資源簡介

第六章　§3　3.1　3.2
素養作業　提技能
A組·基礎自測
一、選擇題
1．容量為100的樣本數據，分組后的頻數如表
分組 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
頻數 5 12 20 38 17 8
則樣本數據落在區間[80，100]內的頻率是( A )
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
[解析]　由題意可得樣本數據落在區間[80，100]內的頻數為17＋8＝25，則所求頻率為＝0.25.故選A．
2．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在[50，60)內的汽車有( C )
A．30輛 B．40輛
C．60輛 D．80輛
[解析]　 因為小長方形的面積即為對應的頻率，時速在[50，60)內的頻率為0.3，所以有200×0.3＝60(輛)．故選C．
3．某城市收集并整理了該市2023年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數據，繪制了下面的折線圖．
則根據折線圖，下列結論錯誤的是( D )
A．最高氣溫高于25 ℃的月份有3個
B．10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫
C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現在1月
D．最低氣溫低于0 ℃的月份有4個
[解析]　在A中，最高氣溫高于25 ℃的月份有3個，故A正確；在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現在1月，故C正確；在D中，最低氣溫低于0 ℃的月份有3個，故D錯誤．故選D．
4．觀察新生嬰兒的體重(單位：g)，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒的體重在[2 700，3 000)內的頻率為( D )
A．0.001 B．0.01
C．0.003 D．0.3
[解析]　頻率＝×組距，組距＝3 000－2 700＝300，＝0.001，∴頻率＝0.001×300＝0.3.故選D．
5．已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層隨機抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本量和抽取的高中生近視人數分別為( A )
A．200，20 B．100，20
C．200，10 D．100，10
[解析]　該地區中小學生總人數為3 500＋2 000＋4 500＝10 000，則樣本量為10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數為2 000×2%×50%＝20.故選A．
6．一個頻率分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在[20，60)內的頻率為0.8，則估計樣本中在[40，50)，[50，60)內的數據共有( B )
A．14個 B．15個
C．16個 D．17個
[解析]　∵樣本中數據在[20，60)內的頻率為0.8，∴樣本中數據在[20，60)內的頻數為30×0.8 ＝24，∴樣本中在[40，50)，[50，60)內的數據共有24－4－5＝15(個)．故選B．
二、填空題
7．一個容量為n的樣本，分成若干組，已知甲組的頻數和頻率分別為36和，則容量n＝_144__，頻率為的乙組的頻數x＝_24__.
[解析]　由題意得＝，所以n＝36×4＝144，同理＝，x＝24.
8．某校抽取100名學生測身高，其中身高最大值為186 cm，最小值為154 cm，根據身高數據繪制頻率分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數為_7__.
[解析]　第一組[153.5，158.5)；第二組[158.5，163.5)；第三組[163.5，168.5)；第四組[168.5，173.5)；第五組[173.5，178.5)；第六組[178.5，183.5)；第七組[183.5，188.5]．所以組數為7.
9．為了解某地居民的月收入情況，一個社會調查機構調查了20 000人，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示(最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值)．現按月收入分層，用分層隨機抽樣的方法在這20 000人中抽出200人進一步調查，則月收入在[3 000，4 000)(單位：元)內的應抽取_40__人．
[解析]　月收入在[3 000，4 000)的頻率為1－(0.000 10＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05)×1 000＝0.2，故應抽取200×0.2＝40(人)．
三、解答題
10．為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？
(2)若次數在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率約是多少？
[解析]　(1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數據落在各小組內的頻率大小的，
因此第二小組的頻率為＝0.08.
又因為第二小組的頻率＝，所以樣本量＝＝＝150.
(2)由直方圖可估計該校高一年級學生的達標率約為×100%＝88%.
11．某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段(單位：分)：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，然后畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖，觀察圖形信息，回答下列問題：
(1)求第四小組的頻率；
(2)補全這個頻率分布直方圖，并估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)．
[解析]　(1)根據各小組的頻率之和等于1，可得第四小組的頻率為1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
(2)補全直方圖如圖．
根據題意知，考試得60分及以上的分數在第三、四、五、六小組，頻率之和為(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽取學生的成績的及格率為75%，據此估計這次考試的及格率為75%.
