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第四章 萬有引力定律及航天
第2節(jié) 萬有引力定律的應(yīng)用
萬有引力定律如何幫助人們實(shí)現(xiàn)“飛天”的夢想？
夢想
實(shí)現(xiàn)
古代 “飛天”傳說
嫦娥四號(hào)奔月
1.掌握天體質(zhì)量求解的基本思路。
2.知道宇宙三大速度，能會(huì)推導(dǎo)第一宇宙速度。
3. 感受科學(xué)定律的預(yù)測作用，體會(huì)萬有引力定律對(duì)人類探索和認(rèn)識(shí)未知世界的作用。
01 天體質(zhì)量的計(jì)算
若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即
地面的重力加速度 g 和地球半徑 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦測得引力常量 G，就可以算出地球的質(zhì)量M 。因此，卡文迪什被稱為“第一個(gè)稱出地球質(zhì)量的人”。
1. 根據(jù)天體表面重力加速度求天體質(zhì)量
“黃金代換法”的應(yīng)用技巧
在不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響時(shí)，化簡得gR2=GM。此式通常叫做黃金代換式，適用于任何天體，主要用于天體的質(zhì)量M未知的情況下，用該天體的半徑R和表面的“重力加速度”g代換M。
假如你被送到月球上，且已經(jīng)知道月球半徑和引力常量，給你一只彈簧秤和一個(gè)已知質(zhì)量的砝碼，你能否測出月球的質(zhì)量？怎樣測定？
方案：
1、先測出砝碼在月球表面所受的重力
3、代入公式
2、再算出月球表面的重力加速度g

2. 根據(jù)行星或衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供求中心天體質(zhì)量
（1）方法1：選定一顆繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的衛(wèi)星(例如月球），測定衛(wèi)星的軌道半徑和周期。
（2）方法2：若已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的的軌道半徑r和運(yùn)行的線速度v。
中心天體M
轉(zhuǎn)動(dòng)天體m
軌道半經(jīng)r
天體半經(jīng)R
將行星（或衛(wèi)星）的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
萬有引力充當(dāng)向心力F引=Fn或在球體表面附近F引=G重
1.已知太陽與地球間的平均距離約為 1.5×1011m，你能估算太陽的質(zhì)量嗎？換用其他行星的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，結(jié)果會(huì)相近嗎？為什么？
思考討論
解：
換用其他行星的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，結(jié)果會(huì)相近
雖然不同行星與太陽間的距離 r 和繞太陽公轉(zhuǎn)的周期 T各不相同，但是根據(jù)開普勒第三定律，所有行星的 均相同，所以無論選擇哪顆行星的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期進(jìn)行計(jì)算，所得的太陽質(zhì)量均相同。
v
人造衛(wèi)星
在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，牛頓設(shè)想拋出速度很大時(shí)，物體就不會(huì)落回地面。
思考：當(dāng)物體速度非常大時(shí)，物體會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？
牛頓的設(shè)想
02 人造衛(wèi)星上天
1903年,俄國科學(xué)家齊奧爾科夫斯基(1857—1935) 提出了液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的構(gòu)想，首次闡述了如何利用多級(jí)火箭克服地球引力實(shí)現(xiàn)宇宙航行。正是基于這種構(gòu)想，人類在1957年成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星。如圖展示了用多級(jí)火箭發(fā)射衛(wèi)星，使衛(wèi)星進(jìn)人軌道的大致過程。
俄國科學(xué)家齊奧爾科夫斯基
如何使人造衛(wèi)星和宇宙飛船獲得足夠大的初始速度
思考：以多大的速度拋出這個(gè)物體，它才會(huì)繞地球表面運(yùn)動(dòng)，不會(huì)落下來？（已知Ｇ=6.67×10-11Nm2/kg2，地球質(zhì)M=6×1024kg，地球半徑R=6400km，地球表面重力加速度g=9.8m/s2）
這就是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度， 叫作第一宇宙速度（環(huán)繞速度）。
1.第一宇宙速度的分析與計(jì)算
發(fā)射衛(wèi)星的軌道越高，需要克服萬有引力的阻礙作用越多，所以發(fā)射速度需要增加。
（2）第一宇宙速度是航天器成為衛(wèi)星的最小發(fā)射速度
（3）第一宇宙速度是物體繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度
（1）第一宇宙速度的大小：v=7.9km/s;
思考與討論：若衛(wèi)星的發(fā)射速度大于 7.9km/s ，會(huì)出現(xiàn)什么情況？
7.9km/s
7.9km/s 橢圓
圓
若衛(wèi)星的發(fā)射速度大于 7.9km/s，又小于11.2km/s時(shí)，它繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡不再是圓，而是橢圓，發(fā)射速度越大，橢圓軌道越“扁”。
2.認(rèn)識(shí)第二宇宙速度
理論研究指出，在地面附近發(fā)射飛行器，如果速度大于 7.9 km/s，又小于 11.2 km/s，它繞地球運(yùn)行的軌跡就不是圓，而是橢圓。當(dāng)飛行器的速度等于或大于 11.2 km/s 時(shí)，它就會(huì)克服地球的引力，永遠(yuǎn)離開地球。我們把 11.2 km/s叫作第二宇宙速度（逃逸速度）。
3.認(rèn)識(shí)第三宇宙速度
