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第5講　小專題:動態平衡和臨界極值問題
考點一　物體的動態平衡
(1)如圖所示,輕繩兩端分別系在兩根豎直固定的桿上,繩長L和d不變,用光滑掛鉤在輕繩上掛一物體,穩定時如圖所示,試推導圖中θ1、θ2、θ3的大小關系。
提示:如題圖所示,“活結”兩端繩子上的拉力FT相等,因結點所受水平分力相等,即
FTsin θ1=FTsin θ2,故θ1=θ2=θ3。
(2)若兩桿間距離d不變,上下移動輕繩在桿上的位置,θ是否變化
提示:根據幾何關系可知sin θ==,若兩桿間距離d不變,則上下移動輕繩在桿上的位置,θ不變。
(3)若兩桿距離d逐漸減小,則θ如何變化 試推導輕繩上的拉力FT的表達式,并判斷FT的大小如何變化
提示:若兩桿距離d減小,由sin θ=可知,θ減小,在豎直方向上,有2FTcos θ=mg,FT=也減小。
1.動態平衡
“動態平衡”是指物體所受的力一部分是變力,是動態力,力的大小或方向發生變化,但變化過程中的每一個狀態均可視為平衡狀態,所以叫動態平衡。在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述。
2.做題流程
受力分析畫不同狀態下的受力平衡圖構造矢量三角形
[例1] 【三角形相似法的應用】(多選)如圖所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑塊固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑輪A(視為質點),細線的一端與一質量分布均勻的光滑圓球B連接,另一端繞過滑輪A在水平向右的拉力F作用下使圓球B保持靜止。改變拉力F的大小,使圓球B從兩球心等高的位置緩慢移動到圓球B的球心正好在O點的正上方(不考慮該位置的情況)。圓球B不會與定滑輪A接觸,則下列說法正確的是(　　)
[A] 拉力F一直減小
[B] 拉力F先增大后減小
[C] 半球形滑塊對圓球B的支持力先增大后減小
[D] 半球形滑塊對圓球B的支持力大小保持不變
【答案】 AD
【解析】 對圓球B進行受力分析并合成三角形如圖所示,根據幾何關系可知圖中力構成的矢量三角形與陰影部分的三角形相似,則==,移動過程中,高度h和兩球的球心距離r不變,所以半球形滑塊對圓球B的支持力大小保持不變,繩子長度l變短,則拉力F減小,故B、C錯誤,A、D正確。
[例2] 【圖解法的應用】 如圖所示,小球用細繩系住,繩的另一端固定于O點。現用水平力F緩慢推動斜面體,小球在斜面上無摩擦地滑動,細繩始終處于伸直狀態,當小球升到接近斜面頂端時細繩接近水平,此過程中斜面對小球的支持力FN以及細繩對小球的拉力FT的變化情況是(　　)
[A] FN保持不變,FT不斷增大
[B] FN不斷增大,FT不斷減小
[C] FN保持不變,FT先增大后減小
[D] FN不斷增大,FT先減小后增大
【答案】 D
【解析】 用水平力F緩慢推動斜面體時,小球處于動態平衡狀態。小球受到大小和方向均不變的重力、方向不變的支持力、方向和大小均變化的細繩的拉力,三個力構成封閉的矢量三角形,如圖所示。當細繩與斜面平行時,細繩拉力FT2與支持力方向垂直,細繩拉力最小。當小球升到接近斜面頂端時細繩接近水平,細繩拉力為FT4,所以FT先減小后增大,而此過程中斜面對小球的支持力FN一直增大,選項D正確。
[變式] 【解析法的應用】 在[例2]中,從幾何關系的角度推導斜面對小球的支持力FN以及繩對小球的拉力FT的表達式,并結合表達式分析FN、FT的變化特點。
【答案】 見解析
【解析】 對小球進行受力分析,如圖所示,小球受到重力mg、支持力FN、拉力FT的作用。設細繩與水平方向的夾角為β,斜面的傾角為α,由平衡條件得FNcos α+FTsin β=mg,FNsin α-FTcos β=0,聯立解得FT=,FN=。用水平力F緩慢推動斜面體,β一直減小直至接近0,由題圖可知,起始時刻β>α,當β=α時,cos (β-α)=1,FT最小,隨后β繼續減小,FT增大,所以FT先減小后增大,β一直減小直至接近0,tan β 不斷減小,FN不斷增大。
[提升] 【圖解法的拓展應用——兩力夾角不變、正弦定理的應用】 如圖,柔軟輕繩ON的一端O固定,其中間某點M拴一重物,用手拉住繩的另一端N。初始時,OM豎直且MN被拉直,OM與MN之間的夾角為α(α>)。現將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中(　　)
[A] MN上的張力逐漸減小
