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浙江省紹興市上虞區2023-2024學年八年級下學期期末考試數學試題
1．（2024八下·上虞期末）關于數“ ”，下列說法正確的是（　　）
A．它是一個無理數 B．它是一個有理數
C．它是一個整數 D．它是一個分數
【答案】A
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：數“ ” 是一個無理數，
故答案為：A
【分析】根據實數的分類，及有理數、無理數的定義即可作出判斷.
2．（2024八下·上虞期末）若一元二次方程有一個根為1，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】已知一元二次方程的根求參數
3．（2024八下·上虞期末）當時，反比例函數 的函數值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：把代入得，
故答案為：B．
【分析】將代入反比例函數解析式，計算即可得到答案．
4．（2024八下·上虞期末）在四邊形中，與互補，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：∵與互補，
∴
又∵，∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，
∴，
故答案為：C．
【分析】本題考查了多邊形的內角和定理，根據多邊形內角和公式求解即可．
5．（2024八下·上虞期末）甲、乙兩名射擊運動員在相同的條件下，各射擊10次． 經計算：甲射擊成績的平均數是8環，且；乙射擊成績的平均數是8環，且．則下列說法中， 不一定正確的是（　　）
A．甲、乙射擊的總環數相同 B．甲的成績比乙的成績穩定
C．乙的成績比甲的成績波動大 D．甲、乙兩成績的眾數相同
【答案】D
【知識點】平均數及其計算；方差；眾數
【解析】【解答】解：由題意：甲和射擊成績的平均數都是8環，
∴甲的總環數=乙的總環數=8×10=80（環）
∴甲、乙的總環數相同，故選項A正確，不符合題意；
∵，，
．
∴甲的成績比乙的成績穩定，而乙的成績比甲的成績波動大，故選項B和選項C都正確，不符合題意；
∵不知道甲和乙兩人10次射擊的具體值，
∴不能得到甲、乙成績的眾數相同，故選項D不一定正確，符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據平均數可計算總總環數，可判斷選項A；方差用來衡量一組數據的波動大小，方差越大，波動越大，數據越不穩定；反之方差越小，波動越小，數據越穩定，據此可判斷選項B，C；根據10次成績的具體值的知否情況，可判斷選項D.
6．（2024八下·上虞期末）如圖，正方形的邊長為8，為邊上一點．若，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，邊長為8，
∴AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：A．
【分析】由正方形的性質可得AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.在△ABE中利用勾股定理可求得AE長，繼而的ED長，再在△DEC中利用勾股定理，即可求得EC的長.
7．（2024八下·上虞期末）如圖，一只小貓沿著斜立在墻角的木板往上爬，木板底端距離墻角O處為．當小貓從木板底端爬到頂端時，木板底端向左滑動了，木板頂端向下滑動了，則小貓在木板上爬動的距離為（　　）m ．
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】勾股定理的實際應用-梯子滑動問題
【解析】【解答】解：作圖如下：
由題意可得：，∠C=90°，ED=AB，
∴CE=AE+AC=2m，
設CD=x m，則，
∴在中，，在中，，
∴，
解得：x=1.5
∴(m).
故答案為：B．
【分析】根據題意作圖，根據木板長相等，利用勾股定理建立方程，求解即可.
8．（2024八下·上虞期末）已知點E，F分別在邊長為3的正方形的邊，上，且點F 為的三等分點，若平分，則的長為（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，
，，
∵平分，
∴∠AEF=∠GEF.
延長EA到點G，使EG=EF，如圖所示：
又∵∠AEF=∠GEF，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE（SAS），
∴BG=BF.
又∵∠GAB=∠EAB=∠C=90°，
AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（HL），
∴AG=CF.
設，則，
∵F為線段CD的三等分點，
①當時，，AG=CF=1.
∴，
在中，由得，
，
解得，
；
②當時，，AG=CF=2.
∴，
由得，
，
解得
．
綜上，的長為或．
故答案為：A．
【分析】延長EA到點G，使EG=EF，結合正方形的性質可角平分線的定義，可利用SAS證明△GBE≌△FBE，進而再利用證明△GAB≌△FCB，可得AG=CF.設，則，EF=EG=AG+x．然后分兩種情況討論：①當時，②當時兩種情況，在中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
9．（2024八下·上虞期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形與四邊形都是正方形，點H為的中點．連結并延長，分別交正方形各邊于點M，N，P，Q，若，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】勾股定理；正方形的性質；“趙爽弦圖”模型；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：連接CF并延長，交AB于點T，過點B作BS⊥CT于點S，如圖所示：
∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，，
∴AB//CD，∠HGF=90°，，
∴∠CGF=∠HGF=90°.
