
（3）某一方向分速度相等情景（關(guān)聯(lián)速度情景）
兩物體速度的關(guān)聯(lián)實質(zhì)：沿繩（或沿桿）方向的分速度大小相等。
如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B用不可伸長的細(xì)軟輕線連接，跨
過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍。當(dāng)B位于地面
上時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是
（　　）
A. 2R B. C. D.
√
解析：設(shè)小球B的質(zhì)量為m，則小球A的質(zhì)量為2m，小球A剛落地時，兩球
速度大小都為v，根據(jù)機械能守恒定律得2mgR＝×（2m＋m）v2＋mgR，
小球B繼續(xù)上升的過程，由動能定理可得－mgh＝0－mv2，聯(lián)立解得h＝
，小球B上升的最大高度為h＋R＝，故選C。
（2025·江蘇贛榆中學(xué)質(zhì)檢）質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中
間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為L，在離P球處有一個光滑固定轉(zhuǎn)軸O，如圖
所示。現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，小球Q順時針擺動到最低位
置，則（重力加速度為g）（　　）
A. 小球P在最高位置的速度大小為
B. 小球Q在最低位置的速度大小為
C. 小球P在此過程中機械能增加mgL
D. 小球Q在此過程中機械能減少mgL
√
解析：設(shè)小球Q順時針擺動到最低位置時的速度為v1，此時P運動到最高點
的速度為v2，整個系統(tǒng)機械能守恒，有2mg·L－mg·＝×2m＋m，
又由于兩球都繞O點轉(zhuǎn)動，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝，v2
＝，A、B錯誤；在此過程中，小球P的機械能增加ΔE＝mg·＋m
＝mgL，由于整個系統(tǒng)機械能守恒，因此小球Q在此過程中機械能減少
mgL，C正確，D錯誤。
〔多選〕（2025·福建廈門一中檢測）如圖所示，質(zhì)量均為m的物塊A
和B，用不可伸長的輕繩連接，A放在傾角為θ的固定光滑斜面上，而B能沿
光滑豎直桿上下滑動，桿和滑輪中心間的距離為L，物塊B從與滑輪等高處
由靜止開始下落，斜面與桿足夠長，重力加速度為g。在物塊B下落到繩與
水平方向的夾角為θ的過程中，下列說法正確的是（　　）
A. 物塊B的機械能的減少量大于物塊A的重力勢能的增加量
B. 物塊B的重力勢能減少量為mgLtan θ
C. 物塊A的速度大于物塊B的速度
D. 物塊B的末速度為
√
√
√
解析：在物塊B下落到繩與水平方向的夾角為θ時，物塊B下降的高度為h＝
Ltan θ，則物塊B的重力勢能減少量為ΔEpB＝mgLtan θ，物塊A沿斜面上升
的距離為x＝－L，設(shè)此時物塊A的速度為vA，物塊B的速度為vB，A、B
組成的系統(tǒng)運動過程中只有重力做功，故系統(tǒng)機械能守恒，所以物塊B的
機械能減少量等于物塊A的機械能增加量，有mgLtan θ－m＝m＋
mgxsin θ，物塊A沿斜面上升時動能和勢能都增加，故A、B正確；將物塊B
的速度分解為沿繩方向的速度和垂直于繩方向的速度，則vA＝v繩＝vBsin
θ，則物塊A的速度小于物塊B的速度，故C錯誤；聯(lián)立以上表達(dá)式可得vB＝
，故D正確。
現(xiàn)實 科技 應(yīng)用
聚焦“素養(yǎng)”·提能力
含彈簧系統(tǒng)的機械能守恒問題
　由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時
系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能
守恒。分析含彈簧問題時，注意以下兩點：
（1）對同一彈簧，彈簧的彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無
論彈簧伸長還是壓縮。
（2）彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體
具有相同的速度，彈簧的彈性勢能最大。
〔多選〕如圖所示，物體A、B通過細(xì)繩及輕質(zhì)彈簧連接在輕滑輪
兩側(cè)，物體A、B的質(zhì)量分別為2m、m，開始時細(xì)繩伸直，用手托著物體A
使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上，放手后物體A
下落，與地面即將接觸時速度大小為v，此時物體B對地面恰好無壓力，不
計一切摩擦及空氣阻力，重力加速度大小為g，則下列說法中正確的是
（　　）
A. 物體A下落過程中，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒
