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第4講　機械能守恒定律
如圖所示是運動員投擲鉛球的動作,忽略鉛球所受空氣的阻力。 (1)鉛球在空中運動過程中,機械能是否守恒 (2)若鉛球被拋出時速度大小一定,鉛球落地時的速度大小與運動員將鉛球拋出的方向有關嗎 (3)在求解鉛球落地的速度大小時,可以考慮應用什么規律
[footnoteRef:1] [1:
【答案】 機械能　mgh　地球　有關　無關　減小　增大　減小
彈性形變　減少　增加　動能　勢能　保持不變　重力　彈力]
(多選)如圖所示,將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上,槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)?，F讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落,從A點與半圓形槽相切進入槽內,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小球在半圓形槽內運動的全過程中,只有重力對它做功
[B] 小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中,小球的機械能守恒
[C] 小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中,小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒
[D] 小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中,小球的機械能守恒
【答案】 BC
考點一　機械能守恒的判斷
機械能是否守恒的判斷方法
[例1] 【單物體機械能守恒的判斷】 (2024·貴州畢節三模)一小朋友用彈力發射玩具斜向上發射彈力球,另一小朋友在與發射點等高處成功把球接住。不計空氣阻力,彈力球在空中運動的過程(　　)
[A] 機械能守恒
[B] 在最高處動能為零
[C] 機械能先增加后減少
[D] 重力的瞬時功率不變
【答案】 A
【解析】 不計空氣阻力,彈力球在空中運動的過程,只有重力做功,機械能守恒,保持不變,故A正確,C錯誤;彈力球在最高處,水平方向的速度不為零,故在最高處動能不為零,故B錯誤;重力的瞬時功率為P=mgvy,彈力球在空中運動的過程,豎直方向的速度先減小后增大,重力的瞬時功率先減小后增大,故D錯誤。
[例2] 【多物體機械能守恒的判斷】 (多選)下列幾種情況中(忽略空氣阻力),系統的機械能守恒的是(　　)
[A] 圖甲中與彈簧連接的小鋼球向下擺動
[B] 圖乙中運動員在蹦床上越跳越高
[C] 圖丙中小車上放一木塊,小車的左側有彈簧與墻壁相連,小車在左右運動時(車輪與地面摩擦不計),木塊相對于小車無滑動
[D] 圖丁中輕桿兩端質量不等的兩球繞光滑O軸轉動
【答案】 ACD
【解析】 題圖甲中小鋼球和彈簧組成的系統只有重力和彈簧彈力做功,系統機械能守恒,A正確;題圖乙中運動員越跳越高,表明他自身的力不斷做功,不單是只有重力和彈力做功,系統機械能不守恒,B錯誤;題圖丙中小車和木塊間是靜摩擦力,其總功為零,系統中只有彈簧的彈力做功,系統機械能守恒,C正確;題圖丁中輕桿兩端質量不等的兩球繞光滑O軸轉動,輕桿對兩球做功的代數和為零,只有兩球重力做功,系統機械能守恒,D正確。
[提升] 【連接體運動模型分析】 如圖所示,斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上。現將一小球從圖示位置由靜止釋放,不計一切摩擦,則在小球從釋放到落至地面的過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 斜劈對小球的彈力不做功
[B] 斜劈與小球組成的系統機械能守恒
[C] 斜劈的機械能守恒
[D] 小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量
【答案】 B
【解析】 不計一切摩擦,小球下滑時,小球和斜劈組成的系統沒有機械能之外的其他形式的能產生,系統機械能守恒,可知小球減少的重力勢能轉化為小球和斜劈的動能,選項B正確,D錯誤;斜劈和小球之間的彈力與它們的位移并不垂直,故彈力對小球、斜劈均做功,斜劈的機械能不守恒,選項A、C錯誤。
(1)系統的機械能守恒時,其中的單個物體機械能一般不守恒。
(2)機械能守恒的條件絕不是合力做的功等于零,更不是合力等于零,而是看是否只有重力或系統內的彈力做功。
(3)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況,除非題目特別說明,機械能一般不守恒。
考點二　單物體機械能守恒定律的應用
1.機械能守恒定律表達式
說明:單個物體應用機械能守恒定律時選用守恒觀點或轉化觀點進行列式。
2.應用機械能守恒定律解題的一般步驟
[例3] 【單物體單過程機械能守恒】 (2024·全國甲卷,17)如圖,一光滑大圓環固定在豎直平面內,質量為m的小環套在大圓環上,小環從靜止開始由大圓環頂端經Q點自由下滑至其底部,Q為豎直線與大圓環的切點。則小環下滑過程中對大圓環的作用力大小(　　)
