資源簡介

課時跟蹤檢測（九） 圓周運動的兩種模型和臨界問題
組—重基礎·體現綜合
1．如圖甲所示是雜技演員表演的“水流星”節目，在長為1.8 m的細繩的兩端，各系一個與水的總質量為m＝0.5 kg的盛水容器，以繩的中點為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖乙所示，若“水流星”通過最高點時的速率為3 m/s(g取10 m/s2)，則下列說法正確的是(　　)
A．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出
B．“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零
C．“水流星”通過最高點時，不受力的作用
D．“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N
解析：選B　水流星在最高點的臨界速度v＝＝3 m/s，由此知繩的拉力恰為0，且水恰不流出，故B正確。
2．冰面對溜冰運動員的最大摩擦力為運動員重力的k倍，在水平冰面上沿半徑為R的圓周滑行的運動員，其安全速度為(　　)
A．v＝k　　　　　　 B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析：選B　水平冰面對運動員的摩擦力提供他做圓周運動的向心力，運動員的安全速度v滿足kmg≥m，解得v ≤，故B正確。
3. (多選)在如圖所示光滑軌道上，小球滑下經平直部分沖上圓弧部分的最高點A時，對圓弧的壓力為mg，已知圓弧的半徑為R。則(　　)
A．在最高點A，小球受重力和向心力
B．在最高點A，小球受重力和圓弧的壓力
C．在最高點A，小球的速度為
D．在最高點A，小球的向心加速度為2g
解析：選BD　向心力是效果力，由其他力提供，故小球受向心力這種說法錯誤，A錯誤；小球受重力，并且由題意，小球沖上圓弧部分的最高點A時，對圓弧的壓力為mg，所以小球受圓弧的壓力，B正確；在最高點A，由向心力公式mg＋mg＝m解得v＝，C錯誤；在最高點A，由牛頓第二定律mg＋mg＝ma，解得a＝2g，D正確。
4.如圖所示，可視為質點的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉臺上隨轉臺一起繞固定轉軸OO′勻速轉動，木塊A、B與轉軸OO′的距離為1 m，A的質量為5 kg，B的質量為10 kg。已知A與B間的動摩擦因數為0.2，B與轉臺間的動摩擦因數為0.3，若木塊A、B與轉臺始終保持相對靜止，則轉臺角速度ω的最大值為(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2)(　　)
A．1 rad/s　　　　　　　 B. rad/s
C. rad/s D．3 rad/s
解析：選B　對A有μ1mAg≥mAω2r，對A、B整體有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入數據解得ω≤ rad/s，故B正確。
5．(多選)球A和球B可在光滑桿上無摩擦滑動，兩球用一根細繩連接，如圖所示，球A的質量是球B的兩倍，當桿以角速度ω勻速轉動時，兩球剛好保持與桿無相對滑動，那么(　　)
A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B．球A轉動的半徑是球B轉動半徑的一半
C．當A球質量增大時，球A向外運動
D．當ω增大時，球B向外運動
解析：選BC　因為桿光滑，兩球的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故A錯誤；根據F＝mω2r，mA＝2mB，rB＝2rA，故B正確；當A球質量增大時，球A向外運動，故C正確；當ω增大時，球B不動，故D錯誤。
6.如圖所示，在水平轉臺上放一個質量M＝2.0 kg的木塊，它與臺面間的最大靜摩擦力fm＝6.0 N，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉臺的中心孔O(孔光滑)懸吊一質量m＝1.0 kg的小球，當轉臺以ω＝5.0 rad/s的角速度勻速轉動時，欲使木塊相對轉臺靜止，則木塊到O孔的距離可能是(重力加速度g取10 m/s2，木塊、小球均視為質點)(　　)
A．16 cm B．5 cm
C．60 cm D．36 cm
