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第5講　小專題:含彈簧的機械能守恒問題和非質點類機械能守恒問題
考點一　含彈簧的機械能守恒問題
1.含彈簧類系統
2.含彈簧的機械能守恒問題的突破點
(1)彈簧發生形變時會具有彈性勢能,系統的總動能將發生變化,若系統除重力、彈簧彈力以外的其他力不做功,系統機械能守恒。
(2)彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時,兩端的物體具有相同的速度,彈性勢能有最大值。
(3)對同一彈簧,彈性勢能的大小為Ep=kx2,彈性勢能由彈簧的形變量決定,彈簧的伸長量和壓縮量相等時,彈簧的彈性勢能相等。
[例1] 【單物體與輕彈簧模型中的機械能守恒問題】(2023·全國甲卷,24)如圖,光滑水平桌面上有一輕質彈簧,其一端固定在墻上。用質量為m的小球壓彈簧的另一端,使彈簧的彈性勢能為Ep。釋放后,小球在彈簧作用下從靜止開始在桌面上運動,與彈簧分離后,從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間,其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等;垂直于地面的速度分量大小變為碰撞前瞬間的。小球與地面碰撞后,彈起的最大高度為h,重力加速度大小為g,忽略空氣阻力。求
(1)小球離開桌面時的速度大小;
(2)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)從釋放彈簧到小球離開桌面的過程中,小球與彈簧組成的系統機械能守恒,設小球離開桌面時的速度大小為v0,由機械能守恒定律有 Ep=m,
解得v0=。
(2)小球從桌面水平飛出后,做平拋運動的過程中,有vy=gt,其水平位移x=v0t,
小球與地面碰撞彈起后在豎直方向做豎直上拋運動,設彈起時小球的豎直速度為,由運動學公式有=2gh,
小球落地前瞬間的豎直方向速度大小為vy,有=vy,
聯立解得x=。
[例2] 【多物體與輕彈簧模型中的機械能守恒問題】(2024·甘肅一模)(多選)如圖所示,固定在地面上的OAB為半徑為R的四分之一圓環,圓心O的正上方R處有一定滑輪C,定滑輪C右側有另一個定滑輪D,小球1套在圓環上并通過輕繩繞過兩個定滑輪連接物體2,物體2又與一輕質彈簧連接在一起,輕質彈簧另一端固定在地面上。現有兩種情況。情況1:小球1可在AB圓弧任意位置保持靜止;情況2:小球1在A點時,輕繩剛好伸直但無張力,此時彈簧壓縮量為R,現給小球1輕微的擾動,小球1沿AB圓弧運動到B點時速度為零,此時左邊的繩沿著BC方向繃緊,物體2不會碰到滑輪。已知小球1質量為m1,物體2質量為m2,彈簧勁度系數為k,重力加速度為g,不計滑輪質量、大小和一切摩擦。下列說法正確的是(取sin 37°=0.6)(　　)
[A] 情況1中k=
[B] 情況1中k=
[C] 情況2中m1∶m2=4∶3
[D] 情況2中m1∶m2=3∶4
【答案】 BC
【解析】 情況1中,對小球1和物體2進行受力分析如圖所示,
設輕繩張力為FT,彈簧彈力為F,定滑輪C與小球1之間的輕繩長度為x,根據相似三角形有=,若連接小球1的輕繩長度伸長Δx,彈簧長度也會變長Δx,則有ΔFT=Δx,ΔF=kΔx,因小球1可在AB圓弧任意位置保持靜止,則需滿足ΔFT=ΔF,解得k=,故A錯誤,B正確;情況2中,小球1、物體2、細繩和彈簧組成的系統機械能守恒,且初、末狀態彈簧形變量均為R,彈簧的彈性勢能相同,有m1gR=m2g·R,解得m1∶m2=4∶3,故C正確,D錯誤。
(1)含彈簧的物體系統在只有彈簧彈力和重力做功時,物體和彈簧組成的系統機械能守恒,而單個物體和彈簧的機械能都不守恒。