∵點H為的中點，
∵四個直角三角形全等，
∴BG=DE=4，BF=CG=2，
∴，
∵GC=GF=2，
∴△FGC為等腰直角三角形，
∴∠HGE=∠GCF=∠GFC=45°，.
∴PQ//EC，
∴四邊形PQTC為平行四邊形，
∴TC=PQ.
∵BS⊥TC，∠BFS=∠GFC=45°，
∴，
∴.
∵
∴，
設，則.
∵，
∴，
解得：(舍負)，
∴.
故答案為：C．
【分析】連接CF并延長，交AB于點T，過點B作BS⊥CT于點S，根據正方形的性質AB//CD，∠HGF=90°，，于是可得∠CGF=90°，根據中點定義得DE=4，根據全等三角形的性質可求得AB的長，證明△FGC為等腰直角三角形可得FC的長，同時證明四邊形PQTC為平行四邊形，可得TC=PQ.利用等腰三角形的性質求得BS和CS的長，由等面積法得，設，可表示出TC的長，再利用勾股定理可得關于a的方程，求解即可得到答案。
10．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程時，小馬同學粗心地將項的系數與常數項對換了，使得方程也變了．他正確地解出了這個不同的方程，得到一個根是2，另一根等于原方程的一個根．則原方程兩根的平方和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】一元二次方程的根；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：設原方程為，兩個根為和；則新的方程為，兩個根為2和．
∴，，
得，
∵兩個方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①當時，代入新方程可得：，
解得：，
則，，
則．
②當時，代入新方程可得：，
解得：，
則，，
則．
綜上，原方程兩根的平方和是．
故答案為：D．
【分析】設原方程為，兩個根為和．則新的方程為，兩個根為2和．把根代入方程可得，，將①②聯立可解得．分別把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之間的關系，再由根與系數的關系可求出與的值，進而可求出的值．
11．（2024八下·上虞期末）二次根式 中字母x的取值范圍是　 　．
【答案】x≥1
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據題意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案為：x≥1．
【分析】二次根式有意義的條件就是被開方數是非負數，即可求解．主要考查了二次根式的意義和性質．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．
12．（2024八下·上虞期末）關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則　 　.
【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴
解得，
故答案為：.
【分析】一元二次方程有兩個相等的實數根，則，據此解答即可.
13．（2024八下·上虞期末）已知一組數據，，，的平均數是5，則另一組數據，，，的平均數是　 　．
【答案】20
【知識點】平均數及其計算
【解析】【解答】解：∵數據，，，的平均數是5，
∴，
∴數據，，，的平均數為：
．
故答案為：20．
【分析】根據算術平均數的定義，先求得，然后再利用平均數公式計算，，，的平均數，將整體代入進去即可求解．
14．（2024八下·上虞期末）將兩張同樣寬度的紙片按如圖方式疊放在一起，記重疊部分為四邊形，若，則四邊形的周長為　 　．
【答案】12
【知識點】平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質
【解析】【解答】解：作于E，于F，如圖所示：
由題意知：，AE=AF.
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴
∴平行四邊形是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3 cm.
∴四邊形的周長為，
故答案為：12．
【分析】作于E，于F，先證出四邊形是平行四邊形，再由AE=AF得到，得平行四邊形是菱形，最后再利用菱形的周長公式計算周長即可.
15．（2024八下·上虞期末）如圖，某小區規劃在一個長為、寬為的長方形場地上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種花草．要使每一塊草坪的面積都為，若設通道的寬為．請補全關于 的方程：_________．
【答案】
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：把草坪部分全部轉移到一起，圖形可變形為：
∴四邊形AEGF為矩形，
設通道的寬度為，
則BE=x m，FD=2x m，
∴AF=40－2x，AE=26－x，
根據題意，可得方程：
，
故答案為：．
【分析】把草坪部分全部轉移到一起，得到平移后的圖形，如果設通道的寬度為，可得新的矩形的長和寬，那么根據每一塊草坪的面積都為，即可得出方程.
16．（2024八下·上虞期末）如圖，在平行四邊形紙片中，， 將紙片沿對角線對折，交邊于點E，則折疊后圖中重合部分的面積是　 　．
【答案】
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=4cm，
∴∠ACB=90°－60°=30°，
∴BC=2AB=8cm，cm.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=60°，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠ABC=60°.
∵折疊至處，，
∴，AF=AB=4cm，∠FAC=∠BAC=90°，
∴△AFE為等邊三角形，△AFC為直角三角形.
∴AF=AE=EF=4cm.
過點E作EG⊥AF于點G，如圖所示：
∴AG=GF=2cm，
∴cm，
∴.
