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第1練　不等式及其性質
一、單項選擇題
1．已知a，b∈R，若a>b，<同時成立，則(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
2．已知a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
3．(2024·湖北襄陽一模)在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度是每秒4米，距離爆破點150米以外(含150米)為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導火索的長度x(單位：厘米)應滿足的不等式為(　　)
A．4×＜150 B．4×≥150
C．4×≤150 D．4×＞150
4．(2025·安徽合肥八中模擬)若1A．(－3，0) B．(－3，3)
C．(0，3) D．(－3，5)
5．(2024·陜西商洛模擬)已知a，b∈R，則“<”是“a3>b3”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．(2025·山東濟寧模擬)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xy＞xz
C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z
7．設a＞b＞0，x＝－，y＝－，則x，y的大小關系為(　　)
A．x＞y
B．x＜y
C．x＝y
D．x，y的大小關系不定
8．某次出行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價格有升也有降，現劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次均加200元的燃油．下列說法正確的是(　　)
A．采用第一種方案劃算
B．采用第二種方案劃算
C．兩種方案一樣
D．采用哪種方案無法確定
二、多項選擇題
9．下列說法中正確的是(　　)
A．若a>b>0，c∈R，則<
B．若a>b>0，c∈R，則ac2>bc2
C．若aab>b2
D．若a10．(2024·呼和浩特第二中學模擬)設實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a11．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，則(　　)
A．a＋b< B．a－b>－1
C.·b≤ D.≥－
三、填空題
12．能夠說明“設a，b是任意非零實數．若>1，則b>a”是假命題的一組整數a，b的值依次為________．
13．已知下列四個代數式：①4mn；②m2＋4n2；③4m2＋n2；④m2＋n2.若m>n>0，則代數式的值最大的是________(填序號)．
14．(2024·河北石家莊二模)若實數x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，則M＝4x＋3y＋5z的取值范圍是________．
四、解答題
15．(1)證明： x，y∈R，x4＋y2≥x2y；
(2)已知a>b>c>d>0，證明：<.
16．(2025·安徽亳州模擬)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假設全部溶解)，糖水變甜了．
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
(2)在銳角三角形ABC中，根據(1)中的結論，證明：＋＋<2.
第1練　不等式及其性質（解析版）
一、單項選擇題
1．已知a，b∈R，若a>b，<同時成立，則(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
答案：A
解析：因為<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
2．已知a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
答案：D
解析：由于每個式子中都有a，故先比較1，b，b2的大小．因為－1ab2>a.故選D.
3．(2024·湖北襄陽一模)在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度是每秒4米，距離爆破點150米以外(含150米)為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導火索的長度x(單位：厘米)應滿足的不等式為(　　)
A．4×＜150 B．4×≥150
C．4×≤150 D．4×＞150
答案：B
解析：由題意，知導火索燃燒的時間為秒，人在此時間內跑的路程為米，由題意可得4×≥150.故選B.
4．(2025·安徽合肥八中模擬)若1A．(－3，0) B．(－3，3)
C．(0，3) D．(－3，5)
答案：B
解析：因為－45．(2024·陜西商洛模擬)已知a，b∈R，則“<”是“a3>b3”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案：A
解析：若<，則a>b>0，所以a3>b3，充分性成立；若a3>b3，則a>b，但<不一定成立，不滿足必要性，所以“<”是“a3>b3”的充分不必要條件．故選A.
6．(2025·山東濟寧模擬)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xy＞xz
C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z
答案：B
解析：因為x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符號無法確定．對于A，因為x＞0＞z，若y＜0，則xy＜0＜yz，故A錯誤；對于B，因為y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正確；對于C，因為x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C錯誤；對于D，因為x＞z，當|y|＝0時，x|y|＝|y|z，故D錯誤．
7．設a＞b＞0，x＝－，y＝－，則x，y的大小關系為(　　)
A．x＞y
B．x＜y
C．x＝y
D．x，y的大小關系不定
答案：B
解析：因為x＞0，y＞0，＝＝＜1，所以x＜y.