(2)含彈簧的物體系統機械能守恒問題,符合一般的運動學解題規律,同時還要注意研究過程中彈簧形變量相等的情況。
考點二　非質點類機械能守恒問題
1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時,經常遇到鏈條類的物體,其在運動過程中將發生形變,其重心位置相對物體也發生變化,因此這類物體不能再看作質點來處理。
2.物體雖然不能當作質點來處理,但在只有重力做功的情況下,物體整體機械能守恒,一般情況下,可將物體分段處理,確定狀態變化過程中兩時刻的物體各部分的重心位置,根據初、末狀態物體機械能守恒列式求解。
[例3] 【繩索、鏈條類物體的機械能守恒】 如圖所示,總長為l、質量為m的均勻軟繩對稱地掛在輕小滑輪上,用細線將質量也為m的物塊與軟繩一端連接。現將物塊由靜止釋放,直到軟繩剛好全部離開滑輪。不計一切摩擦,重力加速度為g,在軟繩從靜止到剛離開滑輪的過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊的機械能減少了mgl
[B] 物塊的機械能減少了mgl
[C] 軟繩的機械能增加了mgl
[D] 軟繩的機械能增加了mgl
【答案】 A
【解析】 設軟繩剛離開滑輪時的速度大小為v,對軟繩和物塊組成的系統,根據機械能守恒定律得mgl+mgl=×2mv2 ,解得v=,選滑輪位置所在平面為參考平面,則物塊的機械能減少量為|ΔE|=-mg·-(-mgl+mv2),解得|ΔE|=mgl,整個系統機械能守恒,則軟繩機械能增加了mgl,故A正確,B、C、D錯誤。
[例4] 【“液柱”類物體的機械能守恒】 如圖所示,粗細均勻的U形管右端裝有閥門K,關閉K后在管內裝入總長為4L的水。此時左、右支管內水面高度差為L。打開閥門K后,左、右水面剛好相平時左管液面的速度是多大 (重力加速度為g,管的內部橫截面很小,摩擦阻力忽略不計)
【答案】
【解析】 由于不考慮摩擦阻力,故整個水柱在流動過程中機械能守恒。從初始狀態到左、右支管內水面相平為止,相當于長為L的水柱的重心高度由降為,由機械能守恒定律可知,其減少的重力勢能轉化為整個水柱的動能,設單位長度水柱的質量為m,則有Lmg(-)=×4Lmv2,解得v=。
(1)非質點類物體雖然不能看作質點,但因只有重力做功,物體整體機械能守恒。
(2)在確定物體重力勢能的變化量時要根據情況,將物體分段處理,確定好各部分的重心及重心高度的變化量。
(3)分析非質點類物體的動能時,要看物體各部分是否都在運動,運動的速度大小是否相同,若相同,則物體的動能才可表示為mv2。
(滿分:50分)
對點1.含彈簧的機械能守恒問題
1.(4分)(2024·北京海淀模擬)如圖所示,將輕質彈簧的一端固定在水平桌面上O點,當彈簧處于自由狀態時,彈簧另一端在A點。用一個金屬小球擠壓彈簧至B點,由靜止釋放小球,隨即小球被彈簧豎直彈出,已知C點為AB的中點,則(　　)
[A] 從B到A過程中,小球的機械能守恒
[B] 從B到A過程中,小球的動能一直在增大
[C] 從B到A過程中,彈簧的彈性勢能先增大后減小
[D] 從B到C過程彈簧彈力對小球做的功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做的功
2.(4分)(2024·江西模擬)如圖所示,原長為l0的輕彈簧一端固定于O點,另一端連接一質量為m的小球,現使彈簧水平且為自然長度,將小球由靜止釋放,當小球到達O點正下方時,其動能恰好與彈簧的彈性勢能相等,此時彈簧的伸長量為。已知輕彈簧的彈性勢能Ep=kx2,式中k為彈簧的勁度系數,x為彈簧的形變量,小球可視為質點,不計空氣阻力,重力加速度大小為g,則該輕彈簧的勁度系數為(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(4分)(2024·安徽安慶二模)如圖所示,豎直軌道MA與四分之一圓弧軌道ABC平滑對接且在同一豎直面內,圓弧軌道圓心為O,OC連線豎直,OB連線與豎直方向夾角為θ=37°,緊靠MA的一輕質彈簧下端固定在水平面上,彈簧上放有一質量為m=2 kg的小球,現用外力將小球向下緩慢壓至P點后無初速度釋放,小球恰能過C點。