故答案為：
【分析】先證明△AFE為等邊三角形，△AFC為直角三角形，可得AF=AE=EF=4cm.過點E作EG⊥AF于點G，利用即可求出△ACE的面積.
17．（2024八下·上虞期末）如圖，O是等邊內任意一點，，點D，E，F分別在上．若，則等邊的面積為　 　．
【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的判定與性質
【解析】【解答】解，延長FO，交BC于點G，過點A作AH⊥BC于點H，如圖所示：
∵是等邊三角形，
∴
∵OF//AB，OE//AC，
∴OD//BG，OG//DE，∠FGC=∠B=60°=∠C=∠OEG，
∴四邊形BGOD是平行四邊形，△FGC和△OGE都是等邊三角形，
∴BG=OD=3，GE=OE=OG=2，
∴GC=GF=GO+OF=2+1=3，
∴BC=BG+GC=6.
∴
∴，
∴，
故答案為：
【分析】延長FO，交BC于點G，過點A作AH⊥BC于點H，證明四邊形BGOD是平行四邊形，△FGC和△OGE都是等邊三角形，利用等邊三角形和平行四邊形的性質可得BC的長為6，再由勾股定理得，即可利用三角形面積公式求△ABC的面積．
18．（2024八下·上虞期末）如圖，矩形的頂點D在反比例函數的圖象上，頂點B，C在x軸上，對角線的延長線交y軸于點E，連接，若的面積是2，則k的值為　 　．
【答案】
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；矩形的性質
【解析】【解答】解：設，則，
∵矩形的頂點在反比例函數的圖象上，
∴，
∵的面積是2，
∴，即，
∵，
，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【分析】先設，得出，根據反比例函數的幾何意義求出k=ab，根據的面積是2，得出，最后根據平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似以及相似三角形的對應邊之比相等得出，即，求得的值即可．
19．（2024八下·上虞期末）解答下列各題：
（1）計算： ．
（2）設實數的整數部分為，小數部分為，求的值．
【答案】（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整數部分為2，小數部分為，
∴，．
∴
．
【知識點】無理數的估值；平方差公式及應用；二次根式的混合運算
【解析】【分析】（1）先算二次根式的平方，化簡二次根式，再進行加減計算即可；
（2）根據，可得，．再根據平方差公式化簡得，最后代入計算可得結論．
（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整數部分為2，小數部分為，
∴，．
∴
．
20．（2024八下·上虞期末）解答下列各題：
（1）用配方法解方程：
（2）如圖是 6×8的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，A，B，C，P各點都在格點上 ．請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求在同一答題圖上畫圖．
①找出格點D，連結，使四邊形是平行四邊形．
②過點P作一條直線，使直線平分平行四邊形的周長和面積．
【答案】（1）解：，，
，
，
∴；
（2）解：①取格點D，使得平行且等于即可得到平行四邊形；
②連接交于點O，過點P、O作直線l交于點E，直線I平分平行四邊形的周長和面積．
【知識點】配方法解一元二次方程；平行四邊形的性質
21．（2024八下·上虞期末）電學知識告訴我們：用電器的功率P（單位：W）、兩端的電壓U（單位：V）及用電器的電阻R（單位∶Ω）有如下關系： ．現有一個電阻可調節的用電器，其范圍為．已知電壓為，這個用電器的電路圖如圖所示．
（1）寫出功率P關于電阻R的函數關系式．
（2）這個用電器功率的范圍是多少？
【答案】（1）解∶∵，
∴當時，．
（2）解：∵
把代入可得， ．
把代入可得：．
所以用電器功率的范圍是．
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【分析】（1）將代入中，即可得P與 R的函數關系式為；
（2）根據R的范圍，將R的最小值和最大值分別代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范圍．
（1）解∶根據電學知識，當時，由得．
（2）解：將電阻的最小值代入， 得 ．
將電阻的最大值代入， 得．
所以用電器功率的范圍是．
22．（2024八下·上虞期末）保護水資源從我做起． 學校開展“節水護水”知識競賽，從全校1800名學生中隨機抽取部分學生的競賽成績進行統計分析，并將成績（滿分：100分）制成如下不完整的扇形統計圖和條形統計圖．請根據圖中相關信息回答下列問題：
（1）抽樣統計的學生競賽成績的中位數是__________；眾數是__________．
（2）補全不完整的條形統計圖．
（3）根據競賽規則，98分及以上（含98分）的學生有資格進入第二輪復賽環節，請你估計全校1800名學生進入第二輪復賽環節的人數是多少？
【答案】（1）96，98
（2）解：其中得94分的學生有12人，故補全不完整的條形統計圖：
（3）解：（人）
故全校1800名學生進入第二輪復賽環節的人數大概有810人．
【知識點】條形統計圖；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）解：該校抽取的學生一共有（人），
∴94分的學生人數為：60－6－15－18－9=12（人），
