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第1講　萬有引力與相對論
2024年9月底,一顆小行星被地球引力捕獲,成為一顆繞地球運行的“迷你月亮”。這顆新發(fā)現(xiàn)的小行星被命名為2024 PT5,直徑在5至42 m之間,它于9月29日至11月25日期間,被地球引力捕獲并繞地球運行。于11月25日離開地球軌道,返回日心軌道。請思考: (1)不同的小行星繞地球運動的軌道以及速度、周期等有何特點 (2)萬有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條件是什么 (3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關(guān)系 用什么方法可以計算出地球質(zhì)量
　　　　　 　　　　　
(2024·江蘇泰州期中)如圖所示,神舟十四號載人飛船繞地球沿橢圓軌道運動,運動周期為T,圖中虛線為飛船的運行軌跡,A、B、C、D是軌跡上的四個位置,其中A點距離地球最近,C點距離地球最遠。B點和D點是弧線ABC和ADC的中點,則(　　)
[A] 飛船在C點速度最大
[B] 飛船在C點所受引力最大
[C] 飛船從A點經(jīng)D到C點的運動時間小于
[D] 飛船從D點經(jīng)C到B點的運動時間大于
【答案】 D
考點一　開普勒定律的理解與應(yīng)用
把行星繞太陽的運動看作勻速圓周運動,請推導開普勒第三定律=k中的k值與中心天體質(zhì)量的定量關(guān)系。
提示:由萬有引力提供向心力,有G=m行r,解得=,故k=。
1.行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理。
2.由開普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2,v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在兩個位置的速度大小之比與到太陽的距離成反比,近日點速度最大,遠日點速度最小。
3.開普勒第三定律=k中,k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體k值不同,且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
[例1] 【開普勒定律的理解】 對于開普勒行星運動定律的理解,下列說法正確的是(　　)
[A] 開普勒通過自己長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律
[B] 根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運動的軌道是圓,太陽處于圓心位置
[C] 根據(jù)開普勒第二定律,行星距離太陽越近,其運動速度越大;距離太陽越遠,其運動速度
越小
[D] 根據(jù)開普勒第三定律,行星圍繞太陽運動的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比
【答案】 C
【解析】 第谷進行了長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),開普勒通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律,選項A錯誤;根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運動的軌道是橢圓,太陽處于橢圓的一個焦點上,選項B錯誤;根據(jù)開普勒第二定律,行星距離太陽越近,其運動速度越大,距離太陽越遠,其運動速度越小,選項C正確;根據(jù)開普勒第三定律,行星圍繞太陽運動軌道的半長軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比,選項D錯誤。
[例2] 【開普勒定律的應(yīng)用】 (2024·山東青島三模)天宮空間站是我國獨立建設(shè)的空間站系統(tǒng)。空間站沿圖中橢圓軌道逆時針運行,圖表是空間站某階段的運行參數(shù)。已知M、N是橢圓軌道短軸的兩個端點,月球的公轉(zhuǎn)周期為27天。則(　　)
軌道參數(shù)
近心點高度 350 km
遠心點高度 450 km
軌道傾角 42°
軌道周期 90 min
[A] 空間站與地心連線和月球與地心連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等
[B] 空間站從M點運行到N點的時間小于45 min
[C] 月球繞地球運行的軌道半長軸約為空間站繞地球運行軌道半長軸的18倍
[D] 空間站在M點和在N點時的加速度相同
【答案】 B
【解析】 空間站和月球不是同一物體,運行軌道不同,則空間站與地心連線和月球與地心連線在相等時間內(nèi)掃過的面積不一定相等,故A錯誤;根據(jù)開普勒第二定律,空間站距離地球越近,速度越大,所以空間站從M點運行到N點的時間小于半個周期,即小于45 min,故B正確;根據(jù)=,得===36,故C錯誤;空間站在M點和N點所受地球萬有引力大小相等,方向不同,所以加速度大小相等,方向不同,故D錯誤。
開普勒定律的適用范圍
(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運轉(zhuǎn)的所有行星,也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。但需要注意的是,不同行星的運行不能套用開普勒第二定律。
(2)開普勒第三定律不僅適用于太陽系,它對具有中心天體的引力系統(tǒng)(如行星-衛(wèi)星系統(tǒng))和雙星系統(tǒng)[=,L為雙星的距離]都成立。
考點二　萬有引力定律的理解與應(yīng)用