[A] 在Q點最大 [B] 在Q點最小
[C] 先減小后增大 [D] 先增大后減小
【答案】 C
【解析】 設大圓環半徑為R,小環所在位置與圓心的連線和豎直方向夾角為θ,大圓環對小環的作用力剛好為零時,受力分析如圖所示,由牛頓第二定律得mgcos θ=m,根據機械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=mv2,聯立解得cos θ=,根據牛頓第三定律,綜合上述分析可知小環運動到Q點時對大圓環的作用力不是最小,B錯誤;設大圓環對小環的作用力大小為F,大圓環對小環的作用力剛好為零時小環處于A點,到達A點前,由牛頓第二定律得mgcos θ1-F1=m,根據機械能守恒定律得mgR(1-cos θ1)=m,聯立解得F1=(3cos θ1-2)mg,θ1增大,F1減小;從A點到Q點,由牛頓第二定律有mgcos θ2+F2=m,根據機械能守恒定律有mgR(1-cos θ2)=m,聯立解得F2=(2-3cos θ2)mg,θ2增大,F2增大;從Q到最低點的過程中,由牛頓第二定律有F3-mgcos θ3=m,根據機械能守恒定律有mgR(1+cos θ3)=m,聯立解得F3=(2+3cos θ3)mg,θ3減小,F3增大,根據牛頓第三定律可知,Q點不是小環對大圓環作用力最大的點,小環自頂端下滑至底部過程中對大圓環的作用力先減小后增大,C正確,A、D錯誤。
[例4] 【單物體多過程機械能守恒】 (2024·福建泉州模擬)滑板運動是一種陸地上的“沖浪運動”,如圖是模擬的滑板組合滑行軌道,該軌道由足夠長的斜直軌道、凹形圓弧軌道和半徑R=1.6 m的凸形圓弧軌道組成,這三部分軌道處于同一豎直平面內且依次平滑連接,其中M點為凹形圓弧軌道的最低點,N點在凸形圓弧軌道的圓心O點正上方,O點與M點處在同一水平面上,一質量為m=1 kg可看作質點的滑板,從斜直軌道上的P點無初速度滑下,經過M點滑向N點,最終落在地面的K點。P點距M點所在水平面的高度h=1.8 m,不計一切阻力,g取 10 m/s2。
(1)滑板滑到M點時的速度多大
(2)滑板滑到N點時對軌道的壓力多大
(3)滑出點N和落地點K的水平距離。
【答案】 (1)6 m/s　(2)7.5 N　(3) m
【解析】 (1)以地面為參考平面,對滑板從P到M過程,由機械能守恒定律,得mgh=m,
解得vM=6 m/s,
即滑板滑到M點時的速度大小為6 m/s。
(2)滑板從P到N的過程,由機械能守恒定律得mg(h-R)=m,
解得vN=2 m/s,
滑板在N點時,由重力和支持力的合力提供向心力,有mg-FN=m,
聯立解得FN=7.5 N,
根據牛頓第三定律可知,滑板滑到N點時對軌道的壓力大小為7.5 N。
(3)滑板從N點滑出后,在空中做平拋運動,可得xNK=vNt,R=gt2,
解得xNK= m。
考點三　多物體系統機械能守恒定律的應用
1.解決多物體系統機械能守恒的注意點
(1)對多個物體組成的系統,要注意判斷物體運動過程中系統的機械能是否守恒。一般情況下不計空氣阻力和一切摩擦,系統的機械能守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
(3)列機械能守恒方程時,一般選用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
2.幾種實際情境的分析
(1)速率相等情境。
注意分析各個物體在豎直方向的高度變化。
(2)角速度相等情境。
①桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向,桿能對物體做功,單個物體機械能不守恒。
②由v=ωr知,v與r成正比。
(3)某一方向分速度相等情境(關聯速度情境)。
兩物體速度的關聯實質:沿繩(或沿桿)方向的分速度大小相等。
[例5] 【共速率機械能守恒】 (2022·河北卷,9)(多選)如圖,輕質定滑輪固定在天花板上,物體P和Q用不可伸長的輕繩相連,懸掛在定滑輪上,質量mQ>mP,t=0時刻將兩物體由靜止釋放,物體Q的加速度大小為。T時刻輕繩突然斷開,物體P能夠達到的最高點恰與物體Q釋放位置處于同一高度,取t=0時刻物體P所在水平面為零勢能面,此時物體Q的機械能為E。重力加速度大小為g,不計摩擦和空氣阻力,兩物體均可視為質點。下列說法正確的是(　　)
[A] 物體P和Q的質量之比為1∶3
[B] 2T時刻物體Q的機械能為
[C] 2T時刻物體P重力的功率為
[D] 2T時刻物體P的速度大小為
【答案】 BCD
【解析】 開始釋放時,對Q有mQg-FT=mQ·,對P有FT-mPg=mP·,解得FT=mQg,=,A錯誤;在T時刻,兩物體的速度v1=,P上升的距離h1=×T2=,輕繩斷后P能上升的高度h2==,可知開始時P、Q距離為h=h1+h2=,則開始時Q的機械能為E=mQgh=,0～T內繩子拉力對Q做負功,WT=-FTh1=-,則T時刻Q的機械能E′=E-=,此后物體Q的機械能守恒,則在2T時刻物體Q的機械能仍為,B正確;在2T時刻,物體P的速度v2=v1-gT=-,負號表示方向向下,此時物體P重力的功率PG=mPg|v2|=·==,C、D正確。
