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第3講　力的合成與分解
如圖甲所示,兩個人分別用力F1、F2提著一桶水,水桶靜止;如圖乙所示,一個人單獨用力F提著同一桶水,水桶靜止。 (1)F1和F2的共同作用力與F的作用效果是什么關系 (2)兩個力的合力一定比任一分力大嗎 (3)水桶的重力與F1、F2兩個力的合力是什么關系
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【答案】 共同　合力　分力　等效替代　平行四邊形　分力　正交　平行四邊形　算術]
(2024·吉林長春模擬)我國古代人民掌握了卓越的航海技術,曾有“鄭和七下西洋”的壯舉。帆船要逆風行駛時要調整帆面的朝向,使船沿“之”字形航線逆風而行。風吹到帆面,產生的風力垂直于帆面,由于船沿垂直于船身的阻力非常大,風力垂直于船身的分量不會引起船側向的運動,在風力的作用下,船便會沿平行于船身方向運動。在下列各圖中,風向如圖所示,船沿虛線的路線逆風而行,則各圖中帆面的方位正確的是(　　)
[A]　　　 [B]
[C] [D]
【答案】 B
考點一　共點力的合成
(1)如圖甲所示,若兩個力F1、F2等大,夾角為θ,試推導合力的大小的表達式。若增大夾角θ,當夾角θ=120°時,合力F的大小和分力大小間有什么關系
提示:以F1、F2為鄰邊,畫出平行四邊形,如圖所示,由幾何關系可知合力的大小F=2F1cos。當夾角θ=120°時,合力與分力等大。
(2)如圖乙所示,若兩個力F1、F2的夾角為θ,試推導合力的大小及與F1夾角的正切值的表達式。
乙
提示:合力的大小可由余弦定理得到
F=,
tan α=。
1.共點力合成的方法
(1)作圖法:從力的作用點起,按同一標度作出兩個分力F1和F2的圖示,再以F1和F2的圖示為鄰邊作平行四邊形,畫出過作用點的對角線,量出對角線的長度,計算出合力的大小,量出對角線與某一力的夾角確定合力的方向(如圖所示)。
(2)計算法:根據平行四邊形定則作出力的示意圖,然后利用勾股定理、三角函數、正弦定理等求出合力。
2.合力范圍的確定
(1)兩個共點力的合力范圍:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
①兩個分力的大小不變時,其合力隨夾角的增大而減小。
②當兩個力反向時,合力最小,為|F1-F2|;當兩個力同向時,合力最大,為F1+F2。
(2)三個共點力的合力范圍。
①最大值:三個力同向時,其合力最大,為Fmax=F1+F2+F3。
②最小值:任取兩個力,求出其合力的范圍,如果第三個力在這個范圍內,則三個力的合力的最小值為零,即Fmin=0;如果第三個力不在這個范圍內,則三個力的合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1>F2+F3)。
3.幾種特殊情況的共點力的合成
類型 作圖 合力的計算
兩力互 相垂直 F=, tan θ=
兩力等大, 夾角為θ F=2F1cos ,F與F1夾角為
兩力等大, 夾角為120° F′=F,F′與F夾角為60°
[例1] 【合力大小的范圍】 如圖為兩個大小不變、夾角θ變化的力的合力的大小F與θ角之間的關系圖像(0≤θ≤2π),下列說法正確的是(　　)
[A] 合力大小的變化范圍是0≤F≤14 N
[B] 合力大小的變化范圍是2 N≤F≤10 N
[C] 這兩個分力的大小分別為6 N和8 N
[D] 這兩個分力的大小分別為2 N和8 N
【答案】 C
【解析】 由題圖可知,當兩力夾角為π時,兩力的合力為2 N,而當兩力夾角為時,兩力的合力為10 N,則這兩個分力的大小分別為6 N和8 N,故C正確,D錯誤;當兩個力方向相同時,合力最大,為14 N,當兩個力方向相反時,合力最小,為2 N,由此可見,合力大小的變化范圍是2 N≤F≤14 N,故A、B錯誤。
[例2] 【合力的求解】 如圖所示,假設某斜拉橋中某對鋼索與豎直方向的夾角都是30°,每根鋼索中的拉力都是3×104 N,那么它們對塔柱形成的合力有多大 方向如何
【答案】 5.2×104 N　方向豎直向下
【解析】 法一　作圖法
如圖甲所示,自O點引兩根有向線段OA和OB,它們跟豎直方向的夾角都為30°,取單位長度為1×104 N,則OA和OB的長度都是3個單位長度,量得對角線OC長度約為5.2個單位長度,所以合力
的大小為F=5.2×1×104 N=5.2×104 N,方向豎直向下。
法二　計算法
如圖乙所示,根據這個平行四邊形是一個菱形的特點,連接AB,交OC于D,則AB與OC互相垂直平分,即AB垂直于OC,且AD=DB,OD=OC。
對于Rt△AOD,∠AOD=30°,
則有F=2F1cos 30°=2×3×104× N≈5.2×104 N,方向豎直向下。
考點二　力的分解的兩種常用方法
(1)如圖所示,已知合力F的大小和方向及另一個分力F2的方向,若合力F能夠合理分解,試推導F1的最小值應該是多少
提示:合力與分力間的關系滿足平行四邊形定則,如圖所示,根據平行四邊形定則,當F1=Fsin θ時,分力F1和分力F2恰好組成平行四邊形,故F1的最小值是Fsin θ。
(2)結合(1)中的分析,若合力F能夠合理分解,F1應滿足什么條件 試畫出相應的分解圖。
提示:當F11.力的分解的常用方法
項目 正交分解法 效果分解法
分解 方法 將一個力沿著兩個互相垂直的方向進行分解 根據一個力產生的實際效果進行分解
實例 分析 x軸方向上的分力Fx=Fcos θ y軸方向上的分力Fy=Fsin θ F1= F2=Gtan θ
