資源簡介

(共30張PPT)
第七章　概率
§3　頻率與概率
課標要求 核心素養
1．理解頻率、概率的區別與聯系．
2．結合實例，能用頻率估計概率. 通過本節課的學習，提升學生的數學抽象和數據分析素養.
必備知識　探新知
知識點1　概率的概念與性質
(1)概率的定義：在相同條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發生的頻率通常會在某個_______附近擺動，即隨機事件A發生的頻率具有穩定性．這時，把這個常數叫作隨機事件A的概率．
(2)記法：________.
(3)范圍：______________.
知識點2　頻率與概率的關系
概率是可以通過_______來“測量”的，或者說頻率是概率的一個近似．概率從數量上反映了一個事件發生的可能性的大小．
常數
P(A)
0≤P(A)≤1
頻率
關鍵能力　攻重難
●題型一　概率概念的理解
例1：下列說法正確的是(　　)
A．由生物學知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩小孩，則一定為一男一女
B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎
C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大
D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1
[解析]　一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．故選D．
[歸納提升]
歸納提升：對概率的深入理解
1．概率是隨機事件發生可能性大小的度量，是隨機事件的本質屬性，隨機事件發生的概率是大量重復試驗中事件發生的頻率的近似值．
2．由概率的定義我們可以知道隨機事件在一次試驗中發生與否是隨機的，但隨機中含有規律性，而概率就是其規律性在數量上的反映．
3．正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區別與聯系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件．
〉對點訓練1
下列說法正確的是(　　)
B．某醫院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈
C．隨機試驗的頻率與概率相等
D．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療，結果有380人有明顯療效，現有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計其會有明顯療效的可能性為76%
●題型二　概率與頻率的關系及求法
例2：下面是某批乒乓球質量檢查結果表：
(1)在上表中填上優等品出現的頻率；
(2)估計該批乒乓球優等品的概率．
抽取球數 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數 45 92 194 470 954 1 902
優等品出現的頻率
[解析]　(1)
(2)從表中數據估計這批乒乓球優等品的概率是0.95.　　
[歸納提升]
抽取球數 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數 45 92 194 470 954 1 902
優等品出現的頻率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
歸納提升：頻率與概率的認識
1．理論依據：頻率在一定程度上可以反映隨機事件發生的可能性的大小，在大量重復試驗的條件下可以近似地作為這個事件的概率．
3．得出概率：從頻率估計出概率．
〉對點訓練2
某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1 000名志愿者服用此藥，體重變化結果統計如下：
如果另有一人服用此藥，估計這個人體重減輕的概率約為(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.5 D．0.6
體重變化 體重減輕 體重不變 體重增加
人數 600 200 200
●題型三　概率的應用
例3：為了估計水庫中魚的條數，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出2 000條魚，給每條魚做上記號，不影響其存活，然后放回水庫．經過適當的時間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，再從水庫中捕出500條，查看其中有記號的魚，有40條，試根據上述數據，估計水庫中魚的條數．
[歸納提升]
歸納提升：
1．由于概率反映了隨機事件發生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩定值，所以可以用樣本出現的頻率近似地估計總體中該結果出現的概率．
2．實際生活與生產中常常用隨機事件發生的概率來估計某個生物種群中個別生物種類的數量、某批次的產品中不合格產品的數量等．
〉對點訓練3
為落實“雙減”政策，增強學生體質，某校在初一年級隨機抽取了20名學生進行50米往返跑和跳繩測試，測試結果如表：
項目 跳繩
一般 良好 優秀
50米往返跑 一般 1 3 1
良好 b 3 2
優秀 3 1 a
(1)求a，b的值；
(2)從50米往返跑為優秀的學生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳繩為優秀的學生的概率．
解得a＝2，b＝4.
(2)根據表格知，50米往返跑為優秀的學生有6人，記這6人分別為1，2，3，4，5，6，
其中5，6表示這6人中跳繩為優秀的學生，
從這6人中抽取2人的所有情況為：
12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15種情況，其中至少有一位跳繩優秀的情況有：
15，16，25，26，35，36，45，46，56，共9種情況，
●易錯警示　混淆概率與頻率的概念
例4：把一枚質地均勻的硬幣連續擲了1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝上的概率為_________.