[B] MN上的張力先增大后減小
[C] OM上的張力逐漸增大
[D] OM上的張力先增大后減小
【答案】 D
【解析】 法一　矢量三角形
以重物為研究對象分析受力情況,受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1,由題意知,三個力的合力始終為零,矢量三角形如圖所示,F1、F2的夾角不變,在F2轉至水平的過程中,矢量三角形在同一外接圓上,由圖可知,MN上的張力F1逐漸增大,OM上的張力F2先增大后減小,故D正確,A、B、C錯誤。
法二　正弦定理
把三力F1、F2、G放在一個矢量三角形中,如圖所示,
甲　　　　　乙
根據正弦定理有==,由幾何關系有∠3+∠α=180°,∠2+∠γ=180°,∠1+∠β=
180°,故有==,在OM由豎直被拉到水平的過程中,α角保持不變,β由鈍角減小至90°,γ由銳角增大至鈍角,故可判斷F1逐漸增大,F2先增大后減小,故D正確。
模型 情境 受力圖 方法
一力恒定,另一力方向不變 OA繩方向不變,OB繩緩慢向上轉動至豎直位置,結點O的位置不動 圖解法:兩個力的合力和第三個力等大、反向,即FA逐漸減小,FB先減小后增大
一力恒定,另外兩力方向都變,但夾角不變 用手拉住繩的另一端N,將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變,OM由豎直被拉到水平 矢量圓法:畫出力的矢量三角形的外接圓,以不變的力為弦,用“同弦所對的圓周角相等”的規律判斷移動過程中各力的變化情況,即繩OM的張力先增大后減小,繩MN的張力逐漸增大
一力恒定,另外兩力方向都變,夾角也變 細繩繞過半球面正上方的定滑輪,拉小球A沿半球面緩慢上升 相似三角形法:力三角形和幾何三角形相似,即==
考點二　平衡中的臨界、極值問題
1.臨界、極值問題特征
(1)臨界問題:當某物理量變化時,會引起其他幾個物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”,在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。
①由靜止到運動,摩擦力達到最大靜摩擦力。
②繩子恰好繃緊,拉力F=0。
③剛好離開接觸面,支持力FN=0。
(2)極值問題:平衡物體的極值,一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。
2.解決極值和臨界問題的三種方法
極限法 正確進行受力分析和變化過程分析,找到平衡的臨界點和極值點;臨界條件必須在變化中尋找,不能在一個狀態上研究臨界問題,要把某個物理量推向極大或極小
數學 分析法 通過對問題的分析,根據平衡條件列出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像),用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值)
物理 分析法 根據平衡條件,作出力的矢量圖,通過對物理過程的分析,利用平行四邊形定則進行動態分析,確定最大值和最小值
[例3] 【臨界問題】 (2024·湖北宜昌期中)擴張機的原理如圖所示,A、B、C處為活動鉸鏈,在A處作用一水平力F,滑塊D就能在比F大得多的壓力下向上頂起物體,已知滑塊D與墻壁接觸面間的動摩擦因數為μ,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,若要擴張機能夠頂起質量為m的物體,并使其上升,必須滿足的條件為(　　)
[A] tan α>μ [B] tan α>
[C] F≥mg [D] F≥2mg
【答案】 A
【解析】 將力F分解成沿桿的兩個力FAC、FAB,那么FAC=FAB=,桿AB對滑塊D的作用力使滑塊D與墻壁之間產生一個垂直于墻壁的壓力,FN=FABcos α=,同時給滑塊D一個沿墻壁向上的力,F頂=FABsin α=tan α,當滿足條件F頂≥μFN+mg時,滑塊D就能在比F大得多的壓力下向上頂起質量為m的物體,由tan α≥μ·+mg,可得tan α≥μ+>μ,F≥。故選A。
[例4] 【極值問題】 如圖所示,有一質量為M、傾角θ=30°的斜面體B,質量為m的物體A靜止在B上。現用水平力F推物體A,在F由零逐漸增大至 mg,再逐漸減小為零的過程中,A和B始終保持靜止。對此過程,下列說法正確的是(　　)
[A] 地面對B的支持力大于(M+m)g
[B] A對B的壓力的最小值為mg,最大值為mg
[C] A所受摩擦力的最小值為0,最大值為
