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章末小結(jié)與素養(yǎng)評價 第六章　圓周運(yùn)動
主干知識成體系
圓 周 運(yùn) 動
遷移交匯破疑難
一、水平面上的圓周運(yùn)動
[答案]　A
[解析]　物體隨圓盤做圓周運(yùn)動，運(yùn)動到最低點(diǎn)時最容易滑動，因此物體在最低點(diǎn)且剛好要滑動時的轉(zhuǎn)動角速度為最大值，這時，根據(jù)牛頓第二定律有，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s，故C正確，A、B、D錯誤。
[答案]　C
[答案]　C
模型構(gòu)建探本質(zhì)
一、圓錐擺模型
1．物理模型
細(xì)線下面懸掛一個小球，設(shè)法使小球在某個水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，形成一個圓錐擺，如圖所示。
【針對訓(xùn)練】
1．(多選)如圖所示，長為L的細(xì)繩一端固定，另一端系一質(zhì)量
為m的小球。給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)
做勻速圓周運(yùn)動，這樣就構(gòu)成了一個圓錐擺，設(shè)細(xì)繩與豎直方
向的夾角為θ。下列說法中正確的是 (　　)
A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和繩的拉力作用
C．θ越大，小球運(yùn)動的速率越大
D．θ越大，小球運(yùn)動的周期越大
答案：BC　
2．(2024·江蘇高考)如圖所示，細(xì)繩穿過豎直的管子拴住一個小球，讓小球在A高度處的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，現(xiàn)用力將細(xì)繩緩慢下拉，使小球在B高度處的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，不計一切摩擦，則(　　)
A．線速度vA> vB
B．角速度ωA>ωB
C．向心加速度aA< aB
D．向心力FA>FB
答案：C　
3．如圖所示，已知繩長L＝20 cm，水平桿長L′＝0.1 m，
小球質(zhì)量m＝0.3 kg，整個裝置可繞豎直軸轉(zhuǎn)動(g取10 m/s2)，
問：
(1)要使繩子與豎直方向成45°角，該裝置必須以多大的角速度轉(zhuǎn)動才行？
(2)在(1)中，繩子對小球的拉力為多大？
答案：(1)6.44 rad/s　(2)4.24 N
二、圓周運(yùn)動中的連接體問題
圓周運(yùn)動中的連接體問題，是指兩個或兩個以上的物體通過一定的約束繞同一轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動的問題。這類問題的一般解題思路是，分別隔離物體，準(zhǔn)確地進(jìn)行受力分析，正確畫出受力示意圖，確定軌道平面和半徑，注意約束關(guān)系。在連接體的圓周運(yùn)動問題中，角速度相同是一種常見的約束關(guān)系。常見實(shí)例如下：
【針對訓(xùn)練】
4．(多選) 如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著
用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A和B(A、B可以看作質(zhì)點(diǎn))，
它們與盤面間的動摩擦因數(shù)均為μ，A、B之間細(xì)線的長度為L，
細(xì)線長度等于B到圓盤圓心的距離，下列說法正確的是 (　　)
答案：ACD　
5．(多選)如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺上的小物體A、B、C
能隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，A、B、C的質(zhì)量分別為
3m、2m、m，A與B、B與轉(zhuǎn)臺、C與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都
