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階段驗收評價（三） 萬有引力與宇宙航行
(時間：75分鐘，滿分：100分)
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下列說法正確的是(　　)
A．開普勒測出了引力常量
B．牛頓第一定律能通過現代的實驗手段直接驗證
C．卡文迪什發現地月間的引力滿足距離平方反比規律
D．伽利略將實驗和邏輯推理和諧地結合起來，發展了科學的思維方式和研究方法
解析：選D　卡文迪什測出了引力常量，故A錯誤；牛頓第一定律不是實驗定律，不能通過現代的實驗手段直接驗證，故B錯誤；牛頓發現地月間的引力滿足距離平方反比規律，故C錯誤；伽利略將實驗和邏輯推理和諧地結合起來，發展了科學的思維方式和研究方法，故D正確。
2．地球繞太陽運動的軌道是橢圓，因而地球與太陽之間的距離隨季節變化。若認為冬至這天地球離太陽最近，夏至最遠。則下列關于地球在這兩天繞太陽公轉時速度大小的說法中正確的是(　　)
A．地球公轉速度是不變的
B．冬至這天地球公轉速度大
C．夏至這天地球公轉速度大
D．無法確定
解析：選B　冬至這天地球與太陽的連線短，夏至長。根據開普勒第二定律，要在相等的時間內掃過相等的面積，則在相等的時間內，冬至時地球運動的路徑要比夏至時長，所以冬至時地球運動的速度比夏至時的速度大，故B正確。
3.北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統，如圖所示是其中三顆衛星a、b、c的軌道示意圖，a、b、c三顆衛星均繞地球做圓周運動，軌道半徑相同，a是地球靜止衛星(　　)
A．衛星a可以經過北京正上空
B．衛星a運行周期比c衛星的大
C．衛星b的運行速率大于7.9 km/s
D．衛星b、c的運行周期均為24小時
解析：選D　a是地球靜止衛星，靜止衛星的軌道平面在赤道平面，周期與地球自轉周期相等，為24小時，不可以經過北京正上空，故A錯誤；人造衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，設衛星的質量為m、軌道半徑為r、地球質量為M，有：＝mr，解得T＝2π，a、b、c三顆衛星的軌道半徑相等，則周期相等，都是24小時，故B錯誤，D正確；7.9 km/s為繞地球運行的最大環繞速度，衛星b的軌道更高，運行速率小于7.9 km/s，故C錯誤。
4．如果我們能測出月球表面的重力加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運轉的周期T，就能根據萬有引力定律“稱量”月球的質量了。已知引力常量G，用M表示月球的質量。關于月球質量，下列結論正確的是(　　)
A．M＝　　　　 B．M＝
C．M＝ D．M＝
解析：選A　月球表面物體的重力等于萬有引力，有＝mg，解得M＝，故A正確，B錯誤；因為周期T是月球繞地球轉動的周期，所以不能利用周期T計算月球的質量，故C、D錯誤。
5．牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質，且都滿足F∝。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為(　　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
解析：選C　設月球所在高度處重力加速度為g′，由F引＝得，在地球表面附近g＝，同理在月球所在高度處g′＝，由于r＝60R，則g′＝g，對月球由牛頓第二定律得m′g′＝m′r2，解得T＝120π，故C正確。
6．1970年4月24日我國首次成功發射的人造衛星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440 km，遠地點高度約為2 360 km；1984年4月8日成功發射的東方紅二號衛星運行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上。設東方紅一號在遠地點的加速度為a1，東方紅二號的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關系為(　　 )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析：選D　衛星圍繞地球運行時，萬有引力提供向心力，對于東方紅一號，在遠地點時有G＝m1a1，即a1＝，對于東方紅二號，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，東方紅二號衛星與地球自轉的角速度相等，由于東方紅二號做圓周運動的軌道半徑大于地球赤道上物體做圓周運動的半徑，根據a＝ω2r，可得a2＞a3，因此a1＞a2＞a3，故D正確，A、B、C錯誤。
7．某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖所示。該行星與地球的公轉半徑比為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B　由題意知每過N年地球比行星多運動一周，即－＝1，再結合開普勒第三定律＝C，有＝＝，故B正確。
8．某球狀行星具有均勻的密度ρ，若在赤道上隨行星一起轉動的物體對行星表面的壓力恰好為零，則該行星自轉角速度為(萬有引力常量為 G)(　　)