[D] A所受摩擦力的最小值為mg,最大值為mg
【答案】 B
【解析】 因為A、B始終保持靜止,對A、B整體受力分析可知,地面對B的支持力一直等于(M+m)g,A錯誤;當F=0時,A對B的壓力最小,為mgcos 30°=mg,當F=mg時,A對B的壓力最大,為mgcos 30°+Fsin 30°=mg,B正確;當Fcos 30°=mgsin 30°,即F=mg時,A所受摩擦力為0,當Fmg 時,A所受摩擦力沿斜面向下,
Ff′=Fcos 30°-mgsin 30°,當F=mg時,A所受摩擦力沿斜面向下最大,大小為mg,綜上可知,A所受摩擦力的最小值為0,最大值為mg,C、D錯誤。
[提升] 【輔助角公式解決極值問題】 (多選)如圖為工人在推動一臺質量為30 kg的割草機,割草機割完草后,工人用最小的拉力拉它,使之在水平面上做勻速直線運動,已知這個最小拉力為180 N,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,則(　　)
[A] 割草機與地面間的動摩擦因數μ=0.5
[B] 割草機與地面間的動摩擦因數μ=0.75
[C] 最小拉力與水平方向夾角α=37°
[D] 最小拉力與水平方向夾角α=53°
【答案】 BC
【解析】 對割草機受力分析,如圖所示,則有Ff=Fcos α,FN+Fsin α=mg,又Ff=μFN,聯立得F==,其中tan θ=,所以當θ+α=90°,即tan α=μ時,F有最小值,
Fmin==180 N,解得μ=0.75,α=37°。
(1)輔助角公式。
asin x+bcos x=(sin x+cos x) =sin(x+φ),其中輔助角φ由確定,即輔助角φ的終邊經過點(a,b)。
(2)物體在斜向拉力和摩擦力作用下的平衡求極值問題時常用到輔助角公式。
(滿分:40分)
對點1.物體的動態平衡
1.(6分)(2024·浙江寧波聯考)(多選)如圖所示,某款可折疊手機支架,調節支撐桿MN,手機背部支撐平面PQ的傾角θ隨之改變,底部支撐平面ab與PQ始終垂直,忽略一切摩擦,當θ逐漸減小時,下列說法正確的是(　　)
[A] 背部支撐平面PQ對手機的彈力逐漸變小
[B] 手機對底部支撐平面ab的彈力逐漸變小
[C] 支架對手機的作用力逐漸增大
[D] 手機對支架的作用力始終不變
2.(6分)(2024·浙江杭州期中)(多選)如圖甲所示為烤腸機,香腸放置在兩根水平的平行金屬桿中間,其截面圖如圖乙所示。假設香腸可視為質量為m的均勻圓柱體,烤制過程中香腸質量不變,半徑變大。忽略摩擦及金屬桿的熱脹冷縮,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 香腸烤熟前,金屬桿1對烤腸的支持力大小為0.5mg
[B] 香腸烤熟后,金屬桿1對烤腸的支持力比烤熟前小
[C] 香腸烤熟后與烤熟前相比,兩根金屬桿對烤腸的合力變大
[D] 香腸烤熟后,金屬桿1對烤腸的支持力與豎直方向的夾角比烤熟前小
3.(4分)(2024·廣西南寧模擬)如圖所示,一個傾角為30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面體放在粗糙的水平面上,斜面體的質量為2m。輕繩的一端固定在天花板上,另一端系住質量為m的小球,整個系統處于靜止狀態,輕繩與豎直方向的夾角也為30°。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力,則斜面體與水平面間的動摩擦因數至少為(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.(4分)(2024·山東菏澤期末)抖空竹在中國有著悠久的歷史。如圖所示,假設抖空竹所用輕繩AB總長為L,空竹重力為G,可視為質點。繩能承受的最大拉力為2G,將繩一端固定,將另一端緩慢水平向右移動d而使繩不斷,不計一切摩擦,則d的最大可能值為(　　)
[A] L [B] L
[C] L [D] L
5.(4分)(2024·江蘇蘇州開學考試)豎直門閂簡化結構的側視圖如圖所示。下方部件A可以在水平槽內向前推進。槽表面光滑,摩擦力可以不計;部件A與部件B間動摩擦因數為μ,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,界面與水平面成45°夾角。部件B質量為m,重力加速度為g,為了使門閂啟動,施加在部件A上的水平力F至少是(　　)
[A] mg [B] mg
[C] mg [D] mg