2.力的分解方法選取原則
(1)一般來說,當物體受到三個或三個以下的力時,常按實際效果進行分解。若這三個力中,有兩個力互相垂直,則優先選用正交分解法。
(2)當物體受到三個以上的力時,常用正交分解法。
3.一個已知力分解時有無解的討論
(1)已知合力F和兩個分力F1、F2的方向,求兩個分力的大小,有唯一解。
(2)已知合力F和一個分力(大小、方向)求另一個分力(大小、方向),有唯一解。
(3)已知合力F和兩分力F1、F2(F1>F2)的大小,求兩分力的方向。
①F>F1+F2,無解。
②F=F1+F2,有唯一解,F1和F2跟F同向。
③F=F1-F2,有唯一解,F1與F同向,F2與F反向。
④F1-F2(4)已知合力F和F1的方向、F2的大小(F1與合力F的夾角為θ),求F1的大小和F2的方向。
①F2②F2=Fsin θ,有唯一解。
③Fsin θ④F2≥F,有唯一解。
[例3] 【力的效果分解法】(2024·遼寧遼陽二模)一鑿子兩側面與中心軸線平行,尖端夾角為θ,當鑿子豎直向下插入木板中后,用錘子沿中心軸線豎直向下以力F敲打鑿子上側時,鑿子仍靜止,側視圖如圖所示。若敲打鑿子時鑿子作用于木板1、2面的彈力大小分別記為F1、F2,忽略鑿子受到的重力及摩擦力,下列判斷正確的是(　　)
[A] F1=Fsin θ [B] F1=Fcos θ
[C] F2=Ftan θ [D] F2=
【答案】 D
【解析】 將力F在木板1、2面分解,如圖所示?？傻肍1=,F2=。故選D。
[例4] 【力的正交分解法】 (2024·重慶九龍坡階段檢測)(1)如圖甲所示,在同一平面內的三個共點力F1=10 N、F2=10 N、F3=20 N互成120°角,求它們的合力的大小和方向;
(2)如圖乙所示,在同一平面內的四個共點力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如圖乙所示,求它們的合力大小和方向。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,要求寫出求解過程,即畫圖加表達式或寫出足夠清楚的文字說明)
甲　　　　　　　　乙　　　　
【答案】 (1)10 N　方向沿F3方向　(2)見解析
【解析】 (1)以垂直于F3方向為x軸,沿F3方向為y軸,如圖a所示。
a
由于F1、F2沿x軸的分力大小相等,方向相反,則F1、F2和F3的合力大小為
F=F3-F1cos 60°-F2cos 60°
=20 N-10× N-10× N
=10 N,
方向沿F3方向。
(2)建立如圖b所示的坐標系。
b
由圖b可知,沿x軸方向的合力為
Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30×0.6 N=22 N,
沿y軸方向的合力為
Fy=F1+F2cos 37°-F3
=20 N+30×0.8 N-22 N
=22 N,
如圖c所示,
c
可知合力大小為F合==22 N,
方向與x軸的夾角滿足tan θ==1,
解得θ=45°。
力的正交分解的技巧
(1)力的正交分解是在物體受到三個或三個以上的共點力作用下求合力的一種方法,分解的目的是將矢量運算轉化為代數運算。
(2)一般情況下,應用正交分解法建立坐標系時,應盡量使所求量(或未知量)“落”在坐標軸上,這樣解方程較簡單。
[例5] 【力的分解中的多解問題】 (多選)已知力F,且它的一個分力F1跟F成30°角,大小未知,另一個分力F2的大小為F,方向未知,則F1的大小可能是(　　)
[A] [B] [C] [D] F
【答案】 AC
【解析】 根據題意,作出矢量三角形,如圖,通過幾何關系得,F1=F或F1=F,故A、C正確,B、D錯誤。
考點三　“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”的問題
1.“活結”和“死結”模型
類型 “活結”模型 “死結”模型
圖例
解讀 “活結”把繩子分為兩段,且可沿繩移動,“活結”一般由繩跨過光滑滑輪或繩上掛一光滑掛鉤而形成,繩子因“活結”而彎曲,但實際為同一根繩。關鍵語句“光滑掛鉤”“光滑滑輪” “死結”把繩子分為兩段,且不可沿繩子移動,“死結”兩側的繩因結而變成兩根獨立的繩,關鍵語句“節點”“系住”
特點 活結兩側繩子上的張力大小處處相等 死結兩側的繩子張力不一定相等
2.“動桿”和“定桿”模型
類型 “動桿”模型 “定桿”模型
圖例
解讀 輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接,輕桿可圍繞轉軸或鉸鏈自由轉動。關鍵語句“光滑的轉軸”“鉸鏈連接” 輕桿被固定在接觸面上,不發生轉動,關鍵語句“固定”“插在墻里”
特點 當桿處于平衡狀態時,桿的彈力方向一定沿著桿 桿的彈力方向不一定沿桿,可沿任意方向
[例6] 【“死結”模型】 (2022·遼寧卷,4)如圖所示,蜘蛛用蛛絲將其自身懸掛在水管上,并處于靜止狀態。蛛絲OM、ON與豎直方向夾角分別為α、β(α>β)。用F1、F2分別表示OM、ON的拉力,則(　　)
[A] F1的豎直分力大于F2的豎直分力
[B] F1的豎直分力等于F2的豎直分力
[C] F1的水平分力大于F2的水平分力
[D] F1的水平分力等于F2的水平分力
【答案】 D
