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第2練　常用邏輯用語(yǔ)
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2024·廣東梅州一模)命題“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
C． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
2．(2025·鄂豫皖五十三校聯(lián)考)已知命題p：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則綈p是(　　)
A． x∈R，－x<0
B． x∈R，－x≤0
C． x∈R，－x≤0
D． x∈R，－x<0
3．(2025·天津北辰區(qū)模擬)對(duì)于實(shí)數(shù)x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．設(shè)非空集合P，Q滿(mǎn)足P∩Q＝P，則(　　)
A． x∈Q，有x∈P
B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P
D． x∈P，使得x Q
5．若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．(2025·云南昆明一中階段考試)已知命題p： x＞0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．{a|a＜1} B．{a|a≤1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≥1}
7．(2024·四川成都模擬)命題p： x>1，＋2x－3>0，命題q： x∈R，2x2－4x＋3＝0，則(　　)
A．p真q真 B．p假q假
C．p假q真 D．p真q假
8．(2025·云南名校聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1A．[－1，0] B．(－1，0)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列四個(gè)選項(xiàng)中，q是p的充要條件的是(　　)
A．p：q：
B．p：q：
C．p：q：
D．p：q：
10．(2025·湖南長(zhǎng)沙一中模擬)下列命題中，是真命題的是(　　)
A． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
B．若x＋y≥6，則x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于3
C． x∈R，2xD．命題“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x≥0，x2－x－2≥0”
11．命題“ x∈[1，2]，x2≤a”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(　　)
A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4
C．a(chǎn)≥－2 D．a(chǎn)＝4
三、填空題
12．《墨子·經(jīng)說(shuō)上》上說(shuō)：“小故，有之不必然，無(wú)之必不然．體也，若有端，大故，有之必然，若見(jiàn)之成見(jiàn)也．”這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的________(填“充分條件”“必要條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)．
13．(2025·江西九江模擬)已知命題：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
14．若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b為實(shí)數(shù)．
(1)若A是B的充要條件，則b＝________；
(2)若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是________．
四、解答題
15．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3)≤0}，B＝{x|x≤m－2，或x≥4m－1}，且B≠R.
(1)若命題“ x∈A，則x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題“ x∈A，使得x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.
第2練　常用邏輯用語(yǔ)（解析版）
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2024·廣東梅州一模)命題“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
C． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
答案：C
解析：存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題，所以命題“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．故選C.
2．(2025·鄂豫皖五十三校聯(lián)考)已知命題p：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則綈p是(　　)
A． x∈R，－x<0
B． x∈R，－x≤0
C． x∈R，－x≤0
D． x∈R，－x<0
答案：B
解析：已知命題p：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，即p： x∈R，－x>0，則綈p： x∈R，－x≤0.故選B.
3．(2025·天津北辰區(qū)模擬)對(duì)于實(shí)數(shù)x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案：B
解析：因?yàn)閨x－3|≠2等價(jià)于x≠1且x≠5，且(－∞，1)∪(1，5)∪(5，＋∞)是(－∞，5)∪(5，＋∞)的真子集，所以“x≠5”是“|x－3|≠2”的必要不充分條件．故選B.
4．設(shè)非空集合P，Q滿(mǎn)足P∩Q＝P，則(　　)
A． x∈Q，有x∈P
B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P
D． x∈P，使得x Q
答案：B
解析：因?yàn)镻∩Q＝P，所以P Q，所以 x Q，有x P.故選B.
5．若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案：C
解析：解法一：充分性：因?yàn)閤y≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因?yàn)閤y≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件．故選C.
解法二：充分性：因?yàn)閤y≠0，且x＋y＝0，所以＋＝＝＝＝＝－2，所以充分性成立；必要性：因?yàn)閤y≠0，且＋＝－2，所以＋＝＝＝＝－2＝－2，所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件．故選C.
6．(2025·云南昆明一中階段考試)已知命題p： x＞0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．{a|a＜1} B．{a|a≤1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≥1}
答案：D
解析：∵p為假命題，∴綈p為真命題，即 x＞0，x＋a－1≠0，即 x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，則a≥1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}．
7．(2024·四川成都模擬)命題p： x>1，＋2x－3>0，命題q： x∈R，2x2－4x＋3＝0，則(　　)
A．p真q真 B．p假q假
C．p假q真 D．p真q假
答案：D
解析：對(duì)于命題p：令t＝>1，則y＝2t2＋t－3＝(2t＋3)(t－1)，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)t＞1時(shí)，y＝2t2＋t－3>0，所以 x>1，＋2x－3>0，即命題p為真命題；對(duì)于命題q：因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程2x2－4x＋3＝0無(wú)解，即命題q為假命題．故選D.