[例6] 【共角速度機械能守恒】 (2024·廣西柳州三模)(多選)可視為質點的相同小球a、b分別被套在剛性輕桿上,其中a在輕桿中點位置,b在輕桿一端,兩球相對于桿固定不動,輕桿的另一端可繞固定點O自由轉動。當裝置在豎直平面內由水平位置靜止釋放,不計一切摩擦。輕桿轉到圖示位置時,下列說法正確的是(　　)
[A] b球加速度是a球加速度的兩倍
[B] b球角速度是a球角速度的兩倍
[C] a球機械能守恒,b球機械能不守恒
[D] 輕桿對a球做負功,對b球做正功
【答案】 AD
【解析】 兩球繞同一軸轉動,則角速度相等,根據a=ω2r,rb=2ra,可知b球加速度是a球加速度的兩倍,選項A正確,B錯誤;兩球組成的系統機械能守恒,但是a球和b球機械能都不守恒,選項C錯誤;當兩球到達題圖所示位置時,設a球的線速度為v,則b球的線速度為2v,設O、b之間的距離為2L,由系統機械能守恒可知mgLsin θ+mg·2Lsin θ=mv2+m(2v)2,解得v=,由動能定理,對a球,有Wa+mgLsin θ=mv2,解得Wa=-mgLsin θ,對b球,有Wb+2mgLsin θ=m(2v)2,解得Wb=mgLsin θ,即輕桿對a球做負功,對b球做正功,選項D正確。
[例7] 【關聯速度機械能守恒】 (2024·四川成都二模)(多選)如圖,半徑為R的固定光滑圓軌道豎直放置,套在軌道上質量均為m的小球A和B(均可視為質點)用一根長為 R的輕桿連接。將A置于軌道最低點并由靜止釋放,重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 小球A、B與輕桿組成的系統機械能守恒
[B] 小球A、B與輕桿組成的系統動量守恒
[C] 小球A、B等高時,A球的速率為
[D] 從釋放到小球A、B等高的過程中,桿對B球做功為-0.5mgR
【答案】 AD
【解析】 小球A、B與輕桿組成的系統,只有動能和重力勢能相互轉化,故機械能守恒,故A正確;小球A、B與輕桿組成的系統,所受合力不為零,故動量不守恒,故B錯誤;由幾何關系知,小球A、B等高時,小球A上升高度為(1-)R,小球B下降高度為R,根據桿連物體沿桿方向速度相等的關系知,此時小球A、B的速度大小關系有vAsin 45°=vBcos 45°,解得vA=vB,以圓軌道最低點所在水平面為重力勢能的參考平面,初始時,系統的機械能E1=mgR,A、B等高時,有E2=2mg(1-)R+m×2,系統機械能守恒,故有E1=E2,聯立解得vA=,故C錯誤;從釋放到小球A、B等高的過程中,根據功能關系,桿對B球做功為W=m-mg·R=-0.5mgR,故D正確。
(滿分:50分)
對點1.機械能守恒的判斷
1.(4分)下列說法正確的是(　　)
[A] 如圖甲所示物塊在光滑水平面上壓縮彈簧的過程中,物塊的機械能守恒
[B] 如圖乙所示外力作用拉直輕繩使小球靜止于圖示位置,現釋放小球,從釋放開始運動至最低點A的過程中,小球的機械能守恒
[C] 如圖丙所示物體沿固定的光滑斜面向上做減速運動的過程中,物體的機械能守恒
[D] 如圖丁所示不計一切阻力,已知mB>mA,從靜止釋放B球到B球落地前的過程中,B球減少的重力勢能等于A球增加的機械能
2.(4分)(2024·江蘇連云港一模)如圖所示為背越式跳高過程的動作分解圖,下列說法正確的是(　　)
[A] 起跳時,地面對人的作用力大于人對地面的作用力
[B] 起跳速度越大,地面對人做功越多
[C] 起跳速度越大,人在最高點機械能越大
[D] 起跳速度越大,人在最高點重力的瞬時功率越大
對點2.單物體機械能守恒定律的應用
3.(4分)(2024·山東濰坊一模)如圖所示,一半徑為R的光滑大圓環豎直固定在水平面上,其上套一小環,a、b為圓環上關于豎直直徑對稱的兩點,將a點下方圓環拆走,若小環從大圓環的最高點c由靜止開始下滑,當小環滑到b點時,恰好對大圓環無作用力。已知重力加速度大小為g,若讓小環從最高點c由靜止下滑并從a點滑離。小環落地時的水平速度大小為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
對點3.多物體系統機械能守恒定律的應用
4.(4分)質量不計的直角支架兩端分別連接質量為2m的小球A和質量為3m的小球B,支架的兩直角邊長度分別為L和 ,支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動,如圖所示,開始時OA邊水平。現將小球A由靜止釋放,重力加速度為g,則(　　)
[A] 小球A到達最低點時的速度大小為
[B] 當OA與水平方向夾角為37°時,小球A、B速度達到最大
[C] 小球B最大速度為
[D] 小球A到達最低點的過程中,桿對小球A所做的功為
5.(8分)(2024·河北衡水期末)如圖所示,將內壁光滑的細管彎成四分之三圓形軌道(圓心為O)并豎直固定,軌道半徑為R,細管內徑遠小于R。輕繩穿過細管連接小球A和重物B,小球A的質量為m,直徑略小于細管內徑,用手托住重物B使小球A靜止在Q點(OQ與豎直直徑的夾角為53°);松手后,小球A運動至P點(OP與豎直直徑的夾角為37°)時對細管恰無作用力。重力加速度為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3,求:
(1)小球A靜止在Q點時對細管壁的壓力大小FN;