6.(6分)(多選)筷子是中華飲食文化的標志之一。如圖所示,用筷子夾著質量為m的小球處于靜止狀態,筷子均在豎直平面內,且筷子與豎直方向的夾角均為θ。忽略小球與筷子之間的摩擦,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 筷子對小球的合力大于重力
[B] 筷子的彈力大小均為FN=
[C] 保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,左、右筷子的彈力均逐漸變大
[D] 保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,左、右筷子的彈力均逐漸變小
7.(4分)(2024·山東青島期末)中醫針灸是世界非物質文化遺產,是針法和灸法的合稱。如圖甲,針法是把毫針按一定穴位刺入患者體內,運用捻轉與提插等針刺手法來治療疾病。如圖乙,某次選用毫針長度約為25 mm,直徑為0.3 mm,針尖部分的截面可以看作是高為2 mm的等腰三角形,醫生用0.03 N的力垂直皮膚下壓該針進行治療。不計針的重力,已知當某個角很小時正切值近似等于正弦值,下列說法正確的是(　　)
[A] 若該針尖停止進入,則此時與針尖接觸位置的肌肉組織所受彈力大小均不相同
[B] 針尖進入肌肉組織的過程中,肌肉所受的彈力大小約為0.4 N
[C] 針尖進入肌肉組織的過程中,肌肉所受的彈力大小約為0.2 N
[D] 若針尖形狀如圖丙,則針尖緩慢進入身體時某固定位置肌肉所受彈力越來越小
8.(6分)(2024·浙江溫州期末)(多選)單手抓球的難易程度和手的大小、手指與球間的動摩擦因數有關。用如圖所示簡化模型進行受力分析:假設用兩手指對稱抓球,手指與球心在同一豎直面,手指接觸點連線水平且相距為L,球半徑為R,接觸點與圓心的連線與水平方向夾角為θ,手指和球間的動摩擦因數為μ,球質量為m。已知重力加速度為g,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,忽略抓球引起的球的形變。下列說法正確的是(　　)
[A] 每個手指對球的摩擦力大小為
[B] 兩手指間距L的取值范圍為L>
[C] 每根手指對球的壓力的最小值為
[D] 手對球的壓力增大2倍時,摩擦力也增大2倍
(答案及解析)
對點1.物體的動態平衡
1.(6分)(2024·浙江寧波聯考)(多選)如圖所示,某款可折疊手機支架,調節支撐桿MN,手機背部支撐平面PQ的傾角θ隨之改變,底部支撐平面ab與PQ始終垂直,忽略一切摩擦,當θ逐漸減小時,下列說法正確的是(　　)
[A] 背部支撐平面PQ對手機的彈力逐漸變小
[B] 手機對底部支撐平面ab的彈力逐漸變小
[C] 支架對手機的作用力逐漸增大
[D] 手機對支架的作用力始終不變
【答案】 BD
【解析】 背部支撐平面PQ對手機的彈力和底部支撐平面ab對手機的彈力,這兩個力始終垂直,對手機受力分析如圖所示,當θ逐漸減小時,背部支撐平面PQ對手機的彈力逐漸變大,底部支撐平面ab對手機的彈力逐漸減小,根據牛頓第三定律可知,手機對底部支撐平面ab的彈力逐漸變小,故A錯誤,B正確;支架對手機的作用力大小始終等于手機自身的重力,而根據牛頓第三定律可知,手機對支架的作用力始終不變,故C錯誤,D正確。
2.(6分)(2024·浙江杭州期中)(多選)如圖甲所示為烤腸機,香腸放置在兩根水平的平行金屬桿中間,其截面圖如圖乙所示。假設香腸可視為質量為m的均勻圓柱體,烤制過程中香腸質量不變,半徑變大。忽略摩擦及金屬桿的熱脹冷縮,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 香腸烤熟前,金屬桿1對烤腸的支持力大小為0.5mg
[B] 香腸烤熟后,金屬桿1對烤腸的支持力比烤熟前小
[C] 香腸烤熟后與烤熟前相比,兩根金屬桿對烤腸的合力變大
[D] 香腸烤熟后,金屬桿1對烤腸的支持力與豎直方向的夾角比烤熟前小
【答案】 BD
【解析】 對香腸進行受力分析如圖所示,根據對稱性有FN1=FN2,根據平衡條件有mg=2FN1cos θ=2FN2cos θ,解得FN1=FN2=,設金屬桿之間的距離為d,則sin θ=,可知半徑R變大,則θ減小,由分析可知, FN1、FN2均減小,故A錯誤,B、D正確;香腸處于平衡狀態,合力為零,則兩根金屬桿對其合力不變,始終與重力等大反向,故C錯誤。
對點2.平衡中的臨界、極值問題
