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第六章　統計
§4　用樣本估計總體的數字特征
4.1　樣本的數字特征
課標要求 核心素養
1．結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(平均數、中位數、眾數)，理解集中趨勢參數的統計含義．
2．結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、極差)，理解離散程度參數的統計含義. 1．會求樣本的眾數、中位數、平均數、極差、方差和標準差，培養學生數學運算的核心素養．
2．能用樣本的數字特征估計總體的數字特征，作出合理解釋和決策，培養學生數學分析和數學建模的核心素養.
必備知識　探新知
知識點　樣本的數字特征
名稱 概念或計算公式 特征或作用
平均數 樣本數據的_________ 反映出樣本數據中更多的信息，對樣本中的極端值敏感
中位數 將樣本數據按___________的順序排列后，“中間”的那個數據 使樣本數據被分成的兩部分的_____________，不受少數幾個極端數據的影響
眾數 樣本數據中出現次數最_____的數據 體現了樣本數據的最大集中點
平均值
從小到大
數據量相等
多
小
【批注】三種數字特征的優缺點
名稱 優點 缺點
平均數 代表性較好，是反映數據集中趨勢的量．一般情況下，可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息 任何一個數據的改變都會引起平均數的改變．數據越“離群”，對平均數的影響越大
中位數 1．不受少數幾個極端數據的影響．
2．容易計算，便于利用中間數據的信息 對極端值不敏感
眾數 1．體現了樣本數據的最大集中點．
2．容易計算 1．只能表達樣本數據中很少的一部分信息．
2．無法客觀地反映總體的特征
關鍵能力　攻重難
●題型一　平均數、眾數的確定
例1：某公司員工的月工資情況如表所示：
(1)分別計算該公司員工月工資的最值、平均數、和眾數；
(2)你認為用哪個數來代表該公司員工的月工資更合理？
月工資/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700
員工/人 1 2 5 8 20 12 2
(2)用眾數，因為最大值為8 000元且只有一個，無法代表該公司員工的月工資，平均數受到最大值的影響，也無法代表該公司員工的月工資，每月拿1 000元的員工最多，眾數代表該公司員工的月工資最合理．
[歸納提升]
歸納提升：
1．把數據從小到大排列，根據定義即可確定最值和眾數．
2．平均數的求法
(1)用定義式；
(2)用平均數的性質；
〉對點訓練1
某校在一次考試中，甲、乙兩班學生的數學成績統計如下：
選用平均數與眾數評估這兩個班的成績．
分數 50 60 70 80 90 100
人數 甲班 1 6 12 11 15 5
乙班 3 5 15 3 13 11
從平均分看成績較好的是乙班；
甲班眾數為90分，乙班眾數為70分，從眾數看成績較好的是甲班．
●題型二　中位數的計算
例2：已知一組數據8，6，4，7，11，6，8，9，10，5，則該組數據的中位數是_________.
[歸納提升]
7.5
歸納提升：求中位數的一般步驟
(1)把數據按大小順序排列．
(2)找出排列后位于中間位置的數據，即為中位數．若中間位置有兩個數據，則求出這兩個數據的平均數作為中位數．
〉對點訓練2
10名工人某天生產同一種零件，生產的件數分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
●題型三　極差、方差、標準差的計算
例3：已知一組數據：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
(1)求極差；
(2)求方差；
(3)求標準差．
[解析]　(1)最大值為6，最小值為2，極差為4.
(2)可將數據整理為
每一個數都減去4可得
x 2 3 4 5 6
頻數 3 4 5 6 2
x－4 －2 －1 0 1 2
頻數 3 4 5 6 2
這組數的平均數與方差分別為
[歸納提升]
歸納提升：求方差的基本方法
(2)用性質．
(3)當一組數據重復數據較多時，可先整理出頻數表，再計算s2.
〉對點訓練3
若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標準差為(　　)
A．8 B．15
C．16 D．32
[解析]　樣本數據x1，x2，…，x10的標準差s＝8，則而樣本數據2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標準差s′＝2×8＝16.故選C．
●易錯警示　求中位數時未把數據按從小到大順序排列
例4：下面是某賽季甲、乙兩名籃球隊員每場比賽得分情況：
甲：4 14 14 24 25 31 32 35 36 36 39 45 49
乙：8 12 15 18 23 27 25 32 33 34 41
則甲、乙得分的中位數之和是(　　)
A．56分 B．57分
C．58分 D．59分
[錯解]　D　因為甲的中位數是32，乙的中位數是27，所以甲、乙得分的中位數之和是59.