已知P、A高度差為 0.8 m,圓弧軌道半徑為1.0 m,不計軌道摩擦和空氣阻力,小球的半徑遠小于圓弧軌道的半徑,彈簧與小球不拴接,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則(　　)
[A] 小球離開彈簧時速度最大
[B] 剛釋放小球時,彈簧彈性勢能為36 J
[C] 若小球質量改為5.5 kg,仍從P點釋放小球后,小球能沿軌道返回P點
[D] 若小球質量改為2.3 kg,仍從P點釋放小球后,小球將從B點離開圓弧軌道
4.(6分)(2025·四川高考適應性考試)(多選)如圖,原長為l0的輕彈簧豎直放置,一端固定于地面,另一端連接厚度不計、質量為m1的水平木板X。將質量為m2的物塊Y放在X上,豎直下壓Y,使X離地高度為l,此時彈簧的彈性勢能為Ep,由靜止釋放,所有物體沿豎直方向運動。則(　　)
[A] 若X、Y恰能分離,則Ep=(m1+m2)g(l0-l)
[B] 若X、Y恰能分離,則Ep=(m1+m2)gl
[C] 若X、Y能分離,則Y的最大離地高度為 +(l0-l)
[D] 若X、Y能分離,則Y的最大離地高度為 +l
對點2.非質點類機械能守恒問題
5.(6分)(多選)如圖所示,在豎直平面內半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起,斜面足夠長。在圓弧軌道上靜止著N個半徑為r(r R)的光滑小球(小球無明顯形變),小球恰好將圓弧軌道鋪滿,從最高點A到最低點B依次標記為1、2、3、…、N。現將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走,N個小球由靜止開始沿軌道運動,不計摩擦與空氣阻力,下列說法正確的是(　　)
[A] N個小球在運動過程中始終不會散開
[B] 第1個小球從A到B過程中機械能守恒
[C] 第1個小球到達B點前第N個小球做勻加速運動
[D] 第1個小球到達最低點的速度v<
6.(6分) (多選)內徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上,筒內裝水,底部閥門K關閉時兩側水面高度分別為h1和h2,如圖所示。已知水的密度為ρ,重力加速度為g,不計水與筒壁的摩擦阻力。現把連接兩筒的閥門K打開,到兩筒水面高度相等的過程中(　　)
[A] 水柱的重力做正功
[B] 大氣壓力對水柱做負功
[C] 水柱的機械能守恒
[D] 水柱動能的改變量是ρgS(h1-h2)2
7.(9分)如圖所示,兩根輕繩連接小球P,右側繩一端固定于A,左側繩通過B點處光滑定滑輪連接一物體Q,物體Q、N通過一輕彈簧連接,Q、N質量均為m,整個系統處于靜止狀態時,小球P位于圖示位置,兩繩與水平方向夾角分別為37° 和53° ,此時物體N與地面間彈力恰好為零。現將小球P托至與A、B等高的水平線上,兩繩均拉直且無彈力,然后由靜止釋放小球P。已知圖示小球P右側繩長為L,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度為g。求:
(1)小球P的質量M;
(2)小球P再運動到圖示位置時Q的速度大小v;
(3)小球P從釋放到圖示位置過程中輕繩對物體Q做的功W。
8.(11分)甲、乙、丙三個物體用不可伸長的輕線通過輕滑輪連接,甲與地面用輕彈簧連接,如圖所示。物體乙與物體丙之間的距離和物體丙到地面的距離相等。已知物體乙與物體丙的質量均為m,物體甲的質量大于m,但是小于2m;彈簧的勁度系數為k。物體在運動過程中不會與滑輪相碰,且不計一切阻力,物體碰地后不反彈,當地的重力加速度為g。