B. 彈簧的勁度系數(shù)為
C. 物體A著地時的加速度大小為
D. 物體A著地時彈簧的彈性勢能為2mgh
√
√
解析：物體A下落過程中，物體B一直靜止不動，對于物體A和彈簧組成的
系統(tǒng)，只有重力和彈力做功，則物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，故A
正確；A即將觸地時，物體B對地面的壓力恰好為零，故彈簧的拉力為FT＝
mg，開始時彈簧處于原長，由胡克定律知F＝kΔx，得彈簧的勁度系數(shù)為k
＝，故B錯誤；物體A著地時，細(xì)繩對A的拉力等于mg，對A受力分析，
根據(jù)牛頓第二定律得2mg－mg＝2ma，得a＝，故C正確；物體A與彈簧組
成的系統(tǒng)機械能守恒，有2mgh＝Ep＋×2mv2，所以Ep＝2mgh－mv2，故D
錯誤。
如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)光滑定滑輪的細(xì)線相連，A放在
固定的傾角為30°的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)
為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上。現(xiàn)用手控制住A，使細(xì)線恰好
伸直，保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知B、C的質(zhì)量均
為m，重力加速度為g。松手后A由靜止開始沿斜面下滑，當(dāng)A速度最大時C
恰好離開地面，則A下滑的最大速度為（　　）
A. 2g B. g
C. D. g
√
解析：對A、B兩小球組成的整體，由平衡條件可得mAgsin 30°＝F＋mg，
F為此時彈簧的彈力，因此時C恰好離開地面，則有F＝mg，聯(lián)立解得mA＝
4m，C恰好離開地面時，對C，有kx2＝mg，解得x2＝，此時A、B有最大
速度，且A、B速度大小相等。開始時系統(tǒng)靜止，彈簧被壓縮，繩上無拉
力，對B，有kx1＝mg，解得x1＝，從釋放A到C恰好離開地面的過程中，
彈簧的彈性勢能變化量是零，在此過程中A、B、C組成的系統(tǒng)機械能守
恒，由機械能守恒定律可得4mg（x1＋x2）sin 30°＝mg（x1＋x2）＋·（4m
＋m），解得vAm＝2g ，故選A。
培養(yǎng)“思維”·重落實
夯基 提能 升華
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1. 〔多選〕（2025·湖北黃岡期末）如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒
的判斷正確的是（　　）
A. 圖甲中，物體A豎直向下壓縮彈簧，不計空氣阻力，物體A、彈簧和地
球組成的系統(tǒng)機械能守恒
B. 圖乙中，物體B沿固定斜面勻速下滑，物體B機械能守恒
C. 圖丙中，物體A豎直加速下落，物體B豎直加速上升，不計定滑輪質(zhì)量
和任何阻力，物體A的機械能守恒
D. 圖丁中，小球沿水平面做勻速圓周運動，小球的機械能不變
√
√
解析： 　題圖甲中，物體A豎直向下將彈簧壓縮的過程中，物體A的機
械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，物體A的重力勢能是物體A與地球所共有，所
以物體A、彈簧和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，故A正確；題圖乙中，物體
B沿固定斜面勻速下滑，說明B受到向上的摩擦力作用，對物體B做負(fù)功，
物體B機械能減少，故B錯誤；題圖丙中，不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時A
加速下落，B加速上升的過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，B物體的機
械能增加，所以A物體的機械能減少，物體A的機械能不守恒，故C錯誤；
題圖丁中，小球沿水平面做勻速圓周運動時，小球的動能和重力勢能都不
變，故小球的機械能不變，故D正確。
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2. 質(zhì)量為m的小球，從離地面h高處以初速度v0豎直上拋，小球上升到最高
點時離拋出點距離為H，若選取最高點為零勢能面，不計空氣阻力，則
（　　）
A. 小球在拋出點（剛拋出時）的機械能為零
B. 小球落回拋出點時的機械能為－mgH
C. 小球落到地面時的動能為m－mgh
D. 小球落到地面時的重力勢能為－mgh
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解析： 　小球上升到最高點時，動能為0，勢能也為0，所以在最高點的
機械能為0，在小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒，故任意位置
