資源簡介

第七章　§4
素養(yǎng)作業(yè)　提技能
A組·基礎(chǔ)自測
一、選擇題
1．從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該生各項均合格的概率為(假設(shè)各項標(biāo)準(zhǔn)互不影響)( B )
A． B．
C． D．
[解析]　由獨(dú)立事件概率公式計算可得：該生各項均合格的概率為××＝.故選B．
2．設(shè)兩個獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)是( D )
A．　　　　 B．　　　　
C．　　　　 D．
[解析]　由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，
∴P()＝P()＝.
∴P(A)＝.故選D．
3．甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一個問題，甲能解決這個問題的概率是P1，乙能解決這個問題的概率是P2，那么至少有一人能解決這個問題的概率是( D )
A．P1＋P2
B．P1P2
C．1－P1P2
D．1－(1－P1)(1－P2)
[解析]　甲能解決這個問題的概率是P1，乙能解決這個問題的概率是P2，
則甲不能解決這個問題的概率是1－P1，乙不能解決這個問題的概率是1－P2，
則甲、乙都不能解決這個問題的概率是(1－P1)(1－P2)，則至少有一人能解決這個問題的概率是1－(1－P1)(1－P2)．故選D．
4．兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為( B )
A． B．
C． D．
[解析]　所求概率為×＋×＝或P＝1－×－×＝.故選B．
5．三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，且是互相獨(dú)立的．將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析]　記“三個元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不發(fā)生故障的事件為(A2∪A3)∩A1，
∴不發(fā)生故障的概率為
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P()·P()]·P(A1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－×))×＝.
故選A．
6．從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是( B )
A．2個球都是紅球的概率為
B．2個球中恰有1個紅球的概率為
C．至少有1個紅球的概率為
D．2個球不都是紅球的概率為
[解析]　2個球都是紅球的概率為×＝，A錯誤；2個球中恰有1個紅球的概率為×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×＝，B正確；至少有1個紅球的概率為1－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝，C錯誤；2個球不都是紅球的概率為1－×＝，D錯誤．故選B．
二、填空題
7．已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P()＝ 　.
[解析]　因為P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，P()＝.又因為A，B是相互獨(dú)立事件，所以和也為相互獨(dú)立事件，所以P()＝P()P()＝×＝.
8．一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為. 由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為 　.
[解析]　甲生解出，而乙、丙不能解出為事件A1，則P(A1)＝×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出為事件A2，則P(A2)＝×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出為事件A3，則P(A3)＝×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＝.
甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
9．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費(fèi)，超過兩小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時的部分按1小時計算)，有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，，兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時．求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為 　 .
[解析]　由題意得，甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為，.
設(shè)甲，乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，
則P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為.
三、解答題
10．如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別記為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9，電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999.
(1)求p；
(2)求電流能在M與N之間通過的概率．
[解析]　記事件Ai表示“電流能通過Ti”，i＝1，2，3，4，事件A表示“T1，T2，T3中至少有一個能通過電流”，事件B表示“電流能在M與N之間通過”．
(1)因為＝123，A1，A2，A3相互獨(dú)立，
所以P()＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3.
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
所以(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.
(2)B＝A4＋4A1A3＋41A2A3，
P(B)＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(41A2A3)
＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9
＝0.989 1.
11．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.求：
(1)這名學(xué)生在途中遇到4次紅燈的概率；
(2)這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過了3個路口的概率；
(3)這名學(xué)生至少遇到一次紅燈的概率．
[解析]　(1)設(shè)事件A為在途中遇到4次紅燈，P(A)＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1())4×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×5＝.
(2)設(shè)首次停車前經(jīng)過3個路口為事件B，
則P(B)＝eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))3×＝.
(3)設(shè)至少遇到一次紅燈為事件C，
則其對立事件為全遇到綠燈，
所以P(C)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))5＝.
B組·素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”．某校國學(xué)社團(tuán)準(zhǔn)備于周六上午9點分別在6個教室開展這六門課程講座，每位同學(xué)只能選擇一門課程，則甲乙兩人至少有1人選擇“禮”的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析]　由題意，甲和乙不選擇“禮”的概率均是，且相互獨(dú)立，所以甲乙兩人都不選擇“禮”的概率是×＝，所以甲乙兩人至少有1人選擇“禮”的概率是1－＝.故選D．
2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一個荷葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析]　由已知逆時針跳一次的概率為，順時針跳一次的概率為.則逆時針跳三次停在A上的概率為P1＝××＝，順時針跳三次停在A上的概率為P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝＋＝.故選A．
3．(多選題)擲一枚均勻的硬幣兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)正面”，B＝“第二次出現(xiàn)反面”，則有( 　 )
A．A與B相互獨(dú)立
B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A與B互斥
D．P(AB)＝
[解析]　對于選項A，由題意得事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生沒有影響，所以A與B相互獨(dú)立，所以A正確；對于選項B，C，由于事件A與B可以同時發(fā)生，所以事件A與B不互斥，故選項B，C不正確；對于選項D，由于A與B相互獨(dú)立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝，所以D正確．故選AD．
4．(多選題)甲、乙兩人各擲一個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件A：甲得到的點數(shù)為2，B：乙得到的點數(shù)為奇數(shù)，則( ABD )
A．事件A，B相互獨(dú)立
B．事件，B相互獨(dú)立
C．P(AB)＝
D．P(B)＝
[解析]　由題意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A與B相互獨(dú)立，與B也相互獨(dú)立，所以P(B)＝P()P(B)＝.故選ABD．
二、填空題
5．甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，則取得同色球的概率為 　.
