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第3練　一元二次不等式的解法
一、單項(xiàng)選擇題
1．下列不等式中解集為R的是(　　)
A．－x2＋2x＋1≥0
B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0
2．已知集合A＝，B＝，則A∪B＝(　　)
A.
B．(－∞，6]∪
C．(－∞，6)∪
D.
3．(2025·福建泉州模擬)設(shè)m＋n>0，則關(guān)于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n，或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n}
D．{x|－m4．(2025·甘肅張掖模擬)不等式<2－2x的解集是(　　)
A. B.
C. D.
5．(2024·廣東佛山模擬)已知a，b，c∈R且a≠0，則“ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．(2025·安徽蕪湖模擬)已知關(guān)于x的不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0對(duì)任意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[2，6] B．[2，6)∪{－2}
C．{2} D．[2，6)
7．(2024·廣西南寧一模)若關(guān)于x的不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)
8．對(duì)于問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(－1，2)，解關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，給出如下一種解法：
解：由ax2＋bx＋c＞0的解集為(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集為(－2，1)，即關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(－2，1)．
參考上述解法，若關(guān)于x的不等式＋<0的解集為∪，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(　　)
A．(－2，－1)∪(1，3)
B．(－3，－1)∪(1，2)
C．(－3，－2)∪(－1，1)
D.∪
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，則該不等式的解集可能是(　　)
A．
B.
C.∪(2，＋∞)
D.
10．(2025·廣東深圳模擬)下列說法正確的是(　　)
A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是
B．不等式2x2－x－6≤0的解集是
C．若關(guān)于x的不等式ax2＋8ax＋21<0在R上恒成立，則a的取值范圍是
D．若關(guān)于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，則p＋q的值為－
11．(2025·福建福州模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集為{x|αA．a(chǎn)<0
B．β－x1＝x2－α
C．|x1－x2|<1
D．|β2－x|>|α2－x|
三、填空題
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集為________．
13．(2025·四川綿陽模擬)若關(guān)于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
14．某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時(shí)，每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為 L，其中k為常數(shù)．若汽車以120 km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5 L，則k＝________，欲使每小時(shí)的油耗不超過9 L，則x的取值范圍為________．
四、解答題
15．某企業(yè)用1960萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟x(x≥8)層，每層2800平方米的樓房，經(jīng)測(cè)算，該樓房每平方米的平均建筑費(fèi)用為565＋70x(單位：元)．
(1)若該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用不超過2000元，則該樓房最多建多少層？
(2)當(dāng)該樓房建多少層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少為多少元？
注：綜合費(fèi)用＝建筑費(fèi)用＋購地費(fèi)用．
16．(2025·河北石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且對(duì)任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若對(duì)任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)第3練　一元二次不等式的解法（解析版）
一、單項(xiàng)選擇題
1．下列不等式中解集為R的是(　　)
A．－x2＋2x＋1≥0
B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0
答案：C
解析：在C中，對(duì)于方程x2＋6x＋10＝0，因?yàn)棣ぃ?6－40＝－4<0，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集為R.
2．已知集合A＝，B＝，則A∪B＝(　　)
A.
B．(－∞，6]∪
C．(－∞，6)∪
D.
答案：B
解析：因?yàn)锳＝＝，B＝＝，所以A∪B＝(－∞，6]∪.故選B.
3．(2025·福建泉州模擬)設(shè)m＋n>0，則關(guān)于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n，或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n}
D．{x|－m答案：B
解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化為(x－m)·(x＋n)<0，因?yàn)閙＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集為{x|－n4．(2025·甘肅張掖模擬)不等式<2－2x的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：當(dāng)x2－3x≥0，即x≥3或x≤0時(shí)，不等式|x2－3x|<2－2x等價(jià)于x2－3x<2－2x，即x2－x－2<0，解得－10，解得x>或x<，所以05．(2024·廣東佛山模擬)已知a，b，c∈R且a≠0，則“ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案：A
解析：由題意，二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x≠1}，則即a＝c>0，b＝－2a，即a＋b＋c＝0；當(dāng)a＋b＋c＝0時(shí)，不能推出a＝c>0，b＝－2a，所以“ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的充分不必要條件．故選A.
6．(2025·安徽蕪湖模擬)已知關(guān)于x的不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0對(duì)任意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[2，6] B．[2，6)∪{－2}
C．{2} D．[2，6)
答案：D
解析：若m2－4＝0，則m＝±2，若m＝2，原不等式可化為>0，恒成立，若m＝－2，無意義，舍去；當(dāng)m2－4≠0時(shí)，要使得原不等式恒成立，只需解得27．(2024·廣西南寧一模)若關(guān)于x的不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)
答案：A
解析：設(shè)f(x)＝x2－4x－a，則f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，5)．
8．對(duì)于問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(－1，2)，解關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，給出如下一種解法：
解：由ax2＋bx＋c＞0的解集為(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集為(－2，1)，即關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(－2，1)．
參考上述解法，若關(guān)于x的不等式＋<0的解集為∪，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(　　)
A．(－2，－1)∪(1，3)
B．(－3，－1)∪(1，2)
C．(－3，－2)∪(－1，1)
D.∪
答案：B
解析：若關(guān)于x的不等式＋<0的解集為∪，則關(guān)于x的不等式＋<0可看成前者不等式中的x用代替所得，則∈∪，則x∈(－3，－1)∪(1，2)．故選B.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，則該不等式的解集可能是(　　)
A．
B.