的機械能都為0，所以小球落回到拋出點時的機械能是0，故A正確，B錯
誤；小球從拋出點到落地過程中，只有重力做功，由動能定理得mgh＝
mv2－m，解得小球落地時的動能Ek＝mv2＝m＋mgh，故C錯誤；
小球落到地面時的重力勢能為－mg（h＋H），D錯誤。
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3. （2025·北京海淀模擬）如圖所示，將輕質(zhì)彈簧的一端固定在水平桌面
上O點，當(dāng)彈簧處于自由狀態(tài)時，彈簧另一端在A點。用一個金屬小球擠壓
彈簧至B點，由靜止釋放小球，隨即小球被彈簧豎直彈出，已知C點為AB
的中點，則（　　）
A. 從B到A過程中，小球的機械能守恒
B. 從B到A過程中，小球的動能一直在增大
C. 從B到A過程中，彈簧的彈性勢能先增大后減小
D. 從B到C過程彈簧彈力對小球做功大于從C到A過程彈簧彈力
對小球做功
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解析： 　從B到A過程中，小球除受重力外還受彈簧對小球的彈力，且彈
力做正功，故小球的機械能不守恒，故A錯誤；從B到A過程中，彈簧彈力
和重力平衡位置處動能最大，合力對小球先做正功后做負(fù)功，小球的動能
先增大后減小，故B錯誤；從B到A過程中，彈簧的壓縮量一直在減小，故
彈簧的彈性勢能一直減小，故C錯誤；因為從B到C過程彈簧的平均作用力
大于從C到A過程彈簧的平均作用力，兩過程位移大小相等，故從B到C過
程彈簧彈力對小球做功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做功，故D正確。
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4. （2024·北京高考7題）如圖所示，光滑水平軌道AB與豎直面內(nèi)的光滑半
圓形軌道BC在B點平滑連接。一小物體將輕彈簧壓縮至A點后由靜止釋
放，物體脫離彈簧后進(jìn)入半圓形軌道，恰好能夠到達(dá)最高點C。下列說法
正確的是（　　）
A. 物體在C點所受合力為零
B. 物體在C點的速度為零
C. 物體在C點的向心加速度等于重力加速度
D. 物體在A點時彈簧的彈性勢能等于物體在C點的動能
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解析： 　設(shè)物體恰好到達(dá)C點的速度大小為v，則在C點，根據(jù)恰好由重力
提供向心力，有mg＝m＝ma向，解得v＝，向心加速度a向＝g，A、B
錯誤，C正確；物體從A點到C點的過程，由機械能守恒定律可知，彈簧的
彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體在C點的重力勢能和動能，D錯誤。
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5. 一長為L、質(zhì)量可不計的剛性硬桿，左端通過鉸鏈固定于O點，中點及
右端分別固定質(zhì)量為m和質(zhì)量為2m的小球，兩球與桿可在豎直平面內(nèi)繞O
點無摩擦地轉(zhuǎn)動。開始時使桿處于水平狀態(tài)并由靜止釋放，如圖所示。當(dāng)
桿下落到豎直位置時，在桿中點的球的速率為（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　兩球轉(zhuǎn)動的角速度相等，根據(jù)v＝ωr可知兩球的線速度大小之比
為1∶2，設(shè)桿中點處小球的速度為v，則外端小球的速度為2v，桿由初狀態(tài)
下落到豎直位置過程中，對系統(tǒng)由機械能守恒定律得2mgL＋mg＝mv2＋
×2m（2v）2，可解得在桿中點的球的速率為v＝，故A正確。
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6. （2024·江西撫州一模）如圖所示，某人站在山頂上，將一質(zhì)量m＝0.5
kg的石塊沿與水平方向成θ＝45°夾角的方向斜向上拋出，石塊出手時離
地面的高度h＝40 m，石塊落在水平地面上的動能Ek＝400 J，不計空氣阻
力作用，重力加速度g取10 m/s2，則（　　）
A. 石塊拋出時的速度大小為40 m/s
B. 石塊在空中運動的時間約為2.8 s
C. 石塊在運動過程中，最大速度為50 m/s
D. 石塊在運動過程中，最小速度為20 m/s
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解析： 　石塊落地時速度最大，根據(jù)Ek＝mv2，可得石塊的最大速度
v＝40 m/s，故C錯誤；根據(jù)機械能守恒定律有mgh＋m＝mv2，解
得石塊拋出時的速度大小v0＝20 m/s，故A錯誤；石塊拋出后，在豎
直方向上做上拋運動，總運動時間比自由落體運動時間要長，即t＞
≈2.8 s，故B錯誤；石塊運動到軌跡最高點時，豎直方向速度為
零，其速度最小，最小速度等于拋出時速度的水平分速度，即vx＝