B組·素養提升
一、選擇題
1．已知一個樣本的容量為72，分成5組，已知第一、五組的頻數都為8，第二、四組的頻率都為，則第三組的頻數為( C )
A．16 B．20
C．24 D．36
[解析]　因為頻率＝，所以第二、四組的頻數都為72×＝16.所以第三組的頻數為72－2×8－2×16＝24.故選C．
2．某廠對一批產品進行抽樣檢測，如圖是抽檢產品凈重(單位：克)的頻率分布直方圖，樣本數據分組為[76，78)，[78，80)，…，[84，86)．若這批產品有120個，估計其中凈重大于或等于78克且小于84克的產品的個數是( D )
A．12 B．18
C．25 D．90
[解析]　凈重大于或等于78克且小于84克的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在該范圍內的產品個數為120×0.75＝90.故選D．
3．(多選題)如圖為某商場一天營業額的扇形統計圖，根據統計圖可知下列信息正確的有( 　 )
A．家用電器部所得利潤最高
B．服裝鞋帽和百貨日雜共售出29 000元
C．副食的銷售額為該商場營業額的10%
D．該商場家用電器銷售額為全商場營業額的40%
[解析]　由某商場一天營業額的扇形統計圖得：對于A，家用電器的銷售額最高，但利潤不一定最高，故A錯誤；副食的銷售額占該商場營業額的比重為1－40%－30%－20%＝10%，副食的銷售額為5 800元，所以服裝鞋帽和百貨日雜共售出(30%＋20%)×＝29 000(元)，故B，C正確；對于D，該商場家用電器銷售額為全商場營業額的40%，故D正確．故選BCD．
4．在抽查某產品尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中一組，抽查出的個體數在該組內的頻率為m，該組直方圖的高為h，則|a－b|的值等于( B )
A．h·m B．
C． D．與m，h無關
[解析]　小長方形的高＝，|a－b|＝＝.故選B．
二、填空題
5．如圖是某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區間是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70， 80)，[80，90)，[90， 100]，則圖中x的值是_0.018__.
[解析]　由圖可知縱軸表示.故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－ 0.006－0.006＝0.018.
6．為了了解某校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖所示)．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數為12，則抽取的學生人數為_48__.
[解析]　前3個小組的頻率和為1－0.037 5×5－0.012 5×5＝0.75.又因為前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，所以第2小組的頻率為×0.75＝0.25.又知第2小組的頻數為12，則＝48，即為所抽樣本的人數．
三、解答題
7．某省有關部門要求各中小學要把“每天鍛煉一小時”寫入課程表，為了響應這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項目是什么？(只寫一項)”的問題，對在校學生進行了隨機抽樣調查，從而得到一組數據．圖1是根據這組數據繪制的條形統計圖．請結合統計圖回答下列問題：
(1)該校對多少名學生進行了抽樣調查？
(2)本次抽樣調查中，最喜歡籃球活動的有多少人？占被調查人數的百分比是多少？
(3)若該校九年級共有200名學生，圖2是根據各年級學生人數占全校學生總人數的百分比繪制的扇形統計圖，請你估計全校學生中最喜歡跳繩活動的人數約為多少？
[解析]　(1)由圖1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即該校對50名學生進行了抽樣調查．
(2)本次調查中，最喜歡籃球活動的有18人，×100%＝36%.
即最喜歡籃球活動的人數占被調查人數的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，×1 000＝160(人)．
即估計全校學生中最喜歡跳繩活動的人數約為160人．
8．某校高一某班的某次數學測試成績(滿分100分)如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，，90，95，由于保存不利，其中[80，90)內的成績被墨水覆蓋．根據該數據繪制的頻率分布直方圖(如圖所示)也被墨水覆蓋了部分區域．
(1)求成績在區間[50，60)內的頻率及抽樣人數；
(2)求成績在區間[80，90)內的頻數，并計算頻率分布直方圖中區間[80，90)對應的小矩形的高；
(3)試估計全班成績在82分以下的學生比例．
[解析]　(1)易知成績在區間[50，60)內的頻率為0.008×10＝0.08，成績在區間[50，60)內的頻數為2，所以抽樣人數為＝25.
(2)成績在區間[80，90)內的頻數為25－21＝4；
頻率分布直方圖中區間[80，90)對應的小矩形的高為÷10＝0.016.
(3)成績在82分以下的學生比例為學生成績不足82分的頻率，設相應頻率為b，學生成績在[82，100)內的頻率為0.016×(90－82)＋0.008×10＝0.208，則b＝1－0.208＝0.792，由此估計全班成績在82分以下的學生約占79.2%.
