資源簡介

(共28張PPT)
第六章　統計
§4　用樣本估計總體的數字特征
4.2　分層隨機抽樣的均值與方差
4.3　百分位數
課標要求 核心素養
1．結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差．
2．結合實例，能用樣本估計百分位數，理解百分位數的統計含義. 1．理解分層隨機抽樣的均值與方差公式的推導過程，會求分層隨機抽樣的均值與方差，培養學生數學抽象和數學運算的核心素養．
2．會求頻率分布直方圖中的p分位數，培養學生數學分析的核心素養.
必備知識　探新知
知識點1　分層隨機抽樣的均值與方差
(1)概念
(2)應用：求分層隨機抽樣的均值與方差．
知識點2　百分位數
(1)總體的p分位數的概念：
一般地，當總體是連續變量時，給定一個百分數p∈________，總體的p分位數有這樣的特點：總體數據中的任意一個數_____________它的可能性是p.
(2)四分位數
_____________________分位數是三個常用的百分位數，把總體數據按照___________排列后，這三個百分位數把總體數據分成了4個部分，在這4個部分取值的可能性都是______，因此這三個百分位數也稱為總體的四分位數．
(0，1)
小于或等于
25%、50%、75%
從小到大
關鍵能力　攻重難
●題型一　分層隨機抽樣的均值與方差
例1：甲、乙兩班學生參加了同一考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績為80.5分，方差為500；乙班的平均成績為85分，方差為360.那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績和方差分別是多少？
[解析]　設甲班50名學生的成績分別是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成績和方差分別為
設乙班40名學生的成績分別是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成績和方差分別為
如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙兩班的平均成績、方差及甲、乙兩班的人數，那么根據前面的分析，全部90名學生的平均成績應為
[歸納提升]
〉對點訓練1
已知某省二、三、四線城市數量之比為1∶3∶6，經過調查得知該省所有城市房產均價為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產均價分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.8萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10，8，則二線城市的房價的方差為___________.
118.52
●題型二　百分位數的計算
例2：甲、乙兩名籃球運動員在隨機抽取的12場比賽中的得分情況如下：
甲運動員得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49.
乙運動員得分：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51.
求甲、乙兩名運動員得分的25%分位數，75%分位數和90%分位數．
[解析]　兩組數據都是12個數，而且12×25%＝3，12×75%＝9，12×90%＝10.8，
甲運動員得分的90%分位數為x11＝44.
[歸納提升]
歸納提升：求百分位數的一般步驟
(1)排序：按照從小到大排列：x1，x2，…，xn.
(2)計算：求i＝np%的值．
(3)求值：
〉對點訓練2
確定數據0，0，0，0，1，1，2，3，4，5，6，6，7，7，10，14，14，14，14，15的28%分位數和75%分位數．
[解析]　因為數據已從小到大排列，共有20個．
而且i1＝20×28%＝5.6，不為整數，
i2＝20×75%＝15是整數，
●易錯警示　頻率分布直方圖求百分位數的方法未掌握致錯
例3：學期末，某學校對100間學生公寓進行綜合評比，考核分數分為A，B，C，D四種等級，其中分數在[60，70)為D等級，有15間；分數在[70，80)為C等級，有40間；分數在[80，90)為B等級，有20間；分數在[90，100]為A等級，有25間．考核評估后，得其頻率分布直方圖如圖所示，估計這100間學生公寓評估得分的80%分位數是(　　)
A．90
B．92
C．94
D．95
[錯解]　C
[正解]　B
[點評]　由頻率分布直方圖求百分位數的方法
(1)要注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數據落在該組的頻率．
(2)一般采用方程的思想，設出p分位數，根據其意義列出方程并求解即可．
課堂檢測　固雙基
1．某射手在一次訓練中12次射擊的成績分別為9.6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4，9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，則該射手本次射擊的成績的75%分位數是(　　)
A．9.5 B．9.6
C．9.7 D．9.8
[解析]　將12個數從小到大排列：9.0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9.
2．某產品售后服務中心隨機選取了10個工作日，分別記錄了每個工作日接到的客戶服務電話的數量(單位：次)：
63　38　25　42　56　48　53　39　28　47
則上述數據的50%分位數為___________.
[解析]　把這組數據從小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，則10×50%＝5.
44.5
3．(1)有11個數：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，則該組數據的60%分位數是_____.
(2)有10個數：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則該組數據的60%分位數是_________.
[解析]　(1)數據從小到大排序，這組數據有11個數，因為11×60%＝6.6，所以這組數據的60%分位數是第7個數據，即7.