[解析]　設(shè)“從甲袋中取白球”為事件A，則P(A)＝＝.設(shè)“從乙袋中取白球”為事件B，則P(B)＝＝.取得同色球為AB＋.
P(AB＋)＝P(AB)＋P()
＝P(A)·P(B)＋P()·P()
＝×＋×＝.
6．甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8，0.6，0.5，則三人都達(dá)標(biāo)的概率是_0.24__，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是_0.96__.
[解析]　三人都達(dá)標(biāo)的概率為0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人都不達(dá)標(biāo)的概率為(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－0.04＝0.96.
三、解答題
7．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
[解析]　(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4) ＝0.5.
(2)X＝4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前2個球是甲、乙各得1分，后2個球均為甲得分．
因此所求概率為[0.5×(1－0.4) ＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
8．甲、乙兩人進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得2分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為，p，q(p(1)求p，q的值；
(2)甲、乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．
[解析]　(1)由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1( 1－p 1－q ＝，,pq＝，))即eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\al\co1(1－ p＋q ＋pq＝，,pq＝，))則p＋q＝.
又p(2)由題意可得3個項目一共6分，總共4分或6分者即可取勝，又甲得4分的概率P1＝××eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))＋×eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))×＋eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(1－))××＝，
所以甲得4分或6分的概率P＝＋＝.
故乙得4分或6分的概率為，
因為>，所以甲獲得最終勝利的可能性大．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)(共33張PPT)
第七章　概率
§4　事件的獨(dú)立性
課標(biāo)要求 核心素養(yǎng)
1．結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義．
2．結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計算概率. 1．會計算相互獨(dú)立事件的概率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．能利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
必備知識　探新知
知識點　相互獨(dú)立事件的概念和性質(zhì)
定義 事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的_______沒有影響，這樣的兩個事件叫作相互獨(dú)立事件
計算公式 兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于這兩個事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)＝P(A)P(B)
性質(zhì) 如果兩個事件相互獨(dú)立，那么把其中一個換成它的對立事件，這樣的兩個事件仍然相互獨(dú)立．即當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時，則事件______與事件______相互獨(dú)立，事件______與事件______相互獨(dú)立，事件______與事件______相互獨(dú)立
概率
A
B
【批注】互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別
相互獨(dú)立事件 互斥事件
條件 事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響 不可能同時發(fā)生的兩個事件
符號 相互獨(dú)立事件A，B同時發(fā)生，記作：AB 互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B)
計算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
關(guān)鍵能力　攻重難
●題型一　相互獨(dú)立事件的判斷
例1：從一副撲克牌(52張，除去大小王)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，記事件C為“抽到J”．判斷下列每對事件是否相互獨(dú)立？為什么？
(1)A與B；
(2)C與A．
[歸納提升]
歸納提升：兩個事件是否相互獨(dú)立的判斷
(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．
(2)定義法：如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨(dú)立事件．
〉對點訓(xùn)練1
現(xiàn)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是3”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則(　　)
A．A與C相互獨(dú)立 B．A與D相互獨(dú)立
C．B與D相互獨(dú)立 D．C與D相互獨(dú)立
●題型二　相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率
例2：根據(jù)資料統(tǒng)計，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險的概率為0.6，購買甲、乙保險相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立．
(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率；
(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率．
[分析]　根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求解．
[歸納提升]
歸納提升：
1．求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的步驟：
(1)首先確定各事件是相互獨(dú)立的；
(2)其次確定各事件會同時發(fā)生；
(3)最后求每個事件發(fā)生的概率后再求其積．
〉對點訓(xùn)練2
(1)甲、乙兩人各用籃球投籃一次，若兩人投中的概率都是0.7，則恰有一人投中的概率是(　　)
A．0.42 B．0.49
C．0.7 D．0.91
●題型三　相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用
例3：小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點到達(dá)的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達(dá)互不影響．求：
(1)這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率；
(2)這三列火車至少有一列正點到達(dá)的概率．
[歸納提升]
歸納提升：與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題求解策略
明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義．
一般地，已知兩個事件A,B,它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件A＋B；
(2)A，B都發(fā)生為事件AB；
它們之間的概率關(guān)系如表所示：
〉對點訓(xùn)練3
(1)若采用三局兩勝制進(jìn)行比賽，求甲隊獲勝的概率；
(2)若采用五局三勝制進(jìn)行比賽，求乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率．
[解析]　設(shè)Ai(i＝1，2，3，4，5)表示甲隊在第i場比賽獲勝，
課堂檢測　固雙基
1．如圖所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是(　　)
2．甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參加演講比賽，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是(　　)
3．某天上午，李明要參加“青年文明號”活動．為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是________.
[解析]　至少有一個準(zhǔn)時響的概率為1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.
0.98
4．一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論事件A與B的相互獨(dú)立性：
(1)家庭中有兩個小孩；
(2)家庭中有三個小孩．
[解析]　(1)家庭中有兩個小孩，小孩為男孩、女孩的可能情形為{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
此時A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}．
由此知P(AB)≠P(A)P(B)，
故事件A，B不相互獨(dú)立．
(2)家庭中有三個小孩，小孩為男孩、女孩的可能情形為{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，

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