∴在這次抽取的學生中，成績的中位數是（分）；
∵98出現的次數最多，
∴眾數是98，
故答案為：96，98；
【分析】（1）由92分人數及其所占的百分比可得被調查的總人數，依據中位數和眾數的定義求解即可；
（2）求出94分的人數，即可補全條形統計圖；
（3）總人數乘以樣本中98分及以上人數所占比例即可得到對應的大概人數．
（1）解：該校抽取的學生一共有（人），
在這次抽取的學生中，成績的中位數是（分）；
98出現的次數最多，
∴眾數是98，
故答案為：96，98；
（2）解：其中得94分的學生有（人）；
補全不完整的條形統計圖：
（3）解：（人）
所以估計全校1800名學生進入第二輪復賽環節的人數是810人．
23．（2024八下·上虞期末）如圖，已知直線和反比例函數 的圖象交于第一象限的，兩點．
（1）填空∶當時，n=__________；直線的函數表達式為__________．
（2）若把點先向左平移3個單位，再向下平移6個單位后得到的點D也在反比例函數的圖象上，試求m和n的值．
（3）直接寫出滿足 的的取值范圍．
【答案】（1），
（2）解：先向左平移3個單位，再向下平移6個單位后得到點D，
∴
由題意，點和點都在在該反比例函數圖象上，
∴，
∴．
∴，
∴ ．
（3）解：由可得：
，
設，
則直線與關于原點對稱，
∵ 直線和反比例函數 的圖象交于第一象限的，兩點，
∴直線和反比例函數 的圖象交于第三象限的和兩點，
∴不等式的的取值范圍是或．
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）若，則，
把代入得
．
∵也在該反比例函數圖象上，
∴，
解得．
再把，代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
故答案為：，
【分析】（1）根據題意得，代入得；由也在該反比例函數圖象上，得，再把分別代入，利用待定系數法可得結論；
（2）根據題意可得點平移后的點也在該反比例函數圖象上，所以，解得.將代入解析式可得n的值；
（3）由題意得，由直線與關于原點對稱，可得直線和反比例函數的圖象交于第三象限的兩點，結合圖象可知滿足不等式的x的取值范圍
（1）解：若，則，
根據題意，把代入得．
∵也在該反比例函數圖象上，
∴，
解得．
再把，分別代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
（2）解：如圖，根據題意可得點平移后的點也在該反比例函數圖象上，
∴，
解得．
∴，解得 ．
（3）解：∵，
移項可得，
如圖，直線與關于原點對稱，
∴直線和反比例函數的圖象交于第三象限的兩點，
結合圖象可知滿足不等式的的取值范圍是或．
24．（2024八下·上虞期末）含有公共頂點A的正方形和正方形按圖1所示放置，連結．
（1）求證：．
（2）如圖2，把圖1中的正方形繞點A旋轉，邊剛好經過點B，此時對角線與正方形的對角線交于點O，與邊交于點H．
①求證：．
②若，，請直接寫出和的長．
【答案】（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形．
∴，
∴．
在△AEB和△AGD中，
∴．
（2）①證明：由（1）可知，∴，
∵∠AGD+∠AGF=180°，
∴點F，G，D共線．
過點D作交延長線于點K，如圖所示：
∵EG是正方形AGGE的對角線，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②，．
【知識點】正方形的性質；旋轉的性質；四邊形的綜合
【解析】【解答】（2）②解：∵，為等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如圖，設交于點P，作于點Q，設，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根據正方形的性質可得，于是得∠EAB=∠GAD，再根據SAS即可證明全等；
（2）①由（1）可知，證出點F，G，D共線．如圖，過點D作交延長線于點K，得出是等腰直角三角形，可證明，即可證明．
（2）②根據，為等腰直角三角形，得出．由勾股定理得，，于是可得．再由全等三角形的性質即可得OE的長．設交于點P，作于點Q，設，則，，得出，，即可求解．
（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形．
∴，
∴，
即．
∴．
（2）①證明：由（1）可知，
∴，
∴點F，G，D共線．
如圖，過點D作交延長線于點K，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
②解：∵，為等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如圖，設交于點P，作于點Q，設，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
1 / 1浙江省紹興市上虞區2023-2024學年八年級下學期期末考試數學試題
1．（2024八下·上虞期末）關于數“ ”，下列說法正確的是（　　）
A．它是一個無理數 B．它是一個有理數
C．它是一個整數 D．它是一個分數
2．（2024八下·上虞期末）若一元二次方程有一個根為1，則的值為（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·上虞期末）當時，反比例函數 的函數值為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·上虞期末）在四邊形中，與互補，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·上虞期末）甲、乙兩名射擊運動員在相同的條件下，各射擊10次． 經計算：甲射擊成績的平均數是8環，且；乙射擊成績的平均數是8環，且．則下列說法中， 不一定正確的是（　　）