[錯解]　0.496
0.5
[正解]　0.5
課堂檢測　固雙基
1．在天氣預報中，有“降水概率預報”，例如，預報“明天降水概率為78%”，這是指(　　)
A．明天該地區有78%的地區降水，其他22%的地區不降水
B．明天該地區降水的可能性大小為78%
C．氣象臺的專家中，有78%的人認為會降水，另外22%的專家認為不降水
D．明天該地區約有78%的時間降水，其他時間不降水
[解析]　根據概率的意義“明天降水概率為78%”是指明天該地區降水的可能性大小為78%.故選B．
2．從一批準備出廠的電視機中隨機抽取10臺進行質量檢查，其中有1臺是次品，若用C表示抽到次品這一事件，則下列說法正確的是(　　)
D．每抽10臺電視機，必有1臺次品
3．袋內裝有一個黑球與一個白球，從袋中取出一球，在100次摸球中，摸到黑球的頻率為0.49，則摸到白球的次數為(　　)
A．49 B．51
C．0.49 D．0.51
[解析]　因為摸到黑球的頻率為0.49，所以摸到白球的頻率為0.51，從而摸到白球的次數為100×0.51＝51.故選B．
4．一家保險公司想了解汽車的擋風玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽車的相關信息，時間是從某年的5月1日到下一年的5月1日，共發現有600部汽車的擋風玻璃破碎，則一部汽車在一年內擋風玻璃破碎的概率的近似值是___________.
0.03第七章　§3
素養作業　提技能
A組·基礎自測
一、選擇題
1．下列說法正確的是( C )
A．事件A的概率P(A)，必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，則事件A是必然事件
C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結果有380人有明顯的療效，現有患胃潰瘍的病人服用此藥，則估計此藥有明顯的療效的可能性為76%
D．某獎券的中獎率為50%，則某人購買此券10張，一定有5張中獎
[解析]　由概率的基本性質知，0≤P(A)≤1，故A錯誤；必然事件的概率為1，故B錯誤；某獎券的中獎率為50%，則某人購買此券10張，不一定有5張中獎，故D錯誤．故選C．
2．某地一種植物一年生長的高度如下表：
高度/cm [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]
頻數 20 30 80 40 30
則該植物一年生長在[30，40)內的頻率是( C )
A．0.80 B．0.65
C．0.40 D．0.25
[解析]　根據表格中的數據，可得該植物一年生長在[30，40)內的頻率為＝0.40.故選C．
3．我國古代數學名著《數學九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗得米夾谷，抽樣取米一把，數得254粒夾谷28粒．這批米內夾谷約為( B )
A．134石 B．169石
C．338石 D．454石
[解析]　由題意可知這批米內夾谷約為1 534×≈169(石)．故選B．
4．擲一枚均勻的硬幣，如果連續拋擲1 000次，那么第999次出現正面向上的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析]　每一次出現正面向上的概率相等，都是.故選D．
5．設某廠產品的次品率為2%，估算該廠8 000件產品中合格品的件數大約為( B )
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
[解析]　8 000×(1－2%)＝7 840(件)．故選B．
6．某市交警部門在調查一起車禍過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號碼及顏色．該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車，3 000輛帕薩特出租車，乙公司有3 000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車，交警部門應認定肇事車為________公司的車輛較合理．( B )
A．甲 B．乙
C．甲與乙 D．無法確定
[解析]　肇事車為甲公司車輛的概率為＝，為乙公司車輛的概率為＝.顯然肇事車為乙公司車輛的概率遠大于為甲公司車輛的概率．故選B．
二、填空題
7．某人拋擲一枚硬幣100次，結果正面朝上53次，設正面朝上為事件A，則事件A出現的頻數為_53__，事件A出現的頻率為_0.53__.
8．一個口袋內裝有已編號的大小相同的1個白球和2個黑球，從中任意摸出2個球，則摸出的2個球全是黑球的概率是 　.
[解析]　摸出的小球所有可能情況為(白，黑1)，(白，黑2)，(黑1，黑2)，故摸出的2球全是黑球的概率是.
9．給出下列四個命題：
①設有一批產品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；
②做100次拋硬幣的試驗，結果51次出現正面朝上，因此，出現正面朝上的概率是；
③隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率；
④拋擲骰子100次，得點數是1的結果18次，則出現1點的頻率是.
其中正確命題有_④__.