為μ，B、C離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為r、1.5r。設(shè)最大靜摩擦力
等于滑動摩擦力。以下說法中不正確的是 (　　)
答案：ABD　階段驗(yàn)收評價（二） 圓周運(yùn)動
(時間：75分鐘，滿分：100分)
一、單項(xiàng)選擇題(本題共7小題，每小題4分，共28分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．物體做勻速圓周運(yùn)動時，關(guān)于其受力情況，以下說法中正確的是(　　)
A．必須受到恒力的作用
B．物體所受合力必須等于0
C．物體所受合力大小可能變化
D．物體所受合力大小不變，方向不斷改變
解析：選D　當(dāng)物體所受合力等于0時，物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)；當(dāng)物體受到恒力時，物體將做勻變速運(yùn)動；物體做勻速圓周運(yùn)動時，所受合力大小不變，方向改變，始終沿著半徑指向圓心(或垂直于速度方向)。故D正確，A、B、C錯誤。
2.如圖所示，在盛滿水的試管中裝有一個小蠟塊，小蠟塊所受浮力略大于重力，當(dāng)用手握住A端讓試管在豎直平面內(nèi)左右快速擺動時，關(guān)于蠟塊的運(yùn)動，以下說法正確的是(　　)
A．與試管保持相對靜止
B．向B端運(yùn)動，可以到達(dá)B端
C．向A端運(yùn)動，可以到達(dá)A端
D．無法確定
解析：選C　試管在豎直平面內(nèi)左右快速擺動，試管中的水和浸在水中的蠟塊都有做離心運(yùn)動的趨勢(盡管試管不是做完整的圓周運(yùn)動，且運(yùn)動的方向也不斷變化，但并不影響問題的實(shí)質(zhì))，但因?yàn)橄瀴K的密度小于水的密度，蠟塊被水?dāng)D壓向下運(yùn)動。只要擺動速度足夠大且時間足夠長，蠟塊就能一直運(yùn)動到手握住的A端，故C正確。
3.如圖所示，在高速轉(zhuǎn)動的洗衣機(jī)脫水桶內(nèi)壁上，有一件濕衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，在保證衣服不滑動的情況下(　　)
A．桶轉(zhuǎn)速增大時，衣服對桶壁的壓力不變
B．桶轉(zhuǎn)速增大時，衣服對桶壁的壓力減小
C．桶轉(zhuǎn)速足夠大時，衣服上的水滴將做離心運(yùn)動
D．桶轉(zhuǎn)速足夠大時，衣服上的水滴將做向心運(yùn)動
解析：選C　衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，所需向心力由桶壁的支持力提供，轉(zhuǎn)速越大，支持力越大，壓力也越大，故A、B錯誤；當(dāng)水滴的附著力不足以提供向心力時，水滴做離心運(yùn)動，項(xiàng)C正確，D錯誤。
4.如圖是自行車傳動結(jié)構(gòu)的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為n(r/s)，則自行車前進(jìn)的速度為(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選C　自行車前進(jìn)的速度大小等于車輪Ⅲ邊緣上的線速度的大小，根據(jù)題意知：輪Ⅰ和輪Ⅱ邊緣上的線速度大小相等，根據(jù)v＝ωr可知r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝2πn，則輪Ⅱ的角速度ω2＝ω1，因?yàn)檩啟蚝洼啟蠊草S，所以ω3＝ω2，由v＝ωr可知v＝r3ω3＝，故C正確。
5．如圖所示，一偏心輪繞垂直紙面的軸O勻速轉(zhuǎn)動，a和b是輪邊緣上的兩個點(diǎn)，則偏心輪轉(zhuǎn)動過程中a、b兩點(diǎn)(　　)
A．角速度大小相同
B．線速度大小相同
C．周期大小不同
D．轉(zhuǎn)速大小不同
解析：選A　因?yàn)閮奢喭S轉(zhuǎn)動，角速度大小相等，所以周期、轉(zhuǎn)速都相等，故A正確，C、D錯誤；角速度大小相等，但轉(zhuǎn)動半徑不同，根據(jù)v＝ωr可知，線速度大小不同，故B錯誤。