【解析】 對結點O受力分析可得,水平方向F1sin α=F2sin β,即F1的水平分力等于F2的水平分力,選項C錯誤,D正確;對結點O受力分析可得,豎直方向F1cos α+F2cos β=mg,解得F1=,F2=,則F1的豎直分量F1y=,F2的豎直分量F2y=,由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)>0,可知F2y>F1y,選項A、B錯誤。
[例7] 【“活結”模型】 在如圖所示的甲、乙、丙、丁四幅圖中,滑輪光滑且所受的重力忽略不計,滑輪的軸O安裝在一根輕木桿P上,一根輕繩ab繞過滑輪,a端固定在墻上,b端下面掛一質量為m的重物。當滑輪和重物都靜止不動時,甲、丙、丁圖中木桿P與豎直方向的夾角均為θ,圖乙中木桿P豎直。假設甲、乙、丙、丁四幅圖中滑輪受到木桿P的彈力的大小依次為FA、FB、FC、FD,則下列判斷正確的是(　　)
[A] FA=FB=FC=FD
[B] FD>FA=FB>FC
[C] FA=FC=FD>FB
[D] FC>FA=FB>FD
【答案】 B
【解析】 輕繩上的拉力等于重物所受的重力mg,設滑輪兩側輕繩之間的夾角為φ,根據共點力平衡條件知,滑輪受到木桿P的彈力F與滑輪兩側輕繩拉力的合力平衡,即F=2mgcos,由夾角關系可得FD>FA=FB>FC。
[例8] 【“定桿—動桿”模型】(2024·山東濟南期末)(多選)圖甲中,輕桿AB一端與墻上的光滑的鉸鏈連接,另一端用輕繩系住,繩、桿之間夾角為30°,在B點下方懸掛質量為m的重物。圖乙中,輕桿CD一端插入墻內,另一端裝有小滑輪,現用輕繩繞過滑輪掛住質量為m的重物,繩、桿之間夾角也為30°。甲、乙中桿都垂直于墻,兩圖中重物都靜止,則下列說法正確的是(　　)
[A] 與輕桿AB連接的鉸鏈受到桿的彈力大小為mg
[B] 輕桿CD上的小滑輪受到桿的彈力大小為mg
[C] 兩根桿中彈力方向均沿桿方向
[D] 若甲、乙中輕繩能承受最大拉力相同,則重物加重時,甲中輕繩更容易斷裂
【答案】 AD
【解析】 題圖甲中B點受力如圖a,桿在B點的作用力方向沿桿,由平行四邊形定則可知FN1==mg,FT1==2mg,則與輕桿AB連接的鉸鏈受到桿的彈力大小為mg,故A正確;題圖乙中D點受力如圖b,D點滑輪受到桿的作用力方向不沿桿,繩中兩個拉力大小相同,可知小滑輪受到桿的彈力FN2=FT1′=FT2′=mg,故B、C錯誤;繩子拉力大小關系為FT1>FT1′,則重物加重時,題圖甲中輕繩更容易斷裂,故D正確。
(滿分:60分)
對點1.共點力的合成
1.(4分)(2023·重慶卷,1)矯正牙齒時,可用牽引線對牙施加力的作用。若某顆牙齒受到牽引線的兩個作用力大小均為F,夾角為α(如圖),則該牙所受兩牽引力的合力大小為(　　)
[A] 2Fsin [B] 2Fcos
[C] Fsin α [D] Fcos α
2.(6分)(2024·重慶模擬)(多選)圖甲所示是古代某次測量弓力時的情境,圖乙為其簡化圖,弓弦掛在固定點O上,弓下端掛一重物,已知弓弦可看成遵循胡克定律的彈性繩,重物質量增減時弓弦始終處于彈性限度內,不計弓弦的質量和O點處的摩擦,忽略弓身的形變,則(　　)
[A] 若減少重物的質量,OA與OB的夾角不變
[B] 若增加重物的質量,OA與OB的夾角減小
[C] 若減少重物的質量,弓弦的長度變短
[D] 若增加重物的質量,弓弦的長度變短
3.(4分)表演的安全網如圖甲所示,網繩的結構為正方形格子,O、a、b、c、d等為網繩的結點,安全網水平張緊后,質量為m的運動員從高處落下,恰好落在O點上。該處下凹至最低點時,網繩dOe、bOg夾角均為120°,如圖乙所示,此時O點受到向下的沖擊力大小為4F,則這時O點周圍每根網繩承受的張力大小為(　　)
[A] F [B] 2F
[C] 4F+mg [D]
4.(4分)(2024·湖南郴州模擬)某同學周末在家大掃除,移動衣櫥時,無論怎么推也推不動,于是他組裝了一個裝置,如圖所示,兩塊相同木板可繞A處的環轉動,兩木板的另一端點B、C分別用薄木板頂住衣櫥和墻角,該同學站在該裝置的A處。若調整裝置A點距地面的高h=8 cm時,B、C兩點的間距L=96 cm,B處衣櫥恰好移動。已知該同學的質量為m=50 kg,重力加速度g取9.8 m/s2,忽略A處的摩擦,則此時衣櫥受到該裝置的水平推力大小為(　　)
[A] 1 680 N [B] 1 470 N
[C] 875 N [D] 840 N
5.(4分)(2024·河北卷,5)如圖,彈簧測力計下端掛有一質量為0.20 kg的光滑均勻球體,球體靜止于帶有固定擋板的斜面上,斜面傾角為30°,擋板與斜面夾角為60°。若彈簧測力計位于豎直方向,讀數為1.0 N,g取10 m/s2,擋板對球體支持力的大小為(　　)
[A] N [B] 1.0 N
[C] N [D] 2.0 N
6.(6分)(多選)如圖所示,A、B兩物體通過兩個質量不計的光滑滑輪懸掛起來,處于靜止狀態?，F將繩子一端從P點緩慢移到Q點,系統仍然平衡,下列說法正確的是(　　)
[A] 夾角θ將不變
[B] 夾角θ將變大
[C] 物體B位置將變高
[D] 繩子張力將增大
7.(6分)(多選)圖甲中輕桿OA的A端固定在豎直墻壁上,另一端O光滑,一端固定在豎直墻壁B點的細線跨過O端系一質量為m的重物,OB水平;圖乙中輕桿O′A′可繞A′點自由轉動,另一端O′光滑;一端固定在豎直墻壁B′點的細線跨過O′端系一質量也為m的重物。已知圖甲中∠BOA=30°,下列說法正確的是(　　)
[A] 圖甲輕桿中彈力大小為 mg
[B] 圖乙輕桿中彈力大小為 mg
[C] 圖甲中輕桿彈力與細線OB拉力的合力方向一定沿豎直方向
[D] 圖乙中細線對輕桿彈力可能不沿桿
