資源簡介

課時跟蹤檢測（二十） 動能定理和機械能守恒定律的應用
組—重基礎·體現綜合
1．某人騎自行車下坡，坡長l＝500 m，坡高h＝8 m，人和車總質量為100 kg，下坡時初速度為4 m/s，人不踏車的情況下，到達坡底時車速為10 m/s，g取10 m/s2，則下坡過程中阻力所做的功為(　　)
A．－4 000 J　　　　　 B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
解析：選B　下坡過程中，重力做功WG＝mgh＝100×10×8 J＝8 000 J，支持力不做功，阻力做功為W，由動能定理得WG＋W＝mvt2－mv02，代入數據解得W＝－3 800 J，故B正確。　
2.如圖所示，質量為M的電梯在地板上放置一質量為m的物體，鋼索拉著電梯由靜止開始向上做加速運動，當上升高度為H時，速度達到v，則(　　)
A．地板對物體的支持力做的功等于mv2
B．地板對物體的支持力做的功等于mgH
C．鋼索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D．合力對電梯做的功等于Mv2
解析：選D　對物體由動能定理得WFN－mgH＝mv2，故WFN＝mgH＋mv2，故A、B錯誤；鋼索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，故C錯誤；由動能定理知，合力對電梯做的功應等于電梯動能的變化量Mv2，故D正確。
3.如圖所示，在輕彈簧的下端懸掛一個質量為m的小球A，若將小球A從彈簧原長位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為h。若將小球A換為質量為2m的小球B(A、B均可視為質點)，仍從彈簧原長位置由靜止釋放，已知重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球B下降h時的速度為(　　)
A. B.
C. D．0
解析：選B　對彈簧和小球A，根據機械能守恒定律得小球A下降h高度時彈簧的彈性勢能Ep＝mgh；對彈簧和小球B，當小球B下降h高度時，根據機械能守恒定律有Ep＋×2mv2＝2mgh；解得小球B下降h時的速度v＝，故B正確。
4.如圖所示，在水平臺面上的A點，一個質量為m的物體以初速度v0拋出，不計空氣阻力，以水平地面為零勢能面，則當它到達B點時的機械能為(　　)
A.mv02＋mgh B.mv02＋mgH
C．mgH－mgh D.mv02＋mg(H－h)
解析：選B　拋出的物體在不計空氣阻力的情況下滿足機械能守恒，因此物體在B點時的機械能等于A點時的機械能，選地面為零勢能面，則物體在A、B點機械能都是mv02＋mgH，故B正確。
5.如圖所示，在豎直面內固定一光滑的硬質桿ab，桿與水平面的夾角為θ，在桿的上端a處套一質量為m的圓環，圓環上系一輕彈簧，彈簧的另一端固定在與a處在同一水平線上的O點，O、b兩點處在同一豎直線上。由靜止釋放圓環后，圓環沿桿從a運動到b，在圓環運動的整個過程中，彈簧一直處于伸長狀態，則下列說法正確的是(　　)
A．圓環的機械能保持不變
B．彈簧對圓環一直做負功
C．彈簧的彈性勢能逐漸增大
D．圓環和彈簧組成的系統機械能守恒
解析：選D　由幾何關系可知，當圓環與O點的連線與桿垂直時，彈簧的長度最短，彈簧的彈性勢能最小。在圓環從a到C的過程中彈簧對圓環做正功，而從C到b的過程中彈簧對圓環做負功，圓環的機械能是變化的，故A、B錯誤；當圓環與O點的連線與桿垂直時，彈簧的長度最短，彈簧的彈性勢能最小，所以彈簧的彈性勢能先減小后增大，故C錯誤；在整個過程中只有重力和彈簧的彈力做功，圓環和彈簧組成的系統機械能守恒，故D正確。
6.一半徑為R的圓柱體水平固定，橫截面如圖所示。長度為πR、不可伸長的輕細繩，一端固定在圓柱體最高點P處，另一端系一個小球。小球位于P點右側同一水平高度的Q點時，繩剛好拉直。將小球從Q點由靜止釋放，當與圓柱體未接觸部分的細繩豎直時，小球的速度大小為(重力加速度為g，不計空氣阻力)(　　)