6.如圖所示，一豎直圓盤上固定著一個質(zhì)量為0.2 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，小球與圓盤圓心O的距離為5 cm。現(xiàn)使圓盤繞過圓心O的水平軸以10 rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動，重力加速度g取10 m/s2，當(dāng)小球運(yùn)動到O點(diǎn)正上方時圓盤對小球的作用力的大小為F1，當(dāng)小球運(yùn)動到O點(diǎn)正下方時圓盤對小球的作用力的大小為F2，則(　　)
A．F1＝1 N　F2＝3 N B．F1＝2 N　F2＝4 N
C．F1＝2 N　F2＝3 N D．F1＝1 N　F2＝4 N
解析：選A　小球做勻速圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)，重力和所需的向心力方向均向下，故F1一定在豎直方向，由牛頓第二定律可得F1＋mg＝mrω2，解得F1＝－1 N，即大小為1 N，方向豎直向上，在最低點(diǎn)，重力方向豎直向下，所需向心力豎直向上，故F2一定豎直向上，由牛頓第二定律可得F2－mg＝mrω2，解得F2＝3 N，A正確。
7．如圖所示，豎直平面內(nèi)固定有一個半徑為R的光滑圓環(huán)形細(xì)管，現(xiàn)給小球(直徑略小于管內(nèi)徑)一個初速度，使小球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動，小球通過最高點(diǎn)時的速度為v，已知重力加速度為g，則下列敘述中正確的是(　　)
A．v的極小值為
B．v由零逐漸增大的過程中，軌道對球的彈力先減小再增大
C．當(dāng)v由值逐漸增大的過程中，軌道對小球的彈力逐漸減小
D．當(dāng)v由值逐漸減小的過程中，軌道對小球的彈力也逐漸減小
解析：選B　由題可知，v的極小值為0，故A錯誤；當(dāng)v在0～范圍內(nèi)逐漸變大時，由mg－FN＝m可知，F(xiàn)N逐漸減小；當(dāng)v在大于范圍內(nèi)逐漸變大時，由mg＋FN＝m可知，F(xiàn)N逐漸變大； 故B正確，C、D錯誤。
二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)
8.如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。座艙的質(zhì)量為m，運(yùn)動半徑為R，角速度大小為ω，重力加速度為g，則座艙(　　)
A．運(yùn)動周期為
B．線速度的大小為ωR
C．受摩天輪作用力的大小始終為mg
D．所受合力的大小始終為mω2R
解析：選BD　座艙的運(yùn)動周期T＝＝，故A錯誤；根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系，可得v＝ωR，故B正確；座艙做勻速圓周運(yùn)動，摩天輪對座艙的作用力與重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小為F合＝mω2R，故C錯誤、D正確。
9.如圖所示，甲、乙圓盤的半徑之比為1∶2，兩水平圓盤緊靠在一起不打滑轉(zhuǎn)動。兩圓盤上分別放置質(zhì)量為m1和m2的小物體，m1＝2m2，兩小物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)相同。m1距甲盤圓心距離為r，m2距乙盤圓心距離為2r，此時它們正隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動。下列判斷正確的是(　　)
A．m1和m2的線速度之比為1∶4
B．m1和m2的向心加速度之比為2∶1
C．隨轉(zhuǎn)速慢慢增加，m1先開始滑動
D．隨轉(zhuǎn)速慢慢增加，m2先開始滑動
解析：選BC　甲、乙兩輪邊緣上的各點(diǎn)線速度大小相等，有ω1·R＝ω2·2R，ω1∶ω2＝2∶1，因此兩物體相對圓盤開始滑動前，m1與m2的角速度之比為2∶1，根據(jù)公式v＝ωr，＝＝，故A錯誤；根據(jù)a＝ω2r得m1與m2的向心加速度之比為a1∶a2＝∶＝2∶1，故B正確；由μmg＝mrω2＝ma知，m1先達(dá)到臨界角速度，可知當(dāng)轉(zhuǎn)速增加時，m1先開始滑動，故C正確，D錯誤。