[辨析]　本題易忽視求乙得分的中位數時，沒有將數據從小到大排列起來，將原始數據中的中間一個數誤認為就是乙得分的中位數而導致錯誤．因此理解樣本的數字特征的含義較為重要．
[正解]　由題可知甲得分的中位數為32分，乙得分的數據從小到大排列為：8，12，15，18，23，25，27，32，33，34，41，故乙得分的中位數為25分，因此甲、乙兩人得分的中位數之和為57分．故選B．
課堂檢測　固雙基
1．一個樣本數據按從小到大的順序排列為13，14，19，x，23，27，28，31，中位數為22，則x等于(　　)
A．21 B．22
C．23 D．19
2．已知數據：2，4，4，6，6，6，8，8，8，8，則這10個數的標準差為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．一組觀察值4，3，5，6出現的次數分別為3，2，4，2，則樣本平均值約為(　　)
A．4.55 B．4.5
C．12.5 D．1.64
4．一組數據中的每一個數據都乘2，再減去80，得到一組新數據，若求得新數據的平均數是1.2，方差是4.4，求原來數據的平均數和方差．第六章　§4　4.1
素養作業　提技能
A組·基礎自測
一、選擇題
1．已知數據－3，－2，0，6，6，13，20，35則它的中位數和眾數各是( A )
A．6和6 B．3和6
C．6和3 D．9.5和6
[解析]　∵從小到大排列的這8個數，排在中間的兩個數都是6，∴中位數是6；∵6出現的次數最多，∴眾數是6.故選A．
2．某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級(選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級)的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數與乙成績等級的眾數分別是( C )
A．3，5 B．3，3
C．3.5，5 D．3.5，4
[解析]　由條形圖可得，甲同學共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數為＝3.5，乙成績等級的眾數為5.故選C．
3．甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環數及其方差s2如表所示，則選送決賽的最佳人選應是( B )
項目 甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 6.3 6.3 7 8.7
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析]　因為乙＝丙>甲＝丁，且s＝s4．16位參加百米半決賽同學的成績各不相同，按成績取前8位進入決賽．若小劉在知道了自己的成績后，要判斷他能否進入決賽，則他需要知道其他15位同學成績的( C )
A．平均數 B．極差
C．中位數 D．方差
[解析]　判斷是不是能進入決賽，只需判斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學的成績中是不是有8個高于他，也就是把其他15位同學的成績排列后看第8個成績即可，小劉的成績高于這個成績就能進入決賽，低于這個成績就不能進入決賽．第8位的成績就是這15位同學成績的中位數．故選C．
5．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為A和B，樣本標準差分別為sA和sB，則( B )
A．A＞B，sA＞sB B．A＜B，sA＞sB
C．A＞B，sA＜sB D．A＜B，sA＜sB
[解析]　A＝(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，
B＝(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝≈11.67.
s＝[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，
s＝≈3.47.
故A＜B，sA＞sB．故選B．
6．已知一組數據x1，x2，…，xn的平均數為5，方差為4，則數據3x1＋7，3x2＋7，…，3xn＋7的平均數和方差分別為( B )
A．22，42 B．22，36
C．52，36 D．52，19
[解析]　由題意得新數據平均數為3×5＋7＝22，方差為32×4＝36.故選B．
二、填空題
7．一個樣本數據按從小到大的順序排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，中位數為23，則x＝_23__.
[解析]　由題意知＝23，則x＝23.
8．若k1，k2，…，k6的方差為3，則2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的方差為_12__.
[解析]　新數據方差為22×3＝12.
9．某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環數如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.
則：(1)平均命中環數為_7__；
(2)命中環數的標準差為_2__.
[解析]　(1)＝＝7.
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
三、解答題
10．2023年8月8日，世界大學生運動會在成都成功舉行閉幕式．某校抽取100名學生進行了大運會知識競賽并紀錄得分(滿分：100分)，根據得分將他們的成績分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中a的值；
(2)估計這100人競賽成績的平均數(同一組數據用該組數據的中點值代替)及中位數．
[解析]　(1)由題意知(0.005＋a＋0.020＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝1，
即0.085＋a＝0.1，a＝0.015.
(2)由頻率分布直方圖可知：
平均數為45×0.05＋55×0.15＋65×0.20＋75×0.30＋85×0.25＋95×0.05＝72，
前3組的頻率為0.05＋0.15＋0.2＝0.4，所以中位數為70＋×10＝70＋＝.
11．某校高二年級在一次數學選拔賽中，由于甲、乙兩人的競賽成績相同，從而決定根據平時在相同條件下進行的六次測試確定出最佳人選，這六次測試的成績數據如下：
甲 127 138 130 137 135 131
乙 133 129 138 134 128 136
求兩人比賽成績的平均數以及方差，并且分析成績的穩定性，從中選出一位參加數學競賽．
[解析]　設甲、乙兩人成績的平均數分別為甲，乙，
則甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，
乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，
s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，
s＝[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝.