8.(6分)(多選)如圖所示,在豎直平面內有固定的半徑為R的半圓軌道,其兩端點M、N連線水平。將一輕質小環A套在軌道上,一細線穿過輕環,一端系在M點,另一端系一質量為m的小球,小球恰好靜止在圖示位置。不計一切摩擦,重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 細線對M點的拉力大小為 mg
[B] 軌道對輕環的支持力大小為 mg
[C] 細線對輕環的作用力大小為mg
[D] 圖示位置時MA=R
9.(4分)一質量為m的小球通過短輕繩懸掛在光滑鉸鏈上,光滑鉸鏈(不計質量)與輕桿連接,輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O′連接,如圖所示。已知兩輕桿與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°,重力加速度為g,則下面輕桿和上面輕桿受到鉸鏈的作用力大小分別為(　　)
[A]mg,mg [B] mg,mg
[C] mg,mg [D] mg,mg
10.(4分)(2024·湖北卷,6)如圖所示,兩拖船P、Q拉著無動力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前進,兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30°。假設水對三艘船在水平方向的作用力大小均為f,方向與船的運動方向相反,則每艘拖船發動機提供的動力大小為(　　)
[A] f [B] f
[C] 2f [D] 3f
11.(12分)如圖甲所示,一個質量為0.6 kg的小環掛在長為0.8 m的細線中間,細線兩端分別固定在水平桿上A、B兩點,AB間距為0.4 m,g取10 m/s2。
(1)求小環靜止時細線上的拉力大小;
(2)對小環施加水平向左的拉力作用,使小環靜止在A點正下方,如圖乙所示,求此時細線上的拉力大小和水平拉力大小;
(3)恢復靜止狀態,現對小環施加一垂直于紙面向外的水平力,使AB與小環組成的平面與豎直方向成30°角靜止,求此時細線上的拉力大小。
(答案及解析)
對點1.共點力的合成
1.(4分)(2023·重慶卷,1)矯正牙齒時,可用牽引線對牙施加力的作用。若某顆牙齒受到牽引線的兩個作用力大小均為F,夾角為α(如圖),則該牙所受兩牽引力的合力大小為(　　)
[A] 2Fsin [B] 2Fcos
[C] Fsin α [D] Fcos α
【答案】 B
【解析】 根據平行四邊形定則可知,該牙所受兩牽引力的合力大小為F合=2Fcos。
故選B。
2.(6分)(2024·重慶模擬)(多選)圖甲所示是古代某次測量弓力時的情境,圖乙為其簡化圖,弓弦掛在固定點O上,弓下端掛一重物,已知弓弦可看成遵循胡克定律的彈性繩,重物質量增減時弓弦始終處于彈性限度內,不計弓弦的質量和O點處的摩擦,忽略弓身的形變,則(　　)
[A] 若減少重物的質量,OA與OB的夾角不變
[B] 若增加重物的質量,OA與OB的夾角減小
[C] 若減少重物的質量,弓弦的長度變短
[D] 若增加重物的質量,弓弦的長度變短
【答案】 BC
【解析】 設弓弦的張力為F,兩側弓弦與豎直方向夾角均為θ,根據平衡條件有2Fcos θ=mg,若增加重物質量,θ減小,OA與OB的夾角減小,忽略弓身的形變,則弓弦的長度變長。反之,若減小重物質量,OA與OB的夾角增大,弓弦的長度變短。
對點2.力的分解的兩種常用方法
3.(4分)表演的安全網如圖甲所示,網繩的結構為正方形格子,O、a、b、c、d等為網繩的結點,安全網水平張緊后,質量為m的運動員從高處落下,恰好落在O點上。該處下凹至最低點時,網繩dOe、bOg夾角均為120°,如圖乙所示,此時O點受到向下的沖擊力大小為4F,則這時O點周圍每根網繩承受的張力大小為(　　)
[A] F [B] 2F
[C] 4F+mg [D]
【答案】 B
【解析】 由題意可知,此時每根網繩與水平方向的夾角為30°,設每根網繩張力為FT,則有4FTsin 30°=4F,這時O點周圍每根網繩承受的張力為FT=2F,故B正確,A、C、D錯誤。
4.(4分)(2024·湖南郴州模擬)某同學周末在家大掃除,移動衣櫥時,無論怎么推也推不動,于是他組裝了一個裝置,如圖所示,兩塊相同木板可繞A處的環轉動,兩木板的另一端點B、C分別用薄木板頂住衣櫥和墻角,該同學站在該裝置的A處。若調整裝置A點距地面的高h=8 cm時,B、C兩點的間距L=96 cm,B處衣櫥恰好移動。已知該同學的質量為m=50 kg,重力加速度g取9.8 m/s2,忽略A處的摩擦,則此時衣櫥受到該裝置的水平推力大小為(　　)
[A] 1 680 N [B] 1 470 N
[C] 875 N [D] 840 N
【答案】 B
【解析】 該同學站在A點時,重力產生兩個作用效果,如圖甲所示,
甲
設F1、F2與豎直方向夾角為θ,則有F1=F2=,在B點對F1分解,如圖乙所示,
乙
則水平推力為F=F1sin θ=mgtan θ,由幾何關系得tan θ=,聯立并代入數據可得F==
1 470 N。故選B。
5.(4分)(2024·河北卷,5)如圖,彈簧測力計下端掛有一質量為0.20 kg的光滑均勻球體,球體靜止于帶有固定擋板的斜面上,斜面傾角為30°,擋板與斜面夾角為60°。若彈簧測力計位于豎直方向,讀數為1.0 N,g取10 m/s2,擋板對球體支持力的大小為(　　)
[A] N [B] 1.0 N
[C] N [D] 2.0 N
【答案】 A
【解析】 對小球受力分析如圖所示,