(2)重物B的質量M。
6.(4分)(2024·江蘇南京階段練習)如圖所示,豎直固定的光滑直桿上套有一個質量為m的小球,初始時靜置于a點。一原長為l的輕質彈簧左端固定在O點,右端與小球相連。直桿上還有b、c、d三點,且b與O在同一水平線上,Ob=l,Oa、Oc與Ob夾角均為37°,Od與Ob夾角為53°。現釋放小球,小球從a點開始下滑,到達d點時速度為0,在此過程中彈簧始終處于彈性限度內,則下列說法正確的是(重力加速度為g,取sin 37°=0.6)(　　)
[A] 小球在b點時加速度最大
[B] 小球從a點下滑到d點的過程中,小球的機械能守恒
[C] 小球在c點的速度大小為
[D] 小球從c點下滑到d點的過程中,彈簧的彈性勢能增加了mgl
7.(6分)(2024·廣西柳州三模)(多選)如圖所示,一小球用輕質細線懸掛在木板的支架上,分別沿傾角為θ的兩個固定斜面下滑,圖甲中細線保持豎直,圖乙中細線保持垂直斜面。在木板下滑的過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 圖甲中木板與斜面間的動摩擦因數μ=tan θ
[B] 圖甲中木板(包括支架)與小球組成的系統機械能守恒
[C] 圖乙中木板與斜面間的動摩擦因數μ=tan θ
[D] 圖乙中木板(包括支架)與小球組成的系統機械能守恒
8.(4分)(2024·江蘇五?？记澳M)在某工廠里,為防止發生意外爆炸,化學藥品必須同時加入容器中。某同學設計了如圖所示的裝置,在輕質滑輪組上,用輕繩連接的三個物體a、b、c在外力作用下均保持靜止。撤去外力后,a、b以相同加速度下落,同時落入容器P中。不計一切阻力,在a、b落入P前的運動過程中(　　)
[A] a、c位移大小之比為1∶2
[B] b、c加速度大小之比為1∶2
[C] a、c構成的系統機械能守恒
[D] c增加的機械能等于a減小的機械能的1.5倍
9.(12分)(2024·江蘇蘇州三模)如圖所示,一半徑為R的光滑硬質圓環固定在豎直平面內與光滑足夠長的水平桿相連,在圓環最高點的豎直切線和最低點的水平切線的交點處固定一光滑輕質小滑輪C,質量為m的小球A穿在環上,且可以自由滑動,小球A通過足夠長的不可伸長細線連接另一質量也為m的小球B,細線搭在滑輪上?，F將小球A從環上最高點由靜止釋放,重力加速度為g,不計空氣阻力,求:
(1)小球A到達D點時細線中的張力大小;
(2)小球A到達D點時小球B的速度大小;
(3)小球A運動一個周期小球B的路程。
(答案及解析)
對點1.機械能守恒的判斷
1.(4分)下列說法正確的是(　　)
[A] 如圖甲所示物塊在光滑水平面上壓縮彈簧的過程中,物塊的機械能守恒
[B] 如圖乙所示外力作用拉直輕繩使小球靜止于圖示位置,現釋放小球,從釋放開始運動至最低點A的過程中,小球的機械能守恒
[C] 如圖丙所示物體沿固定的光滑斜面向上做減速運動的過程中,物體的機械能守恒
[D] 如圖丁所示不計一切阻力,已知mB>mA,從靜止釋放B球到B球落地前的過程中,B球減少的重力勢能等于A球增加的機械能
【答案】 C
【解析】 題圖甲中,物塊在光滑水平面上壓縮彈簧的過程中,彈簧對物塊做功,物塊的機械能不守恒,故A錯誤;題圖乙中,釋放小球后,小球先做自由落體運動后做圓周運動,從釋放開始運動至最低點A的過程中,輕繩從松弛到張緊的過程小球的機械能會減少,其機械能不守恒,故B錯誤;題圖丙中,物體沿固定的光滑斜面向上做減速運動的過程中,只有重力對物體做功,所以物體的機械能守恒,故C正確;題圖丁中對于A球與B球組成的系統,只有重力做功,系統機械能守恒,所以B球減少的重力勢能等于B球增加的動能與A球增加的機械能之和,故D錯誤。
2.(4分)(2024·江蘇連云港一模)如圖所示為背越式跳高過程的動作分解圖,下列說法正確的是(　　)
[A] 起跳時,地面對人的作用力大于人對地面的作用力
[B] 起跳速度越大,地面對人做功越多
[C] 起跳速度越大,人在最高點機械能越大
[D] 起跳速度越大,人在最高點重力的瞬時功率越大
【答案】 C
【解析】 地面對人的作用力和人對地面的作用力是一對相互作用力,根據牛頓第三定律,相互作用力等大反向,故A錯誤;起跳過程中,腳和地面始終接觸且相對靜止,地面對腳底作用力的作用點無位移,故地面對人的作用力不做功,是人體的內力做功將生物能轉化為動能,故B錯誤;起跳速度越大,則起跳時得到的動能越大,取地面為重力勢能的參考平面,則起跳時的動能大小即為人的機械能大小,起跳后人的機械能守恒,所以,起跳速度越大,人在最高點機械能越大,故C正確;到達最高點時,因瞬時速度豎直方向的分速度為零,則重力的瞬時功率為零,故D錯誤。
對點2.單物體機械能守恒定律的應用
3.(4分)(2024·山東濰坊一模)如圖所示,一半徑為R的光滑大圓環豎直固定在水平面上,其上套一小環,a、b為圓環上關于豎直直徑對稱的兩點,將a點下方圓環拆走,若小環從大圓環的最高點c由靜止開始下滑,當小環滑到b點時,恰好對大圓環無作用力。已知重力加速度大小為g,若讓小環從最高點c由靜止下滑并從a點滑離。小環落地時的水平速度大小為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 根據題意,設b點與圓心O的連線與豎直方向的夾角為θ,如圖所示,
