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第八章 機械能守恒定律
1　功與功率
物理觀念 (1)理解功的概念，掌握功的計算式。
(2)知道功是標量，理解正功、負功的含義。
(3)理解功率的概念。
科學思維 (1)知道幾個力對物體所做的總功，是各個力分別對物體做功的代數和。
(2)會運用極限思想得到瞬時功率表達式P＝Fv。
(3)能分析汽車發動機功率一定時，牽引力與速度之間的關系，并能分析、解釋實際生活中的現象。
科學態度與責任 關注生產生活中常見的機械做功的功率大小及其意義，養成分析物理過程的良好習慣。
核心素養點擊
一、功　正功和負功
1．填一填
(1)功的公式：W＝________。
(2)公式的意義：力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的_______。
(3)功是標量。
(4)功的單位：在國際單位制中，功的單位是______，簡稱____，符號是___。
Flcos α
乘積
焦耳
焦
J
(5)功的正負判斷
夾角α cos α 功W 說明
α＝ cos α＝0 W＝0 力F對物體_______
0≤α＜ cos α＞0 W＞0 力F對物體做____功
＜α≤π cos α＜0 W＜0 力F對物體做____功
(6)合力對物體所做的功：當一個物體在幾個力的共同作用下發生一段位移時，這幾個力對物體所做的總功，是各個力分別對物體所做功的_______。
不做功
正
負
代數和
2．判斷
(1)只要有力的作用，力對物體就一定做功。 ( )
(2)只有在力和位移方向相同時，力才對物體做功。 ( )
(3)力F1做的功為10 J，力F2做的功為－15 J，力F1比F2做的功多。 ( )
(4)力的方向和位移的方向不在同一條直線上時，力對物體一定做負功。 ( )
×
×
×
×
3．選一選
如圖所示，在以下所描述的情景中，關于力做功判斷正確的是(　　)
A．如圖甲所示，運動員下滑過程中，雪面的支持力做正功
B．如圖乙所示，運動員借助竿子起跳過程中，對竿子做功
C．如圖丙所示，運動員將冰壺向前推的過程中，對冰壺做正功
D．如圖丁所示，杠鈴被舉在空中時，運動員對杠鈴做正功
解析：雪面對運動員的支持力與運動方向始終垂直，做功為0，故A錯誤；運動員借助竿子起跳過程中，先壓彎竿子，后竿子向上支撐運動員，竿子對運動員做正功，故B錯誤；運動員將冰壺向前推的過程中，推力與冰壺運動方向一致，對冰壺做正功，故C正確；杠鈴被舉在空中時，在推力方向上沒有位移，不做功，故D錯誤。
答案：C　
二、功率
1．填一填
(1)物理意義：表示力對物體做功的_____。
(2)定義：力做的功W與完成這些功所用時間t之____。
(3)定義式：P＝ ____。
(4)單位：在國際單位制中，功率的單位是______，簡稱____，符號是___。
(5)功率是標量。
(6)功率與速度的關系
P＝Fv，其中F沿物體的_____方向。
①當v為平均速度時，P為平均功率。
快慢
比
瓦特
瓦
W
速度
②當v為瞬時速度時，P為瞬時功率。
③應用：由功率與速度關系式知，汽車、火車等交通工具和各種起重機械，當發動機的功率P一定時，牽引力F與速度v成_____。
(7)額定功率與實際功率
①額定功率：機械能長時間正常工作時的功率。
②實際功率：機械實際工作時的功率。
注意：機械工作時的實際功率不能長時間超過額定功率，否則容易損壞機械。
反比
2．判斷
(1)功率是描述力做功大小的物理量。 ( )
(2)功率越大，說明力做的功越快。 ( )
(3)根據P＝Fv可知，汽車牽引力大小一定與速度大小成反比。 ( )
(4)機械的實際功率有時可以大于額定功率。 ( )
×
×
√
√
提示：由P＝Fv可知，汽車在上坡時需要更大的牽引力，而發動機的額定功率是一定的，換用低速擋的目的是減小速度，從而增大牽引力。
3．想一想
汽車爬坡時，常常換用低速擋，這是為什么？
主題探究(一)　　功的理解與計算
[問題驅動]
觀察圖中的情景，思考下列問題：
(1)圖甲中，運動員對杠鈴有沒有做功？