A．甲、乙射擊的總環數相同 B．甲的成績比乙的成績穩定
C．乙的成績比甲的成績波動大 D．甲、乙兩成績的眾數相同
6．（2024八下·上虞期末）如圖，正方形的邊長為8，為邊上一點．若，則的長為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·上虞期末）如圖，一只小貓沿著斜立在墻角的木板往上爬，木板底端距離墻角O處為．當小貓從木板底端爬到頂端時，木板底端向左滑動了，木板頂端向下滑動了，則小貓在木板上爬動的距離為（　　）m ．
A． B． C． D．
8．（2024八下·上虞期末）已知點E，F分別在邊長為3的正方形的邊，上，且點F 為的三等分點，若平分，則的長為（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（2024八下·上虞期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形與四邊形都是正方形，點H為的中點．連結并延長，分別交正方形各邊于點M，N，P，Q，若，則的長為（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程時，小馬同學粗心地將項的系數與常數項對換了，使得方程也變了．他正確地解出了這個不同的方程，得到一個根是2，另一根等于原方程的一個根．則原方程兩根的平方和是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·上虞期末）二次根式 中字母x的取值范圍是　 　．
12．（2024八下·上虞期末）關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則　 　.
13．（2024八下·上虞期末）已知一組數據，，，的平均數是5，則另一組數據，，，的平均數是　 　．
14．（2024八下·上虞期末）將兩張同樣寬度的紙片按如圖方式疊放在一起，記重疊部分為四邊形，若，則四邊形的周長為　 　．
15．（2024八下·上虞期末）如圖，某小區規劃在一個長為、寬為的長方形場地上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種花草．要使每一塊草坪的面積都為，若設通道的寬為．請補全關于 的方程：_________．
16．（2024八下·上虞期末）如圖，在平行四邊形紙片中，， 將紙片沿對角線對折，交邊于點E，則折疊后圖中重合部分的面積是　 　．
17．（2024八下·上虞期末）如圖，O是等邊內任意一點，，點D，E，F分別在上．若，則等邊的面積為　 　．
18．（2024八下·上虞期末）如圖，矩形的頂點D在反比例函數的圖象上，頂點B，C在x軸上，對角線的延長線交y軸于點E，連接，若的面積是2，則k的值為　 　．
19．（2024八下·上虞期末）解答下列各題：
（1）計算： ．
（2）設實數的整數部分為，小數部分為，求的值．
20．（2024八下·上虞期末）解答下列各題：
（1）用配方法解方程：
（2）如圖是 6×8的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，A，B，C，P各點都在格點上 ．請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求在同一答題圖上畫圖．
①找出格點D，連結，使四邊形是平行四邊形．
②過點P作一條直線，使直線平分平行四邊形的周長和面積．
21．（2024八下·上虞期末）電學知識告訴我們：用電器的功率P（單位：W）、兩端的電壓U（單位：V）及用電器的電阻R（單位∶Ω）有如下關系： ．現有一個電阻可調節的用電器，其范圍為．已知電壓為，這個用電器的電路圖如圖所示．
（1）寫出功率P關于電阻R的函數關系式．
（2）這個用電器功率的范圍是多少？
22．（2024八下·上虞期末）保護水資源從我做起． 學校開展“節水護水”知識競賽，從全校1800名學生中隨機抽取部分學生的競賽成績進行統計分析，并將成績（滿分：100分）制成如下不完整的扇形統計圖和條形統計圖．請根據圖中相關信息回答下列問題：
（1）抽樣統計的學生競賽成績的中位數是__________；眾數是__________．
（2）補全不完整的條形統計圖．
（3）根據競賽規則，98分及以上（含98分）的學生有資格進入第二輪復賽環節，請你估計全校1800名學生進入第二輪復賽環節的人數是多少？
23．（2024八下·上虞期末）如圖，已知直線和反比例函數 的圖象交于第一象限的，兩點．
（1）填空∶當時，n=__________；直線的函數表達式為__________．
（2）若把點先向左平移3個單位，再向下平移6個單位后得到的點D也在反比例函數的圖象上，試求m和n的值．
（3）直接寫出滿足 的的取值范圍．
24．（2024八下·上虞期末）含有公共頂點A的正方形和正方形按圖1所示放置，連結．
（1）求證：．
（2）如圖2，把圖1中的正方形繞點A旋轉，邊剛好經過點B，此時對角線與正方形的對角線交于點O，與邊交于點H．
①求證：．
②若，，請直接寫出和的長．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：數“ ” 是一個無理數，
故答案為：A
【分析】根據實數的分類，及有理數、無理數的定義即可作出判斷.