(1)若已知物體甲的質量為1.5m,將乙與丙間的線剪斷,求剪斷瞬間乙物體加速度的大小,此時甲、乙之間輕繩拉力多大
(2)若將乙與丙間的線剪斷,甲下降多大距離時它的速度最大
(3)若突然彈簧與物體甲脫離接觸,要保證物體乙在運動過程中不會著地,求這種情形之下物體甲的質量的取值范圍。
(答案及解析)
對點1.含彈簧的機械能守恒問題
1.(4分)(2024·北京海淀模擬)如圖所示,將輕質彈簧的一端固定在水平桌面上O點,當彈簧處于自由狀態時,彈簧另一端在A點。用一個金屬小球擠壓彈簧至B點,由靜止釋放小球,隨即小球被彈簧豎直彈出,已知C點為AB的中點,則(　　)
[A] 從B到A過程中,小球的機械能守恒
[B] 從B到A過程中,小球的動能一直在增大
[C] 從B到A過程中,彈簧的彈性勢能先增大后減小
[D] 從B到C過程彈簧彈力對小球做的功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做的功
【答案】 D
【解析】 從B到A過程中,小球除受重力外還受彈簧的彈力,且彈力對小球做正功,故小球的機械能不守恒,故A錯誤;從B到A過程中,彈簧彈力和重力平衡位置處動能最大,合力對小球先做正功后做負功,小球的動能先增大后減小,故B錯誤;從B到A過程中,彈簧的壓縮量一直在減小,故彈簧的彈性勢能一直減小,故C錯誤;因為從B到C過程彈簧的平均作用力大于從C到A過程彈簧的平均作用力,兩過程位移大小相等,故從B到C過程彈簧彈力對小球做的功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做的功,故D正確。
2.(4分)(2024·江西模擬)如圖所示,原長為l0的輕彈簧一端固定于O點,另一端連接一質量為m的小球,現使彈簧水平且為自然長度,將小球由靜止釋放,當小球到達O點正下方時,其動能恰好與彈簧的彈性勢能相等,此時彈簧的伸長量為。已知輕彈簧的彈性勢能Ep=kx2,式中k為彈簧的勁度系數,x為彈簧的形變量,小球可視為質點,不計空氣阻力,重力加速度大小為g,則該輕彈簧的勁度系數為(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 小球到達O點正下方時的動能和彈性勢能相等,Ek=Ep,且由題意有Ep=k()2,小球和彈簧組成的系統機械能守恒,有mg(l0+)=Ek+Ep,聯立解得k=,故D正確。
3.(4分)(2024·安徽安慶二模)如圖所示,豎直軌道MA與四分之一圓弧軌道ABC平滑對接且在同一豎直面內,圓弧軌道圓心為O,OC連線豎直,OB連線與豎直方向夾角為θ=37°,緊靠MA的一輕質彈簧下端固定在水平面上,彈簧上放有一質量為m=2 kg的小球,現用外力將小球向下緩慢壓至P點后無初速度釋放,小球恰能過C點。已知P、A高度差為 0.8 m,圓弧軌道半徑為1.0 m,不計軌道摩擦和空氣阻力,小球的半徑遠小于圓弧軌道的半徑,彈簧與小球不拴接,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則(　　)
[A] 小球離開彈簧時速度最大
[B] 剛釋放小球時,彈簧彈性勢能為36 J
[C] 若小球質量改為5.5 kg,仍從P點釋放小球后,小球能沿軌道返回P點
[D] 若小球質量改為2.3 kg,仍從P點釋放小球后,小球將從B點離開圓弧軌道
【答案】 D
【解析】 釋放小球后,小球上升到彈簧彈力大小等于小球重力位置時,小球速度最大,故A錯誤;小球恰能過C點,則有mg=m,可得vC=,由機械能守恒定律得彈簧的最大彈性勢能為Ep=mg(h+R)+m=46 J,故B錯誤;小球質量為m1=5.5 kg>2 kg時,小球肯定到不了C點,而最大彈性勢能Ep=46 J>m1gh=44 J,即小球到達A點時仍有速度,即能進入圓弧軌道,所以小球將在圓弧軌道A、C之間某點離開圓弧軌道做斜上拋運動,不能沿軌道返回P點,故C錯誤;設小球質量為m2時恰好從B點離開,則在B點有m2gcos 37°=m2,根據機械能守恒定律可得Ep=m2g(h+Rcos 37°)+m2,聯立解得m2=2.3 kg,故D正確。