A. 　　　　　　　 B.
C. D．2
解析：選A　當與圓柱體未接觸部分的細繩豎直時，小球下落的高度為h＝πR－R＋R＝R，小球下落過程中，根據動能定理有mgh＝mv2，聯立以上兩式解得v＝，故A正確，B、C、D錯誤。
7.如圖所示，小球從A點以初速度v0沿粗糙斜面向上運動，到達最高點B后返回A，C為AB的中點。下列說法中正確的是(　　)
A．小球從A到B過程與從B到A過程，時間相等
B．小球從A到B過程與從B到A過程，動能變化量的大小相等
C．小球從A到C過程與從C到B過程，時間相等
D．小球從A到C過程與從C到B過程，動能變化量的大小相等
解析：選D　因斜面粗糙，小球在運動中機械能不斷減小，可知小球回到A點的速度小于v0，再由勻變速直線運動中＝可知小球在從A運動到B的過程中平均速度大于小球從B返回A的過程中的平均速度，而兩過程中位移大小相同，故運動時間不等，故A錯誤。由動能定理可知小球動能的變化量等于合外力所做的功，兩過程位移大小相同，而從A到B過程中合力FAB＝mgsin θ＋f大于返回時合力FBA＝mgsin θ－f，故小球從A運動到B的過程中合外力做功多，動能變化大，故B錯誤。小球從A到C過程中最小速度等于小球從C到B過程中的最大速度，因為小球從A到C與從C到B的兩過程中位移大小是相等的，所以運動時間不等，故C錯誤。小球在從A到C過程與從C到B過程中所受合力相等，由動能定理可知動能變化量的大小相等，故D正確。
8．如圖所示，質量、初速度大小都相同的A、B、C三個小球，在同一水平面上，A球豎直上拋，B球以傾斜角θ斜向上拋，空氣阻力不計，C球沿傾角為θ的光滑斜面上滑，它們上升的最大高度分別為hA、hB、hC，則(　　)
A．hA＝hB＝hC B．hA＝hBC．hA＝hB>hC D．hA＝hC>hB
解析：選D　A球和C球上升到最高點時速度均為0，而B球上升到最高點時仍有水平方向的速度，即仍有動能。對A、C球由機械能守恒得mgh＝mv02，得h＝。對B球，mgh′＋mv2＝mv02，得h′＝9.如圖所示，質量為m的小球用長為L的輕質細線懸于O點，與O點處于同一水平線上的P點處有一根光滑的細釘，已知OP＝，在A點給小球一個水平向左的初速度v0，發現小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點B。求：
(1)小球到達B點時的速率；
(2)若不計空氣阻力，則初速度v0；
(3)若空氣阻力不能忽略，則初速度需變為v0′＝3 時才可以恰好到達最高點B，則小球從A到B的過程中克服空氣阻力做的功。
解析：(1)小球恰能到達最高點B，則在最高點有mg＝，小球到達B點時的速率v＝ 。
(2)從A至B的過程，由機械能守恒定律得
－mg＝mv2－mv02，
解得v0＝ 。
(3)空氣阻力是變力，設小球從A到B的過程中克服空氣阻力做功為Wf，由動能定理得
－mg－Wf＝mv2－mv0′2，
解得Wf＝mgL。
答案：(1) 　(2) 　(3)mgL
組—重應用·體現創新
10．(多選)如圖甲，在蹦極者身上裝好傳感器，可測量他在不同時刻下落的高度及速度。蹦極者從蹦極臺自由下落，利用傳感器與計算機結合得到如圖乙所示的速度(v)—位移(l)圖像。蹦極者及所攜帶設備的總質量為60 kg，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列表述正確的是(　　)
A．整個下落過程，蹦極者及設備組成的系統機械能不守恒
B．從彈性繩剛伸直開始，蹦極者做減速運動
C．蹦極者動能最大時，彈性繩的拉力大小等于重力
D．彈性繩的彈性勢能最大值為15 600 J
解析：選CD　不計空氣阻力，只有重力和彈性繩彈力做功，整個下落過程中蹦極者及設備組成的系統機械能守恒，A錯誤；彈性繩剛伸直時彈性繩的拉力小于蹦極者的重力，蹦極者繼續做加速運動。當拉力等于重力時，蹦極者所受合外力為0，速度達到最大，動能達到最大。當拉力大于重力時，蹦極者開始做減速運動，到最低點時速度為0，B錯誤，C正確；從圖像可知，下落的最大高度為26 m，由E＝mgh＝60×10×26 J＝15 600 J，D正確。