3.(4分)(2024·廣西南寧模擬)如圖所示,一個傾角為30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面體放在粗糙的水平面上,斜面體的質量為2m。輕繩的一端固定在天花板上,另一端系住質量為m的小球,整個系統處于靜止狀態,輕繩與豎直方向的夾角也為30°。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力,則斜面體與水平面間的動摩擦因數至少為(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 對小球受力分析,沿斜面方向有mgsin 30°=FTcos 30°,解得FT=mg,對小球和斜面體整體受力分析,由平衡條件得FTsin 30°=Ff,FTcos 30°+FN=(m+2m)g,整個系統處于靜止狀態,則Ff≤μFN,解得斜面體與水平面間的動摩擦因數μ≥。故選B。
4.(4分)(2024·山東菏澤期末)抖空竹在中國有著悠久的歷史。如圖所示,假設抖空竹所用輕繩AB總長為L,空竹重力為G,可視為質點。繩能承受的最大拉力為2G,將繩一端固定,將另一端緩慢水平向右移動d而使繩不斷,不計一切摩擦,則d的最大可能值為(　　)
[A] L [B] L
[C] L [D] L
【答案】 B
【解析】 設輕繩與水平方向的夾角為θ,根據受力分析可得豎直方向上有2FTsin θ=G,繩能承受的最大拉力為2G,當繩中拉力達到最大值時,解得sin θ=,由幾何關系可得sin θ=,聯立解得d=L。
5.(4分)(2024·江蘇蘇州開學考試)豎直門閂簡化結構的側視圖如圖所示。下方部件A可以在水平槽內向前推進。槽表面光滑,摩擦力可以不計;部件A與部件B間動摩擦因數為μ,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,界面與水平面成45°夾角。部件B質量為m,重力加速度為g,為了使門閂啟動,施加在部件A上的水平力F至少是(　　)
[A] mg [B] mg
[C] mg [D] mg
【答案】 C
【解析】 設A、B剛好發生相對滑動,A、B的受力如圖所示,以B為研究對象,則有mg+Ffsin 45°=FABcos 45°,以A為研究對象,則有F=Ffcos 45°+FBAsin 45°,又Ff=μFAB=μFBA,聯立解得施加在部件A上的水平力F的最小值為F=mg。
6.(6分)(多選)筷子是中華飲食文化的標志之一。如圖所示,用筷子夾著質量為m的小球處于靜止狀態,筷子均在豎直平面內,且筷子與豎直方向的夾角均為θ。忽略小球與筷子之間的摩擦,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 筷子對小球的合力大于重力
[B] 筷子的彈力大小均為FN=
[C] 保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,左、右筷子的彈力均逐漸變大
[D] 保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,左、右筷子的彈力均逐漸變小
【答案】 BC
【解析】 用筷子夾著小球在豎直平面內處于靜止狀態,根據平衡條件可知,筷子對小球的合力與小球的重力等大反向,故A錯誤;對小球受力分析,如圖甲,由幾何關系可知,筷子對小球的彈力大小為FN=,故B正確;保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,在右側筷子轉到豎直方向的過程中,左側筷子對小球彈力FN1的方向始終垂直于筷子,方向不變,而小球自身的重力恒定不變,由此可以作出在動態平衡過程中力的矢量三角形,如圖乙所示,當兩根筷子與豎直方向夾角都為θ時,三力構成的矢量三角形為等腰三角形,在右側的筷子轉到豎直方向時,三個力的矢量構成一個直角三角形,在右側筷子轉到豎直的過程中,兩筷子對小球的彈力都在增大,故C正確,D錯誤。
7.(4分)(2024·山東青島期末)中醫針灸是世界非物質文化遺產,是針法和灸法的合稱。如圖甲,針法是把毫針按一定穴位刺入患者體內,運用捻轉與提插等針刺手法來治療疾病。如圖乙,某次選用毫針長度約為25 mm,直徑為0.3 mm,針尖部分的截面可以看作是高為2 mm的等腰三角形,醫生用0.03 N的力垂直皮膚下壓該針進行治療。不計針的重力,已知當某個角很小時正切值近似等于正弦值,下列說法正確的是(　　)
[A] 若該針尖停止進入,則此時與針尖接觸位置的肌肉組織所受彈力大小均不相同
[B] 針尖進入肌肉組織的過程中,肌肉所受的彈力大小約為0.4 N
[C] 針尖進入肌肉組織的過程中,肌肉所受的彈力大小約為0.2 N
[D] 若針尖形狀如圖丙,則針尖緩慢進入身體時某固定位置肌肉所受彈力越來越小
【答案】 C
【解析】 在針尖進入人體肌肉組織的過程中,受力分析如圖所示,
