資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
平方根與算術平方根
知識導航
1.平方根的概念；
2.平方根的性質；
3.算術平方根的概念；
4.算術平方根的性質；
5.開平方，利用平方根的概念解一些特殊的一元二次方程；
6.利用算術平方根的非負性解題.
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解并掌握算術平方根的概念.
題型一 平方根的概念
【例1】 求下列各數的平方根：
(3)1; (4)0.
【練1】 求下列各數的平方根.
(1)25; (4)|-9|.
題型二 算術平方根的概念
【例2】 (1)計算 的結果為( )
A.2 B. -4 C.4 D.8
的算術平方根是 .
的平方根是 .
題型三 平方根的性質
【例3】 如果a-12與2a-3都是正數m的平方根,(a-12≠2a-3),試求m的值.
【練2】 (1)一個非負數的平方根是2a-1和a-5，則這個非負數是多少
(2)2a-1與-a+2是m的平方根,求m的值.
題型四 開平方
【例4】 計算:
(1) ;(2)± ;(3) ×9×10×11+1.
【練3】 下列說法是否準確 為什么
(1)7是49的算術平方根； 是 的一個平方根；
的平方根是-4； (4)0的平方根與算術平方根都是0.
題型五 用開平方法解方程
【例5】 求下列各式中x的值：
【練4】 求下列各式中x的值：
題型六 運用算術平方根的雙重非負性解題
【例6】 (1)已知x,y是實數,且 則 xy=( )
A.4 B.-4 C.
(2)已知 解關于x的方程
【練5】 (1)若實數x,y滿足 則x+y= .
(2)已知 求 的值.
題型七 利用 有意義的條件解題
【例7】 (1)已知 求2x+y的平方根.
(2)已知a滿足 求 的值.
【練6】 若 求 xy的算術平方根.
針對練習1
的平方根是 ；(-4) 的平方根是 .
(2)169的算術平方根是 ; \sqrt{9}的算術平方根是 .
(3)若a的平方根是±5，則
2.已知x，y為實數，且 則x-y= .
3.若2m-3與m+6表示同一個數的平方根，求m的值.
4.觀察下列各式的規律：若 則a= .
5.設[x]表示最接近x的整數(x≠n+0.5,n為整數),則[
A.5151 B.5150 C.5050 D.5049
6.已知非零實數a，b滿足 則a+b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.若a,b滿足 則 的取值范圍是 .
8.任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4]=4，[ ]=1.現對72進行如下操作：
這樣對72只需進行3次操作后變為1，類似地，
(1)對81只需進行 次操作后變為1.
(2)只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是 .
【板塊一】 平方根與算術平方根
知識導航
1.平方根的概念；
2.平方根的性質；
3.算術平方根的概念；
4.算術平方根的性質；
5.開平方，利用平方根的概念解一些特殊的一元二次方程；
6.利用算術平方根的非負性解題.
方法技巧
理解并掌握平方根的概念；
理解并掌握算術平方根的概念.
題型一 平方根的概念
【例1】 求下列各數的平方根：
(3)1; (4)0.
【分析】 根據平方根的概念求解，注意用式子表達.
【解答】
注意：數a(a≥0)的平方根是 當被開方數是帶分數要化成假分數.
【練1】 求下列各數的平方根.
(1)25; (2) (4)|-9|.
【解答】
題型二 算術平方根的概念
【例2】 (1)計算 的結果為( )
A.2 B.-4 C.4 D.8
的算術平方根是 .
(3) 的平方根是 .
【分析】 根據平方根、算術平方根的概念求解即可，注意兩者的區別.
【解答】 (1)C (2)3 (3)±3
題型三 平方根的性質
【例3】 如果a-12與2a-3都是正數m的平方根,(a-12≠2a-3),試求m的值.
【分析】 根據平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，于是由(a-12)+(2a-3)=0，先求出a的值，再求m.
【解答】 ∵a-12與2a-3都是m的平方根,且a-12≠2a-3,∴a-12與2a-3互為相反數,
即(a-12)+(2a-3)=0,解得( ,即m=49.
【練2】 (1)一個非負數的平方根是2a-1和a-5，則這個非負數是多少
(2)2a-1與-a+2是m的平方根,求m的值.