由幾何關系可得力F與力FN與豎直方向的夾角均為30°,因此由正交分解可得FNsin 30°=Fsin 30°,FNcos 30°+Fcos 30°+FT=mg,聯立得F=FN= N,故A正確。
對點3.“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”的問題
6.(6分)(多選)如圖所示,A、B兩物體通過兩個質量不計的光滑滑輪懸掛起來,處于靜止狀態?，F將繩子一端從P點緩慢移到Q點,系統仍然平衡,下列說法正確的是(　　)
[A] 夾角θ將不變
[B] 夾角θ將變大
[C] 物體B位置將變高
[D] 繩子張力將增大
【答案】 AC
【解析】 因為繩子張力始終與物體B的重力平衡,所以繩子張力不變;因為物體A的重力不變,所以繩子與水平方向的夾角不變;因為繩子一端從P點緩慢移到Q點,所以物體A會下落,則物體B位置會升高。
7.(6分)(多選)圖甲中輕桿OA的A端固定在豎直墻壁上,另一端O光滑,一端固定在豎直墻壁B點的細線跨過O端系一質量為m的重物,OB水平;圖乙中輕桿O′A′可繞A′點自由轉動,另一端O′光滑;一端固定在豎直墻壁B′點的細線跨過O′端系一質量也為m的重物。已知圖甲中∠BOA=30°,下列說法正確的是(　　)
[A] 圖甲輕桿中彈力大小為 mg
[B] 圖乙輕桿中彈力大小為 mg
[C] 圖甲中輕桿彈力與細線OB拉力的合力方向一定沿豎直方向
[D] 圖乙中細線對輕桿彈力可能不沿桿
【答案】 AC
【解析】 由于題圖甲中輕桿OA為“定桿”,其O端光滑,可以視為活結,兩側細線中拉力大小相等,都等于mg,由平衡條件可知,題圖甲輕桿中彈力大小為F甲=2mgcos 45°=mg,故A正確;題圖乙中輕桿O′A′可繞A′點自由轉動,為“動桿”,另一端O′光滑,可以視為活結,O′兩側細線中拉力相等,“動桿”中彈力方向一定沿“動桿”方向,“動桿”O′A′中彈力大小等于O′兩側細線中拉力的合力大小,兩細線夾角不確定,則輕桿中彈力大小無法確定,故B、D錯誤;根據共點力的平衡條件,題圖甲中輕桿彈力與細線OB中拉力的合力方向一定與豎直細線的拉力方向相反,即豎直向上,故C正確。
8.(6分)(多選)如圖所示,在豎直平面內有固定的半徑為R的半圓軌道,其兩端點M、N連線水平。將一輕質小環A套在軌道上,一細線穿過輕環,一端系在M點,另一端系一質量為m的小球,小球恰好靜止在圖示位置。不計一切摩擦,重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 細線對M點的拉力大小為 mg
[B] 軌道對輕環的支持力大小為 mg
[C] 細線對輕環的作用力大小為mg
[D] 圖示位置時MA=R
【答案】 BD
【解析】 輕環兩邊細線的拉力大小相等,均為FT=mg,則細線對M點的拉力大小為mg,故A錯誤;如圖所示,輕環兩側細線的拉力與輕環對半圓軌道的壓力的夾角相等,設為θ,由OA=OM得∠OMA=∠MAO=θ,則3θ=90°,得θ=30°,輕環受力平衡,則軌道對輕環的支持力大小FN=2mgcos θ=mg,故B正確;細線對輕環的作用力是輕環兩側細線拉力的合力,大小為FN′=FN=mg,此時MA=2Rcos θ=R,故C錯誤,D正確。
9.(4分)一質量為m的小球通過短輕繩懸掛在光滑鉸鏈上,光滑鉸鏈(不計質量)與輕桿連接,輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O′連接,如圖所示。已知兩輕桿與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°,重力加速度為g,則下面輕桿和上面輕桿受到鉸鏈的作用力大小分別為(　　)
[A]mg,mg [B] mg,mg
[C] mg,mg [D] mg,mg
【答案】 B
【解析】 由題可知,兩輕桿為兩個“動桿”,而“動桿”上彈力方向沿輕桿。對鉸鏈進行受力分析,鉸鏈所受輕繩拉力大小為mg,方向豎直向下,下面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向下,設為F1,上面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向上,設為F2,如圖所示。在力的矢量三角形中,由正弦定理有==,解得F1=mg,F2=mg,選項B正確。
10.(4分)(2024·湖北卷,6)如圖所示,兩拖船P、Q拉著無動力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前進,兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30°。假設水對三艘船在水平方向的作用力大小均為f,方向與船的運動方向相反,則每艘拖船發動機提供的動力大小為(　　)
[A] f [B] f
[C] 2f [D] 3f
【答案】 B
【解析】 根據題意對S在水平面受力分析如圖甲所示,
有2FTcos 30°=f,解得FT=f。對P在水平面受力分析如圖乙所示,
有(FT′sin 30°)2+(f+FT′cos 30°)2=F2,且FT=FT′,解得F=。故選B。
11.(12分)如圖甲所示,一個質量為0.6 kg的小環掛在長為0.8 m的細線中間,細線兩端分別固定在水平桿上A、B兩點,AB間距為0.4 m,g取10 m/s2。
(1)求小環靜止時細線上的拉力大小;
(2)對小環施加水平向左的拉力作用,使小環靜止在A點正下方,如圖乙所示,求此時細線上的拉力大小和水平拉力大小;
(3)恢復靜止狀態,現對小環施加一垂直于紙面向外的水平力,使AB與小環組成的平面與豎直方向成30°角靜止,求此時細線上的拉力大小。