2．【答案】D
【知識點】已知一元二次方程的根求參數
3．【答案】B
【知識點】反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：把代入得，
故答案為：B．
【分析】將代入反比例函數解析式，計算即可得到答案．
4．【答案】C
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：∵與互補，
∴
又∵，∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，
∴，
故答案為：C．
【分析】本題考查了多邊形的內角和定理，根據多邊形內角和公式求解即可．
5．【答案】D
【知識點】平均數及其計算；方差；眾數
【解析】【解答】解：由題意：甲和射擊成績的平均數都是8環，
∴甲的總環數=乙的總環數=8×10=80（環）
∴甲、乙的總環數相同，故選項A正確，不符合題意；
∵，，
．
∴甲的成績比乙的成績穩定，而乙的成績比甲的成績波動大，故選項B和選項C都正確，不符合題意；
∵不知道甲和乙兩人10次射擊的具體值，
∴不能得到甲、乙成績的眾數相同，故選項D不一定正確，符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據平均數可計算總總環數，可判斷選項A；方差用來衡量一組數據的波動大小，方差越大，波動越大，數據越不穩定；反之方差越小，波動越小，數據越穩定，據此可判斷選項B，C；根據10次成績的具體值的知否情況，可判斷選項D.
6．【答案】A
【知識點】勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，邊長為8，
∴AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：A．
【分析】由正方形的性質可得AB=AD=CD=8，∠A=∠D=90°.在△ABE中利用勾股定理可求得AE長，繼而的ED長，再在△DEC中利用勾股定理，即可求得EC的長.
7．【答案】B
【知識點】勾股定理的實際應用-梯子滑動問題
【解析】【解答】解：作圖如下：
由題意可得：，∠C=90°，ED=AB，
∴CE=AE+AC=2m，
設CD=x m，則，
∴在中，，在中，，
∴，
解得：x=1.5
∴(m).
故答案為：B．
【分析】根據題意作圖，根據木板長相等，利用勾股定理建立方程，求解即可.
8．【答案】A
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，
，，
∵平分，
∴∠AEF=∠GEF.
延長EA到點G，使EG=EF，如圖所示：
又∵∠AEF=∠GEF，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE（SAS），
∴BG=BF.
又∵∠GAB=∠EAB=∠C=90°，
AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（HL），
∴AG=CF.
設，則，
∵F為線段CD的三等分點，
①當時，，AG=CF=1.
∴，
在中，由得，
，
解得，
；
②當時，，AG=CF=2.
∴，
由得，
，
解得
．
綜上，的長為或．
故答案為：A．
【分析】延長EA到點G，使EG=EF，結合正方形的性質可角平分線的定義，可利用SAS證明△GBE≌△FBE，進而再利用證明△GAB≌△FCB，可得AG=CF.設，則，EF=EG=AG+x．然后分兩種情況討論：①當時，②當時兩種情況，在中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
9．【答案】C
【知識點】勾股定理；正方形的性質；“趙爽弦圖”模型；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：連接CF并延長，交AB于點T，過點B作BS⊥CT于點S，如圖所示：
∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，，
∴AB//CD，∠HGF=90°，，
∴∠CGF=∠HGF=90°.
∵點H為的中點，
∵四個直角三角形全等，
∴BG=DE=4，BF=CG=2，
∴，
∵GC=GF=2，
∴△FGC為等腰直角三角形，
∴∠HGE=∠GCF=∠GFC=45°，.
∴PQ//EC，
∴四邊形PQTC為平行四邊形，
∴TC=PQ.
∵BS⊥TC，∠BFS=∠GFC=45°，
∴，
∴.
∵
∴，
設，則.
∵，
∴，
解得：(舍負)，
∴.