(2)圖乙中，人對水桶有沒有做功？
(3)圖丙中，人對拖把有沒有做功？
提示：(1)杠鈴不動，運動員對杠鈴不做功。
(2)人對水桶的力豎直向上，水桶水平移動，人對水桶沒有做功。
(3)人對拖把用力，拖把在力的方向發生了位移，人對拖把做了功。
【重難釋解】
1．對做功概念的理解
(1)做功的兩個必要的因素：
①作用在物體上的力。
②物體在力的方向上發生的位移。
(2)功是過程量：功總是與一個具體的過程相對應，要明確是哪個力(或幾個力)對哪個物體在哪個過程中所做的功。
2．功的公式W＝Flcos α的理解
(1)適用條件：公式中的F必須是恒力，公式W＝ Flcos α不適用于變力做功的計算。
(2)F與l、α必須是對應于同一過程的量。
3．正功和負功的意義
[答案]　(1)160 J　(2)－136 J　(3)0　(4)0　(5)24 J
注意：第二種方法適用范圍更廣。
【素養訓練】
1．如圖所示，質量為m的小車在與豎直方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左運動一段距離L，車與地面之間的動摩擦因數為μ。下列說法正確 的是 (　　)
A．拉力對小車做功FL
B．拉力對小車做功為FLsin α
C．摩擦力對小車做功為－μmgL
D．重力對小車做功為mgL
解析：拉力對小車做功為W＝FLsin α，A錯誤，B正確；摩擦力對小車做功為－FfL＝－μFNL＝－μ(mg－Fcos α)L，C錯誤；在重力方向小車沒有位移，則重力對小車做功為零，D錯誤。
答案：B　
2．起重機以1 m/s2的加速度，將質量為100 kg的貨物由靜止勻加速向上提升，g取10 m/s2，則第1 s內起重機對貨物做功為 (　　)
A．500 J　　　 　　　　　 B．550 J
C．1 000 J D．1 100 J
答案：B
3．如圖所示，質量分別為M和m的兩物塊A、B(均可視為質點，且M>m)分別在同樣大小的恒力作用下，沿水平面由靜止開始做直線運動，兩力與水平面的夾角相同，兩物塊經過的位移相同。設此過程中F1對A做的功為W1，F2對B做的功為W2，則 (　　)
A．無論水平面光滑與否，都有W1＝W2
B．若水平面光滑，則W1>W2
C．若水平面粗糙，則W1>W2
D．若水平面粗糙，則W1答案：A　
主題探究(二)　　功率的理解與計算
[問題驅動]
如圖所示，建筑塔吊正在將貨物從地面運送到高處。
(1)塔吊將質量為m的貨物以速度v勻速吊起，貨物在t時間內勻速上升高度為h。怎樣計算塔吊的平均功率？其瞬時功率是多少？
(2)若貨物在時間t內，從靜止開始以加速度a勻加速上升高度h時，該過程中塔吊的平均功率是多少？其瞬時功率是多少？
(1)前2 s內重力的平均功率；
[答案]　(1)960 W　(2)1 920 W
答案：D　
5．(多選)“高空拋物”一直被稱為懸在城市頭頂上的痛，尤其是人為的高空拋物，更給公共安全帶來極大的危害性。最高人民法院發布《關于依法妥善審理高空拋物、墜物案件的意見》，對于故意高空拋物的，根據具體情形 進行處罰。如圖所示，若從七樓陽臺約20 m高處，將一質量為1 kg 的花盆水平推出，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列說法正確的 是 (　　)
A．前1 s內重力的平均功率為50 W
B．整個過程中重力的平均功率為200 W
C．落到地面上時，重力的瞬時功率為200 W
D．落到地面上時，重力的瞬時功率為100 W
答案：AC
6．假設飛機在水平跑道上的滑跑是初速度為0的勻加速直線運動，當飛機位移x＝1.6×103 m時才能達到起飛所要求的速度v＝80 m/s。已知飛機質量m＝7.0×104 kg，滑跑時受到的阻力為自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2。求飛機滑跑過程中：
(1)加速度a的大小；
(2)牽引力的平均功率P。
解析：(1)飛機做初速度為0的勻加速直線運動，有
v2＝2ax①
代入數據解得a＝2 m/s2。②
(2)飛機受到的阻力F阻＝0.1mg③