1.萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果:一是物體的重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn,如圖所示(設(shè)地球質(zhì)量為M)。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在兩極上:G=mg2。
(3)在一般位置:萬有引力G等于重力mg與向心力Fn的矢量和。越靠近南北兩極g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小,常認為萬有引力近似等于重力,即=mg,即GM=gR2(黃金代換)。
2.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn)):mg=G,可得g=。
(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度g′:mg′=,可得g′=,所以=。
3.萬有引力的“兩個推論”
推論1:在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零,即∑F引=0。
推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力,即F=。
[例3] 【“挖補法”求解萬有引力】 (2024·湖北武漢模擬)半徑為R、質(zhì)量分布均勻且為M的兩個相同的球固定在水平面上,兩球心之間的距離為4R,它們之間的萬有引力大小為F。現(xiàn)在兩球心的連線外側(cè)各挖掉一個直徑為R的小球,剩余部分放在相同位置,如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
【答案】 D
【解析】 設(shè)小球?qū)α硪粋€大球的萬有引力大小為F1,大球剩余部分對另一個大球的萬有引力大小為F2,小球?qū)π∏虻娜f有引力大小為F3,小球?qū)α硪粋€大球剩余部分的萬有引力大小為F4,大球剩余部分對另一個大球剩余部分的萬有引力大小為F5。由題可知,挖掉小球的質(zhì)量M1=,F=,F1=G==F,F2=F-F1=F,F3==F,F4=F1-F3=F,所以F5=F2-F4=F,故選D。
[例4] 【萬有引力與重力的關(guān)系】 某行星為質(zhì)量分布均勻的球體,半徑為R、質(zhì)量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時,發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上的重力的1.1倍。已知引力常量為G,則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 設(shè)赤道處的重力加速度大小為g0,物體在兩極時萬有引力大小等于重力大小,即G=1.1mg0。在赤道時萬有引力大小等于重力和自轉(zhuǎn)所需的向心力的合力大小,即G=mg0+mω2R,由以上兩式解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω=。
[例5] 【星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解】 近幾年來,我國生產(chǎn)的“蛟龍?zhí)枴毕聺撏黄? 000 m大關(guān),我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)也成功實現(xiàn)全球組網(wǎng)。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零,將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體,北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)星的軌道距離地面的高度為h,“蛟龍?zhí)枴毕聺摰纳疃葹閐,則該衛(wèi)星所在處的重力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?忽略地球自轉(zhuǎn))(　　)
[A] [B] ()2
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 設(shè)地球的密度為ρ,在地球表面,重力和地球的萬有引力大小相等,有G=mg,由于地球的質(zhì)量M=ρV=ρ·πR3,聯(lián)立解得g=πGρR,在深度為d的地球內(nèi)部,“蛟龍?zhí)枴笔艿降厍虻娜f有引力等于半徑為R-d的球體表面的重力,“蛟龍?zhí)枴痹诤＠锼幬恢玫闹亓铀俣葹間1=πGρ(R-d),聯(lián)立可得g1=g,衛(wèi)星在高度h處受到的重力,即為該處受到的萬有引力,即mg2=,解得加速度g2==g,所以=,故C正確。
考點三　天體質(zhì)量和密度的計算
1.利用“天體表面的重力加速度g和天體半徑R”——“自力更生法”。
(1)由G=mg,得天體質(zhì)量M=。
(2)天體密度ρ===。
2.利用繞行天體的“周期和軌道半徑”——“環(huán)繞法”。
(1)由G=mr,得天體的質(zhì)量M=。
(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ===。
(3)若衛(wèi)星繞天體表面附近運行時,可認為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=,可見,只要測出近地衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。
[例6] 【“自力更生法”】 (多選)航天員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球,經(jīng)過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度為g,設(shè)該星球表面附近的重力加速度大小為g′,空氣阻力不計,忽略地球和星球自轉(zhuǎn)的影響。則(　　)