解析：選A　木塊在水平面內轉動時，水平轉臺對木塊的支持力與木塊自身重力相平衡，拉力與水平轉臺對木塊的靜摩擦力的合力提供木塊做圓周運動的向心力。設木塊到轉臺中心的距離為R，木塊以角速度ω轉動所需向心力為Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，則此時轉臺對木塊的摩擦力為0。若R1>R，Mω2R1>mg，則轉臺對木塊的摩擦力方向沿轉臺半徑指向中心，由牛頓第二定律得f1＋mg＝Mω2R1，當f1＝fm時，R1最大。因此，木塊到轉臺中心的最大距離為R1＝＝ m＝0.32 m；若R27.如圖所示，環形車道豎直放置，半徑為6 m，若汽車在車道上以12 m/s恒定的速率運動，特技演員與汽車的總質量為1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，則(　　)
A．汽車通過最低點時，特技演員處于失重狀態
B．汽車通過最高點時對環形車道的壓力為1.4×104 N
C．汽車在環形車道上的角速度為1 rad/s
D．若要挑戰成功，汽車在最高點的速率不可能低于12 m/s的恒定速率運動
解析：選B　汽車通過最低點時，加速度方向豎直向上，特技演員處于超重狀態，故A錯誤；汽車在最高點，根據牛頓第二定律得，FN＋mg＝m，解得FN＝m－mg＝14 000 N，故B正確；汽車在環形車道上的角速度ω＝＝ rad/s＝2 rad/s，故C錯誤；要想通過最高點，臨界情況是軌道對汽車的壓力為0，根據牛頓第二定律得，mg＝m，解得v′＝＝ m/s＝2 m/s，即最小速度為2 m/s，故D錯誤。
8.如圖所示，小球m在豎直放置的內壁光滑的圓形細管內做半徑為R的圓周運動，小球過最高點速度為v，則下列說法中正確的是(　　)
A．v的最小值為v＝
B．v從減小，受到的管壁彈力也減小
C．小球通過最高點時一定受到向上的支持力
D．小球通過最低點時一定受到外管壁的向上的彈力
解析：選D　小球在管道中運動，在最高點的最小速度為零，A錯誤；當管道當對小球的彈力為零，重力提供向心力，根據mg＝m，解得v＝，當v由逐漸減小，管道對小球的彈力向上，根據牛頓第二定律得，mg－F＝m，知彈力增大，B錯誤；小球在最高點時由于速度的大小未知，故可能受到向下的彈力，也可能受到向上的彈力，C錯誤；在最低點，因為向心力指向圓心，所以重力和彈力的合力方向豎直向上，知外管壁對小球有向上的彈力作用，D正確。
9．長為0.5 m的輕桿OA繞O點在豎直面內做圓周運動，A端連著一個質量m＝2 kg的小球。求在下述的兩種情況下，通過最高點時小球對桿的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)桿做勻速圓周運動的轉速為2 r/s；
(2)桿做勻速圓周運動的轉速為0.5 r/s。
解析：小球在最高點的受力情況如圖所示。
(1)桿的轉速為2 r/s時，
ω＝2π·n＝4π rad/s，
由牛頓第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受桿的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N，
即桿對小球有138 N的拉力，由牛頓第三定律可知，小球對桿的拉力大小為138 N，方向豎直向上。
(2)桿的轉速為0.5 r/s時，ω′＝2π·n′＝π rad/s，
同理可得小球所受桿的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N，
力F′為負值表示它的方向與受力分析中所假設的方向相反，即桿對小球有10 N的向上的支持力，由牛頓第三定律可知，小球對桿的壓力大小為10 N，方向豎直向下。
答案：(1)138 N，方向豎直向上　(2)10 N，方向豎直向下
組—重應用·體現創新
10.半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示。頂部有一物體A，現給它一個水平初速度v0＝，則物體將(　　)
A．沿球面下滑至M點
B．沿球面下滑至某一點N，便離開球面做斜下拋運動
C．按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運動
D．立即離開半圓球做平拋運動
解析：選D　設在頂部物體A受到半圓球對它的作用力為F，由牛頓第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。說明物體只受重力作用，又因物體有水平初速度v0，故物體做平拋運動，故D正確。