【答案】 (1)2 N　(2)3.75 N　3 N　(3)4 N
【解析】 (1)細線長為0.8 m,AB間距為0.4 m,則兩細線夾角為60°。設細線上的拉力大小為FT1,根據平衡條件有2FT1cos 30°=mg,
解得FT1=2 N。
(2)設細線豎直段長度為x1,另一段長度為x2,則由題意可得x1+x2=0.8 m,
由幾何關系可得+(0.4 m)2=,
解得x1=0.3 m,
設另一段細線與水平方向夾角為θ,則tan θ=,θ=37°,
設此時細線上的拉力大小為FT2,水平拉力大小為F,小環豎直方向受力平衡,有
FT2+FT2sin 37°=mg,
水平方向受力平衡,有FT2cos 37°=F,
解得FT2=3.75 N,F=3 N。
(3)設此時細線上的拉力大小為FT3,可得細線上的拉力的合力FT合=2FT3cos 30°,
又FT合cos 30°=mg,
聯立解得FT3=4 N。
(
第
17
頁
)(共65張PPT)
高中總復習·物理
第3講　
力的合成與分解
情境導思
如圖甲所示,兩個人分別用力F1、F2提著一桶水,水桶靜止;如圖乙所示,一個人單獨用力F提著同一桶水,水桶靜止。
(1)F1和F2的共同作用力與F的作用效果是什么關系
(2)兩個力的合力一定比任一分力大嗎
(3)水桶的重力與F1、F2兩個力的合力是什么關系
知識構建
【答案】 共同　合力　分力　等效替代　平行四邊形　分力　正交　平行四邊形　算術
小題試做
(2024·吉林長春模擬)我國古代人民掌握了卓越的航海技術,曾有“鄭和七下西洋”的壯舉。帆船要逆風行駛時要調整帆面的朝向,使船沿“之”字形航線逆風而行。風吹到帆面,產生的風力垂直于帆面,由于船沿垂直于船身的阻力非常大,風力垂直于船身的分量不會引起船側向的運動,在風力的作用下,船便會沿平行于船身方向運動。在下列各圖中,風向如圖所示,船沿虛線的路線逆風而行,則各圖中帆面的方位正確的是(　　)
B
[A]　　　 [B] [C] [D]
(1)如圖甲所示,若兩個力F1、F2等大,夾角為θ,試推導合力的大小的表達式。若增大夾角θ,當夾角θ=120°時,合力F的大小和分力大小間有什么關系
(2)如圖乙所示,若兩個力F1、F2的夾角為θ,試推導合力的大小及與F1夾角的正切值的表達式。
乙
1.共點力合成的方法
(1)作圖法:從力的作用點起,按同一標度作出兩個分力F1和F2的圖示,再以F1和F2的圖示為鄰邊作平行四邊形,畫出過作用點的對角線,量出對角線的長度,計算出合力的大小,量出對角線與某一力的夾角確定合力的方向(如圖所示)。
(2)計算法:根據平行四邊形定則作出力的示意圖,然后利用勾股定理、三角函數、正弦定理等求出合力。
2.合力范圍的確定
(1)兩個共點力的合力范圍:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
①兩個分力的大小不變時,其合力隨夾角的增大而減小。
②當兩個力反向時,合力最小,為|F1-F2|;當兩個力同向時,合力最大,為F1+F2。
(2)三個共點力的合力范圍。
①最大值:三個力同向時,其合力最大,為Fmax=F1+F2+F3。
②最小值:任取兩個力,求出其合力的范圍,如果第三個力在這個范圍內,則三個力的合力的最小值為零,即Fmin=0;如果第三個力不在這個范圍內,則三個力的合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1>F2+F3)。
3.幾種特殊情況的共點力的合成
[例1] 【合力大小的范圍】 如圖為兩個大小不變、夾角θ變化的力的合力的大小F與θ角之間的關系圖像(0≤θ≤2π),下列說法正確的是(　　)
[A] 合力大小的變化范圍是0≤F≤14 N
[B] 合力大小的變化范圍是2 N≤F≤10 N
[C] 這兩個分力的大小分別為6 N和8 N
[D] 這兩個分力的大小分別為2 N和8 N
C
【解析】 由題圖可知,當兩力夾角為π時,兩力的合力為2 N,而當兩力夾角為時,兩力的合力為10 N,則這兩個分力的大小分別為6 N和8 N,故C正確,D錯誤;當兩個力方向相同時,合力最大,為14 N,當兩個力方向相反時,合力最小,為2 N,由此可見,合力大小的變化范圍是2 N≤F≤14 N,故A、B錯誤。
[例2] 【合力的求解】 如圖所示,假設某斜拉橋中某對鋼索與豎直方向的夾角都是30°,每根鋼索中的拉力都是3×104 N,那么它們對塔柱形成的合力有多大 方向如何
【答案】 5.2×104 N　方向豎直向下
【解析】 法一　作圖法
如圖甲所示,自O點引兩根有向線段OA和OB,它們跟豎直方向的夾角都為30°,取單位長度為1×104 N,則OA和OB的長度都是3個單位長度,量得對角線OC長度約為5.2個單位長度,所以合力的大小為F=5.2×1×104 N=5.2×104 N,方向豎直向下。
(1)如圖所示,已知合力F的大小和方向及另一個分力F2的方向,若合力F能夠合理分解,試推導F1的最小值應該是多少
提示:合力與分力間的關系滿足平行四邊形定則,如圖所示,根據平行四邊形定則,當F1=Fsin θ時,分力F1和分力F2恰好組成平行四邊形,故F1的最小值是Fsin θ。
(2)結合(1)中的分析,若合力F能夠合理分解,F1應滿足什么條件 試畫出相應的分解圖。
提示:當F1Fsin θ1.力的分解的常用方法
2.力的分解方法選取原則
(1)一般來說,當物體受到三個或三個以下的力時,常按實際效果進行分解。若這三個力中,有兩個力互相垂直,則優先選用正交分解法。