[A] M星∶M地=1∶20
[B] M星∶M地=1∶80
[C] ρ星∶ρ地=16∶5
[D] ρ星∶ρ地=4∶5
【答案】 BD
【解析】 設(shè)初速度為v0,由對稱性可知豎直上拋的小球在空中運動的時間t=,因此==,由G=mg得M=,則==×()2=,選項A錯誤,B正確;根據(jù)密度公式ρ=,V=πR3可得ρ星∶ρ地=4∶5,選項C錯誤,D正確。
[例7] 【“環(huán)繞法”】 (2024·新課標卷,16)天文學家發(fā)現(xiàn),在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行,其中行星GJ1002c的軌道近似為圓,軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
[A] 0.001倍 [B] 0.1倍
[C] 10倍 [D] 1 000倍
【答案】 B
【解析】 設(shè)紅矮星質(zhì)量為M1,行星質(zhì)量為m1,軌道半徑為r1,周期為T1,太陽質(zhì)量為M2,地球質(zhì)量為m2,日地距離為r2,周期為T2,根據(jù)萬有引力定律有G=m1r1,G=m2r2,聯(lián)立可得=()3·()2,代入數(shù)據(jù),得≈0.1,B正確。
(滿分:60分)
對點1.開普勒定律的理解與應(yīng)用
1.(4分)(2025·內(nèi)蒙古高考適應(yīng)性考試)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發(fā)現(xiàn),其繞太陽運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為(　　)
[A] 1.5×103 [B] 1.5×104
[C] 1.5×106 [D] 1.5×107
【答案】 A
【解析】 由開普勒第三定律得=,該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值為==≈1.5×103,故選A。
2.(4分)如圖所示,1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道,1為圓軌道,2為橢圓軌道,橢圓軌道的長軸(近地點和遠地點間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點為橢圓軌道的近地點,M點為橢圓軌道的遠地點,TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是(　　)
[A] B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球的引力將先增大后減小
[B] 地心與衛(wèi)星B的連線在 TA 時間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積
[C] 衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍
[D] 1軌道圓心與2軌道的一個焦點重合
【答案】 D
【解析】 根據(jù)萬有引力定律有F=G,可知B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球的引力逐漸減小,A錯誤;根據(jù)開普勒第三定律得=,解得TB=2TA,所以地心與衛(wèi)星B的連線在 TA時間內(nèi)掃過的面積小于橢圓面積,B、C錯誤;1軌道圓心在地心,2軌道的一個焦點也在地心,所以二者重合,D正確。
3.(4分)(2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空。當?shù)诌_距離月球表面某高度時,鵲橋二號開始進行近月制動,并順利進入捕獲軌道運行,如圖所示,軌道的半長軸約為51 900 km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整,進入凍結(jié)軌道運行,軌道的半長軸約為9 900 km,周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
[A] 周期約為144 h
[B] 近月點的速度大于遠月點的速度
[C] 近月點的速度小于在凍結(jié)軌道運行時近月點的速度
[D] 近月點的加速度大于在凍結(jié)軌道運行時近月點的加速度
【答案】 B
【解析】 凍結(jié)軌道和捕獲軌道的中心天體是月球,根據(jù)開普勒第三定律得=,整理得T2=T1≈288 h,A錯誤;根據(jù)開普勒第二定律得,近月點的速度大于遠月點的速度,B正確;從捕獲軌道到凍結(jié)軌道鵲橋二號進行近月制動,可知在捕獲軌道運行時近月點的速度大于在凍結(jié)軌道運行時近月點的速度,C錯誤;鵲橋二號在兩軌道的近月點所受的萬有引力相同,根據(jù)牛頓第二定律可知,在捕獲軌道運行時近月點的加速度等于在凍結(jié)軌道運行時近月點的加速度,D錯誤。
對點2.萬有引力定律的理解與應(yīng)用
4.(4分)(2024·河北石家莊模擬)2024年5月3日,嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射,自此開啟世界首次月球背面采樣返回之旅。若將來航天員在月球(視為質(zhì)量分布均勻的球體)表面以大小為v0的初速度豎直上拋一物體(視為質(zhì)點),已知引力常量為G,月球的半徑為R、密度為ρ。物體從剛被拋出到剛落回月球表面的時間為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 設(shè)月球表面的重力加速度為g0,則有G=mg0,解得g0==×πR3ρ=,根據(jù)豎直上拋運動的規(guī)律可知,落回月球表面的時間t==2v0×=,C正確。