從c到b由機械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=m,在b點,由牛頓第二定律有mgcos θ=m,解得cos θ=,vb=,由對稱性可知,小環從最高點c由靜止下滑至a點的速度大小同為,小環從a點滑離,只受重力作用,水平方向做勻速運動,則小環落地時的水平速度大小為vx=vacos θ=,故B正確。
對點3.多物體系統機械能守恒定律的應用
4.(4分)質量不計的直角支架兩端分別連接質量為2m的小球A和質量為3m的小球B,支架的兩直角邊長度分別為L和 ,支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動,如圖所示,開始時OA邊水平。現將小球A由靜止釋放,重力加速度為g,則(　　)
[A] 小球A到達最低點時的速度大小為
[B] 當OA與水平方向夾角為37°時,小球A、B速度達到最大
[C] 小球B最大速度為
[D] 小球A到達最低點的過程中,桿對小球A所做的功為
【答案】 C
【解析】 由題意得,小球A從靜止至到達最低點的過程中,兩球組成的系統機械能守恒,A、B兩球角速度相等,故線速度大小之比等于運動半徑之比,根據系統機械能守恒可得2mgL-3mg·=·2m+·3m()2,解得v1=2,對A由動能定理得2mgL+W=×2m,解得桿對小球A所做的功為W=-,選項A、D錯誤;當OA與水平方向的夾角為θ時,由系統機械能守恒可得2mgLsin θ-3mg·(1-cos θ)=×2mv2+×3m()2,可得v2=gL(4sin θ+3cos θ)-gL,由數學知識可知4sin θ+3cos θ=5sin(θ+37°),當θ=53°時小球A的速度v最大,此時vm=2,小球B最大速度為vBm=vm=,選項B錯誤,C正確。
5.(8分)(2024·河北衡水期末)如圖所示,將內壁光滑的細管彎成四分之三圓形軌道(圓心為O)并豎直固定,軌道半徑為R,細管內徑遠小于R。輕繩穿過細管連接小球A和重物B,小球A的質量為m,直徑略小于細管內徑,用手托住重物B使小球A靜止在Q點(OQ與豎直直徑的夾角為53°);松手后,小球A運動至P點(OP與豎直直徑的夾角為37°)時對細管恰無作用力。重力加速度為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3,求:
(1)小球A靜止在Q點時對細管壁的壓力大小FN;
(2)重物B的質量M。
【答案】 (1)0.6mg　(2)m
【解析】 (1)小球A靜止在Q點時,根據平衡條件有FN1=mgcos 53°,
根據牛頓第三定律有FN1=FN,
解得FN=0.6mg。
(2)小球A從Q點到P點,根據系統機械能守恒有Mg·-mg·R(cos 37°+cos 53°)=(M+m)v2,
對小球A在P點時,由牛頓第三定律可知,細管對小球恰無作用力,僅由重力沿半徑方向的分力提供向心力,根據牛頓第二定律有mgcos 37°=,
聯立解得M=m。
6.(4分)(2024·江蘇南京階段練習)如圖所示,豎直固定的光滑直桿上套有一個質量為m的小球,初始時靜置于a點。一原長為l的輕質彈簧左端固定在O點,右端與小球相連。直桿上還有b、c、d三點,且b與O在同一水平線上,Ob=l,Oa、Oc與Ob夾角均為37°,Od與Ob夾角為53°。現釋放小球,小球從a點開始下滑,到達d點時速度為0,在此過程中彈簧始終處于彈性限度內,則下列說法正確的是(重力加速度為g,取sin 37°=0.6)(　　)
[A] 小球在b點時加速度最大
[B] 小球從a點下滑到d點的過程中,小球的機械能守恒
[C] 小球在c點的速度大小為
[D] 小球從c點下滑到d點的過程中,彈簧的彈性勢能增加了mgl
【答案】 C
【解析】 從a到b,彈簧對小球有沿彈簧向下的拉力,則小球的加速度大于g,到達b點時,彈簧彈力為零,小球的加速度等于g,所以小球在b點時加速度不是最大,故A錯誤;小球從a點下滑到d點的過程中,小球與彈簧組成的系統機械能守恒,但由于運動過程中彈簧的彈力對小球做功,小球的機械能不守恒,故B錯誤;從a點下滑到c點的過程中,對于小球與彈簧組成的系統,由機械能守恒定律得mg·2ltan 37°=m,可得滑塊在c點的速度大小為vc=,故C正確;小球從c點下滑到d點的過程中,彈簧的彈性勢能增加量等于小球的機械能減小量,即ΔEp=mgl(tan 53°-tan 37°)+m,所以ΔEp=mgl,故D錯誤。
7.(6分)(2024·廣西柳州三模)(多選)如圖所示,一小球用輕質細線懸掛在木板的支架上,分別沿傾角為θ的兩個固定斜面下滑,圖甲中細線保持豎直,圖乙中細線保持垂直斜面。在木板下滑的過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 圖甲中木板與斜面間的動摩擦因數μ=tan θ
[B] 圖甲中木板(包括支架)與小球組成的系統機械能守恒
[C] 圖乙中木板與斜面間的動摩擦因數μ=tan θ
[D] 圖乙中木板(包括支架)與小球組成的系統機械能守恒
【答案】 AD