11.(多選)如圖所示，傾角θ＝30°的斜面體C固定在水平面上，置于斜面上的物塊B通過細繩跨過光滑定滑輪(滑輪可視為質點)與小球A相連，連接物塊B的細繩與斜面平行，滑輪左側的細繩長度為L，物塊B與斜面間的動摩擦因數μ＝。開始時A、B均處于靜止狀態， B、C間恰好沒有摩擦力，現讓A在水平面內做勻速圓周運動，物塊B始終靜止，則A的角速度可能為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選ACD　開始時A、B均處于靜止狀態，B、C間恰好沒有摩擦力，則有mAg＝mBgsin θ，解得mB＝2mA。當A以最大角速度做圓周運動時，要保證B靜止，此時繩子上的拉力FT＝mBgsin θ＋μmBgcos θ＝2mAg。設A以最大角速度做圓周運動時繩子與豎直方向的夾角為α，則cos α＝＝，α＝60°，對A受力分析可知，物體A做圓周運動的半徑R＝Lsin α＝L，向心力為Fn＝FTsin α＝mAg，由向心力公式Fn＝mAω2R，代入數據解得ω＝，故角速度小于等于，A、C、D正確。
12．如圖所示，一根長0.1 m的細線，一端系著一個質量為0.18 kg的小球，拉住細線的另一端使小球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運動。當小球的角速度增大到原來的3倍時，細線斷裂，測得這時細線的拉力比原來大40 N(g取10 m/s2)。求：
(1)細線斷裂的瞬間，細線的拉力大?。?br/>(2)細線斷裂時小球運動的線速度大??；
(3)如果桌面高出地面h＝0.8 m，細線斷裂后小球垂直于桌面邊緣飛出去的落地點離桌面邊緣的水平距離s。
解析：(1)小球在光滑水平桌面上做勻速圓周運動時，細線的拉力提供向心力，有F＝mω2R，
設原來的角速度為ω0，細線的拉力為F0；當角速度為ω＝3ω0時，細線的拉力為F。
則F∶F0＝ω2∶ω02＝9∶1，
又F－F0＝40 N，
解得F＝45 N。
(2)設細線斷裂時小球的線速度為v，
由牛頓第二定律得F＝m，
解得v＝ ＝ m/s＝5 m/s。
(3)由平拋運動的規律得小球在空中運動的時間為
t＝ ＝ s＝0.4 s，
故小球落地點離桌面邊緣的水平距離
s＝vt＝5×0.4 m＝2 m。
答案：(1)45 N　(2)5 m/s　(3)2 m
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共32張PPT)
習題課一　圓周運動的兩種模型和臨界問題
綜合提能(一) 豎直平面內圓周運動的兩種模型
【知識貫通】
1．模型建立
在豎直平面內做圓周運動的物體，根據其受力特點可分為兩類：
(1)“輕繩模型”(無支撐)
小球在細繩作用下在豎直平面內做圓周運動，如圖甲所示；小球沿豎直光滑軌道內側做圓周運動，如圖乙所示，都稱為“輕繩模型”。
(2)“輕桿模型”(有支撐)
小球在輕桿作用下在豎直平面內做圓周運動，如圖甲所示；小球在豎直放置的光滑細管內做圓周運動，如圖乙所示，都稱為“輕桿模型”。
2．兩種模型對比
模型 “輕繩模型” “輕桿模型”
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于0 彈力可能向下，可能向上，也可能等于0
典例1　 如圖所示，長度為L＝0.4 m的輕繩，系一小球在
豎直平面內做圓周運動，小球的質量為m＝0.5 kg，小球半徑不計，
g取10 m/s2，求：
(1)小球剛好通過最高點時的速度大小；
(2)小球通過最高點時的速度大小為4 m/s時，繩的拉力大??；
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球速度的最大值。
典例2　 長L＝0.5 m的輕桿一端連接著一個零件A，A的質量
m＝2 kg。現讓A在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動，如圖所示。
在A通過最高點時，求下列兩種情況下A對輕桿的作用力：
(g取10 m/s2)
(1)A的速率為1 m/s。
(2)A的速率為4 m/s。
[答案]　(1)16 N，向下的壓力
(2)44 N，向上的拉力
解答豎直平面內物體的圓周運動問題的兩個關鍵
(1)確定其屬于輕“繩”模型，還是輕“桿”模型；
(2)注意區分兩者在最高點的最小速度的要求，區分繩與桿的施力特點。
【集訓提能】
1．如圖所示，某公園里的過山車駛過軌道的最高點時，乘客
在座椅里面頭朝下，人體顛倒，若軌道半徑為R，人體受
重力為mg，要使乘客經過軌道最高點時對座椅的壓力等
于自身的重力，則過山車在最高點時的速度大小為 (　　)