v0cos 45°＝20 m/s，故D正確。
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7. （2025·青海西寧模擬）如圖所示，頂角P為53°的光滑“ ”形硬桿固
定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的小球甲、乙（均視為質(zhì)點）用長度為L的輕
質(zhì)硬桿連接，分別套在“ ”形硬桿的傾斜和水平部分，當(dāng)輕質(zhì)硬桿呈豎
直狀態(tài)時甲靜止在A點，乙靜止在C點。甲由于受到輕微的擾動開始運動，
當(dāng)甲運動到B點時，輕質(zhì)硬桿與“ ”形硬桿的傾斜部分垂直，重力加速度
大小為g，則甲在B點的速度大小為（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由于甲在B位置時，輕質(zhì)硬桿與AP傾斜部分垂直，根據(jù)關(guān)聯(lián)速
度的分解規(guī)律可知，甲沿輕質(zhì)硬桿的分速度為0，即此時乙的速度為0，甲
小球減小的重力勢能轉(zhuǎn)化為甲的動能，則有mg（L－Lsin 37°）＝mv2，
解得v＝，故選B。
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8. （2025·山東菏澤期末）如圖所示，ABC為固定于豎直平面內(nèi)的一段內(nèi)
壁光滑的中空細(xì)管，BC段被彎成以O(shè)為圓心、半徑R＝0.2 m的一小段圓
弧，A點、O點位于地面，OC連線豎直。一質(zhì)量m＝0.4 kg的小球（可視為
質(zhì)點）從圓弧底端A點沿切線以初速度v0進(jìn)入細(xì)管ABC，從C點水平飛出，
落地點到O點的距離x＝0.2 m。已知重力加速度取g＝10 m/s2，不計空氣阻
力，小球橫截面略小于細(xì)管中空部分的橫截面。求：
（1）小球在C點對細(xì)管壁的壓力FN；
答案： 2 N，方向豎直向下　
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解析： 小球從C點飛出后做平拋運動，則有R＝gt2，x＝vCt
解得vC＝1 m/s
在C點的速度vC＝1 m/s＜
則有mg－F＝m
解得F＝2 N
根據(jù)牛頓第三定律，小球在C點對細(xì)管壁的壓力FN＝2 N，方向豎直向下。
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（2）小球在A點的初速度大小v0。
答案： m/s
解析：小球從A到C過程，根據(jù)機械能守恒定律，有mgR＝m－m
解得v0＝ m/s。
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9. （2025·江蘇蘇州三模）如圖所示，一半徑為R的
光滑硬質(zhì)圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)與光滑足夠長的水
平桿相連，在圓環(huán)最高點的豎直切線和最低點的水
平切線的交點處固定一光滑輕質(zhì)小滑輪C，質(zhì)量為m的小球A穿在環(huán)上，且可以自由滑動，小球A通過足夠長的不可伸長細(xì)線連接另一質(zhì)量也為m的小球B，細(xì)線搭在滑輪上，現(xiàn)將小球A從環(huán)上最高點由靜止釋放，重力加速度為g，不計空氣阻力，求：
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解析： 對小球A，有F＝ma
對小球B，有mg－F＝ma
聯(lián)立解得張力F＝0.5mg。
（1）小球A到達(dá)D點時細(xì)線中的張力；
答案： 0.5mg　
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（2）小球A到達(dá)D點時小球B的速度；
答案： 　
解析：小球A到達(dá)D點時，小球B回到原位置，系統(tǒng)機械能守恒，有mgR＝
m＋m
此時兩小球速度大小相等，有vA＝vB
聯(lián)立解得vB＝。
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（3）小球A運動一個周期小球B的路程。
答案： （10－4）R
解析：小球A過D點后沿桿向左運動，小球B高度上升，到兩者速度為零。假
設(shè)小球B上升距離為x，由機械能守恒定律可知mgR＝mgx
解得x＝R
小球A恰好經(jīng)過OC與圓環(huán)的交點處，此時小球B下降的高度hB＝R－（R
－R）＝（2－）R
由于系統(tǒng)機械能守恒，系統(tǒng)做周期性運動，在小球A再次回到最高點的過
程中，小球B的路程為s＝2（2hB＋x）
解得s＝（10－4）R。
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演示完畢 感謝觀看

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