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第六章　統計
§3　用樣本估計總體分布
3.1　從頻數到頻率
3.2　頻率分布直方圖
課標要求 核心素養
1．了解頻數與頻率的關系．
2．掌握頻率分布直方圖的畫法．
3．會用頻率分布直方圖或頻率折線圖估計總體分布. 1．結合實例，能用樣本估計總體的取值規律，培養學生數據分析的核心素養．
2．會利用頻率分布直方圖或頻率折線圖解決實際問題，培養學生數學建模的核心素養.
必備知識　探新知
知識點1　從頻數到頻率
(1)頻數：將樣本按照一定的方法分成若干組，每組內含有的個體數目．
(2)頻率：頻數與總數的比值．
【批注】頻數與頻率的關系及應用
(1)頻率反映了相對總數而言的相對強度，其所攜帶的總體信息遠超過頻數；
(2)總體容量較小時，頻數也可以較客觀地反映總體分布；
(3)總體容量較大時，頻率就更能客觀地反映總體分布．
知識點2　頻率分布直方圖
2．頻率分布直方圖與頻率的關系
頻率分布直方圖以_______的形式反映了數據落在各個小組的頻率的大小．
組距
頻率
組距
頻率
頻率
面積
3．頻率分布直方圖的好處
(1)能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別；
(2)當考慮數據落在若干個組內的頻率之和時，可以用____________　_______來表示．
4．畫頻率分布直方圖的步驟
(1)計算_______；
(2)確定_______與_______；
(3)_______；
(4)_______________；
(5)畫頻率分布直方圖．
相應矩形面
積之和
極差
組距
組數
分組
列頻率分布表
知識點3　頻率折線圖
在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區間，從所加的左邊區間的_______開始，用線段依次連接各個矩形的頂端_______，直至右邊所加區間的_______，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．
中點
中點
中點
關鍵能力　攻重難
●題型一　頻數與頻率的關系
例1：(1)某市高三一模考試中某校高三1，2班各有50人參加了考試，考試結束后他們的數學老師對數學成績做了分析．單從成績是否及格來看，1班有10人不及格，2班的及格率是90%，則下列說法正確的是(　　)
A．2班數學成績及格的有40人
B．1班數學成績的及格率是90%
C．2班數學成績的及格率高于1班
D．1班不及格的人數比2班少
(2)已知樣本：
7　10　14　8　7　12　11　10　8　10
13　10　8　11　8　9　12　9　13　12
那么這組樣本數據落在范圍8.5～11.5內的頻數為_____，頻率為_________.
8
0.4
[解析]　(1)由題意，1班有10人不及格，40人及格，及格率是80%，2班有5人不及格，45人及格，及格率是90%.故選C．
(2)樣本容量是20，落在8.5～11.5內的數據有2個9，4個10，2個11，共8個數據，所以頻數為8，頻率是8÷20＝0.4.
[歸納提升]
歸納提升：頻率的應用
頻率反映了相對總數而言的相對強度，其攜帶的總體信息要超過頻數，頻數受總體數量影響較大，所以頻率能客觀地反映總體分布，在生活中，經常用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布．
〉對點訓練1
某中學為了了解全校學生的閱讀情況，在全校采用隨機抽樣的方法抽取一個樣本進行問卷調查，并將他們在一個月內去圖書館的次數進行了統計,將學生去圖書館的次數分為5組：[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20]，制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總人數為_______.
分組 人數 頻率
[0，4) 3
[4，8) 9
[8，12) 9
[12，16) 0.2
[16，20] 0.1
30
●題型二　繪制頻率分布直方圖
例2：為了檢測某種產品的質量，抽取了一個樣本量為100的樣本，數據的分組如下：
[10.75，10.85)，3；[10.85，10.95)，9；[10.95，11.05)，13；[11.05，11.15)，16；[11.15，11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35，11.45)，7；[11.45，11.55)，4；[11.55，11.65]，2.
(1)列出頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖．
[分析]　題目要求列出樣本的頻率分布表、畫出頻率分布直方圖，應注意到已知條件中雖未提供原始數據，但組距、組數及頻數都已給出，可由此來列表、畫圖．
[解析]　(1)頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
[10.75，10.85) 3 0.03
[10.85，10.95) 9 0.09
[10.95，11.05) 13 0.13
[11.05，11.15) 16 0.16
[11.15，11.25) 26 0.26
[11.25，11.35) 20 0.20
[11.35，11.45) 7 0.07
[11.45，11.55) 4 0.04
[11.55，11.65] 2 0.02
合計 100 1.00
(2)頻率分布直方圖如圖
[歸納提升]
歸納提升：繪制頻率分布直方圖應注意的問題
(2)數據要合理分組，組距要選取恰當，一般盡量取整，數據為30～100個左右時，應分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于各組的頻率，小長方形的高與頻數成正比，各組頻數之和等于樣本量，頻率之和為1.