4.(6分)(2025·四川高考適應性考試)(多選)如圖,原長為l0的輕彈簧豎直放置,一端固定于地面,另一端連接厚度不計、質量為m1的水平木板X。將質量為m2的物塊Y放在X上,豎直下壓Y,使X離地高度為l,此時彈簧的彈性勢能為Ep,由靜止釋放,所有物體沿豎直方向運動。則(　　)
[A] 若X、Y恰能分離,則Ep=(m1+m2)g(l0-l)
[B] 若X、Y恰能分離,則Ep=(m1+m2)gl
[C] 若X、Y能分離,則Y的最大離地高度為 +(l0-l)
[D] 若X、Y能分離,則Y的最大離地高度為 +l
【答案】 AD
【解析】 將質量為m2的物塊Y放在X上由靜止釋放,兩物體一起向上加速,若X、Y恰能分離,則到達原長時速度剛好為零,則彈性勢能剛好全部轉化為系統的重力勢能,由機械能守恒定律可知Ep=(m1+m2)g(l0-l),故A正確,B錯誤;若X、Y能分離,設兩物體到達原長時速度為v,有Ep=(m1+m2)g(l0-l)+(m1+m2)v2,經過原長后兩物體分離,物塊Y的動能全部轉化為重力勢能,上升的高度為h,則有m2v2=m2gh,則Y的最大離地高度為H=l0+h=+l,故C錯誤,D正確。
對點2.非質點類機械能守恒問題
5.(6分)(多選)如圖所示,在豎直平面內半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起,斜面足夠長。在圓弧軌道上靜止著N個半徑為r(r R)的光滑小球(小球無明顯形變),小球恰好將圓弧軌道鋪滿,從最高點A到最低點B依次標記為1、2、3、…、N。現將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走,N個小球由靜止開始沿軌道運動,不計摩擦與空氣阻力,下列說法正確的是(　　)
[A] N個小球在運動過程中始終不會散開
[B] 第1個小球從A到B過程中機械能守恒
[C] 第1個小球到達B點前第N個小球做勻加速運動
[D] 第1個小球到達最低點的速度v<
【答案】 AD
【解析】 在圓弧軌道下滑的過程中,水平面上的小球要做勻速運動,而曲面上的小球要做加速運動,則后面的小球對前面的小球有向前擠壓的作用,所以小球之間始終相互擠壓,沖上斜面后,后面的小球把前面的小球往上壓,所以小球之間始終相互擠壓,故N個小球在運動過程中始終不會散開,A正確;第一個小球在下落過程中受到擠壓,所以有外力對小球做功,小球的機械能不守恒,B錯誤;由于小球在下落過程中速度發生變化,相互間的擠壓力發生變化,所以第N個小球不可能做勻加速運動,C錯誤;當小球整體的重心下降時,根據機械能守恒定律得mv2=mg·,解得v=,但小球整體在AB段時,重心低于,所以第1個小球到達最低點的速度v<,D正確。
6.(6分) (多選)內徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上,筒內裝水,底部閥門K關閉時兩側水面高度分別為h1和h2,如圖所示。已知水的密度為ρ,重力加速度為g,不計水與筒壁的摩擦阻力。現把連接兩筒的閥門K打開,到兩筒水面高度相等的過程中(　　)
[A] 水柱的重力做正功
[B] 大氣壓力對水柱做負功
[C] 水柱的機械能守恒
[D] 水柱動能的改變量是ρgS(h1-h2)2
【答案】 ACD
【解析】 把連接兩筒的閥門K打開,到兩筒水面高度相等的過程,等效于把左筒高的水柱移至右筒,如圖中的陰影部分所示,該部分水重心下降,重力做正功,故A正確;大氣壓力對左筒水柱做正功,對右筒水柱做負功,抵消為零,故B錯誤;由上述分析知,只有重力做功,故水柱的機械能守恒,由機械能守恒定律得ΔEk=-Ep=WG=Δmg·=ρgS·=ρgS(h1-h2)2,故C、D正確。