11．如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個質量分別為mA＝1 kg和mB＝2 kg的可視為質點的小球A和B，兩球之間用一根長L＝0.2 m的輕桿相連，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。兩球由靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g取10 m/s2。則下列說法中正確的是(　　)
A．整個下滑過程中A球機械能守恒
B．整個下滑過程中輕桿沒有作用力
C．整個下滑過程中A球機械能的減少量為 J
D．整個下滑過程中B球機械能的增加量為 J
解析：選C　A、B兩球均在斜面上滑動的過程中，設輕桿的作用力大小為F。根據牛頓第二定律，對整體有(mA＋mB)gsin 30°＝(mA＋mB)a，對B有F＋mBgsin 30°＝mBa。聯立解得F＝0，即在斜面上滑動的過程中，只有重力對A球做功，所以A球在B球到地面之前，在斜面上運動時機械能守恒。在斜面上下滑的整個過程中，只有重力對系統做功，系統的機械能守恒，得mAg(h＋Lsin 30°)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s。在斜面上下滑的整個過程中B球機械能的增加量為ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J。根據系統的機械能守恒知，A球機械能的增加量為ΔEA＝－ΔEB＝－ J，分析可知A在斜面上、B在水平面上運動過程中輕桿有作用力，故A、B、D錯誤，C正確。
12．如圖所示，彎曲斜面與半徑為R的豎直半圓組成光滑軌道，一個質量為m的小球從高度為4R的A點由靜止釋放，經過半圓的最高點D后做平拋運動落在水平面的E點，忽略空氣阻力(重力加速度為g)，求：
(1)小球在D點時的速度vD；
(2)小球落地點E離半圓軌道最低點B的位移x；
(3)小球經過半圓軌道的C點(C點與圓心O在同一水平面)時對軌道的壓力大小。
解析：(1)小球從A到D，根據機械能守恒定律可得
mg(4R－2R)＝mvD2，整理可以得到vD＝2。
(2)小球離開D點后做平拋運動，根據平拋運動規律可知：
水平方向有x＝vDt，
豎直方向有2R＝gt2，
整理可以得到x＝4R。
(3)從A到C，根據機械能守恒定律得
mg(4R－R)＝mvC2，
在C點，根據牛頓第二定律FN＝m，
整理可以得到FN＝6mg。
由牛頓第三定律可知，小球經過半圓軌道的C點時對軌道的壓力大小為6mg。
答案：(1)2　(2)4R　(3)6mg
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習題課三　動能定理和機械能守恒定律的應用
綜合提能(一)　　動能定理與機械能守恒定律的綜合應用
【知識貫通】
機械能守恒定律和動能定理的比較
比較內容 機械能守恒定律 動能定理
表達式 E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB W＝Δek
物理意義 重力或彈力做功的過程是動能與勢能轉化的過程 合外力對物體做的功是動能變化的量度
應用范圍 只有重力或彈力做功 無條件限制
關注角度 守恒的條件和初末狀態機械能的形式及大小 動能的變化及合外力做功情況
(1)假設螺旋滑梯光滑，則小孩從B處滑出時的速度v1多大？
(2)若有人建議將該螺旋滑梯改建為傾斜直線滑梯，并保持高度差與總長度不變。已知小孩與傾斜直線滑梯間的動摩擦因數μ＝0.25，若小孩仍從頂端由靜止自然下滑，則從底端滑出時的速度v2多大？
答案：(1)0.90 m　(2)0.90 J　(3)4.0 m/s
答案：1 m
[特別提醒]
當題目不涉及中間量時，選擇全程法應用動能定理更簡單、更方便。
典例2　如圖所示，ABCD為一位于豎直平面內的軌道，其中BC水平，A點比BC高出10 m。BC長1 m，AB和CD軌道光滑且與BC平滑連接。一質量為1 kg的物體，從A點以4 m/s的速度開始運動，經過BC后滑到高出C點10.3 m的D點時速度為零，g取10 m/s2，求：
(1)物體與BC軌道間的動摩擦因數；
(2)物體第5次經過B點時的速度大小；