C.∪(2，＋∞)
D.
答案：ABD
解析：不等式變形為(x－2)(ax＋1)>0，又a<0，所以(x－2)·<0.當(dāng)a＝－時(shí)，該不等式的解集為 ；當(dāng)a<－時(shí)，該不等式的解集為；當(dāng)－10．(2025·廣東深圳模擬)下列說法正確的是(　　)
A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是
B．不等式2x2－x－6≤0的解集是
C．若關(guān)于x的不等式ax2＋8ax＋21<0在R上恒成立，則a的取值范圍是
D．若關(guān)于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，則p＋q的值為－
答案：CD
解析：對(duì)于A，4x2－5x＋1>0 (x－1)(4x－1)>0 x<或x>1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2x2－x－6≤0 (x－2)(2x＋3)≤0 －≤x≤2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若關(guān)于x的不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，21<0是不可能成立的，所以只能該不等式組無解，故C正確；對(duì)于D，由題意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的兩根，從而解得所以p＋q的值為－，故D正確．故選CD.
11．(2025·福建福州模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集為{x|αA．a(chǎn)<0
B．β－x1＝x2－α
C．|x1－x2|<1
D．|β2－x|>|α2－x|
答案：BC
解析：由題意得a>0，A錯(cuò)誤；因?yàn)閷⒍魏瘮?shù)y＝ax2＋bx＋c－1的圖象上的所有點(diǎn)向上平移1個(gè)單位長度，得到二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，所以α＋β＝x1＋x2＝－，即β－x1＝x2－α，B正確；如圖，因?yàn)?<β－α<1，所以|x1－x2|<|β－α|<1，C正確；當(dāng)α<β<0，x1三、填空題
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集為________．
答案：{x|x<－5，或x>5}
解析：2x2－3|x|－35>0 2|x|2－3|x|－35>0 (|x|－5)·(2|x|＋7)>0 |x|>5或|x|<－(舍去) x<－5或x>5.
13．(2025·四川綿陽模擬)若關(guān)于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案：[－3，－2)∪(6，7]
解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，當(dāng)m＞2時(shí)，不等式的解集為(2，m)，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；當(dāng)m＝2時(shí)，不等式的解集為 ，此時(shí)不符合題意；當(dāng)m＜2時(shí)，不等式的解集為(m，2)，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－3，－2)∪(6，7]．
14．某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時(shí)，每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為 L，其中k為常數(shù)．若汽車以120 km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5 L，則k＝________，欲使每小時(shí)的油耗不超過9 L，則x的取值范圍為________．
答案：100　[60，100]
解析：記每小時(shí)的油耗為y，則根據(jù)題意，得y＝，則當(dāng)x＝120時(shí)，y＝＝11.5，解得k＝100，所以y＝，當(dāng)y≤9時(shí)，即≤9，解得45≤x≤100，又因?yàn)?0≤x≤120，所以x的取值范圍為[60，100]．
四、解答題
15．某企業(yè)用1960萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟x(x≥8)層，每層2800平方米的樓房，經(jīng)測(cè)算，該樓房每平方米的平均建筑費(fèi)用為565＋70x(單位：元)．
(1)若該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用不超過2000元，則該樓房最多建多少層？
(2)當(dāng)該樓房建多少層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少為多少元？
注：綜合費(fèi)用＝建筑費(fèi)用＋購地費(fèi)用．
解：(1)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為y元，
則y＝＋565＋70x＝＋70x＋565.
因?yàn)椋?0x＋565≤2000，結(jié)合x≥8，得2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5.
因?yàn)閤∈Z，所以該樓房最多建12層．
(2)由(1)可知，該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用y＝＋70x＋565，
因?yàn)椋?0x≥2×700＝1400，當(dāng)且僅當(dāng)＝70x，即x＝10時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)該樓房建10層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，為1400＋565＝1965元．
16．(2025·河北石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且對(duì)任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若對(duì)任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)解：(1)由題意，得ax2－x＋2－4a≥0(a≠0)對(duì)任意x∈R恒成立，
所以即
解得a＝，所以f(x)＝x2＋x＋1.
(2)由f(x＋t)所以對(duì)任意的x∈[－1，1]，不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0恒成立．
令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，x∈[－1，1]，
則
解得－所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.
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