7.(9分)如圖所示,兩根輕繩連接小球P,右側繩一端固定于A,左側繩通過B點處光滑定滑輪連接一物體Q,物體Q、N通過一輕彈簧連接,Q、N質量均為m,整個系統處于靜止狀態時,小球P位于圖示位置,兩繩與水平方向夾角分別為37° 和53° ,此時物體N與地面間彈力恰好為零。現將小球P托至與A、B等高的水平線上,兩繩均拉直且無彈力,然后由靜止釋放小球P。已知圖示小球P右側繩長為L,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度為g。求:
(1)小球P的質量M;
(2)小球P再運動到圖示位置時Q的速度大小v;
(3)小球P從釋放到圖示位置過程中輕繩對物體Q做的功W。
【答案】 (1)m　(2)2　(3)mgL
【解析】 (1)整個系統處于靜止狀態時,小球P受力如圖所示,
根據平衡條件有FTB=Mgcos 37°,
彈簧處于伸長狀態,設物體Q所受彈簧彈力大小為FT,有mg+FT=FTB,
對物體N有FT=mg,
聯立解得M=m。
(2)小球P從釋放到運動到題圖所示位置的過程中,小球P、物體Q、N及彈簧組成的系統,只有重力、彈力做功,系統機械能守恒,由題意知,小球P開始釋放前,輕繩對物體Q無拉力,小球P到達題圖所示位置時,物體N對地面無壓力,可知兩位置彈簧形變量相同,彈簧彈性勢能相等,根據系統機械能守恒,有MgLsin 37°-mgh=mv2+Mv2,
根據幾何關系有h=Ltan 37°+L -,
聯立解得v=2。
(3)由于整個過程彈簧彈力對Q做功為零,則對物體Q由動能定理有-mgh+W=mv2-0,
聯立解得W=mgL。
8.(11分)甲、乙、丙三個物體用不可伸長的輕線通過輕滑輪連接,甲與地面用輕彈簧連接,如圖所示。物體乙與物體丙之間的距離和物體丙到地面的距離相等。已知物體乙與物體丙的質量均為m,物體甲的質量大于m,但是小于2m;彈簧的勁度系數為k。物體在運動過程中不會與滑輪相碰,且不計一切阻力,物體碰地后不反彈,當地的重力加速度為g。
(1)若已知物體甲的質量為1.5m,將乙與丙間的線剪斷,求剪斷瞬間乙物體加速度的大小,此時甲、乙之間輕繩拉力多大
(2)若將乙與丙間的線剪斷,甲下降多大距離時它的速度最大
(3)若突然彈簧與物體甲脫離接觸,要保證物體乙在運動過程中不會著地,求這種情形之下物體甲的質量的取值范圍。
【答案】 (1)0.4g　1.4mg　(2)
(3)m【解析】 (1)將乙與丙間的線剪斷瞬間,對甲、乙整體根據牛頓第二定律有
mg=(1.5m+m)a,
解得a=0.4g,
對乙進行受力分析有FT-mg=ma,
則FT=1.4mg。
(2)設物體甲質量為M,開始時彈簧處于伸長狀態,其伸長量為x1,有kx1=(2m-M)g,
解得x1=g,
剪斷輕線后,甲的加速度為零時,速度達到最大,設此時彈簧壓縮量為x2,有kx2=(M-m)g,
解得x2=g,
所以甲速度最大時,下降的距離x=x1+x2=。
(3)設丙距離地面為L,丙剛好落地時,甲、乙的速度為v,對于甲、乙、丙三物體組成的系統機械能守恒,有2mgL-MgL=(M+2m)v2,
若乙恰好能著地,此時甲、乙物體速度為零,對甲、乙兩物體組成的系統,其機械能守恒,有
MgL-mgL=(M+m)v2,
聯立解得M=m,
由題意知,物體甲的質量M<2m,所以m(
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高中總復習·物理
第5講　
第5講　小專題:含彈簧的機械能守恒問題和非質點類機械能守恒問題
1.含彈簧類系統
2.含彈簧的機械能守恒問題的突破點