(2)當物體受到三個以上的力時,常用正交分解法。
3.一個已知力分解時有無解的討論
(1)已知合力F和兩個分力F1、F2的方向,求兩個分力的大小,有唯一解。
(2)已知合力F和一個分力(大小、方向)求另一個分力(大小、方向),有唯一解。
(3)已知合力F和兩分力F1、F2(F1>F2)的大小,求兩分力的方向。
①F>F1+F2,無解。
②F=F1+F2,有唯一解,F1和F2跟F同向。
③F=F1-F2,有唯一解,F1與F同向,F2與F反向。
④F1-F2(4)已知合力F和F1的方向、F2的大小(F1與合力F的夾角為θ),求F1的大小和F2的方向。
①F2②F2=Fsin θ,有唯一解。
③Fsin θ④F2≥F,有唯一解。
[例3] 【力的效果分解法】(2024·遼寧遼陽二模)一鑿子兩側面與中心軸線平行,尖端夾角為θ,當鑿子豎直向下插入木板中后,用錘子沿中心軸線豎直向下以力F敲打鑿子上側時,鑿子仍靜止,側視圖如圖所示。若敲打鑿子時鑿子作用于木板1、2面的彈力大小分別記為F1、F2,忽略鑿子受到的重力及摩擦力,下列判斷正確的是(　 　)
D
[例4] 【力的正交分解法】 (2024·重慶九龍坡階段檢測)(1)如圖甲所示,在同一平面內的三個共點力F1=10 N、F2=10 N、F3=20 N互成120°角,求它們的合力的大小和方向;
甲　
【解析】 (1)以垂直于F3方向為x軸,沿F3方向為y軸,如圖a所示。
a
(2)如圖乙所示,在同一平面內的四個共點力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如圖乙所示,求它們的合力大小和方向。(取sin 37°=0.6,cos 37°=
0.8,要求寫出求解過程,即畫圖加表達式或寫出足夠清楚的文字說明)
乙
【答案及解析】 (2)建立如圖b所示的坐標系。
由圖b可知,沿x軸方向的合力為
Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30×0.6 N=22 N,
沿y軸方向的合力為
Fy=F1+F2cos 37°-F3
=20 N+30×0.8 N-22 N
=22 N,
b
c
力的正交分解的技巧
(1)力的正交分解是在物體受到三個或三個以上的共點力作用下求合力的一種方法,分解的目的是將矢量運算轉化為代數運算。
(2)一般情況下,應用正交分解法建立坐標系時,應盡量使所求量(或未知量)“落”在坐標軸上,這樣解方程較簡單。
規律總結
AC
1.“活結”和“死結”模型
類型 “活結”模型 “死結”模型
圖例
解讀 “活結”把繩子分為兩段,且可沿繩移動,“活結”一般由繩跨過光滑滑輪或繩上掛一光滑掛鉤而形成,繩子因“活結”而彎曲,但實際為同一根繩。關鍵語句“光滑掛鉤”“光滑滑輪” “死結”把繩子分為兩段,且不可沿繩子移動,“死結”兩側的繩因結而變成兩根獨立的繩,關鍵語句“節點”“系住”
特點 活結兩側繩子上的張力大小處處相等 死結兩側的繩子張力不一定相等
2.“動桿”和“定桿”模型
類型 “動桿”模型 “定桿”模型
圖例
解讀 輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接,輕桿可圍繞轉軸或鉸鏈自由轉動。關鍵語句“光滑的轉軸”“鉸鏈連接” 輕桿被固定在接觸面上,不發生轉動,關鍵語句“固定”“插在墻里”
特點 當桿處于平衡狀態時,桿的彈力方向一定沿著桿 桿的彈力方向不一定沿桿,可沿任意方向
[例6] 【“死結”模型】 (2022·遼寧卷,4)如圖所示,蜘蛛用蛛絲將其自身懸掛在水管上,并處于靜止狀態。蛛絲OM、ON與豎直方向夾角分別為α、β(α>β)。用F1、F2分別表示OM、ON的拉力,則(　　)
[A] F1的豎直分力大于F2的豎直分力
[B] F1的豎直分力等于F2的豎直分力
[C] F1的水平分力大于F2的水平分力
[D] F1的水平分力等于F2的水平分力
D
[例7] 【“活結”模型】 在如圖所示的甲、乙、丙、丁四幅圖中,滑輪光滑且所受的重力忽略不計,滑輪的軸O安裝在一根輕木桿P上,一根輕繩ab繞過滑輪,a端固定在墻上,b端下面掛一質量為m的重物。當滑輪和重物都靜止不動時,甲、丙、丁圖中木桿P與豎直方向的夾角均為θ,圖乙中木桿P豎直。假設甲、乙、丙、丁四幅圖中滑輪受到木桿P的彈力的大小依次為FA、FB、FC、FD,則下列判斷正確的是(　　)
[A] FA=FB=FC=FD
[B] FD>FA=FB>FC
[C] FA=FC=FD>FB
[D] FC>FA=FB>FD
B
[例8] 【“定桿—動桿”模型】(2024·山東濟南期末)(多選)圖甲中,輕桿AB一端與墻上的光滑的鉸鏈連接,另一端用輕繩系住,繩、桿之間夾角為30°,在B點下方懸掛質量為m的重物。圖乙中,輕桿CD一端插入墻內,另一端裝有小滑輪,現用輕繩繞過滑輪掛住質量為m的重物,繩、桿之間夾角也為30°。甲、乙中桿都垂直于墻,兩圖中重物都靜止,則下列說法正確的是(　 　 )
[C] 兩根桿中彈力方向均沿桿方向
[D] 若甲、乙中輕繩能承受最大拉力相同,則重物加重時,甲中輕繩更容易斷裂
AD
基礎對點練
對點1.共點力的合成
1.(4分)(2023·重慶卷,1)矯正牙齒時,可用牽引線對牙施加力的作用。若某顆牙齒受到牽引線的兩個作用力大小均為F,夾角為α(如圖),則該牙所受兩牽引力的合力大小為(　　)
B
2.(6分)(2024·重慶模擬)(多選)圖甲所示是古代某次測量弓力時的情境,圖乙為其簡化圖,弓弦掛在固定點O上,弓下端掛一重物,已知弓弦可看成遵循胡克定律的彈性繩,重物質量增減時弓弦始終處于彈性限度內,不計弓弦的質量和O點處的摩擦,忽略弓身的形變,則(　　 )