設針的直徑為d,針尖的高度為h,由受力分析圖可知=,解得FN=0.2 N,故B錯誤,C正確;若該針尖停留在某位置,則與針尖接觸的肌肉組織所受彈力大小相同,但方向都垂直于接觸面,所以與針尖接觸位置的肌肉組織所受彈力同側的相同,不同側的不相同, 故A錯誤;若針尖緩緩變直,則針尖切線夾角越來越小,設針尖頂角為θ,根據F=2FNsin ,在合力不變時,夾角越小,彈力越大,故D錯誤。
8.(6分)(2024·浙江溫州期末)(多選)單手抓球的難易程度和手的大小、手指與球間的動摩擦因數有關。用如圖所示簡化模型進行受力分析:假設用兩手指對稱抓球,手指與球心在同一豎直面,手指接觸點連線水平且相距為L,球半徑為R,接觸點與圓心的連線與水平方向夾角為θ,手指和球間的動摩擦因數為μ,球質量為m。已知重力加速度為g,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,忽略抓球引起的球的形變。下列說法正確的是(　　)
[A] 每個手指對球的摩擦力大小為
[B] 兩手指間距L的取值范圍為L>
[C] 每根手指對球的壓力的最小值為
[D] 手對球的壓力增大2倍時,摩擦力也增大2倍
【答案】 BC
【解析】 對球受力分析,如圖所示,豎直方向由平衡條件有2Ffcos θ=2FNsin θ+mg,則Ffcos θ>mg,所以每根手指對球的摩擦力大小Ff>,故A錯誤;因為Ff≤μFN,可得FNsin θ+mg≤μFNcos θ,即FN≥,故每根手指對球的壓力的最小值為,故C正確;因為FNsin θ+mg≤μFNcos θ,所以FNsin θ<μFNcos θ,可得μ>tan θ,解得cos θ>,由圖可知cos θ=,所以>,故兩手指間距L的取值范圍為L>,故B正確;當球受到手的靜摩擦力時,Ff≠μFN,手對球的壓力增大2倍時,摩擦力不增大2倍,故D錯誤。
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高中總復習·物理
第5講　
小專題:動態平衡和臨界極值問題
(1)如圖所示,輕繩兩端分別系在兩根豎直固定的桿上,繩長L和d不變,用光滑掛鉤在輕繩上掛一物體,穩定時如圖所示,試推導圖中θ1、θ2、θ3的大小關系。
提示:如題圖所示,“活結”兩端繩子上的拉力FT相等,因結點所受水平分力相等,即FTsin θ1=FTsin θ2,故θ1=θ2=θ3。
(2)若兩桿間距離d不變,上下移動輕繩在桿上的位置,θ是否變化
(3)若兩桿距離d逐漸減小,則θ如何變化 試推導輕繩上的拉力FT的表達式,并判斷FT的大小如何變化
1.動態平衡
“動態平衡”是指物體所受的力一部分是變力,是動態力,力的大小或方向發生變化,但變化過程中的每一個狀態均可視為平衡狀態,所以叫動態平衡。在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述。
2.做題流程
[例1] 【三角形相似法的應用】(多選)如圖所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑塊固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑輪A(視為質點),細線的一端與一質量分布均勻的光滑圓球B連接,另一端繞過滑輪A在水平向右的拉力F作用下使圓球B保持靜止。改變拉力F的大小,使圓球B從兩球心等高的位置緩慢移動到圓球B的球心正好在O點的正上方(不考慮該位置的情況)。圓球B不會與定滑輪A接觸,則下列說法正確的是(　 　)
[A] 拉力F一直減小
[B] 拉力F先增大后減小
[C] 半球形滑塊對圓球B的支持力先增大后減小
[D] 半球形滑塊對圓球B的支持力大小保持不變
AD
[例2] 【圖解法的應用】 如圖所示,小球用細繩系住,繩的另一端固定于O點。現用水平力F緩慢推動斜面體,小球在斜面上無摩擦地滑動,細繩始終處于伸直狀態,當小球升到接近斜面頂端時細繩接近水平,此過程中斜面對小球的支持力FN以及細繩對小球的拉力FT的變化情況是(　　)
[A] FN保持不變,FT不斷增大
[B] FN不斷增大,FT不斷減小
[C] FN保持不變,FT先增大后減小
[D] FN不斷增大,FT先減小后增大
D
【解析】 用水平力F緩慢推動斜面體時,小球處于動態平衡狀態。小球受到大小和方向均不變的重力、方向不變的支持力、方向和大小均變化的細繩的拉力,三個力構成封閉的矢量三角形,如圖所示。當細繩與斜面平行時,細繩拉力FT2與支持力方向垂直,細繩拉力最小。當小球升到接近斜面頂端時細繩接近水平,細繩拉力為FT4,所以FT先減小后增大,而此過程中斜面對小球的支持力FN一直增大,選項D正確。