【解析】 題圖甲中,因拉小球的細線呈豎直狀態,所以小球受到重力和豎直向上的拉力,在水平方向沒有分力,所以小球在水平方向沒有加速度,對小球和木板整體,根據力的平衡條件得m總gsin θ=μm總gcos θ,解得μ=tan θ,小球沿斜面做勻速直線運動,由于木板與小球的運動狀態相同,所以木板、小球組成的系統動能不變,重力勢能減小,機械能不守恒,故A正確,B錯誤;題圖乙中,因拉小球的細線與斜面垂直,所以小球受到重力和細線垂直于斜面向上的拉力,其合力沿斜面向下,所以小球的加速度也沿斜面向下,對小球運用牛頓第二定律沿斜面方向有m球gsin θ=m球a,解得a=gsin θ,由于木板與小球的運動狀態相同,所以對木板、小球組成的整體,根據牛頓第二定律得m總gsin θ-μm總gcos θ=m總a,解得μ=0,故C錯誤;題圖乙中,由于木板不受斜面的摩擦力,所以木板、小球組成的系統只有重力做功,則機械能守恒,故D正確。
8.(4分)(2024·江蘇五?？记澳M)在某工廠里,為防止發生意外爆炸,化學藥品必須同時加入容器中。某同學設計了如圖所示的裝置,在輕質滑輪組上,用輕繩連接的三個物體a、b、c在外力作用下均保持靜止。撤去外力后,a、b以相同加速度下落,同時落入容器P中。不計一切阻力,在a、b落入P前的運動過程中(　　)
[A] a、c位移大小之比為1∶2
[B] b、c加速度大小之比為1∶2
[C] a、c構成的系統機械能守恒
[D] c增加的機械能等于a減小的機械能的1.5倍
【答案】 D
【解析】 由于a、b以相同加速度下落,同時落入容器P中,即a、b的位移相等,設其大小為x0,根據題圖可知,當a、b同時下移x0時,a、b上方的輕繩的總長度增加3x0,即c位移大小為3x0,即a、c位移大小之比為1∶3,故A錯誤;根據位移公式有x=at2,解得a=,故b、c加速度大小之比為1∶3,故B錯誤;對物體a、b、c構成的系統分析可知,該系統只有重力做功,機械能守恒,系統內部輕繩對b做負功,則b的機械能減小,可知a、c構成的系統的機械能增大,故C錯誤;同一根輕繩彈力大小相等,設為FT,繩的彈力對a做負功,a的機械能減小,繩的彈力對c做正功,c的機械能增大,根據功能關系可知c增加的機械能與a減小的機械能大小分別為Ec=FT·3x0,Ea=2FTx0,解得=1.5,故D正確。
9.(12分)(2024·江蘇蘇州三模)如圖所示,一半徑為R的光滑硬質圓環固定在豎直平面內與光滑足夠長的水平桿相連,在圓環最高點的豎直切線和最低點的水平切線的交點處固定一光滑輕質小滑輪C,質量為m的小球A穿在環上,且可以自由滑動,小球A通過足夠長的不可伸長細線連接另一質量也為m的小球B,細線搭在滑輪上?，F將小球A從環上最高點由靜止釋放,重力加速度為g,不計空氣阻力,求:
(1)小球A到達D點時細線中的張力大小;
(2)小球A到達D點時小球B的速度大小;
(3)小球A運動一個周期小球B的路程。
【答案】 (1)0.5mg　(2)　(3)(10-4)R
【解析】 (1)對小球A,有F=ma,
對小球B,有mg-F=ma,
聯立解得F=0.5mg。
(2)只有重力做功,系統機械能守恒,小球A到達D點時,B球回到原位置,有mgR=m+m,
此時兩小球速度大小相等,有vA=vB,
聯立解得vB=。
(3)小球A過D點后沿桿向左運動,小球B上升,到兩者速度大小為零。假設小球B上升距離為x,由機械能守恒定律可知mgR=mgx,
解得x=R,
小球A恰好經過O、C連線與圓環的交點處時,由幾何關系知,此時B下降的高度
hB=R-(R-R)=(2-)R,
由于系統機械能守恒,系統做周期性運動,在小球A再次回到最高點的過程中,小球B的路程為s=2(2hB+x),
解得s=(10-4)R。
(
第
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頁
)(共54張PPT)
高中總復習·物理
第4講　
機械能守恒定律
情境導思
如圖所示是運動員投擲鉛球的動作,忽略鉛球所受空氣的阻力。
(1)鉛球在空中運動過程中,機械能是否守恒
(2)若鉛球被拋出時速度大小一定,鉛球落地時的速度大小與運動員將鉛球拋出的方向有關嗎
(3)在求解鉛球落地的速度大小時,可以考慮應用什么規律
知識構建
機械能
mgh
地球
有關
無關
減小
增大
減小
知識構建
彈性形變
減少
增加
動能
勢能
保持不變
重力
彈力
小題試做
(多選)如圖所示,將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上,槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)。現讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落,從A點與半圓形槽相切進入槽內,則下列說法正確的是(　 　)
[A] 小球在半圓形槽內運動的全過程中,只有重力對它做功
[B] 小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中,小球的機械能守恒
[C] 小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中,小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒
[D] 小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中,小球的機械能守恒
BC
機械能是否守恒的判斷方法