達(dá)到第二宇宙速度的飛行器還無法脫離太陽對(duì)它的引力。在地面附近發(fā)射飛行器，如果要使其掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外，必須使它的速度等于或大于 16.7 km/s， 這個(gè)速度叫作第三宇宙速度（脫離速度）。
數(shù)值 意義
第一宇宙速度 ___km/s (1)衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做___________的速度
(2)人造衛(wèi)星的最小地面發(fā)射速度
第二宇宙速度 ____km/s 使衛(wèi)星掙脫_____引力束縛的最小地面發(fā)射速度
第三宇宙速度 ____km/s 使衛(wèi)星掙脫_____引力束縛的_____地面發(fā)射速度
7.9
勻速圓周運(yùn)動(dòng)
11.2
地球
16.7
太陽
最小
將各種衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)都近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，你能推出衛(wèi)星環(huán)繞速度、角速度、周期、向心加速度與軌道半徑的關(guān)系嗎？
分析可知，衛(wèi)星軌道半徑越大，運(yùn)行速度越慢，周期越長。
4.人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量：
高軌低速大周期
（1）近地衛(wèi)星：
所有地球衛(wèi)星運(yùn)行速度小于7.9km/s、周期大于1.4小時(shí)。
對(duì)衛(wèi)星：
5. 特殊衛(wèi)星
軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，r=R
g：地球表面的重力加速度
v
=85min
=7.9km/s
①相對(duì)于地面靜止的，和地球具有相同周期的衛(wèi)星，T=24h，因?yàn)榈厍蛲叫l(wèi)星主要用于通信等方面，故地球同步衛(wèi)星又叫通信衛(wèi)星。
F1
F2
F3
②同步衛(wèi)星在赤道正上方（因?yàn)橥叫l(wèi)星相對(duì)地面某點(diǎn)的位置保持不變），所以軌道平面與赤道重合。
發(fā)射3顆等距分布的通信衛(wèi)星幾乎可以實(shí)現(xiàn)全球通信。
（2）地球同步衛(wèi)星
③地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：“五個(gè)一定”
a. 定軌道平面：所有地球同步衛(wèi)星的軌道平面均在赤道平面內(nèi)。
b. 定周期：運(yùn)轉(zhuǎn)周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期，即T＝24h（ω也一定）
c. 定方向：同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致（自西向東）。
d. 定高度：在赤道正上方，距地面高度高度h≈3.6×107m
h
≈ 3.6×107m
≈ 5.6R
e. 定速率：運(yùn)行速率為v =3.1km/s
≈ 3.1×103m/s
實(shí)際軌道
理論軌道
海王星
天王星
(英)亞當(dāng)斯 (法)勒維耶
筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星：海王星、哈雷彗星。。。
03 發(fā)現(xiàn)未知天體
海王星的發(fā)現(xiàn)
通過萬有引力定律成功地預(yù)測未知的星體，不僅鞏固了萬有引力定律的地位，也充分展示了科學(xué)理論的預(yù)見性。
1.已知下列哪組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球的質(zhì)量M ( )
A、地球繞太陽運(yùn)行的周期T地及地球距離太陽中心的距離R地日
B、月球繞地球運(yùn)行的周期T月及月球離地球中心的距離R月地
C、人造地球衛(wèi)星在地面附近繞行時(shí)的速度v和運(yùn)行周期T衛(wèi)
D、若不考慮地球的自轉(zhuǎn)，已知地球的半徑及重力加速度
BCD
2.(多選)物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度叫作第一宇宙速度。關(guān)于第一宇宙速度,下列說法正確的是( )
A.第一宇宙速度大小約為11.2 km/s
B.第一宇宙速度是使人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)所需的最小發(fā)射速度
C.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的最小運(yùn)行速度
D.若已知地球的半徑和地球表面的重力加速度,即可求出第一宇宙速度
BD
3.如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則(　　 )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
ABC
4.在地球上以速度v發(fā)射一顆衛(wèi)星,其剛好在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于該衛(wèi)星,下列說法正確的是( )
A.發(fā)射速度v的大小可能是9 km/s
B.若發(fā)射速度v提高到10 km/s,該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌跡為橢圓
C.若發(fā)射速度提高到2v,該衛(wèi)星將繞地球在更高的橢圓軌道上運(yùn)行
D.若發(fā)射速度提高到2v,該衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛
B
第一宇宙速度(環(huán)繞速度)： v1=7.9km/s
預(yù)測未知天體
人造衛(wèi)星上天
天體質(zhì)量的計(jì)算
根據(jù)天體表面重力加速度求天體質(zhì)量：
根據(jù)行星或衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供求中心天體質(zhì)量：
第二宇宙速度(脫離速度)： v1=11.2km/s
第三宇宙速度(逃逸速度)： v1=16.7km/s
特殊衛(wèi)星：近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星
萬有引力定律的應(yīng)用

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