8．某次出行，劉先生全程需要加兩次油，由于燃油的價格有升也有降，現劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次均加200元的燃油．下列說法正確的是(　　)
A．采用第一種方案劃算
B．采用第二種方案劃算
C．兩種方案一樣
D．采用哪種方案無法確定
答案：B
解析：分別用m，n(m≠n)表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，由題意可得，第一種方案，兩次加油共花費(30m＋30n)元，兩次共加了60升燃油，所以平均價格為＝元/升；第二種方案，兩次加油共花費200＋200＝400元，兩次共加了升燃油，所以平均價格為＝元/升.－＝＝>0，所以采用第二種方案劃算．
二、多項選擇題
9．下列說法中正確的是(　　)
A．若a>b>0，c∈R，則<
B．若a>b>0，c∈R，則ac2>bc2
C．若aab>b2
D．若a答案：AC
解析：對于A，由a>b>0，2c>0，知0<<，得<，故A正確；對于B，當c＝0時，ac2＝bc2，故B錯誤；對于C，當a0，得a2>ab，又ab－b2＝b(a－b)>0，則ab>b2，故a2>ab>b2，故C正確；對于D，當a＝－2，b＝－1時，a2＋a>b2＋b，故D錯誤．故選AC.
10．(2024·呼和浩特第二中學模擬)設實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a答案：BD
解析：∵兩式相減得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝＋>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，從而c≥b>a.
11．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，則(　　)
A．a＋b< B．a－b>－1
C.·b≤ D.≥－
答案：BCD
解析：因為a＝1－b2>0，b>0，所以0－＋＝－1，故B正確；因為·b＝·＝≤，取等號時a＝，b＝，滿足a，b∈(0，1)，故C正確；因為b－2<0，所以要證≥－，只需證≤，只需證3a≤(b－2)2，即證3(1－b2)≤(b－2)2，即證4b2－4b＋1≥0，即證(2b－1)2≥0，顯然(2b－1)2≥0成立，當且僅當a＝，b＝時取等號，故D正確．故選BCD.
三、填空題
12．能夠說明“設a，b是任意非零實數．若>1，則b>a”是假命題的一組整數a，b的值依次為________．
答案：－1，－2(答案不唯一)
解析：要使“設a，b是任意非零實數．若>1，則b>a”是假命題，只需滿足b13．已知下列四個代數式：①4mn；②m2＋4n2；③4m2＋n2；④m2＋n2.若m>n>0，則代數式的值最大的是________(填序號)．
答案：③
解析：∵m>n>0，由②－①，得m2＋4n2－4mn＝(m－2n)2≥0，∴②≥①；由③－②，得4m2＋n2－m2－4n2＝3m2－3n2>0，∴③>②；由③－④，得4m2＋n2－m2－n2＝3m2>0，∴③>④.∴代數式的值最大的是③.
14．(2024·河北石家莊二模)若實數x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，則M＝4x＋3y＋5z的取值范圍是________．
答案：[15，19]
解析：因為x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，所以x＝3－，y＝1－，由x，y，z≥0，得解得0≤z≤3，故M＝4x＋3y＋5z＝4＋3＋5z＝＋15∈[15，19]．
四、解答題
15．(1)證明： x，y∈R，x4＋y2≥x2y；
(2)已知a>b>c>d>0，證明：<.
證明：(1)x4＋y2－x2y＝x4－x2y＋y2＋y2＝＋y2，
因為≥0，y2≥0，
所以＋y2≥0，
則x4＋y2－x2y≥0，故 x∈R，x4＋y2≥x2y(當且僅當x＝0，y＝0時取等號)．
(2)因為a>b>c>d>0，所以－d>－c，
所以a－d>b－c>0，則>0，
所以(a－d)·>(b－c)·>0，
即>>0，
又c>d>0，所以>>0，
故　<　.
16．(2025·安徽亳州模擬)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假設全部溶解)，糖水變甜了．
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
(2)在銳角三角形ABC中，根據(1)中的結論，證明：＋＋<2.
解：(1)若b>a>0，m>0，則<.
證明：－＝
＝.
因為b>a，所以a－b<0，
又b>0，m>0，故<0，因此<.
(2)證明：在銳角三角形ABC中，A0，由(1)得<＝，
同理，<＝，
<＝.
以上式子相加得＋＋<2.
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