8．(2025·云南名校聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1A．[－1，0] B．(－1，0)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：A
解析：由x2－x－2<0，解得－1二、多項(xiàng)選擇題
9．下列四個(gè)選項(xiàng)中，q是p的充要條件的是(　　)
A．p：q：
B．p：q：
C．p：q：
D．p：q：
答案：ABC
解析：對(duì)于A，由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充要條件；對(duì)于B，由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充要條件；對(duì)于C，由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也成立，∴q是p的充要條件；對(duì)于D，由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝，∴q是p的必要不充分條件．故選ABC.
10．(2025·湖南長(zhǎng)沙一中模擬)下列命題中，是真命題的是(　　)
A． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
B．若x＋y≥6，則x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于3
C． x∈R，2xD．命題“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x≥0，x2－x－2≥0”
答案：AC
解析：對(duì)于A，當(dāng)x≥0時(shí)，x3≥0，所以x3＋x≥0，故A是真命題；對(duì)于B，取x＝3，y＝3，顯然為假命題，故B是假命題；對(duì)于C，取x＝－1，因?yàn)?－1<(－1)2，故C是真命題；對(duì)于D，命題“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x<0，x2－x－2≥0”，故D是假命題．故選AC.
11．命題“ x∈[1，2]，x2≤a”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(　　)
A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4
C．a(chǎn)≥－2 D．a(chǎn)＝4
答案：BD
解析：命題“ x∈[1，2]，x2≤a”等價(jià)于a≥1，即命題“ x∈[1，2]，x2≤a”為真命題，所對(duì)應(yīng)的a的取值范圍為[1，＋∞)，所求的一個(gè)充分不必要條件所對(duì)應(yīng)的集合真包含于[1，＋∞)，顯然只有B，D正確．故選BD.
三、填空題
12．《墨子·經(jīng)說(shuō)上》上說(shuō)：“小故，有之不必然，無(wú)之必不然．體也，若有端，大故，有之必然，若見(jiàn)之成見(jiàn)也．”這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的________(填“充分條件”“必要條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)．
答案：必要條件
解析：由“小故，有之不必然，無(wú)之必不然”，知“小故”是導(dǎo)致某個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的幾個(gè)條件中的一個(gè)或一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要條件．
13．(2025·江西九江模擬)已知命題：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案：(－∞，4]
解析：因?yàn)槊}“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，所以Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
14．若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b為實(shí)數(shù)．
(1)若A是B的充要條件，則b＝________；
(2)若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是________．
答案：(1)　(2)
解析：(1)由已知可得A＝B，則x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝.
(2)若A是B的充分不必要條件，則A?B，則有b>0，B＝，由(2，＋∞)?，得<2，b>，所以若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是.
四、解答題
15．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3)≤0}，B＝{x|x≤m－2，或x≥4m－1}，且B≠R.
(1)若命題“ x∈A，則x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題“ x∈A，使得x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：集合A＝{x|(x－2)(x－3)≤0}＝{x|2≤x≤3}，
B＝{x|x≤m－2，或x≥4m－1}，且B≠R，
所以m－2＜4m－1，解得m>－.
(1)若命題“ x∈A，則x∈B”是真命題，
即A B，
所以或
解得m≥5或－所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪[5，＋∞)．
(2)若命題“ x∈A，使得x∈B”是真命題，即A∩B≠ ，
所以或
解得m≥4或－所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪[4，＋∞)．
16．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.
證明：設(shè)p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.
①充分性(p q)：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況：當(dāng)xy＝0時(shí)，不妨設(shè)x＝0，則|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；
當(dāng)xy>0時(shí)，則x>0，y>0或x<0，y<0.
又當(dāng)x>0，y>0時(shí)，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立；
當(dāng)x<0，y<0時(shí)，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．
綜上，當(dāng)xy≥0時(shí)，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性(q p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
則|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
由①②可得，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.
12

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