[變式] 【解析法的應用】 在[例2]中,從幾何關系的角度推導斜面對小球的支持力FN以及繩對小球的拉力FT的表達式,并結合表達式分析FN、FT的變化特點。
[A] MN上的張力逐漸減小
[B] MN上的張力先增大后減小
[C] OM上的張力逐漸增大
[D] OM上的張力先增大后減小
D
【解析】 法一　矢量三角形
以重物為研究對象分析受力情況,受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1,由題意知,三個力的合力始終為零,矢量三角形如圖所示,F1、F2的夾角不變,在F2轉至水平的過程中,矢量三角形在同一外接圓上,由圖可知,MN上的張力F1逐漸增大,OM上的張力F2先增大后減小,故D正確,A、B、C錯誤。
法二　正弦定理
把三力F1、F2、G放在一個矢量三角形中,如圖所示,
甲　　　　　 乙
規律總結
模型 情境 受力圖 方法
一力恒定,另一力方向不變 OA繩方向不變,OB繩緩慢向上轉動至豎直位置,結點O的位置不動 圖解法:兩個力的合力和第三個力等大、反向,即FA逐漸減小,FB先減小后增大
規律總結
一力恒定,另外兩力方向都變,但夾角不變 用手拉住繩的另一端N,將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變,OM由豎直被拉到水平 矢量圓法:畫出力的矢量三角形的外接圓,以不變的力為弦,用“同弦所對的圓周角相等”的規律判斷移動過程中各力的變化情況,即繩OM的張力先增大后減小,繩MN的張力逐漸增大
規律總結
1.臨界、極值問題特征
(1)臨界問題:當某物理量變化時,會引起其他幾個物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”,在問題的描述中常用“剛好”
“剛能”“恰好”等語言敘述。
①由靜止到運動,摩擦力達到最大靜摩擦力。
②繩子恰好繃緊,拉力F=0。
③剛好離開接觸面,支持力FN=0。
(2)極值問題:平衡物體的極值,一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。
2.解決極值和臨界問題的三種方法
極限法 正確進行受力分析和變化過程分析,找到平衡的臨界點和極值點;臨界條件必須在變化中尋找,不能在一個狀態上研究臨界問題,要把某個物理量推向極大或極小
數學 分析法 通過對問題的分析,根據平衡條件列出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像),用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值)
物理 分析法 根據平衡條件,作出力的矢量圖,通過對物理過程的分析,利用平行四邊形定則進行動態分析,確定最大值和最小值
[例3] 【臨界問題】 (2024·湖北宜昌期中)擴張機的原理如圖所示,A、B、C處為活動鉸鏈,在A處作用一水平力F,滑塊D就能在比F大得多的壓力下向上頂起物體,已知滑塊D與墻壁接觸面間的動摩擦因數為μ,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,若要擴張機能夠頂起質量為m的物體,并使其上升,必須滿足的條件為(　　)
A
B
[提升] 【輔助角公式解決極值問題】 (多選)如圖為工人在推動一臺質量為30 kg的割草機,割草機割完草后,工人用最小的拉力拉它,使之在水平面上做勻速直線運動,已知這個最小拉力為180 N,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,則(　 　)
[A] 割草機與地面間的動摩擦因數μ=0.5
[B] 割草機與地面間的動摩擦因數μ=0.75
[C] 最小拉力與水平方向夾角α=37°
[D] 最小拉力與水平方向夾角α=53°
BC
方法點撥
(2)物體在斜向拉力和摩擦力作用下的平衡求極值問題時常用到輔助角公式。
基礎對點練
對點1.物體的動態平衡
1.(6分)(2024·浙江寧波聯考)(多選)如圖所示,某款可折疊手機支架,調節支撐桿MN,手機背部支撐平面PQ的傾角θ隨之改變,底部支撐平面ab與PQ始終垂直,忽略一切摩擦,當θ逐漸減小時,下列說法正確的是(　　 )
[A] 背部支撐平面PQ對手機的彈力逐漸變小
[B] 手機對底部支撐平面ab的彈力逐漸變小
[C] 支架對手機的作用力逐漸增大
[D] 手機對支架的作用力始終不變
BD