答案：(1)2 m/s2　(2)8.4×106 W
主題探究(三)　　機車啟動問題
[問題驅動]
汽車在水平路面上啟動，假設路面的阻力一定，汽車啟動方式有兩種：①以恒定的功率啟動；②以恒定的加速度啟動。請思考：
(3)汽車勻加速啟動的過程能否一直持續下去？
【重難釋解】
兩種啟動方式的過程分析(條件：水平路面，阻力一定)
續表
典例3　一列火車總質量m＝500 t，發動機的額定功率P＝6×105 W，在軌道上行駛時，軌道對火車的阻力Ff是火車重力的 。(g取10 m/s2)
(1)求火車在水平軌道上行駛的最大速度；
(2)在水平軌道上，發動機以額定功率P工作，求當火車行駛速度為v1＝1 m/s和v2＝10 m/s時，火車的瞬時加速度a1、a2的大小；
(3)若火車從靜止開始，保持0.5 m/s2的加速度做勻加速直線運動，求這一過程維持的最長時間。
[答案]　(1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　0.02 m/s2　(3)4 s
[遷移·發散]
[討論]　火車在水平直軌道上以36 km/h的速度勻速行駛時，求發動機的實際功率P′。
答案：5×105 W
[變式]　如圖所示為修建高層建筑常用的塔式起重機。在起重機將質量m＝5×103 kg的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度a＝0.2 m/s2，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做vm＝1.02 m/s 的勻速運動。g取10 m/s2，不計額外功。求：
(1)起重機允許輸出的最大功率；
(2)重物做勻加速直線運動所經歷的時間和起重機在第2秒末的輸出功率。
答案：(1)5.1×104 W　(2)5 s　2.04×104 W
答案：C
答案：C　
9．目前，上海有若干輛超級電容車試運行，運行中無需連接電纜，只需在乘客上車間隙充電30秒到1分鐘，就能行駛3到5千米。現有一輛超級電容車，質量m＝2×103 kg，額定功率P＝60 kW，假設該超級電容車啟動時與機動車啟動模式相同，它在平直水平路面上行駛時，受到的阻力Ff是車重的 ，g取10 m/s2。
(1)超級電容車在此路面上行駛所能達到的最大速度是多少？
(2)若超級電容車從靜止開始，保持以0.5 m/s2的加速度做勻加速直線運動，這一過程中牽引力為多大？能維持多長時間？
答案：(1)30 m/s　(2)3 000 N　40 s
答案：B　
答案：6 J
A．60 W B．120 W
C．180 W D．540 W
答案：A　
答案：C　
3．生活中有一種健身的“蹦床運動”，是目前一種流行的燃脂訓練運動，燃脂效果相當于動感單車，卻比動感單車安全。蹦床運動要求運動員在一張繃緊的彈性網上蹦起、騰空并做空中動作。利用傳感器記錄彈性網受到的壓力并在計算機上作出壓力(F)－時間(t)的圖像，如圖乙所示：
答案：(1)見解析　(2)4 000 W課時跟蹤檢測（十六） 功與功率
組—重基礎·體現綜合
1．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．功是矢量，正、負表示方向
B．功是標量，正、負表示外力對物體做功還是物體克服外力做功
C．力對物體做正功還是做負功，取決于力和位移的方向關系
D．力做功總是在某過程中完成的，所以功是一個過程量
解析：選BCD　功有正、負之分，但功是標量，故A錯誤，B正確；由W＝Flcos α可知力對物體做正功還是負功主要取決于力和位移的方向關系，故C正確；力做功總是在某過程中完成的，所以功是一個過程量，故D正確。
2．(多選)質量為3 kg的物體，從高45 m處自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的過程中(　　)
A．前2 s內重力做功的功率為300 W
B．前2 s內重力做功的功率為675 W
C．第2 s末重力做功的功率為600 W
D．第2 s末重力做功的功率為900 W