(1)彈簧發生形變時會具有彈性勢能,系統的總動能將發生變化,若系統除重力、彈簧彈力以外的其他力不做功,系統機械能守恒。
(2)彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時,兩端的物體具有相同的速度,彈性勢能有最大值。
(1)小球離開桌面時的速度大小;
規范答題
(2)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
規范答題
BC
規律總結
(1)含彈簧的物體系統在只有彈簧彈力和重力做功時,物體和彈簧組成的系統機械能守恒,而單個物體和彈簧的機械能都不守恒。
(2)含彈簧的物體系統機械能守恒問題,符合一般的運動學解題規律,同時還要注意研究過程中彈簧形變量相等的情況。
1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時,經常遇到鏈條類的物體,其在運動過程中將發生形變,其重心位置相對物體也發生變化,因此這類物體不能再看作質點來處理。
2.物體雖然不能當作質點來處理,但在只有重力做功的情況下,物體整體機械能守恒,一般情況下,可將物體分段處理,確定狀態變化過程中兩時刻的物體各部分的重心位置,根據初、末狀態物體機械能守恒列式求解。
[例3] 【繩索、鏈條類物體的機械能守恒】 如圖所示,總長為l、質量為m的均勻軟繩對稱地掛在輕小滑輪上,用細線將質量也為m的物塊與軟繩一端連接。現將物塊由靜止釋放,直到軟繩剛好全部離開滑輪。不計一切摩擦,重力加速度為g,在軟繩從靜止到剛離開滑輪的過程中,下列說法正確的是(　　)
A
[例4] 【“液柱”類物體的機械能守恒】 如圖所示,粗細均勻的U形管右端裝有閥門K,關閉K后在管內裝入總長為4L的水。此時左、右支管內水面高度差為L。打開閥門K后,左、右水面剛好相平時左管液面的速度是多大 (重力加速度為g,管的內部橫截面很小,摩擦阻力忽略不計)
規律總結
(1)非質點類物體雖然不能看作質點,但因只有重力做功,物體整體機械能守恒。
(2)在確定物體重力勢能的變化量時要根據情況,將物體分段處理,確定好各部分的重心及重心高度的變化量。
1.(4分)(2024·北京海淀模擬)如圖所示,將輕質彈簧的一端固定在水平桌面上O點,當彈簧處于自由狀態時,彈簧另一端在A點。用一個金屬小球擠壓彈簧至B點,由靜止釋放小球,隨即小球被彈簧豎直彈出,已知C點為AB的中點,則(　　)
[A] 從B到A過程中,小球的機械能守恒
[B] 從B到A過程中,小球的動能一直在增大
[C] 從B到A過程中,彈簧的彈性勢能先增大后減小
[D] 從B到C過程彈簧彈力對小球做的功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做的功
對點1.含彈簧的機械能守恒問題
基礎對點練
D
【解析】 從B到A過程中,小球除受重力外還受彈簧的彈力,且彈力對小球做正功,故小球的機械能不守恒,故A錯誤;從B到A過程中,彈簧彈力和重力平衡位置處動能最大,合力對小球先做正功后做負功,小球的動能先增大后減小,故B錯誤;從B到A過程中,彈簧的壓縮量一直在減小,故彈簧的彈性勢能一直減小,故C錯誤;因為從B到C過程彈簧的平均作用力大于從C到A過程彈簧的平均作用力,兩過程位移大小相等,故從B到C過程彈簧彈力對小球做的功大于從C到A過程彈簧彈力對小球做的功,故D正確。
D
3.(4分)(2024·安徽安慶二模)如圖所示,豎直軌道MA與四分之一圓弧軌道ABC平滑對接且在同一豎直面內,圓弧軌道圓心為O,OC連線豎直,OB連線與豎直方向夾角為θ=37°,緊靠MA的一輕質彈簧下端固定在水平面上,彈簧上放有一質量為m=2 kg的小球,現用外力將小球向下緩慢壓至P點后無初速度釋放,小球恰能過C點。已知P、A高度差為 0.8 m,圓弧軌道半徑為1.0 m,不計軌道摩擦和空氣阻力,小球的半徑遠小于圓弧軌道的半徑,彈簧與小球不拴接,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則(　　)