【解析】 背部支撐平面PQ對手機的彈力和底部支撐平面ab對手機的彈力,這兩個力始終垂直,對手機受力分析如圖所示,當θ逐漸減小時,背部支撐平面PQ對手機的彈力逐漸變大,底部支撐平面ab對手機的彈力逐漸減小,根據牛頓第三定律可知,手機對底部支撐平面ab的彈力逐漸變小,故A錯誤,B正確;支架對手機的作用力大小始終等于手機自身的重力,而根據牛頓第三定律可知,手機對支架的作用力始終不變,故C錯誤,D正確。
2.(6分)(2024·浙江杭州期中)(多選)如圖甲所示為烤腸機,香腸放置在兩根水平的平行金屬桿中間,其截面圖如圖乙所示。假設香腸可視為質量為m的均勻圓柱體,烤制過程中香腸質量不變,半徑變大。忽略摩擦及金屬桿的熱脹冷縮,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　 )
[A] 香腸烤熟前,金屬桿1對烤腸的支持力大小為0.5mg
[B] 香腸烤熟后,金屬桿1對烤腸的支持力比烤熟前小
[C] 香腸烤熟后與烤熟前相比,兩根金屬桿對烤腸的合力變大
[D] 香腸烤熟后,金屬桿1對烤腸的支持力與豎直方向的夾角比烤熟前小
BD
對點2.平衡中的臨界、極值問題
3.(4分)(2024·廣西南寧模擬)如圖所示,一個傾角為30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面體放在粗糙的水平面上,斜面體的質量為2m。輕繩的一端固定在天花板上,另一端系住質量為m的小球,整個系統處于靜止狀態,輕繩與豎直方向的夾角也為30°。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力,則斜面體與水平面間的動摩擦因數至少為(　　)
B
4.(4分)(2024·山東菏澤期末)抖空竹在中國有著悠久的歷史。如圖所示,假設抖空竹所用輕繩AB總長為L,空竹重力為G,可視為質點。繩能承受的最大拉力為2G,將繩一端固定,將另一端緩慢水平向右移動d而使繩不斷,不計一切摩擦,則d的最大可能值為(　　)
B
5.(4分)(2024·江蘇蘇州開學考試)豎直門閂簡化結構的側視圖如圖所示。下方部件A可以在水平槽內向前推進。槽表面光滑,摩擦力可以不計;部件A與部件B間動摩擦因數為μ,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,界面與水平面成45°夾角。部件B質量為m,重力加速度為g,為了使門閂啟動,施加在部件A上的水平力F至少是(　　)
C
6.(6分)(多選)筷子是中華飲食文化的標志之一。如圖所示,用筷子夾著質量為m的小球處于靜止狀態,筷子均在豎直平面內,且筷子與豎直方向的夾角均為θ。忽略小球與筷子之間的摩擦,重力加速度為g。下列說法正確的是(　 　)
[A] 筷子對小球的合力大于重力
[C] 保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,左、右筷子的彈力均逐漸變大
[D] 保持左側筷子固定不動,右側筷子緩慢變為豎直,左、右筷子的彈力均逐漸變小
BC
綜合提升練
7.(4分)(2024·山東青島期末)中醫針灸是世界非物質文化遺產,是針法和灸法的合稱。如圖甲,針法是把毫針按一定穴位刺入患者體內,運用捻轉與提插等針刺手法來治療疾病。如圖乙,某次選用毫針長度約為25 mm,直徑為0.3 mm,針尖部分的截面可以看作是高為2 mm的等腰三角形,醫生用0.03 N的力垂直皮膚下壓該針進行治療。不計針的重力,已知當某個角很小時正切值近似等于正弦值,下列說法正確的是(　　)
C
[A] 若該針尖停止進入,則此時與針尖接觸位置的肌肉組織所受彈力大小均不相同
[B] 針尖進入肌肉組織的過程中,肌肉所受的彈力大小約為0.4 N
[C] 針尖進入肌肉組織的過程中,肌肉所受的彈力大小約為0.2 N
[D] 若針尖形狀如圖丙,則針尖緩慢進入身體時某固定位置肌肉所受彈力越來越小
【解析】 在針尖進入人體肌肉組織的過程中,受力分析如圖所示,
8.(6分)(2024·浙江溫州期末)(多選)單手抓球的難易程度和手的大小、手指與球間的動摩擦因數有關。用如圖所示簡化模型進行受力分析:假設用兩手指對稱抓球,手指與球心在同一豎直面,手指接觸點連線水平且相距為L,球半徑為R,接觸點與圓心的連線與水平方向夾角為θ,手指和球間的動摩擦因數為μ,球質量為m。已知重力加速度為g,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,忽略抓球引起的球的形變。下列說法正確的是(　 　)
BC

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