〉對點訓練2
在生產過程中，測得纖維產品的纖度(表示纖細的一種量)共有100個數據，將數據分組如下表：
(1)完成頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；
(2)估計纖度落在[1.38，1.50)內的可能性及纖度小于1.42的可能性各是多少？
分組 頻數 頻率
[1.30，1.34) 4
[1.34，1.38) 25
[1.38，1.42) 30
[1.42，1.46) 29
[1.46，1.50) 10
[1.50，1.54] 2
合計 100
[解析]　(1)頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
[1.30，1.34) 4 0.04
[1.34，1.38) 25 0.25
[1.38，1.42) 30 0.30
[1.42，1.46) 29 0.29
[1.46，1.50) 10 0.10
[1.50，1.54] 2 0.02
合計 100 1.00
頻率分布直方圖如圖所示．
(2)利用樣本估計總體，則纖度落在[1.38，1.50)的可能性即為纖度落在[1.38，1.50)的頻率，即為0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纖度小于1.42的可能性即為纖度小于1.42的頻率，即為0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
●題型三　頻率分布直方圖的應用
例3：從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求直方圖中x的值；
(2)在這些用戶中，求用電量落在區間[100，250)內的戶數．
(2)∵數據落在[100，250)內的頻率為
(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，
∴所求戶數為0.7×100＝70.
[歸納提升]
歸納提升：頻率分布直方圖的性質
(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.
(3)樣本量＝頻數/相應的頻率．
〉對點訓練3
如圖是樣本量為200的頻率分布直方圖．根據樣本的頻率分布直方圖估計，下列說法正確的是(　　)
A．樣本數據落在[6，10)內的頻數為64，數據落在[2，10)內的百分比為0.4
B．樣本數據落在[6，10)內的頻數為16，數據落在[2，10)內的百分比為0.1
C．樣本數據落在[10，14)內的頻數為18，數據落在[6，14)內的百分比為0.68
D．樣本數據落在[14，22]內的頻數為48，數據落在[10，18)內的百分比為0.12
●易錯警示　誤將頻率分布直方圖中的縱坐標當作頻率
例4：中小學生的視力狀況受到社會的廣泛關注．某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調查統計，將所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖．從左至右五個小組的頻率之比為5∶7∶12∶10∶6，則該市6萬名高一學生中視力在[3.95，4.25)內的學生約有多少人？
[辨析]　造成錯解的原因是將該頻率分布直方圖中的縱坐標(頻率與組距的比)看成頻率．
[正解]　由圖可知，第五小組的頻率為0.5×0.3＝0.15，
所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95，4.25)內的學生約有60 000×　0.125＝7 500(人)．
課堂檢測　固雙基
1．200輛汽車經過某一雷達地區，時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速超過60 km/h(含60 km/h)的汽車數量為(　　)
A．65輛
B．76輛
C．88輛
D．95輛
[解析]　由頻率分布直方圖可得數據落在[60，80)內的頻率是(0.028＋0.010)×10＝0.38，故時速超過60 km/h(含60 km/h)的汽車數量為200× 0.38＝76(輛)．故選B．
2．甲、乙兩個城市2023年4月中旬每天的最高氣溫統計圖如圖所示，則這9天里，氣溫比較穩定的是_____城市(填“甲”或“乙”)．
[解析]　從折線統計圖可以很清楚地看到乙城市的氣溫變化較大，而甲城市氣溫相對來說較穩定，變化基本不大．
甲
3．某班計劃開展一些課外活動，全班有40名學生報名參加，他們就乒乓球、足球、跳繩、羽毛球4項活動的參加人數做了統計，繪制了條形統計圖(如圖所示)，那么參加羽毛球活動的人數的頻率是_________.
0.1
4．如圖所示是總體的一個樣本頻率分布直方圖，且在[15，18)內的頻數為8.
(1)求樣本在[15，18)內的頻率；
(2)求樣本容量；
(3)若在[12，15)內的小矩形面積為0.06，求在[18，33]內的頻數．
[解析]　由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.
(3)∵在[12，15)內的小矩形面積為0.06，
∴樣本在[12，15)內的頻率為0.06，
故樣本在[15，33]內的頻數為50×(1－0.06)＝47，
又∵在[15，18)內的頻數為8，
∴在[18，33]內的頻數為47－8＝39.

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