A. B．2
C. D.
解析：選B　設該星球的半徑為R，星球的質量為M，在赤道上隨行星一起轉動的物體對行星表面的壓力恰好為零，則有＝mω2R，又有M＝ρ·πR3，聯立解得該行星自轉角速度為ω＝2，B正確，A、C、D錯誤。
二、多項選擇題(本題共4小題，每小題6分，共24分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)
9．“火星沖日”現象是指火星運行至距離地球最近的位置，火星、地球和太陽幾乎排列成一條直線，地球位于太陽與火星之間，此時火星被太陽照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于觀察，地球和火星繞太陽公轉的方向相同，軌道都近似為圓，火星公轉軌道半徑為地球公轉軌道半徑的1.5倍，則下列說法正確的是(　　 )
A．地球與火星的公轉角速度大小之比為2∶3
B．地球與火星的公轉線速度大小之比為∶2
C．地球與火星的公轉周期之比為∶
D．地球與火星的向心加速度大小之比為∶
解析：選BC　根據G＝m＝mω2r＝m＝ma，解得ω＝ ，則地球與火星的公轉角速度大小之比為，故A錯誤；v＝ ，則地球與火星的公轉線速度大小之比為，故B正確；T＝2π，則地球與火星的公轉周期之比為∶，故C正確；a＝，則地球與火星的向心加速度大小之比為9∶4，故D錯誤。
10．如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是(　　)
A．軌道半徑越大，周期越長
B．軌道半徑越大，速度越大
C．若測得周期和張角，可得到星球的平均密度
D．若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度
解析：選AC　據＝mR，可得T＝2π ，可知半徑越大，則周期越長，故A正確；據＝m，可得v＝ ，可知軌道半徑越大，速度越小，故B錯誤；若測得周期，則有M＝，其中R是P的軌道半徑；若測得張角θ，則該星球半徑為r＝Rsin，所以M＝ρV＝πr3ρ＝π3ρ，則ρ＝，故C正確，而選項D無法計算星球半徑，則無法求出星球密度，故D錯誤。
11．若某火星探測器升空后，先在近地軌道上以線速度v環繞地球飛行，再調整速度進入地火轉移軌道，最后再一次調整速度以線速度v′在火星表面附近環繞飛行。若認為地球和火星都是質量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比約為1∶2，密度之比約為5∶7，設火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結論正確的是(　　)
A．g′∶g＝4∶1　　 B．g′∶g＝5∶14
C．v′∶v＝ D．v′∶v＝
解析：選BC　在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，G＝mg，g＝＝G·＝πGρR，所以＝·＝×＝，故A錯誤，B正確；探測器繞地球表面運行和繞火星表面運行都是由萬有引力充當向心力，根據牛頓第二定律有G＝m，得v＝ 　①，M為中心天體質量，R為中心天體半徑，則M＝ρ·πR3　②，由①②得v＝ ，已知火星和地球的半徑之比為1∶2，密度之比為5∶7，所以探測器繞火星表面運行和繞地球表面運行線速度大小之比為＝ ＝＝ ，故C正確，D錯誤。
12.兩顆人造衛星繞地球逆時針運動，衛星1、衛星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運動，圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛星與地球在同一直線上，如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
A．兩衛星在圖示位置的速度v1＝v2
B．兩衛星在A處的加速度大小相等
C．兩顆衛星在A點或B點處可能相遇
D．兩衛星永遠不可能相遇
解析：選BD　v2為橢圓軌道的遠地點處的速度，速度最小，v1表示做勻速圓周運動的速度，v1>v2，故A錯誤；兩個軌道上的衛星運動到A點時，所受的萬有引力產生加速度a＝，加速度相同，故B正確；橢圓軌道的半長軸與圓軌道的半徑相同，根據開普勒第三定律知，兩顆衛星的運動周期相等，則不會相遇，故D正確，C錯誤。
三、非選擇題(本題共4小題，共44分)
13．(9分)學完萬有引力定律及航天的知識后，兩位同學在探究學習時，一位同學設想可以發射一顆周期為1 h的人造環月衛星，而另一位同學表示不可能有這種衛星。這兩位同學記不住引力常量G的數值，且手邊沒有可查找的資料，但他們記得月球半徑為地球半徑的，月球表面重力加速度為地球表面重力加速度的，地球半徑約為6.4×103 km，地球表面的重力加速度約為9.8 m/s2。經過推理，他們認定不可能有周期為1 h的人造環月衛星，試寫出他們的論證方案。
解析：對環月衛星，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有＝mr，解得T＝2π ；當r＝R月時，T有最小值，又＝g月， 所以Tmin＝2π＝2π＝2π ，代入數據解得Tmin≈1.73 h；