10．某同學(xué)使用小型電動打夯機(jī)平整自家房前的場地，如圖所示是電動打夯機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖。質(zhì)量為m的擺錘通過輕桿與總質(zhì)量為M的底座(含電動機(jī))上的轉(zhuǎn)軸相連。電動機(jī)帶動擺錘繞轉(zhuǎn)軸O在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動半徑為R，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
A．轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時擺錘處于失重狀態(tài)
B．?dāng)[錘在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，桿給擺錘的彈力大小之差為6mg
C．若打夯機(jī)底座剛好能離開地面，則擺錘的角速度為
D．若打夯機(jī)底座剛好能離開地面，則擺錘轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時，打夯機(jī)對地面的壓力為2(mg＋Mg)
解析：選CD　擺錘轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時有向上的加速度，處于超重狀態(tài)，故A錯誤；電動機(jī)帶動擺錘繞轉(zhuǎn)軸O在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，設(shè)角速度為ω0，則有F1－mg＝mω02R，F(xiàn)2＋mg＝mω02R，則F1－F2＝2mg，故B錯誤；當(dāng)拉力大小等于打夯機(jī)底座的重力時，才能使打夯機(jī)底座剛好離開地面，有F2＝Mg，對擺錘有mg＋F2＝mRω2，解得ω＝，故C正確；在最低點(diǎn)，對擺錘有F1－mg＝mRω2，則F1＝Mg＋2mg，對打夯機(jī)有FN＝F1＋Mg＝2(M＋m)g，故D正確。
三、非選擇題(本題共5小題，共54分)
11．(7分)在“探究向心力的大小與質(zhì)量、角速度和半徑之間的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)中。
(1)如圖所示，A、B都為鋼球，圖中所示是在研究向心力的大小F與________的關(guān)系(填選項(xiàng)標(biāo)號)。
A．質(zhì)量m　 B．角速度ω 　　C．半徑r
(2)如圖所示，若圖中標(biāo)尺上黑白相間的等分格顯示出兩個小球所受向心力的比值為1∶4，由圓周運(yùn)動知識可以判斷與皮帶連接的變速塔輪相對應(yīng)的半徑之比為________。
A．1∶4　 B．4∶1　　
C．1∶2　　 D．2∶1
解析：(1)變速塔輪半徑不同，兩輪轉(zhuǎn)動的角速度不同，兩球做圓周運(yùn)動的角速度不同，A、B兩球的質(zhì)量相等、轉(zhuǎn)動半徑相同；題圖中是在研究向心力的大小F與角速度ω的關(guān)系。故B項(xiàng)正確，A、C兩項(xiàng)錯誤。
(2)A、B兩球的質(zhì)量相等、轉(zhuǎn)動半徑相同，兩個小球所受向心力的比值為1∶4，據(jù)F＝mrω2可得，兩球轉(zhuǎn)動的角速度之比為1∶2。變速塔輪用皮帶連接，塔輪邊緣上點(diǎn)的線速度大小相等，根據(jù)r＝可得，與皮帶連接的變速塔輪相對應(yīng)的半徑之比為2∶1。故D正確，A、B、C錯誤。
答案：(1)B　(2)D
12.(9分)某同學(xué)做探究向心力與線速度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)。裝置如圖所示，一輕質(zhì)細(xì)線上端固定在拉力傳感器上，下端懸掛一小鋼球。鋼球靜止時剛好位于光電門中央。主要實(shí)驗(yàn)步驟如下：
①用游標(biāo)卡尺測出鋼球直徑d；
②將鋼球懸掛靜止不動，此時力傳感器示數(shù)為F1，用米尺量出線長L;
③將鋼球拉到適當(dāng)?shù)母叨忍庒尫牛怆婇T計時器測出鋼球的遮光時間為t，力傳感器示數(shù)的最大值為F2。