解析：選AC　前2 s物體下落高度h＝gt2＝20 m，前2 s內重力做功的功率P1＝＝ W＝300 W，A正確，B錯誤；2 s末物體的速度v＝gt＝20 m/s，此時重力的功率P2＝mgv＝600 W，C正確，D錯誤。
3.某款新能源汽車正在進行爬坡實驗，速度的大小為v，如圖所示。保持發動機輸出功率不變，為使牽引力變為原來的2倍，速度的大小應變為(　　)
A．0.25v　　　　　　 B．0.5v
C．2v D．4v
解析：選B　設汽車牽引力為F，由功率的公式P＝Fv，發動機功率不變，為使牽引力變為原來的2倍，F′＝2F，v′＝＝，所以速度大小應變為0.5v，B正確。
4．(2024·海南高考)神舟十七號載人飛船返回艙于2024年4月30日在東風著陸場成功著陸，在飛船返回至離地面十幾千米時打開主傘，飛船快速減速，返回艙速度大大減小，在減速過程中(　　)
A．返回艙處于超重狀態
B．返回艙處于失重狀態
C．主傘的拉力不做功
D．重力對返回艙做負功
解析：選A　返回艙在減速過程中，加速度豎直向上，處于超重狀態，故A正確，B錯誤；主傘的拉力與返回艙運動方向相反，對返回艙做負功，故C錯誤；返回艙所受重力與返回艙運動方向相同，重力對返回艙做正功，故D錯誤。
5．質量為1.5×103 kg的汽車在水平路面上勻速行駛，速度為20 m/s，受到的阻力大小為1.8×103 N。此時，汽車發動機輸出的實際功率是(　　)
A．90 W　　　　　　　　 B．30 kW
C．36 kW D．300 kW
解析：選C　根據汽車做勻速直線運動可得此時汽車的牽引力等于阻力，即F＝f＝1.8×103 N，此時汽車發動機的實際輸出功率即瞬時功率，根據P＝Fv，代入數據解得此時汽車發動機的實際輸出功率為36 kW，故A、B、D錯誤，C正確。
6.高二某同學參加引體向上體能測試，如圖所示，在20 s內完成10次標準動作，每次引體向上的高度約為50 cm，則此過程中該同學克服重力做功的平均功率最接近于(g取10 m/s2)(　　)
A．0　　　　　　　　 B．150 W
C．450 W D．750 W
解析：選B　該同學的質量約為60 kg，引體向上的高度為50 cm，該同學做功的平均功率為P＝＝n＝150 W，故B正確。
7．(多選)質量為m的物體靜止在光滑水平面上，從t＝0時刻開始受到水平力的作用。力的大小F與時間t的關系如圖所示，力的方向保持不變，則(　　)
A．3t0時刻的瞬時功率為
B．3t0時刻的瞬時功率為
C．在t＝0到3t0這段時間內，水平力的平均功率為
D．在t＝0到3t0這段時間內，水平力的平均功率為
解析：選AC　由于物體在光滑水平面上只受力F作用，故物體做勻加速直線運動；在0～2t0，其加速度大小a1＝，根據勻加速直線運動的速度公式可得2t0時刻的速度大小v1＝a1(2t0)＝；在2t0～3t0，其加速度大小為a2＝，由勻加速直線運動的速度公式可得3t0時刻的速度大小v2＝v1＋a2t0＝；利用瞬時功率的公式求出3t0時刻的力的瞬時功率P1＝2F0×v2＝，故A正確，B錯誤。根據動能定理有W＝mv22－0，得出全過程外力做功為W＝；由功率的定義式可求出這一段時間內水平力的平均功率＝＝，故C正確，D錯誤。
8.如圖所示是小孩滑滑梯的情景，假設滑梯是固定光滑斜面，傾角為30°，小孩質量為m，由靜止開始沿滑梯下滑，滑行距離為s時，重力的瞬時功率為(重力加速度為g)(　　)
A．mg B.mg
C．mg D.mg
解析：選B　小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得，小孩滑行距離為s時的速率v＝，故此時重力的瞬時功率P＝mgvsin 30°＝mg，B正確。
9．(2023·湖北高考)兩節動車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達到的最大速度分別為v1和v2。現將它們編成動車組，設每節動車運行時受到的阻力在編組前后不變，則該動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：選D　由題意可知，兩節動車編組前分別有P1＝f1v1，P2＝f2v2，當將它們編組后有P1＋P2＝(f1＋f2)v，聯立可得v＝，故選D。