(2)數據從小到大排序，這組數據有10個數，因為10×60%＝6，
7
6.5
4．為了解某中學學生的身高情況，采用分層隨機抽樣的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均數為170 cm，方差為16，女生身高的平均數為165 cm，方差為25，則可估計該校學生身高的平均數為______cm，方差為______.
168
25.6第六章　§4　 4.2　4.3
素養作業　提技能
A組·基礎自測
一、選擇題
1．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的90%分位數是( C )
A．8 B．9
C．9.5 D．10
[解析]　90%分位數可取為第9個數和第10個數的算術平均值，即＝9.5.故選C．
2．有兩種糖塊，A種糖塊18元/千克，B種糖塊24元/千克，超市計劃把A，B兩種糖塊按照1∶2的比例混合出售，則合理的價格應為( D )
A．18元/千克 B．24元/千克
C．21元/千克 D．22元/千克
[解析]　設A種x千克，則B種2x千克，
∴＝＝22.故選D．
3．已知100個數據的第75百分位數是9.3，則下列說法正確的是( C )
A．這100個數據中一定有75個數小于或等于9.3
B．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據
C．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據和第76個數據的平均數
D．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據和第74個數據的平均數
[解析]　因為100×75%＝75為整數，所以第75個數據和第76個數據的平均數為第75百分位數，是9.3，選C．
4．某高校在2023年新增設的“人工智能”專業，共招收了兩個班，其中甲班30人，乙班40人，在2023屆高考中，甲班學生的平均分為665分，方差為131，乙班學生平均分為658分，方差為208.則該專業所有學生在2023年高考中的平均分和方差分別為( B )
A．661.5，169.5 B．661，187
C．661，175 D．660，180
[解析]　由題意甲的平均值為＝665，方差為s＝131，
乙的平均值是＝658，方差為s＝208，
則總體平均值為＝＋＝661，
方差為s2＝×[131＋(665－661)2]＋×[208＋(658－661)2]＝187.故選B．
5．某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則( B )
A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%
B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%
C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
[解析]　講座前中位數為>70%，所以A錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是80%，4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%，所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%>20%，所以D錯．故選B．
6．從某校高一新生中隨機抽取一個容量為20的身高樣本，數據從小到大排序如下(單位：cm)，
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.
若樣本數據的90%分位數是173，則x的值為( B )
A．171 B．172
C．173 D．174
[解析]　∵20×90%＝18是整數，
∴90%分位數為＝173.x＝172.故選B．
二、填空題
7．高一(1)班數學興趣小組8名同學的數學競賽成績(單位：分)分別為：80，68，90，70，88，96，89，98，則該數學成績的15%和50%分位數分別為_70__88.5__.
[解析]　把數據按照從小到大的順序排列為：68，70，80，88，89，90，96，98.
因為8×15%＝1.2，所以該數學成績的15%分位數為70，8×50%＝4，所以該數學成績的50%分位數為＝88.5.
8．某學校統計教師職稱及年齡，其中高級職稱的教師3人58歲，5人40歲，2人38歲，則該校高級職稱教師的平均年齡為_45__歲．
[解析]　＝＝45.
9．高一和高二兩個年級的同學參加了數學競賽，高一年級有450人，高二年級有350人，通過分層隨機抽樣的方法抽取了160個樣本，得到兩年級的競賽成績的平均分分別為80分和90分，則高一抽取的樣本量為_90__；高一和高二數學競賽的平均分約為_84.375__.
[解析]　∵＝，
∴高一抽取：160×＝90，
平均分約為＝84.375.
三、解答題
10．計算下表中甲、乙兩組數的75%分位數.
序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲組 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙組 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
[解析]　因為甲、乙兩組數的個數為20，且20×75%＝15.
因此，甲組數的75%分位數為＝9.5，
乙組數的75%分位數為＝12，
所以甲、乙兩組數據的75%分位數分別為9.5，12.
11．(1)已知甲乙兩名同學的某次體育項目測試成績分別為：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙兩人成績的平均數與方差，比較誰的成績更穩定；
(2)某學校為了調查學生的學習情況，現用分層抽樣的方法抽取樣本，若樣本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成績為70分，方差為4，女生的平均成績為80分，方差為6，求所抽取樣本的方差．
[解析]　(1)設甲同學的平均分為，方差為s；乙同學的平均分為，方差為s；
＝＝13，
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
＝＝13，
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝.