[例1] 【單物體機械能守恒的判斷】 (2024·貴州畢節三模)一小朋友用彈力發射玩具斜向上發射彈力球,另一小朋友在與發射點等高處成功把球接住。不計空氣阻力,彈力球在空中運動的過程(　　)
[A] 機械能守恒
[B] 在最高處動能為零
[C] 機械能先增加后減少
A
【解析】 不計空氣阻力,彈力球在空中運動的過程,只有重力做功,機械能守恒,保持不變,故A正確,C錯誤;彈力球在最高處,水平方向的速度不為零,故在最高處動能不為零,故B錯誤;重力的瞬時功率為P=mgvy,彈力球在空中運動的過程,豎直方向的速度先減小后增大,重力的瞬時功率先減小后增大,故D錯誤。
[例2] 【多物體機械能守恒的判斷】 (多選)下列幾種情況中(忽略空氣阻力),系統的機械能守恒的是(　 　)
[A] 圖甲中與彈簧連接的小鋼球向下擺動
[B] 圖乙中運動員在蹦床上越跳越高
[C] 圖丙中小車上放一木塊,小車的左側有彈簧與墻壁相連,小車在左右運動時(車輪與地面摩擦不計),木塊相對于小車無滑動
[D] 圖丁中輕桿兩端質量不等的兩球繞光滑O軸轉動
ACD
【解析】 題圖甲中小鋼球和彈簧組成的系統只有重力和彈簧彈力做功,系統機械能守恒,A正確;題圖乙中運動員越跳越高,表明他自身的力不斷做功,不單是只有重力和彈力做功,系統機械能不守恒,B錯誤;題圖丙中小車和木塊間是靜摩擦力,其總功為零,系統中只有彈簧的彈力做功,系統機械能守恒,
C正確;題圖丁中輕桿兩端質量不等的兩球繞光滑O軸轉動,輕桿對兩球做功的代數和為零,只有兩球重力做功,系統機械能守恒,D正確。
[提升] 【連接體運動模型分析】 如圖所示,斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上?，F將一小球從圖示位置由靜止釋放,不計一切摩擦,則在小球從釋放到落至地面的過程中,下列說法正確的是(　 　)
[A] 斜劈對小球的彈力不做功
[B] 斜劈與小球組成的系統機械能守恒
[C] 斜劈的機械能守恒
[D] 小球重力勢能的減少量等于斜劈動能的增加量
B
【解析】 不計一切摩擦,小球下滑時,小球和斜劈組成的系統沒有機械能之外的其他形式的能產生,系統機械能守恒,可知小球減少的重力勢能轉化為小球和斜劈的動能,選項B正確,D錯誤;斜劈和小球之間的彈力與它們的位移并不垂直,故彈力對小球、斜劈均做功,斜劈的機械能不守恒,選項A、C錯誤。
方法點撥
(1)系統的機械能守恒時,其中的單個物體機械能一般不守恒。
(2)機械能守恒的條件絕不是合力做的功等于零,更不是合力等于零,而是看是否只有重力或系統內的彈力做功。
(3)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況,除非題目特別說明,機械能一般不守恒。
1.機械能守恒定律表達式
說明:單個物體應用機械能守恒定律時選用守恒觀點或轉化觀點進行列式。
2.應用機械能守恒定律解題的一般步驟
[例3] 【單物體單過程機械能守恒】 (2024·全國甲卷,17)如圖,一光滑大圓環固定在豎直平面內,質量為m的小環套在大圓環上,小環從靜止開始由大圓環頂端經Q點自由下滑至其底部,Q為豎直線與大圓環的切點。則小環下滑過程中對大圓環的作用力大小(　　)
[A] 在Q點最大
[B] 在Q點最小
[C] 先減小后增大
[D] 先增大后減小
C
[例4] 【單物體多過程機械能守恒】 (2024·福建泉州模擬)滑板運動是一種陸地上的“沖浪運動”,如圖是模擬的滑板組合滑行軌道,該軌道由足夠長的斜直軌道、凹形圓弧軌道和半徑R=1.6 m的凸形圓弧軌道組成,這三部分軌道處于同一豎直平面內且依次平滑連接,其中M點為凹形圓弧軌道的最低點,N點在凸形圓弧軌道的圓心O點正上方,O點與M點處在同一水平面上,一質量為m=1 kg可看作質點的滑板,從斜直軌道上的P點無初速度滑下,經過M點滑向N點,最終落在地面的K點。P點距M點所在水平面的高度h=1.8 m,不計一切阻力,g取 10 m/s2。
(1)滑板滑到M點時的速度多大
【答案】 (1)6 m/s
(2)滑板滑到N點時對軌道的壓力多大
【答案】 (2)7.5 N
(3)滑出點N和落地點K的水平距離。
1.解決多物體系統機械能守恒的注意點
(1)對多個物體組成的系統,要注意判斷物體運動過程中系統的機械能是否守恒。一般情況下不計空氣阻力和一切摩擦,系統的機械能守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
(3)列機械能守恒方程時,一般選用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
2.幾種實際情境的分析
(1)速率相等情境。
注意分析各個物體在豎直方向的高度變化。
(2)角速度相等情境。
①桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向,桿能對物體做功,單個物體機械能不守恒。
②由v=ωr知,v與r成正比。
(3)某一方向分速度相等情境(關聯速度情境)。
兩物體速度的關聯實質:沿繩(或沿桿)方向的分速度大小相等。
BCD
AD
AD
1.(4分)下列說法正確的是(　　)
[A] 如圖甲所示物塊在光滑水平面上壓縮彈簧的過程中,物塊的機械能守恒
[B] 如圖乙所示外力作用拉直輕繩使小球靜止于圖示位置,現釋放小球,從釋放開始運動至最低點A的過程中,小球的機械能守恒