10.拖把由拖桿和拖把頭構成，如圖所示。設拖把的質量為m，拖把頭與地板之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，某同學用這種拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向施加一力來推拖把。若拖桿與豎直方向的夾角為θ，拖把頭在地板上沿直線勻速向前移動距離s，求：
(1)推拖把的力做的功。
(2)摩擦力對拖把頭做的功。
解析：(1)對拖把進行受力分析，如圖所示
水平方向Fsin θ＝f，
豎直方向N＝Fcos θ＋mg，且f＝μN，
根據功的定義，推拖把的力F做的功WF＝Fssin θ＝。
(2)摩擦力f對拖把頭做功
Wf＝fs·cos 180°＝－Fsin θ·s＝－。
答案：(1)　(2)－
組—重應用·體現創新
11.一汽車在平直公路上行駛，從某時刻開始計時，發動機的功率P隨時間t的變化如圖所示。假定汽車所受阻力的大小f恒定不變。下列描述該汽車的速度v隨時間t變化的圖線中，可能正確的是(　　)
解析：選A　由P-t圖像知：0～t1，汽車以恒定功率P1行駛，t1～t2，汽車以恒定功率P2行駛。設汽車所受牽引力為F，則由P＝Fv得，當v增加時，F減小，由a＝知，a減小，而速度不可能突變，故B、C、D錯誤，A正確。
12．如圖甲所示，滑輪質量、摩擦均不計，質量為2 kg的物體在恒力F作用下由靜止開始向上做勻加速運動，其速度隨時間的變化關系如圖乙所示，由此可知(g取10 m/s2)(　　)
A．物體加速度大小為2 m/s2
B．F的大小為21 N
C．2 s末F的功率大小為42 W
D．2 s內F做功的平均功率為42 W
解析：選A　速度—時間圖線的斜率表示加速度，則物體的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故A正確；根據牛頓第二定律得2F－mg＝ma，則F＝＝ N＝12 N，故B錯誤；2 s末物體的速度為4 m/s，則拉力作用點的速度為8 m/s，拉力的功率P＝Fv＝12×8 W＝96 W，故C錯誤；2 s內物體的位移x＝×2×22 m＝4 m，則拉力作用點的位移s＝8 m，拉力平均功率P＝＝ W＝48 W，故D錯誤。
13.一輛汽車質量為1×103 kg，最大功率為2×104 W，在水平路面上由靜止開始做直線運動，最大速度為v2，運動中汽車所受阻力恒定。發動機的最大牽引力為3×103 N，其行駛過程中牽引力F與車速的倒數的關系如圖所示。試求：
(1)根據圖線ABC判斷汽車做什么運動；
(2)最大速度v2的大小；
(3)整個運動過程中的最大加速度大小；
(4)勻加速運動過程的最大速度是多大？勻加速運動過程用時多長？當汽車的速度為10 m/s時發動機的功率為多大？
解析：(1)由題圖可知，在AB段汽車的牽引力不變，而水平方向的阻力恒定，根據牛頓第二定律可知，汽車做加速度不變的加速運動。在BC段汽車的牽引力減小，根據牛頓第二定律可知，汽車做加速度減小的加速運動，此過程中BC的斜率不變，斜率k＝＝Fv＝P保持不變，所以BC段是以恒定的功率加速。
(2)當汽車的速度為最大速度v2時，
牽引力為F1＝1×103 N，
v2＝＝ m/s＝20 m/s，
故v2的大小為20 m/s。
(3)汽車做勻加速直線運動時的加速度最大，
阻力F阻＝＝ N＝1 000 N，
加速度為a＝＝2 m/s2，
故整個運動過程中最大加速度大小為2 m/s2。
(4)勻加速運動的最大速度即與B點對應的速度v1＝＝ m/s≈6.67 m/s，
故勻加速運動過程所用時間t＝≈3.33 s。
當汽車的速度為10 m/s時處于圖線BC段，
故此時的功率為最大功率Pmax＝2×104 W。
答案：(1)見解析　(2)20 m/s　(3)2 m/s2
(4)6.67 m/s　3.33 s　2×104 W
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