[解析]　①錯，次品率是大量產品的估計值，并不是針對200件產品來說的．②③混淆了頻率與概率的區別．④正確．
三、解答題
10．某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面表格：
滿意 不滿意
男顧客 40 10
女顧客 30 20
分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率．
[解析]　由調查數據知，男顧客中對該商場服務滿意的頻率為＝0.8，因此男顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務滿意的頻率為＝0.6，因此女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.6.
11．隨機抽取一個年份，對甲市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任選一天，估計甲市在該天不下雨的概率；
(2)甲市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．
[解析]　(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，甲市不下雨的概率是.
(2)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”(如1日與2日，2日與3日等)這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16對，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為.
B　組·素養提升
一、選擇題
1．每年4月15日為全民國家安全教育日，某學校黨委組織黨員學習《中華人民共和國國家安全法》，為了解黨員學習的情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的學習時間(單位：時)進行調查，統計數據如下表所示：
學習時間(時) [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10]
黨員人數 8 13 9 10 10
則從該校隨機抽取1名黨員，估計其學習時間不少于6小時的概率為( B )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[解析]　由統計表可知，樣本容量為8＋13＋9＋10＋10＝50人，學習時間不少于6小時有10＋10＝20人，所以學習時間不少于6小時的概率為＝＝0.4.故選B．
2．在10人中，有4個學生，2個干部，3個工人，1個農民，則是學生數占總體分布的( B )
A．頻數 B．頻率
C．概率 D．眾數
[答案]　B
3．拋擲一枚質地均勻的正方體骰子(六個面上分別寫有1，2，3，4，5，6)，若前3次連續拋到“6點朝上”，則對于第4次拋擲結果的預測，下列說法中正確的是( C )
A．一定出現“6點朝上”
B．出現“6點朝上”的概率大于
C．出現“6點朝上”的概率等于
D．無法預測“6點朝上”的概率
[解析]　隨機事件具有不確定性，與前面的試驗結果無關．由于正方體骰子的質地是均勻的，故它出現哪一個面朝上的可能性都是相等的．故選C．
4．(多選題)下列敘述正確的是( 　 )
A．若事件A發生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1
B．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件
C．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎的可能性相同
D．某事件發生的概率是隨著試驗次數的變化而變化的
[解析]　A正確．由于事件的頻數總是小于或等于實驗的次數，從而任何事件的概率滿足0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0；B正確．設事件A和事件B，若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B為互斥事件；若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B為對立事件，所以互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件；C正確．甲抽到有獎獎券的概率為；乙后抽到有獎獎券的概率為×＝；D錯誤．某事件發生的概率是一個確定的常數，與每次試驗無關，與試驗的次數無關．故選ABC．
二、填空題
5．某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，有3次中9環，有4次中8環，有1次未中靶，假設此人射擊一次，則中靶的概率約是_0.9__.
[解析]　用頻率估計概率可得，中靶的概率約為(10－1)÷10＝0.9.
6．從5 000袋小包裝食品中抽出100袋進行質量檢測，其中質量在90～95克(不含95克)之間的有40袋，質量在95～100克(不含100克)之間的有30袋，質量在100～105克(不含105克)之間的有10袋，質量在105 ～110克(不含110克)之間的有20袋，由此可估計在這5 000袋小包裝食品中質量在95 ～ 105克(不含105克)之間的有_2_000__袋．
[解析]　設這5 000袋小包裝食品中質量在95～105克(不含105克)之間的有x袋，則由題意知，＝，解得x＝2 000.
7．某商店試銷某種商品20天，獲得如表數據：
日銷售量/件 0 1 2 3
頻數 1 5 9 5
試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規律不變)，設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率．則當天商店不進貨的概率為 　.
[解析]　記“當天商品銷售量為0件”為事件A，“當天商品銷售量為1件”為事件B，“當天商店不進貨”為事件C，
則P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
三、解答題
8．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果如表：
所用時間/min 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
選擇L1的人數 6 12 18 12 12
選擇L2的人數 0 4 16 16 4
(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；
(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在表中各時間段內的頻率．
[解析]　(1)由題干知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應的概率為0.44.
(2)選擇路徑L1的有60人，選擇路徑L2的有40人，故由調查結果得頻率為
所用時間/min 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
選擇L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
選擇L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
9．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：
最高氣溫 [10，15) [15 ，20) [20，25) [25 ，30) [30，35) [35 ，40)
天數 2 16 36 25 7 4
以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．
(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為 Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．
[解析]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.
(2)當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；
若最高氣溫位于區間[20，25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能取值為900，300，－100.
Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.
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