環月衛星最小周期為1.73 h，故不可能有周期為1 h的人造環月衛星。
答案：見解析
14.(9分)量子衛星成功運行后，我國在世界上首次實現了衛星和地面之間的量子通信，成功構建了天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系。假設量子衛星軌道在赤道平面， 如圖所示。已知量子衛星的軌道半徑是地球半徑的m倍，靜止衛星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點是地球赤道上一點，求量子衛星的線速度與P點的線速度之比。
解析：設地球的半徑為R，對量子衛星，根據萬有引力提供向心力，則有G＝m，又r1＝mR，解得v1＝ ，對靜止衛星，根據萬有引力提供向心力，則有G＝m′，又r2＝nR，解得v2＝ ，
靜止衛星與P點有相同的角速度，則有ω＝＝，
解得v3＝＝ ，
則量子衛星的線速度與P點的線速度之比為
＝＝ 。
答案：
15．(11分)石墨烯是一種具有超輕超高強度的新型材料。有人設想：用石墨烯制作超級纜繩連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，利用超級纜繩承載太空電梯從地球基地向空間站運送物資。已知地球半徑為R，自轉周期為T，地球北極表面重力加速度為g0，引力常量為G。
(1)求地球的質量M；
(2)太空電梯停在距地3R的站點，求該站點處的重力加速度g的大小。
解析：(1)設質量為m0的物體在北極地面靜止，則m0g0＝G，
解得M＝。
(2)設貨物質量為m，在距地面高3R站點受到的萬有引力為F，則F＝G，貨物繞地球做勻速圓周運動，設太空電梯對貨物的支持力為N，則
F－N＝mω2·4R
N＝mg
ω＝
聯立解得g＝－。
答案：(1)　(2)－
16．(15分)宇航員駕駛宇宙飛船到達月球，他在月球表面做了一個實驗：在離月球表面高度為h處，將一小球以初速度v0水平拋出，水平射程為x。已知月球的半徑為R，引力常量為G。不考慮月球自轉的影響。求：
(1)月球表面的重力加速度大小g0 ；
(2)月球的質量M；
(3)飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運動的速度v。
解析：(1)設飛船質量為m，設小球落地時間為t，根據平拋運動規律，
水平方向：x＝v0t，
豎直方向：h＝g0t2，
解得：g0＝。
(2)在月球表面忽略月球自轉時，有＝mg0
解得月球質量 M＝。
(3)由萬有引力定律和牛頓第二定律得＝m，
解得 v＝ 。
答案：(1)　(2)　(3)
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主干知識成體系
續表
遷移交匯破疑難
　 一、天體運動中四組易混概念的比較
1．兩個半徑——天體半徑和衛星軌道半徑
(1)天體半徑R：在中學物理中通常把天體看成一個球體，天體半徑就是球的半徑，反映了天體的大小。
(2)衛星軌道半徑r：衛星繞中心天體做圓周運動的軌道圓的半徑。
[特別提醒]
當衛星貼近天體表面運動時，可近似認為r＝R。　　　　
2．三種速度——運行速度、發射速度和宇宙速度
典例1　(多選)我國“神舟十八號”載人飛船的發射過程簡化圖如圖所示：先由“長征”運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道Ⅰ，在遠地點B將飛船送入預定圓軌道Ⅱ。下列說法正確的是(　　)
A．飛船在軌道Ⅰ和Ⅱ運行時均處于超重狀態
B．飛船在軌道Ⅰ和Ⅱ運行至B處時加速度相等
C．飛船在軌道Ⅰ和Ⅱ運行的周期相等
D．飛船在軌道Ⅰ經過B處時的速度小于第一宇宙速度
[答案]　BD
答案：CD　
解析：11.2 km/s是衛星脫離地球引力束縛的發射速度，而靜止衛星仍然繞地球運動，故A錯誤；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地衛星的環繞速度，也是衛星做圓周運動最大的環繞速度，靜止衛星運動的線速度一定小于第一宇宙速度，故B錯誤；P點是橢圓軌道Ⅰ上的近地點，故衛星在P點的速度大于在Q點的速度，衛星在軌道Ⅰ上的Q點做向心運動，只有加速后才能沿軌道Ⅱ運動，故C、D正確。
答案：CD　
二、近地衛星、靜止衛星與赤道上物體的比較
[答案]　CD
答案：AD　
4．(多選)設想在赤道上建造如圖甲所示的“太空電梯”，宇航員可通過豎直的電梯直通太空站。圖乙中r為宇航員到地心的距離，R為地球半徑，曲線A為地球引力對宇航員產生的加速度大小與r的關系；直線B為宇航員由于地球自轉而產生的向心加速度大小與r的關系。關于相對地面靜止在不同高度的宇航員，下列說法正確的有 (　　)
A．隨著r增大，宇航員的線速度增大
B．圖中r0為地球靜止衛星的軌道半徑
C．宇航員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度
D．隨著r增大，宇航員感受到“重力”也增大
