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第2練　基本不等式
一、單項選擇題
1．(2024·吉林長春第五中學檢測)(－6≤a≤3)的最大值為(　　)
A．9 B.
C．3 D.
2．(2024·山東棗莊一模)已知a>0，b>0，則“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．(2025·河南信陽模擬)函數f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
4．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，則x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4
C．7 D．3＋
5．若a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，則b＋的最小值為(　　)
A．9 B．3
C．1 D.
6.(2025·山西太原模擬)《幾何原本》中的幾何代數法研究代數問題，這種方法是后西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱為無字證明．現有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓，過點C作AB的垂線交半圓于點D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的無字證明為(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
7．(2025·廣東佛山一中模擬)若不等式＋－m≥0對x∈恒成立，則實數m的最大值為(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
8．近年來，冬季氣候干燥，冷空氣頻繁襲來．為提高公民的取暖水平，某社區決定建立一個取暖供熱站．已知供熱站每月自然消費與供熱站到社區的距離成反比，每月供熱費與供熱站到社區的距離成正比，如果在距離社區20千米處建立供熱站，這兩項費用分別為5千元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，供熱站應建在離社區(　　)
A．5千米處 B．6千米處
C．7千米處 D．8千米處
二、多項選擇題
9．(2025·河北衡水模擬)三元均值不等式：“當a，b，c均為正實數時，≥，即三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．”利用上面結論，判斷下列說法正確的是(　　)
A．若x>0，則x2＋≥3
B．若0C．若x>0，則2x＋≥3
D．若010．(2025·廣東廣州模擬)已知aA．a＋c<0
B.＋<－2
C．存在a，c，使得a2－25c2＝0
D.<－
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
三、填空題
12．(2025·湖南株洲模擬)一個矩形的周長為l，面積為S，給出下列實數對：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④，其中可作為數對(S，l)的是________(填序號)．
13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是________．
14．設a>2b>0，那么的最小值是________．
四、解答題
15．(1)設a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，證明：ab＋bc＋ac≤；
(2)求滿足方程(x2＋2)(y2＋8)＝16xy的實數x，y的值．
16．(2024·黑龍江哈爾濱模擬)某農場發現有400平方米的農田遭遇洪澇，每平方米農田受災造成直接損失400元，且滲水面積將以每天10平方米的速度擴散，相關部門立即組織人力進行搶修，每位搶修人員每天可搶修農田5平方米，勞務費為每人每天400元，還為每位搶修人員提供240元物資補貼．若安排x位搶修人員參與搶修，則需要t天完成搶修工作，滲水造成的總損失(總損失＝因滲水造成的直接損失＋各項支出費用)為y元．
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)應安排多少位搶修人員參與搶修，才能使總損失最小？并求出總損失．
第2練　基本不等式（解析版）
一、單項選擇題
1．(2024·吉林長春第五中學檢測)(－6≤a≤3)的最大值為(　　)
A．9 B.
C．3 D.
答案：B
解析：當a＝－6或a＝3時，＝0；當－6＜a＜3時，≤＝，當且僅當3－a＝a＋6，即a＝－時取等號．綜上，的最大值為.
2．(2024·山東棗莊一模)已知a>0，b>0，則“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案：A
解析：若a>0，b>0，a＋b>2，則a2＋b2≥(a＋b)2>2，充分性成立；若a2＋b2>2，可能a＝，b＝0.1，此時a＋b<2，所以必要性不成立．綜上所述，“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的充分不必要條件．故選A.
3．(2025·河南信陽模擬)函數f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
答案：D
解析：解法一：因為x≥，所以x－2≥>0，則＝＝(x－2)＋≥2，當且僅當x－2＝，即x＝3時，等號成立，所以函數f(x)有最小值，為2.
解法二：令x－2＝t，則t≥，x＝t＋2，則原函數可化為y＝＝＝t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即t＝1時，等號成立，此時x＝3，所以函數f(x)有最小值，為2.
4．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，則x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4
C．7 D．3＋
答案：C
解析：∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2＋3＝7，當且僅當時，等號成立．
5．若a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，則b＋的最小值為(　　)
A．9 B．3
C．1 D.
答案：C
解析：∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，·＝b＋4＋1＋＝5＋b＋≥5＋2＝9，當且僅當b＝時，等號成立，∴9≥9，故b＋≥1，即b＋的最小值為1.故選C.
6.(2025·山西太原模擬)《幾何原本》中的幾何代數法研究代數問題，這種方法是后西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱為無字證明．現有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓，過點C作AB的垂線交半圓于點D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的無字證明為(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
答案：C
解析：根據圖形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝.由于OD≥CD，所以≥(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0)．
7．(2025·廣東佛山一中模擬)若不等式＋－m≥0對x∈恒成立，則實數m的最大值為(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析：將不等式化為＋≥m，只需當x∈時，m≤即可．由＋＝[4x＋(1－4x)]＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋4＝9，當且僅當x＝時，等號成立，故m≤9.所以實數m的最大值為9.故選C.