已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮間，請用上述測得的物理量表示：
(1)鋼球經(jīng)過光電門時的線速度表達(dá)式v＝______，向心力表達(dá)式F向＝m＝________；
(2)鋼球經(jīng)過光電門時，所受合力的表達(dá)式F合＝ ________。
解析：(1)鋼球的直徑為d，鋼球通過光電門時間為t，故鋼球經(jīng)過光電門的線速度v＝。mg＝F1，圓周運(yùn)動的半徑R＝L＋，所以F向＝m＝。
(2)根據(jù)受力分析，F(xiàn)1＝mg，當(dāng)鋼球到達(dá)光電門時，鋼球所受的合力等于F＝F2－mg＝F2－F1。
答案：(1)　　(2)F2－F1
13．(11分)A、B兩球質(zhì)量分別為m1與m2，用一勁度系數(shù)為k的彈簧相連，一長為l1的細(xì)線與A球相連，置于水平光滑桌面上，細(xì)線的另一端拴在豎直軸上，如圖所示。當(dāng)球A、B均以角速度ω繞OO′做勻速圓周運(yùn)動時，彈簧長度為l2。
(1)此時彈簧伸長量多大？細(xì)線拉力多大？
(2)將細(xì)線突然燒斷瞬間兩球加速度各多大？
解析：(1)B球受到的彈簧彈力提供做圓周運(yùn)動的向心力，設(shè)彈簧伸長量為Δl，滿足kΔl＝m2ω2(l1＋l2)，
則彈簧伸長量Δl＝，
A球受細(xì)線拉力FT和彈簧彈力F，做勻速圓周運(yùn)動，滿足FT－F＝m1ω2l1，
細(xì)線拉力FT＝m1ω2l1＋m2ω2(l1＋l2)。
(2)細(xì)線燒斷瞬間，
A球加速度a1＝＝，
B球加速度a2＝＝ω2(l1＋l2)。
答案：(1)　m1ω2l1＋m2ω2·(l1＋l2)　
(2)　ω2(l1＋l2)
14．(12分)如圖所示，裝置BOO′可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ＝37°。已知小球的質(zhì)量為m，細(xì)線AC長為l，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度為g，求
(1)當(dāng)細(xì)線AB拉力的大小等于小球重力的一半時，該裝置繞OO′軸轉(zhuǎn)動的角速度的大小；
(2)當(dāng)細(xì)線AB的拉力為零時，該裝置繞OO′軸轉(zhuǎn)動的角速度的最小值。
解析：(1)設(shè)細(xì)線AC的拉力為FTAC，細(xì)線AB的拉力為FTAB，根據(jù)牛頓第二定律得
FTACcos θ＝mg，
FTACsin θ－FTAB＝mω12lsin θ，解得ω1＝ 。
(2)由題意，當(dāng)ω最小時，細(xì)線AC與豎直方向的夾角α＝37°，則有mgtan α＝m(lsin α)ωmin2，
解得ωmin＝ 。
答案：(1) 　(2)
15．(15分)如圖所示，豎直平面內(nèi)的圓周形光滑軌道半徑為R，A端與圓心O等高，AD為與水平方向成45°角的斜面，B端在O點(diǎn)的正上方，一個質(zhì)量為m的小球在A點(diǎn)正上方某處由靜止開始釋放，自由下落至A點(diǎn)后進(jìn)入圓弧形軌道并能沿軌道到達(dá)B點(diǎn)，且到達(dá)B處時小球?qū)A弧軌道頂端的壓力大小為mg。求：
(1)小球到B點(diǎn)時的速度大小；
(2)小球從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)所用的時間；
(3)小球落到斜面上C點(diǎn)時的速度大。
解析：(1)到達(dá)B處時，小球?qū)A弧軌道頂端的壓力大小為FN＝mg，
在B點(diǎn)由重力和軌道的支持力提供向心力，則有
mg＋FN′＝m，F(xiàn)N′＝FN，
解得v＝。
(2)小球離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，小球落到C點(diǎn)時，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得tan 45°＝＝＝，
解得t＝2。
(3)小球落在斜面上C點(diǎn)時豎直分速度為
vy＝gt＝2，
小球落到C點(diǎn)時速度大小vC＝＝。
答案：(1)　(2)2 　(3)
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