[C] 如圖丙所示物體沿固定的光滑斜面向上做減速運動的過程中,物體的機械能守恒
[D] 如圖丁所示不計一切阻力,已知mB>mA,從靜止釋放B球到B球落地前的過程中,B球減少的重力勢能等于A球增加的機械能
對點1.機械能守恒的判斷
基礎對點練
C
【解析】 題圖甲中,物塊在光滑水平面上壓縮彈簧的過程中,彈簧對物塊做功,物塊的機械能不守恒,故A錯誤;題圖乙中,釋放小球后,小球先做自由落體運動后做圓周運動,從釋放開始運動至最低點A的過程中,輕繩從松弛到張緊的過程小球的機械能會減少,其機械能不守恒,故B錯誤;題圖丙中,物體沿固定的光滑斜面向上做減速運動的過程中,只有重力對物體做功,所以物體的機械能守恒,故C正確;題圖丁中對于A球與B球組成的系統,只有重力做功,系統機械能守恒,所以B球減少的重力勢能等于B球增加的動能與A球增加的機械能之和,故D錯誤。
2.(4分)(2024·江蘇連云港一模)如圖所示為背越式跳高過程的動作分解圖,下列說法正確的是(　　)
[A] 起跳時,地面對人的作用力大于人對地面的作用力
[B] 起跳速度越大,地面對人做功越多
[C] 起跳速度越大,人在最高點機械能越大
[D] 起跳速度越大,人在最高點重力的瞬時功率越大
C
【解析】 地面對人的作用力和人對地面的作用力是一對相互作用力,根據牛頓第三定律,相互作用力等大反向,故A錯誤;起跳過程中,腳和地面始終接觸且相對靜止,地面對腳底作用力的作用點無位移,故地面對人的作用力不做功,是人體的內力做功將生物能轉化為動能,故B錯誤;起跳速度越大,則起跳時得到的動能越大,取地面為重力勢能的參考平面,則起跳時的動能大小即為人的機械能大小,起跳后人的機械能守恒,所以,起跳速度越大,人在最高點機械能越大,故C正確;到達最高點時,因瞬時速度豎直方向的分速度為零,則重力的瞬時功率為零,故D錯誤。
B
對點2.單物體機械能守恒定律的應用
對點3.多物體系統機械能守恒定律的應用
C
5.(8分)(2024·河北衡水期末)如圖所示,將內壁光滑的細管彎成四分之三圓形軌道(圓心為O)并豎直固定,軌道半徑為R,細管內徑遠小于R。輕繩穿過細管連接小球A和重物B,小球A的質量為m,直徑略小于細管內徑,用手托住重物B使小球A靜止在Q點(OQ與豎直直徑的夾角為53°);松手后,小球A運動至P點(OP與豎直直徑的夾角為37°)時對細管恰無作用力。重力加速度為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3,求:
(1)小球A靜止在Q點時對細管壁的壓力大小FN;
【答案】 (1)0.6mg　
【解析】 (1)小球A靜止在Q點時,根據平衡條件有FN1=mgcos 53°,
根據牛頓第三定律有FN1=FN,
解得FN=0.6mg。
(2)重物B的質量M。
C
綜合提升練
7.(6分)(2024·廣西柳州三模)(多選)如圖所示,一小球用輕質細線懸掛在木板的支架上,分別沿傾角為θ的兩個固定斜面下滑,圖甲中細線保持豎直,圖乙中細線保持垂直斜面。在木板下滑的過程中,下列說法正確的是(　 　)
[A] 圖甲中木板與斜面間的動摩擦因數μ=tan θ
[B] 圖甲中木板(包括支架)與小球組成的系統機械能守恒
[C] 圖乙中木板與斜面間的動摩擦因數μ=tan θ
[D] 圖乙中木板(包括支架)與小球組成的系統機械能守恒
AD
【解析】 題圖甲中,因拉小球的細線呈豎直狀態,所以小球受到重力和豎直向上的拉力,在水平方向沒有分力,所以小球在水平方向沒有加速度,對小球和木板整體,根據力的平衡條件得m總gsin θ=μm總gcos θ,解得μ=tan θ,小球沿斜面做勻速直線運動,由于木板與小球的運動狀態相同,所以木板、小球組成的系統動能不變,重力勢能減小,機械能不守恒,故A正
確,B錯誤;題圖乙中,因拉小球的細線與斜面垂直,所以小球受到重力和細線垂直于斜面向上的拉力,其合力沿斜面向下,所以小球的加速度也沿斜面向下,對小球運用牛頓第二定律沿斜面方向有m球gsin θ=m球a,解得a=gsin θ,由于木板與小球的運動狀態相同,所以對木板、小球組成的整體,根據牛頓第二定律得m總gsin θ-μm總gcos θ=m總a,解得μ=0,故C錯誤;題圖乙中,由于木板不受斜面的摩擦力,所以木板、小球組成的系統只有重力做功,則機械能守恒,故D正確。
8.(4分)(2024·江蘇五校考前模擬)在某工廠里,為防止發生意外爆炸,化學藥品必須同時加入容器中。某同學設計了如圖所示的裝置,在輕質滑輪組上,用輕繩連接的三個物體a、b、c在外力作用下均保持靜止。撤去外力后,a、b以相同加速度下落,同時落入容器P中。不計一切阻力,在a、b落入P前的運動過程中(　　)
[A] a、c位移大小之比為1∶2
[B] b、c加速度大小之比為1∶2
[C] a、c構成的系統機械能守恒
[D] c增加的機械能等于a減小的機械能的1.5倍
D
(1)小球A到達D點時細線中的張力大小;
【答案】 (1)0.5mg
【解析】 (1)對小球A,有F=ma,
對小球B,有mg-F=ma,
聯立解得F=0.5mg。
(2)小球A到達D點時小球B的速度大小;
(3)小球A運動一個周期小球B的路程。

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