答案：C　
2．如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間的彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，其FN-v2圖像如圖乙所示，則
(　　)
答案：A　
3．(多選)如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，下列說法中正確的是 (　　)
A．小球通過管道最低點時，小球對管道的壓力向下
B．小球通過管道最低點時，小球對管道的壓力向上
C．小球通過管道最高點時，小球對管道的壓力可能向上
D．小球通過管道最高點時，小球對管道可能無壓力
答案：ACD
綜合提能(二)　圓周運動的臨界問題
【知識貫通】
圓周運動的臨界問題，主要涉及臨界速度與臨界力，常常與繩的拉力、接觸面的彈力和摩擦力等相關。在這類問題中，要特別注意分析物體做圓周運動所需的向心力來源，考慮達到臨界條件時物體所處的狀態，即臨界速度、臨界角速度等，然后分析該狀態下物體的受力特點，結合圓周運動知識，列方程求解。常見情況有以下幾種：
(1)與繩的彈力有關的圓周運動臨界問題。
①繩子斷與不斷的臨界條件：繩中張力等于它所能承受的最大張力；
②繩子松弛的臨界條件：繩子的張力F＝0。
(2)因靜摩擦力存在最值而產生的圓周運動臨界問題。
相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值。
(3)與接觸面有關的圓周運動臨界問題。
接觸與脫離的臨界條件：彈力FN＝0。
典例3　(2024·江蘇高考)陶瓷是以粘土為主要原料以及各種天然礦物經過粉碎、混煉、成型和煅燒制得的材料以及各種制品。如圖所示是生產陶瓷的簡化工作臺，當陶瓷勻速轉動時，臺面上掉有陶屑，陶屑與臺面間的動摩擦因數處處相同(臺面夠大)，則(　　)
A．離軸OO′越遠的陶屑質量越大
B．離軸OO′越近的陶屑質量越小
C．只有平臺邊緣有陶屑
D．離軸最遠的陶屑距離不會超過某一值
[答案]　D
典例4　如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，物塊到轉軸的距離為r，物塊和轉盤間的動摩擦因數為μ，設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g。
典例5 如圖所示，用一根長為l＝1 m的細線，一端系一質
量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體
頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞
錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為FT。
(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，結果可用根式表示)
(1)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
【集訓提能】
答案：A　
5.如圖所示，一長L＝0.4 m的輕桿，可繞通過中點O的水平軸在豎直平面內轉動，在輕桿兩端分別固定小球A、B。當A球通過最低點，B球通過最高點，且旋轉的角速度ω＝10 rad/s時，轉軸對輕桿恰好無作用力，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切摩擦和阻力，則A、B兩個小球的質量之比為(　　)
A．mA∶mB＝1∶3　　　　
B．mA∶mB＝1∶1
C．mA∶mB＝2∶3
D．mA∶mB＝9∶11
答案：A　
6． 如圖所示，內壁光滑的豎直圓桶繞中心軸做勻速圓周運動，
一物塊用細繩系著，繩的另一端系于圓桶上表面圓心，且
物塊貼著圓桶內表面隨圓桶一起轉動，則 (　　)
A．繩的拉力可能為0
B．桶對物塊的彈力不可能為0
C．若它們以更大的角速度一起轉動，則繩的張力一定增大
D．若它們以更大的角速度一起轉動，則繩的張力仍保持不變
解析：因為桶的內壁光滑，桶不能提供給物塊豎直向上的摩擦力，所以繩子的拉力一定不能等于0，故A錯誤。繩子沿豎直方向的分力與物塊重力大小相等，若繩子沿水平方向的分力恰好提供向心力，則桶對物塊的彈力為0，故B錯誤。由題圖可知，繩子與豎直方向的夾角不會隨桶的角速度的增大而增大，因此繩子的拉力也不會隨角速度的增大而增大，故C錯誤，D正確。
答案：D　

展開更多......

收起↑