5.(4分)(2024·重慶九龍坡模擬)如圖甲所示,一半徑為R、密度均勻的球體,在與球心O相距2R的P處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點,球體對該質(zhì)點的萬有引力大小為F。現(xiàn)從球體中挖去半徑為的小球體(球心在O、P連線上,右端位于O點),如圖乙所示,則剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小為(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
【答案】 C
【解析】 設(shè)球體的密度為ρ,球體的質(zhì)量為M,可得M=ρ·πR3,則小球體的質(zhì)量M′=ρ·π()3=,球體對該質(zhì)點的萬有引力大小F=G,故挖去小球體后,剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小F剩余=F-G,解得F剩余=F,故選C。
6.(4分)(2024·甘肅卷,3)小杰想在離地表一定高度的天宮實驗室內(nèi),通過測量以下物理量得到天宮實驗室軌道處的重力加速度,可行的是(　　)
[A] 用彈簧秤測出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
[B] 測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期
[C] 從高處釋放一個重物,測量其下落高度和時間
[D] 測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑
【答案】 D
【解析】 在天宮實驗室內(nèi),物體處于完全失重狀態(tài),萬有引力提供了物體繞地球做勻速圓周運動的向心力,故A、B、C中的實驗均無法得到天宮實驗室軌道處的重力加速度。由萬有引力提供天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的向心力得mg′=G=mr,整理得天宮實驗室軌道處的重力加速度為g′=r,故通過測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑可行,D正確。
對點3.天體質(zhì)量和密度的計算
7.(4分)(2024·海南卷,6)嫦娥六號進入環(huán)月圓軌道,周期為T,軌道高度與月球半徑之比為k,引力常量為G,則月球的平均密度為(　　)
[A] [B]
[C] [D] (1+k)3
【答案】 D
【解析】 設(shè)月球半徑為R,質(zhì)量為M,對嫦娥六號,根據(jù)萬有引力提供向心力G=m·(k+1)R,月球的體積V=πR3,月球的平均密度ρ=,聯(lián)立可得ρ=(1+k)3。
8.(6分)(2024·山東威海二模)(多選)如圖所示,某衛(wèi)星沿半徑為r的圓周繞地球運動,若衛(wèi)星要返回地面,可在圓周上適當位置降低速率,變軌后沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動,橢圓和地球表面在M點相切,橢圓與圓軌道在N點相切,N點到地球表面的最近距離為h。已知引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 衛(wèi)星由M運動到N的時間為
[B] 衛(wèi)星由M運動到N的時間為
[C] 地球的密度為
[D] 地球的密度為
【答案】 AC
【解析】 衛(wèi)星做圓周運動時,有G=mr,由開普勒第三定律有=,從M到N的時間為t==,故A正確,B錯誤;地球表面重力加速度為g,有=mg,地球的體積為V=×π(r-h)3,密度為ρ==,故C正確,D錯誤。
9.(4分)(2024·山東卷,5)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行,其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r,則月球與地球質(zhì)量之比可表示為(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 “鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道運行時,根據(jù)開普勒第三定律有=k,同理,對地球的同步衛(wèi)星有=k′,對于地球同步衛(wèi)星,有=,解得=,故可得開普勒常量與中心天體的質(zhì)量成正比,所以=,聯(lián)立可得=。
10.(6分)(2024·湖南長沙三模)(多選)2024年4月25日,“神舟十八號”載人飛船在我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射,26日“神舟十八號”入軌后,成功對接天和核心艙徑向?qū)涌?05時04分,“神舟十八號”三名航天員順利進駐中國空間站,和“神舟十七號”三名航天員會師。若地球表面重力加速度為g,地球半徑為R,空間站軌道離地高度約為h,則下列說法正確的是(　　)
[A] 空間站繞地球運行的周期為
[B] 航天員們在空間站里能完成彈簧振子的實驗
[C] “神舟十八號”載人飛船從發(fā)射到進入預定軌道的整個過程均處于失重狀態(tài)
[D] 僅考慮狹義相對論效應(yīng),航天員們在空間站中觀察到時鐘走過20 s,理論上站在地面上的觀察者手里的時鐘走過的時間會大于20 s
【答案】 BD
【解析】 根據(jù)萬有引力提供向心力,有G=m(R+h),根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系G=mg,解得空間站繞地球運行的周期為T=,故A錯誤;在空間站內(nèi),雖然航天員們處于完全失重狀態(tài),但仍然能完成彈簧振子的實驗,故B正確;“神舟十八號”載人飛船在加速升空階段加速度的方向向上,處于超重狀態(tài),衛(wèi)星進入預定軌道后圍繞地球做勻速圓周運動,衛(wèi)星的加速度等于重力加速度,處于完全失重狀態(tài),故C錯誤;根據(jù)狹義相對論時間延緩效應(yīng),理論上站在地面上的觀察者手里的時鐘走過的時間大于20 s,故D正確。