解析：相對地面靜止在不同高度的宇航員，地球自轉角速度不變，根據v＝ωr可知，宇航員的線速度隨著r的增大而增大，故A正確；當r＝r0時，引力加速度正好等于宇航員做圓周運動的向心加速度，即萬有引力提供做圓周運動的向心力，所以宇航員相當于衛星，此時宇航員的角速度跟地球的自轉角速度一致，可以看作是地球的靜止衛星，即r0為地球靜止衛星的軌道半徑，故B正確；宇航員在r＝R處是在地面上，除了受到萬有引力還受到地面的支持力，線速度遠小于第一宇宙速度，故C錯誤；
答案：AB
模型構建探本質
從兩個星體的位置在中心天體同側且與中心天體共線時開始計時，內側軌道的星體所轉過的圓心角與外側軌道的星體所轉過的圓心角之差：
(1)等于2π的整數倍時就是相距最近的時刻，即
ω內t－ω外t＝k·2π ，k＝1,2,3，…
(2)等于π的奇數倍時就是相距最遠的時刻，即
ω內t－ω外t＝(2k－1)·π ，k＝1,2,3，…
典例　(多選)如圖所示，有A、B兩顆行星繞同一顆恒星O做圓周運動，旋轉方向相同。A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時刻兩行星第一次相距最近，下列判斷正確的是 (　　)
[答案]　BD
答案：AD　
6．(多選)天文愛好者熟知的“土星沖日”現象是指土星和太陽正好分別處在地球的兩側，三者幾乎成一條直線。該天象每378天發生一次，土星和地球繞太陽公轉的方向相同，公轉軌道都近似為圓，地球繞太陽公轉周期和半徑以及引力常量均已知，根據以上信息可求出 (　　)
A．土星質量
B．地球質量
C．土星公轉周期
D．土星和地球繞太陽公轉速度之比
答案：CD　
創新應用提素養
一、飛船對接問題
1．低軌道飛船與高軌道空間站對接
如圖甲所示，低軌道飛船通過合理地加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。
2．同一軌道飛船與空間站對接
如圖7-7乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當控制，使飛船追上空間站時恰好具有相同的速度。
【針對訓練】
7．我國發射的天舟一號貨運飛船與天宮二號空間實驗室完成了交會對接，對接形成的組合體仍沿天宮二號原來的軌道(可視為圓軌道)運行。已知對接軌道處所處的空間存在極其稀薄的空氣，下列說法正確的是 (　　)
A．為實現對接，兩者運行速度的大小都應介于第一宇宙速度和第二宇宙 速度之間
B．如不加干預，在運行一段時間后，組合體的速率會增加
C．先讓天舟一號進入較高的軌道，然后再對其進行加速，即可實現對接
D．航天員在睡覺時處于平衡狀態
答案：B　
8．我國先發射了天宮二號空間實驗室，之后發射神舟十一號飛船與天宮二號對接。假設天宮二號與神舟十一號都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是 (　　)
A．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現對接
B．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現對接
C．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現對接
D．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現對接
解析：若使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速，則飛船將做離心運動，不能實現對接，故A錯誤；若使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速，則空間實驗室將做近心運動，不能實現對接，故B錯誤；要想實現對接，可使飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，然后飛船將進入較高的軌道，逐漸靠近空間實驗室后，兩者速度接近時實現對接，故C正確；若飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，則飛船將進入更低的軌道，不能實現對接，故D錯誤。
答案：C
二、天體運動與運動學知識的綜合
關于萬有引力定律的應用考查，也常與拋體運動綜合命題。在地球上所有只在重力作用下的運動形式：如自由落體運動、豎直上拋運動、平拋運動、斜拋運動等，其運動規律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運動的分析，要特別注意在不同的天體上重力加速度一般不同。
答案：AD　
10．2024年7月5日，搭載著天繪五號02組衛星的長征六號改運載火箭在太原衛星發射中心成功發射。若天繪五號02組衛星繞地球做勻速圓周運動，它與地心的連線在單位時間內掃過的面積為S。已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則天繪五號02組衛星的軌道半徑為(　　)
答案：B　

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