因為s>s，
所以乙同學的成績較穩定．
(2)由題意，樣本平均數為＝76，
所以樣本方差為：[4＋(70－76)2]＋[6＋(80－76)2]＝29.2.
B組·素養提升
一、選擇題
1．甲、乙兩名同學6次考試的成績統計如圖所示，甲、乙兩組數據的平均數分別為甲，乙，標準差分別為s甲，s乙，則( C )
A．甲<乙，s甲s乙
C．甲>乙，s甲乙，s甲>s乙
[解析]　由題圖可知，甲同學除第二次考試成績略低于乙同學外，其他考試成績都遠高于乙同學，可知甲>乙．圖中數據顯示甲同學的成績比乙同學穩定，故s甲2．有一份統計資料，共有11個數據如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知這組數據的平均數為6，則這組數據的方差為( A )
A．6 B．
C．66 D．6.5
[解析]　∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差s2＝＝＝6.故選A．
3．(多選題)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數，則( 　 )
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同
B．兩組樣本數據的樣本中位數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同
D．兩組樣本數據的樣本極差相同
[答案]　CD
4．(多選題)某學校共有學生2 000人，其中高一800人，高二高三各600人，學校為了了解學生在寒假期間每天的讀書時間，按照分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽取100人，其中高一學生，高二學生，高三學生每天讀書時間的平均數分別為＝2.7，＝3.1，＝3.3，每天讀書時間的方差分別為s＝1，s＝2，s＝3，則下列正確的是( 　 )
A．從高二年級抽取30人
B．被抽取的學生中，高二年級每天的總讀書時間比高一年級多15小時
C．被抽取的學生每天的讀書時間的平均數為3小時
D．估計全體學生每天的讀書時間的方差為s2＝1.966
[解析]　根據分層抽樣，分別從高一學生，高二學生，高三學生中抽取40人，30人，30人，故A正確；抽取的高二年級每天的總讀書時間為×30＝93，抽取的高一年級每天的總讀書時間為×40＝108，高二年級每天的總讀書時間比高一年級少15小時，故B錯誤；被抽取的學生每天的讀書時間的平均數為×2.7＋×3.1＋×3.3＝3(小時)，故C正確；被抽取的學生每天的讀書時間的方差為：×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[3＋(3.3－3)2]＝1.966，∴估計全體學生每天的讀書時間的方差為s2＝1.966，故D正確．故選ACD．
二、填空題
5．某學校共有學生2 000人，其中高一800人，高二 、高三各600人，學校對學生在暑假中每天的讀書時間做了調查統計，全體學生每天的讀書時間的平均數為＝3小時，其中高一學生 、高二學生每天讀書時間的平均數分別為1＝2.6，2＝3.2，則高三學生每天讀書時間的平均數3＝ 　.
[解析]　由＝wii可得3＝×2.6＋×3.2＋3，解得3＝.
6．某經銷商從外地一水殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統計，按重量分類統計結果如圖：
等級 三等品 二等品 一等品
重量(克) [5，25) [25，45) [45，55]
(1)這批小龍蝦的重量的10%分位數與90%分位數分別是_10，45__.
(2)若該經銷商將這批小龍蝦分成三個等級，如表：則這批小龍蝦劃分為_二__等品比較合理．
[解析]　(1)因為40×10%＝4，所以10%分位數為第4項與第5項的平均數，在[5，15)范圍內約為＝10，因為40×90%＝36，所以90%分位數為第36項與第37項的平均數，在[35，55]范圍內，約為＝45，所以估計這批小龍蝦重量的10%分位數為10，90%分位數為45.
(2)這批小龍蝦的重量集中在[10，45]范圍內，所以劃為二等品比較合理．
三、解答題
7．在了解全校學生每年平均閱讀了多少本文學經典名著時，甲同學抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數為5，方差為9；乙同學抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數為6，方差為16.已知甲、乙兩同學抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，求合在一起后的樣本平均數與方差．(精確到0.1)
[解析]　把甲同學抽取的樣本的平均數記為，方差記為s；把乙同學抽取的樣本的平均數記為，方差記為s；把合在一起后的樣本的平均數記為，方差記為s2.
則＝≈5.4，
s2＝
＝
≈12.4.
即樣本的平均數為5.4，方差為12.4.
8．甲、乙兩支田徑隊的體檢結果為：甲隊體重的平均數為60 kg，方差為200，乙隊體重的平均數為70 kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少？
[解析]　由題意可知甲＝60，甲隊隊員在所有隊員中所占權重為＝，
乙＝70，乙隊隊員在所有隊員中所占權重為＝.
則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為
s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
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