11.(16分)如圖所示,假定地球為密度均勻分布的球體,忽略地球的自轉(zhuǎn),已知地球的半徑為R。理論和實驗證明:質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零。求:
(1)地面上方高h的山頂A處和地面處重力加速度大小之比gA∶g0;
(2)如圖甲所示,地面下方深h的礦井底B處和地面處重力加速度大小之比gB∶g0;
(3)根據(jù)上述兩問的結(jié)論,在圖乙中定性作出重力加速度g隨離地心的距離r而變化的函數(shù)曲線(圖乙中R為地球半徑,g0為地球表面處的重力加速度)。
【答案】 (1)　(2)　(3)圖見解析
【解析】 (1)忽略地球自轉(zhuǎn),萬有引力等于重力,
mg=,
可得g=∝,
可得=。
(2)B以外的球殼對B處物體的萬有引力為零,設(shè)地球總質(zhì)量為M地,B以內(nèi)部分地球的總質(zhì)量為M′,均勻球體質(zhì)量M=ρ×πr3∝r3,
因此=,
重力加速度g=∝,
得=·=。
(3)根據(jù)以上分析,當離地心的距離r小于地球半徑時,有g(shù)=g0;
當r=R時,g=g0;
當離地心的距離r大于地球半徑時,有g(shù)=g0,
如圖所示。
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2024年9月底,一顆小行星被地球引力捕獲,成為一顆繞地球運行的“迷你月亮”。這顆新發(fā)現(xiàn)的小行星被命名為2024 PT5,直徑在5至42 m之間,它于9月29日至11月25日期間,被地球引力捕獲并繞地球運行。于11月25日離開地球軌道,返回日心軌道。請思考: (1)不同的小行星繞地球運動的軌道以及速度、周期等有何特點 (2)萬有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條件是什么 (3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關(guān)系 用什么方法可以計算出地球質(zhì)量
　　　　　 　　　　　
(2024·江蘇泰州期中)如圖所示,神舟十四號載人飛船繞地球沿橢圓軌道運動,運動周期為T,圖中虛線為飛船的運行軌跡,A、B、C、D是軌跡上的四個位置,其中A點距離地球最近,C點距離地球最遠。B點和D點是弧線ABC和ADC的中點,則(　　)
[A] 飛船在C點速度最大
[B] 飛船在C點所受引力最大
[C] 飛船從A點經(jīng)D到C點的運動時間小于
[D] 飛船從D點經(jīng)C到B點的運動時間大于
考點一　開普勒定律的理解與應(yīng)用
把行星繞太陽的運動看作勻速圓周運動,請推導開普勒第三定律=k中的k值與中心天體質(zhì)量的定量關(guān)系。
提示:由萬有引力提供向心力,有G=m行r,解得=,故k=。
1.行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理。
2.由開普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2,v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在兩個位置的速度大小之比與到太陽的距離成反比,近日點速度最大,遠日點速度最小。
3.開普勒第三定律=k中,k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體k值不同,且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
[例1] 【開普勒定律的理解】 對于開普勒行星運動定律的理解,下列說法正確的是(　　)
[A] 開普勒通過自己長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律
[B] 根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運動的軌道是圓,太陽處于圓心位置
[C] 根據(jù)開普勒第二定律,行星距離太陽越近,其運動速度越大;距離太陽越遠,其運動速度
越小
[D] 根據(jù)開普勒第三定律,行星圍繞太陽運動的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比
[例2] 【開普勒定律的應(yīng)用】 (2024·山東青島三模)天宮空間站是我國獨立建設(shè)的空間站系統(tǒng)。空間站沿圖中橢圓軌道逆時針運行,圖表是空間站某階段的運行參數(shù)。已知M、N是橢圓軌道短軸的兩個端點,月球的公轉(zhuǎn)周期為27天。則(　　)
軌道參數(shù)
近心點高度 350 km
遠心點高度 450 km
軌道傾角 42°
軌道周期 90 min
[A] 空間站與地心連線和月球與地心連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等
[B] 空間站從M點運行到N點的時間小于45 min
[C] 月球繞地球運行的軌道半長軸約為空間站繞地球運行軌道半長軸的18倍
[D] 空間站在M點和在N點時的加速度相同
開普勒定律的適用范圍
(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運轉(zhuǎn)的所有行星,也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。但需要注意的是,不同行星的運行不能套用開普勒第二定律。
(2)開普勒第三定律不僅適用于太陽系,它對具有中心天體的引力系統(tǒng)(如行星-衛(wèi)星系統(tǒng))和雙星系統(tǒng)[=,L為雙星的距離]都成立。
考點二　萬有引力定律的理解與應(yīng)用
1.萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果:一是物體的重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn,如圖所示(設(shè)地球質(zhì)量為M)。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在兩極上:G=mg2。