【分析】 (1)根據非負數的兩個平方根互為相反數，可得2a-1+a-5=0，從而可求出a的值，再求出這個非負數；
(2)∵2a-1與-a+2是m的平方根,則2a-1與-a+2相等或互為相反數.
【解答】 (1)根據題意,有2a-1+a-5=0,解得a=2,所以這個非負數為(
(2)根據題意,分以下兩種情況:①當2a-1=-a+2時,a=1,所以1
②當(2a-1)+(-a+2)=0時,a=-1,所以1
題型四 開平方
【例4】 計算:
(1) ;(2)± ;(3) ×9×10×11+1.
【分析】 就是求484的算術平方根；
就是求 的平方根；
(3)8×9×10×11+1=7921, ×9×10×11+1就是求7921的算術平方根.
【解答】 而∴
(3 39.
【練3】 下列說法是否準確 為什么
(1)7是49的算術平方根； (2) 是 的一個平方根；
(3)(-4) 的平方根是-4; (4)0的平方根與算術平方根都是0.
【解答】 (1)正確∵ ，且7>0，所以7是49的算術平方根；
(2)正確, ，所以 是 的一個平方根， 的平方根有兩個± ,是正的那一個，也是算術平方根；
(3)錯誤. ，它有兩個平方根，4和-4，而上述說法中只說出了-4，少了4.
(4)正確.
題型五 用開平方法解方程
【例5】 求下列各式中x的值：
【分析】 將方程轉化為 的形式，再運用開平方運算，求出非負數的平方根.
【解答】 (
【練4】 求下列各式中x的值：
【解答】 (1)x=16或-18; 或
題型六 運用算術平方根的雙重非負性解題
【例6】 (1)已知x,y是實數,且 則 xy=( )
A.4 B.-4 C.
【分析】 和(y-3) 都是非負數，只有當它們都是0時，它們的和才為0.
【解答】 B
(2)已知 解關于x的方程(
【分析】 先求出a，b的值，再解關于x的方程.
【解答】 ·由非負數的性質得 解得
∴原方程可化為-x+2=-4,解得x=6.
【點評】 ①算術平方根的雙重非負性：一是被開方數是非負數，二是算術平方根本身為非負數.
②目前我們學習的非負數有 ,|b|,c 這三類.
【練5】 (1)若實數x,y滿足 則x+y= .
(2)已知 求 的值.
【解答】 (2)
題型七 利用 有意義的條件解題
【例7】 (1)已知 求 2x+y的平方根.
【分析】 由 有意義的條件知：x=3，y=10，從而可求.
【解答】 ∵x-3≥0,3-x≥0,∴x=3,代入得,
(2)已知a滿足 ,求a-2019 的值.
【分析】 有意義的條件是a-2020≥0，所以a≥2020，所以原式可變形為
【解答】 有意義的條件是a-2020≥0,∴a≥2020,∴原式可變形為 即： ∴兩邊平方得，
【方法技巧】 當a≥0時， 才有意義.當題目中出現式子√a時，就隱含了a≥0這個條件，解題時要注意挖掘.
【練6】 若 求 xy的算術平方根.
【解答】 2
針對練習1
的平方根是 ± ;(一4) 的平方根是 ±4 .
(2)169 的算術平方根是 13 ; \sqrt{9}的算術平方根是 .
(3)若a的平方根是±5，則
2.已知x，y為實數，且 則x-y= -1或-7 .
3.若2m-3與m+6表示同一個數的平方根，求m的值.
【解答】 -1或9.
4.觀察下列各式的規律： 若 則a= 99 .
5.(五羊杯試題)設[x]表示最接近x的整數(x≠n+0.5,n為整數),則[
A.5151 B.5150 C.5050 D.5049
6.(數學周報杯試題)已知非零實數a，b滿足| ,則a+b=( C )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解答】 由題設知2a≥4，a≥2，所以題設的等式為 于是a=3,b=-2,從而a+b=1.
7.若a,b滿足 則 的取值范圍是 .
【解答】 提示： 變形代入 得 只需求出√a或|b|的范圍即可.
8.任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4]=4，[ ]=1.現對72進行如下操作：
這樣對72只需進行3次操作后變為1，類似地，
(1)對81只需進行 3 次操作后變為1.
(2)只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是 255 .

展開更多......

收起↑