[A] 小球離開彈簧時速度最大
[B] 剛釋放小球時,彈簧彈性勢能為36 J
[C] 若小球質量改為5.5 kg,仍從P點釋放小球后,小球能沿軌道返回P點
[D] 若小球質量改為2.3 kg,仍從P點釋放小球后,小球將從B點離開圓弧軌道
D
4.(6分)(2025·四川高考適應性考試)(多選)如圖,原長為l0的輕彈簧豎直放置,一端固定于地面,另一端連接厚度不計、質量為m1的水平木板X。將質量為m2的物塊Y放在X上,豎直下壓Y,使X離地高度為l,此時彈簧的彈性勢能為Ep,由靜止釋放,所有物體沿豎直方向運動。則(　　 )
AD
5.(6分)(多選)如圖所示,在豎直平面內半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起,斜面足夠長。在圓弧軌道上靜止著N個半徑為r(r R)的光滑小球(小球無明顯形變),小球恰好將圓弧軌道鋪滿,從最高點A到最低點B依次標記為1、2、3、…、N。現將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走,N個小球由靜止開始沿軌道運動,不計摩擦與空氣阻力,下列說法正確的是(　 　)
[A] N個小球在運動過程中始終不會散開
[B] 第1個小球從A到B過程中機械能守恒
[C] 第1個小球到達B點前第N個小球做勻加速運動
AD
對點2.非質點類機械能守恒問題
6.(6分) (多選)內徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上,筒內裝水,底部閥門K關閉時兩側水面高度分別為h1和h2,如圖所示。已知水的密度為ρ,重力加速度為g,不計水與筒壁的摩擦阻力。現把連接兩筒的閥門K打開,到兩筒水面高度相等的過程中(　 　)
[A] 水柱的重力做正功
[B] 大氣壓力對水柱做負功
[C] 水柱的機械能守恒
ACD
綜合提升練
7.(9分)如圖所示,兩根輕繩連接小球P,右側繩一端固定于A,左側繩通過B點處光滑定滑輪連接一物體Q,物體Q、N通過一輕彈簧連接,Q、N質量均為m,整個系統處于靜止狀態時,小球P位于圖示位置,兩繩與水平方向夾角分別為37° 和53° ,此時物體N與地面間彈力恰好為零。現將小球P托至與A、B等高的水平線上,兩繩均拉直且無彈力,然后由靜止釋放小球P。已知圖示小球P右側繩長為L,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度為g。求:
(1)小球P的質量M;
(2)小球P再運動到圖示位置時Q的速度大小v;
(3)小球P從釋放到圖示位置過程中輕繩對物體Q做的功W。
8.(11分)甲、乙、丙三個物體用不可伸長的輕線通過輕滑輪連接,甲與地面用輕彈簧連接,如圖所示。物體乙與物體丙之間的距離和物體丙到地面的距離相等。已知物體乙與物體丙的質量均為m,物體甲的質量大于m,但是小于2m;彈簧的勁度系數為k。物體在運動過程中不會與滑輪相碰,且不計一切阻力,物體碰地后不反彈,當地的重力加速度為g。
(1)若已知物體甲的質量為1.5m,將乙與丙間的線剪斷,求剪斷瞬間乙物體加速度的大小,此時甲、乙之間輕繩拉力多大
【答案】 (1)0.4g　1.4mg
【解析】 (1)將乙與丙間的線剪斷瞬間,對甲、乙整體根據牛頓第二定律有mg=(1.5m+m)a,
解得a=0.4g,
對乙進行受力分析有FT-mg=ma,
則FT=1.4mg。
(2)若將乙與丙間的線剪斷,甲下降多大距離時它的速度最大
(3)若突然彈簧與物體甲脫離接觸,要保證物體乙在運動過程中不會著地,求這種情形之下物體甲的質量的取值范圍。

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