故答案為：C．
【分析】連接CF并延長，交AB于點T，過點B作BS⊥CT于點S，根據正方形的性質AB//CD，∠HGF=90°，，于是可得∠CGF=90°，根據中點定義得DE=4，根據全等三角形的性質可求得AB的長，證明△FGC為等腰直角三角形可得FC的長，同時證明四邊形PQTC為平行四邊形，可得TC=PQ.利用等腰三角形的性質求得BS和CS的長，由等面積法得，設，可表示出TC的長，再利用勾股定理可得關于a的方程，求解即可得到答案。
10．【答案】D
【知識點】一元二次方程的根；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：設原方程為，兩個根為和；則新的方程為，兩個根為2和．
∴，，
得，
∵兩個方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①當時，代入新方程可得：，
解得：，
則，，
則．
②當時，代入新方程可得：，
解得：，
則，，
則．
綜上，原方程兩根的平方和是．
故答案為：D．
【分析】設原方程為，兩個根為和．則新的方程為，兩個根為2和．把根代入方程可得，，將①②聯立可解得．分別把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之間的關系，再由根與系數的關系可求出與的值，進而可求出的值．
11．【答案】x≥1
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據題意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案為：x≥1．
【分析】二次根式有意義的條件就是被開方數是非負數，即可求解．主要考查了二次根式的意義和性質．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．
12．【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴
解得，
故答案為：.
【分析】一元二次方程有兩個相等的實數根，則，據此解答即可.
13．【答案】20
【知識點】平均數及其計算
【解析】【解答】解：∵數據，，，的平均數是5，
∴，
∴數據，，，的平均數為：
．
故答案為：20．
【分析】根據算術平均數的定義，先求得，然后再利用平均數公式計算，，，的平均數，將整體代入進去即可求解．
14．【答案】12
【知識點】平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質
【解析】【解答】解：作于E，于F，如圖所示：
由題意知：，AE=AF.
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴
∴平行四邊形是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3 cm.
∴四邊形的周長為，
故答案為：12．
【分析】作于E，于F，先證出四邊形是平行四邊形，再由AE=AF得到，得平行四邊形是菱形，最后再利用菱形的周長公式計算周長即可.
15．【答案】
【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：把草坪部分全部轉移到一起，圖形可變形為：
∴四邊形AEGF為矩形，
設通道的寬度為，
則BE=x m，FD=2x m，
∴AF=40－2x，AE=26－x，
根據題意，可得方程：
，
故答案為：．
【分析】把草坪部分全部轉移到一起，得到平移后的圖形，如果設通道的寬度為，可得新的矩形的長和寬，那么根據每一塊草坪的面積都為，即可得出方程.
16．【答案】
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=4cm，
∴∠ACB=90°－60°=30°，
∴BC=2AB=8cm，cm.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=60°，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠ABC=60°.
∵折疊至處，，
∴，AF=AB=4cm，∠FAC=∠BAC=90°，
∴△AFE為等邊三角形，△AFC為直角三角形.
∴AF=AE=EF=4cm.
過點E作EG⊥AF于點G，如圖所示：
∴AG=GF=2cm，
∴cm，
∴.
故答案為：
【分析】先證明△AFE為等邊三角形，△AFC為直角三角形，可得AF=AE=EF=4cm.過點E作EG⊥AF于點G，利用即可求出△ACE的面積.
17．【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的判定與性質
【解析】【解答】解，延長FO，交BC于點G，過點A作AH⊥BC于點H，如圖所示：
∵是等邊三角形，
∴
∵OF//AB，OE//AC，
∴OD//BG，OG//DE，∠FGC=∠B=60°=∠C=∠OEG，
∴四邊形BGOD是平行四邊形，△FGC和△OGE都是等邊三角形，
∴BG=OD=3，GE=OE=OG=2，
∴GC=GF=GO+OF=2+1=3，
∴BC=BG+GC=6.