因此，甲與乙的成績的平均數相同，由于乙的成績的方差較小，所以乙的成績比甲的成績穩定，應該選乙參加競賽比較合適．
B組·素養提升
一、選擇題
1．某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數如表：
學生 1號 2號 3號 4號 5號
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
若以上兩組數據的方差中較小的一個為s2，則s2等于( A )
A． B．
C． D．2
[解析]　甲＝7，s＝[(6 －7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋ (8－7)2＋(7－7)2]＝，乙＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2 ＋(9－7)2]＝，兩組數據的方差中較小的一個為s，即s2＝.故選A．
2．(多選題)下列說法正確的是( 　 )
A．方差是標準差的平方
B．標準差的大小不會超過極差
C．若一組數據的值大小相等，沒有波動變化，則標準差為0
D．標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差越小，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散
[解析]　標準差越小，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散．故選ABC．
3．(多選題)在發生公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間內沒有發生大規模群體感染的標志為“連續7天，每天新增疑似病例不超過5人”．過去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據信息如下，則一定符合該標志的是( 　 )
甲地：總體平均數為2，且標準差s≤2；
乙地：中位數為2，極差為c＝3；
丙地：總體平均數≤3，且極差c≤3；
丁地：眾數為1，且極差c≤4.
A．甲地 B．乙地
C．丙地 D．丁地
[解析]　甲地：若7天新增疑似病例為1，1，1，1，2，2，6，滿足平均數為2，標準差s＝<2，但不符合該標志，即A錯誤；乙地：若中位數為2可知7天新增數據的最小值小于等于2，又由極差為c＝3可得最大值小于等于5，即不可能有哪天的疑似病例超過5人，符合該標志，即B正確；丙地：由極差c≤3可知，若某天疑似病例超過5人，此時7天新增數據的最小值大于等于3，那么總體平均數≤3就不可能成立，所以每天新增疑似病例不超過5人，符合該標志，即C正確；丁地：因為眾數為1，且極差c≤4，所以新增疑似病例的最大值小于等于5，所以符合該標志，即D正確．故選BCD．
4．已知某7個數的平均數為3，方差為s2，現又加入一個新數據3，此時這8個數的平均數為，方差為，則( B )
A．＝3，s2＝2 B．＝3，s2＝4
C．＝3，s2＝28 D．＝3，s2＝
[解析]　由題意知＝＝3，
由方差公式得＝[7s2＋(3－3)2]，
所以s2＝×8×＝4.故選B．
二、填空題
5．從一堆蘋果中任取5個，稱得它們的質量(單位：g)如下：125，124，121，123，127.則該樣本的標準差s＝_2__g(用數字作答)．
[解析]　方法一(定義法)：平均數＝×(125＋124＋121＋123＋127)＝124(g)．
方差s2＝×(12＋02 ＋32＋12＋32) ＝4，
所以標準差s＝2 g.
方法二(新數據法)：將原數據都減去124，得新數據1，0，－3，－1，3，它們的平均數為0，方差為4，故原數據的方差為4，則所求標準差s＝2.
6．某學習小組10名同學在一次數學測試中的得分分別為85，78，66，91，67，78，67，87，96，88，則這10名同學成績的中位數為_81.5__.
[解析]　這組數據按照從小到大排列后為66，67，67，78，78，85，87，88，91，96，
所以這10名同學成績的中位數為＝＝81.5.
7．某校高一年級開設了豐富多彩的校本課程，現從甲、乙兩個班隨機抽取了5名學生校本課程的學分，統計如下表.
甲 8 11 14 15 22
乙 6 7 10 23 24
用s，s分別表示甲、乙兩班抽取的5名學生學分的方差，則s＝_22__，s＝_62__，并由此可判斷成績更穩定的班級是_甲__班．
[解析]　根據表中數據，計算甲班的平均數為1＝×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均數為2＝×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；
甲班的方差為s＝×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差為s＝×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以s由此可判斷成績更穩定的班級是甲班．
三、解答題
8．一箱方便面共有50袋，用隨機抽樣方法從中抽取了10袋，并稱其質量(單位：g)結果為：60.5，61，60，60，61.5，59.5，59.5，58，60，60.
(1)指出總體、個體、樣本、樣本容量；
(2)指出樣本數據的眾數、中位數、平均數；
(3)求樣本數據的方差．
[解析]　(1)總體是這50袋方便面的質量，個體是這一箱方便面中每一袋方便面的質量，樣本是抽取的10袋方便面的質量，樣本容量為10.
(2)這組樣本數據的眾數是60，中位數為60，
平均數為＝×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60.
(3)樣本數據的方差為s2＝[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8.
9．甲，乙兩名射擊運動員在相同條件下進行水平測試，各射擊10次，命中的環數如下：
甲 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7
乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5
(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；
(2)現要從甲、乙兩人中選拔一人去參加比賽，根據上面的測試成績，你認為應該派誰去合適？并且說明理由．
[解析]　(1)甲的平均數為甲＝
×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙的平均數為乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7，
甲的方差為s＝[(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2＋(7－7)2]＝×(1＋1＋1＋1＋4＋4＋9＋9)＝＝3，
乙的方差為s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2]＝×(1＋1＋1＋1＋4＋4)＝＝1.2.
(2)由于甲＝乙，則兩人平均數相同，由于s>s，則甲數據不如乙數據穩定，故應選派乙參加比賽．
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