(3)物體最后停止的位置距B點多少米。
[答案]　(1)0.5　(2)13.3 m/s　(3)距B點0.4 m
【集訓提能】
3．(2023·廣東1月學考)(多選)如圖所示，軌道NPQ固定在豎直平面內，NP段水平且粗糙，PQ段為光滑半圓弧，半徑為R。質量為m并可視為質點的物體以初速度v從N點沿水平軌道向右運動，剛好能到達最高點Q。重力加速度為g，則下列選項正確的有(　　)
答案：BCD　
4．(2024·廣東廣州高一期末)(多選)一輛質量為m的汽車由靜止開始，以恒定功率P1從底端運動到頂端，如圖甲所示；然后汽車以恒定功率P2由靜止從頂端返回到底端，如圖乙所示。圖甲、乙中汽車行駛的最大速度都為v，已知斜面高度為h，重力加速度大小為g，汽車行駛過程中受到的摩擦力大小相等，下列說法正確的是(　　)
答案： ABD　
綜合提能(三)　　應用機械能守恒定律解決三類模型問題
【知識貫通】
1．輕繩連接的物體系統
(1)常見情景(如圖習所示)。
(2)三點提醒
①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。
②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
2．輕桿連接的物體系統
(1)常見情景(如圖所示)。
(2)三大特點
①平動時兩物體線速度大小相等，轉動時兩物體角速度相等。
②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
③對于桿和物體組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。
3．輕質彈簧連接的物體系統
(1)題型特點
由輕質彈簧連接的物體系統，一般既有重力做功，又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。
(2)兩點提醒
①對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。
②物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量往往有關聯。
[答案]　(1)2 m/s　(2)0.2 m
【集訓提能】
6. (多選)如圖所示，光滑細桿AB、AC在A點連接，AB豎直放置，
AC水平放置，兩相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB
和AC上，并用一細繩相連，細繩恰好被拉直，現由靜止釋放M、
N，在運動過程中下列說法中正確的是 (　　)
A．M球的機械能守恒
B．M球的機械能減小
C．M和N組成的系統的機械能守恒
D．繩的拉力對N做負功
答案：BC　
7．(多選)圖甲為某科技興趣小組制作的重力投石機示意圖。支架固定在水平地面上，輕桿AB可繞支架頂部水平軸OO′在豎直面內自由轉動。A端凹槽內裝有一石子，B端固定一配重。某次打靶時，將桿沿逆時針方向轉至與豎直方向成θ角后由靜止釋放，桿在配重重力作用下轉到豎直位置時石子被水平拋出。石子投向正前方豎直放置的靶，打到靶心上方的“6”環處，如圖乙所示。若要打中靶心的“10”環處，可能實現的途徑有 (　　)
A．增大石子的質量，同時減小配重的質量
B．減小投石機到靶的距離，同時增大θ角
C．增大投石機到靶的距離，同時減小θ角
D．減小投石機到靶的距離，同時增大配重的質量
答案：AC
8．(多選)如圖所示，足夠長的光滑斜面固定在水平地面上， 輕質彈簧與A、B物塊相連，A、C物塊由跨過光滑小滑輪的輕繩連接。初始時刻，C在外力作用下靜止，繩中恰好無拉力，B放置在水平面上，A靜止。現撤去外力，物塊C沿斜面向下運動，當C運動到最低點時，B對地面的壓力剛好為零。已知A、B的質量均為m，彈簧始終處于彈性限度內，則上述過程中(　　)
A．C的質量mC可能小于m
B．C的速度最大時，A的加速度為零
C．C的速度最大時，彈簧的彈性勢能最小
D．A、B、C構成的系統的機械能先變大后變小
答案：BCD

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