∴
∴，
∴，
故答案為：
【分析】延長FO，交BC于點G，過點A作AH⊥BC于點H，證明四邊形BGOD是平行四邊形，△FGC和△OGE都是等邊三角形，利用等邊三角形和平行四邊形的性質可得BC的長為6，再由勾股定理得，即可利用三角形面積公式求△ABC的面積．
18．【答案】
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；矩形的性質
【解析】【解答】解：設，則，
∵矩形的頂點在反比例函數的圖象上，
∴，
∵的面積是2，
∴，即，
∵，
，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【分析】先設，得出，根據反比例函數的幾何意義求出k=ab，根據的面積是2，得出，最后根據平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似以及相似三角形的對應邊之比相等得出，即，求得的值即可．
19．【答案】（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整數部分為2，小數部分為，
∴，．
∴
．
【知識點】無理數的估值；平方差公式及應用；二次根式的混合運算
【解析】【分析】（1）先算二次根式的平方，化簡二次根式，再進行加減計算即可；
（2）根據，可得，．再根據平方差公式化簡得，最后代入計算可得結論．
（1）解∶原式．
（2）解∶，
∴的整數部分為2，小數部分為，
∴，．
∴
．
20．【答案】（1）解：，，
，
，
∴；
（2）解：①取格點D，使得平行且等于即可得到平行四邊形；
②連接交于點O，過點P、O作直線l交于點E，直線I平分平行四邊形的周長和面積．
【知識點】配方法解一元二次方程；平行四邊形的性質
21．【答案】（1）解∶∵，
∴當時，．
（2）解：∵
把代入可得， ．
把代入可得：．
所以用電器功率的范圍是．
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【分析】（1）將代入中，即可得P與 R的函數關系式為；
（2）根據R的范圍，將R的最小值和最大值分別代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范圍．
（1）解∶根據電學知識，當時，由得．
（2）解：將電阻的最小值代入， 得 ．
將電阻的最大值代入， 得．
所以用電器功率的范圍是．
22．【答案】（1）96，98
（2）解：其中得94分的學生有12人，故補全不完整的條形統計圖：
（3）解：（人）
故全校1800名學生進入第二輪復賽環節的人數大概有810人．
【知識點】條形統計圖；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）解：該校抽取的學生一共有（人），
∴94分的學生人數為：60－6－15－18－9=12（人），
∴在這次抽取的學生中，成績的中位數是（分）；
∵98出現的次數最多，
∴眾數是98，
故答案為：96，98；
【分析】（1）由92分人數及其所占的百分比可得被調查的總人數，依據中位數和眾數的定義求解即可；
（2）求出94分的人數，即可補全條形統計圖；
（3）總人數乘以樣本中98分及以上人數所占比例即可得到對應的大概人數．
（1）解：該校抽取的學生一共有（人），
在這次抽取的學生中，成績的中位數是（分）；
98出現的次數最多，
∴眾數是98，
故答案為：96，98；
（2）解：其中得94分的學生有（人）；
補全不完整的條形統計圖：
（3）解：（人）
所以估計全校1800名學生進入第二輪復賽環節的人數是810人．
23．【答案】（1），
（2）解：先向左平移3個單位，再向下平移6個單位后得到點D，
∴
由題意，點和點都在在該反比例函數圖象上，
∴，
∴．
∴，
∴ ．
（3）解：由可得：
，
設，
則直線與關于原點對稱，
∵ 直線和反比例函數 的圖象交于第一象限的，兩點，
∴直線和反比例函數 的圖象交于第三象限的和兩點，
∴不等式的的取值范圍是或．
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）若，則，
把代入得
．
∵也在該反比例函數圖象上，
∴，
解得．
再把，代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
故答案為：，
【分析】（1）根據題意得，代入得；由也在該反比例函數圖象上，得，再把分別代入，利用待定系數法可得結論；
（2）根據題意可得點平移后的點也在該反比例函數圖象上，所以，解得.將代入解析式可得n的值；
（3）由題意得，由直線與關于原點對稱，可得直線和反比例函數的圖象交于第三象限的兩點，結合圖象可知滿足不等式的x的取值范圍
（1）解：若，則，
根據題意，把代入得．
∵也在該反比例函數圖象上，
∴，
解得．
再把，分別代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
（2）解：如圖，根據題意可得點平移后的點也在該反比例函數圖象上，
∴，
解得．
∴，解得 ．
（3）解：∵，
移項可得，
如圖，直線與關于原點對稱，
∴直線和反比例函數的圖象交于第三象限的兩點，
結合圖象可知滿足不等式的的取值范圍是或．
24．【答案】（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形．
∴，
∴．
在△AEB和△AGD中，
∴．
（2）①證明：由（1）可知，∴，
∵∠AGD+∠AGF=180°，
∴點F，G，D共線．
過點D作交延長線于點K，如圖所示：
∵EG是正方形AGGE的對角線，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②，．
【知識點】正方形的性質；旋轉的性質；四邊形的綜合
【解析】【解答】（2）②解：∵，為等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如圖，設交于點P，作于點Q，設，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【分析】
（1）根據正方形的性質可得，于是得∠EAB=∠GAD，再根據SAS即可證明全等；
（2）①由（1）可知，證出點F，G，D共線．如圖，過點D作交延長線于點K，得出是等腰直角三角形，可證明，即可證明．
（2）②根據，為等腰直角三角形，得出．由勾股定理得，，于是可得．再由全等三角形的性質即可得OE的長．設交于點P，作于點Q，設，則，，得出，，即可求解．
（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形．
∴，
∴，
即．
∴．
（2）①證明：由（1）可知，
∴，
∴點F，G，D共線．
如圖，過點D作交延長線于點K，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
②解：∵，為等腰直角三角形，
∴．
∵，在中，由勾股定理可得．
∴，
∴．
∴．
由①知，
∴．
如圖，設交于點P，作于點Q，設，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
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