[A] 若減少重物的質量,OA與OB的夾角不變
[B] 若增加重物的質量,OA與OB的夾角減小
[C] 若減少重物的質量,弓弦的長度變短
[D] 若增加重物的質量,弓弦的長度變短
BC
【解析】 設弓弦的張力為F,兩側弓弦與豎直方向夾角均為θ,根據平衡條件有2Fcos θ=mg,若增加重物質量,θ減小,OA與OB的夾角減小,忽略弓身的形變,則弓弦的長度變長。反之,若減小重物質量,OA與OB的夾角增大,弓弦的長度變短。
對點2.力的分解的兩種常用方法
3.(4分)表演的安全網如圖甲所示,網繩的結構為正方形格子,O、a、b、c、d等為網繩的結點,安全網水平張緊后,質量為m的運動員從高處落下,恰好落在O點上。該處下凹至最低點時,網繩dOe、bOg夾角均為120°,如圖乙所示,此時O點受到向下的沖擊力大小為4F,則這時O點周圍每根網繩承受的張力大小為(　　)
B
【解析】 由題意可知,此時每根網繩與水平方向的夾角為30°,設每根網繩張力為FT,則有4FTsin 30°=4F,這時O點周圍每根網繩承受的張力為FT=2F,故B正確,A、C、D錯誤。
4.(4分)(2024·湖南郴州模擬)某同學周末在家大掃除,移動衣櫥時,無論怎么推也推不動,于是他組裝了一個裝置,如圖所示,兩塊相同木板可繞A處的環轉動,兩木板的另一端點B、C分別用薄木板頂住衣櫥和墻角,該同學站在該裝置的A處。若調整裝置A點距地面的高h=8 cm時,B、C兩點的間距L=96 cm,B處衣櫥恰好移動。已知該同學的質量為m=50 kg,重力加速度g取9.8 m/s2,忽略A處的摩擦,則此時衣櫥受到該裝置的水平推力大小為(　 　)
[A] 1 680 N [B] 1 470 N
[C] 875 N [D] 840 N
B
【解析】 該同學站在A點時,重力產生兩個作用效果,如圖甲所示,
甲
乙
5.(4分)(2024·河北卷,5)如圖,彈簧測力計下端掛有一質量為0.20 kg的光滑均勻球體,球體靜止于帶有固定擋板的斜面上,斜面傾角為30°,擋板與斜面夾角為60°。若彈簧測力計位于豎直方向,讀數為1.0 N,g取10 m/s2,擋板對球體支持力的大小為(　　)
A
【解析】 對小球受力分析如圖所示,
對點3.“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”的問題
6.(6分)(多選)如圖所示,A、B兩物體通過兩個質量不計的光滑滑輪懸掛起來,處于靜止狀態?，F將繩子一端從P點緩慢移到Q點,系統仍然平衡,下列說法正確的是(　 　)
[A] 夾角θ將不變
[B] 夾角θ將變大
[C] 物體B位置將變高
[D] 繩子張力將增大
AC
【解析】 因為繩子張力始終與物體B的重力平衡,所以繩子張力不變;因為物體A的重力不變,所以繩子與水平方向的夾角不變;因為繩子一端從P點緩慢移到Q點,所以物體A會下落,則物體B位置會升高。
7.(6分)(多選)圖甲中輕桿OA的A端固定在豎直墻壁上,另一端O光滑,一端固定在豎直墻壁B點的細線跨過O端系一質量為m的重物,OB水平;圖乙中輕桿O′A′可繞A′點自由轉動,另一端O′光滑;一端固定在豎直墻壁B′點的細線跨過O′端系一質量也為m的重物。已知圖甲中∠BOA=30°,下列說法正確的是(　　 )
AC
8.(6分)(多選)如圖所示,在豎直平面內有固定的半徑為R的半圓軌道,其兩端點M、N連線水平。將一輕質小環A套在軌道上,一細線穿過輕環,一端系在M點,另一端系一質量為m的小球,小球恰好靜止在圖示位置。不計一切摩擦,重力加速度為g,下列說法正確的是(　 　)
綜合提升練
BD
9.(4分)一質量為m的小球通過短輕繩懸掛在光滑鉸鏈上,光滑鉸鏈(不計質量)與輕桿連接,輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O′連接,如圖所示。已知兩輕桿與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°,重力加速度為g,則下面輕桿和上面輕桿受到鉸鏈的作用力大小分別為(　　 )
B
10.(4分)(2024·湖北卷,6)如圖所示,兩拖船P、Q拉著無動力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前進,兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30°。假設水對三艘船在水平方向的作用力大小均為f,方向與船的運動方向相反,則每艘拖船發動機提供的動力大小為(　　)
B
【解析】 根據題意對S在水平面受力分析如圖甲所示,
11.(12分)如圖甲所示,一個質量為0.6 kg的小環掛在長為0.8 m的細線中間,細線兩端分別固定在水平桿上A、B兩點,AB間距為0.4 m,g取10 m/s2。
(1)求小環靜止時細線上的拉力大小;
(2)對小環施加水平向左的拉力作用,使小環靜止在A點正下方,如圖乙所示,求此時細線上的拉力大小和水平拉力大小;
【答案】　(2)3.75 N　3 N
(3)恢復靜止狀態,現對小環施加一垂直于紙面向外的水平力,使AB與小環組成的平面與豎直方向成30°角靜止,求此時細線上的拉力大小。
【答案】 (3)4 N
【解析】 (3)設此時細線上的拉力大小為FT3,可得細線上的拉力的合力FT合=2FT3cos 30°,
又FT合cos 30°=mg,
聯立解得FT3=4 N。

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