8．近年來，冬季氣候干燥，冷空氣頻繁襲來．為提高公民的取暖水平，某社區決定建立一個取暖供熱站．已知供熱站每月自然消費與供熱站到社區的距離成反比，每月供熱費與供熱站到社區的距離成正比，如果在距離社區20千米處建立供熱站，這兩項費用分別為5千元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，供熱站應建在離社區(　　)
A．5千米處 B．6千米處
C．7千米處 D．8千米處
答案：A
解析：設供熱站應建在離社區x千米處，則自然消費y1＝，供熱費y2＝k2x，由題意得，當x＝20時，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以兩項費用之和為y1＋y2＝＋≥2＝4，當且僅當＝，即x＝5時，等號成立，所以要使這兩項費用之和最小，供熱站應建在離社區5千米處．故選A.
二、多項選擇題
9．(2025·河北衡水模擬)三元均值不等式：“當a，b，c均為正實數時，≥，即三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．”利用上面結論，判斷下列說法正確的是(　　)
A．若x>0，則x2＋≥3
B．若0C．若x>0，則2x＋≥3
D．若0答案：AC
解析：對于A，x>0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正確；對于B，∵00，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝，故B錯誤；對于C，x>0，2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正確；對于D，∵00，x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤3＝，故D錯誤．故選AC.
10．(2025·廣東廣州模擬)已知aA．a＋c<0
B.＋<－2
C．存在a，c，使得a2－25c2＝0
D.<－
答案：ABD
解析：對于A，由a0，又a＋c<0，所以≠－1，所以＋＝－<－2，B正確；對于C，由a0，所以a＋5c>0，得c>－>0，所以c2>，得a2－25c2<0，C錯誤；對于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以＝＝＋＝－＋.因為a＋c<0，c>0，所以<0，所以<－，D正確．故選ABD.
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案：BC
解析：因為ab≤≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可變形為(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，當且僅當x＝y＝－1時，x＋y＝－2，當且僅當x＝y＝1時，x＋y＝2，所以A錯誤，B正確；由x2＋y2－xy＝1變形可得＋y2＝1，設x－＝cosθ，y＝sinθ，所以x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcosθ＝1＋sin2θ－cos2θ＋＝＋sin∈，即≤x2＋y2≤2，當且僅當x＝，y＝－或x＝－，y＝時，x2＋y2＝，當且僅當x＝y＝±1時，x2＋y2＝2，所以C正確，D錯誤．故選BC.
三、填空題
12．(2025·湖南株洲模擬)一個矩形的周長為l，面積為S，給出下列實數對：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④，其中可作為數對(S，l)的是________(填序號)．
答案：①③
解析：設矩形的長、寬分別為x，y(x，y>0)，則x＋y＝，S＝xy，因為x＋y≥2，當且僅當x＝y時，等號成立，所以≥2，即l2≥16S.將四組實數對逐個代入檢驗可知，可作為數對(S，l)的為①(1，4)，③(7，12)．
13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是________．
答案：
解析：∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，當且僅當＝，即x2＝，y2＝時取等號，∴x2＋y2的最小值為.
14．設a>2b>0，那么的最小值是________．
答案：16
解析：因為b(a－2b)＝·2b(a－2b)≤＝，當且僅當2b＝a－2b，即b＝a時取等號，所以≥＝8≥8×2＝16，當且僅當a2＝，即a＝1時取等號，故當a＝1，b＝時，取得最小值16.
四、解答題
15．(1)設a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，證明：ab＋bc＋ac≤；
(2)求滿足方程(x2＋2)(y2＋8)＝16xy的實數x，y的值．
解：(1)證明：由a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，
可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋2ab＋2bc＋2ac≥ab＋bc＋ac＋2ab＋2bc＋2ac＝3(ab＋bc＋ac)，
所以ab＋bc＋ac≤，當且僅當a＝b＝c＝時取等號．
(2)(x2＋2)(y2＋8)＝16xy＞0，
當x＞0，y＞0時，由x2＋2≥2x，y2＋8≥4y，可得(x2＋2)(y2＋8)≥16xy，當且僅當x＝，y＝2時取等號．
同理可得，當x＜0，y＜0時，(x2＋2)(y2＋8)≥16xy也成立，當且僅當x＝－，y＝－2時取等號．
所以原方程的解為或
16．(2024·黑龍江哈爾濱模擬)某農場發現有400平方米的農田遭遇洪澇，每平方米農田受災造成直接損失400元，且滲水面積將以每天10平方米的速度擴散，相關部門立即組織人力進行搶修，每位搶修人員每天可搶修農田5平方米，勞務費為每人每天400元，還為每位搶修人員提供240元物資補貼．若安排x位搶修人員參與搶修，則需要t天完成搶修工作，滲水造成的總損失(總損失＝因滲水造成的直接損失＋各項支出費用)為y元．
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)應安排多少位搶修人員參與搶修，才能使總損失最小？并求出總損失．
解：(1)因為每位搶修人員每天可搶修農田5平方米，需要t天完成搶修工作，
所以可得400＋10t＝5xt，即t＝，顯然x－2>0，即x>2，且x∈N*，
因為總損失＝因滲水造成的直接損失＋各項支出費用，
所以y＝(400＋10t)·400＋400xt＋240x，
將t＝代入上式，得y＝240x＋＋192000(x>2，x∈N*)．
(2)y＝240x＋＋192000
＝240(x－2)＋＋192480
≥2＋192480
＝211680，
當且僅當240(x－2)＝，即x＝42時，等號成立，
所以應安排42位搶修人員參與搶修，才能使總損失最小，此時總損失為211680元．
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