(3)在一般位置:萬有引力G等于重力mg與向心力Fn的矢量和。越靠近南北兩極g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小,常認為萬有引力近似等于重力,即=mg,即GM=gR2(黃金代換)。
2.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn)):mg=G,可得g=。
(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度g′:mg′=,可得g′=,所以=。
3.萬有引力的“兩個推論”
推論1:在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零,即∑F引=0。
推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力,即F=。
[例3] 【“挖補法”求解萬有引力】 (2024·湖北武漢模擬)半徑為R、質(zhì)量分布均勻且為M的兩個相同的球固定在水平面上,兩球心之間的距離為4R,它們之間的萬有引力大小為F。現(xiàn)在兩球心的連線外側(cè)各挖掉一個直徑為R的小球,剩余部分放在相同位置,如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
[例4] 【萬有引力與重力的關(guān)系】 某行星為質(zhì)量分布均勻的球體,半徑為R、質(zhì)量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時,發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上的重力的1.1倍。已知引力常量為G,則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例5] 【星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解】 近幾年來,我國生產(chǎn)的“蛟龍?zhí)枴毕聺撏黄? 000 m大關(guān),我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)也成功實現(xiàn)全球組網(wǎng)。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零,將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體,北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)星的軌道距離地面的高度為h,“蛟龍?zhí)枴毕聺摰纳疃葹閐,則該衛(wèi)星所在處的重力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?忽略地球自轉(zhuǎn))(　　)
[A] [B] ()2
[C] [D]
考點三　天體質(zhì)量和密度的計算
1.利用“天體表面的重力加速度g和天體半徑R”——“自力更生法”。
(1)由G=mg,得天體質(zhì)量M=。
(2)天體密度ρ===。
2.利用繞行天體的“周期和軌道半徑”——“環(huán)繞法”。
(1)由G=mr,得天體的質(zhì)量M=。
(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ===。
(3)若衛(wèi)星繞天體表面附近運行時,可認為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=,可見,只要測出近地衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。
[例6] 【“自力更生法”】 (多選)航天員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球,經(jīng)過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度為g,設(shè)該星球表面附近的重力加速度大小為g′,空氣阻力不計,忽略地球和星球自轉(zhuǎn)的影響。則(　　)
[A] M星∶M地=1∶20
[B] M星∶M地=1∶80
[C] ρ星∶ρ地=16∶5
[D] ρ星∶ρ地=4∶5
[例7] 【“環(huán)繞法”】 (2024·新課標卷,16)天文學家發(fā)現(xiàn),在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行,其中行星GJ1002c的軌道近似為圓,軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
[A] 0.001倍 [B] 0.1倍
[C] 10倍 [D] 1 000倍
(滿分:60分)
對點1.開普勒定律的理解與應(yīng)用
1.(4分)(2025·內(nèi)蒙古高考適應(yīng)性考試)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發(fā)現(xiàn),其繞太陽運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為(　　)
[A] 1.5×103 [B] 1.5×104
[C] 1.5×106 [D] 1.5×107
2.(4分)如圖所示,1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道,1為圓軌道,2為橢圓軌道,橢圓軌道的長軸(近地點和遠地點間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點為橢圓軌道的近地點,M點為橢圓軌道的遠地點,TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是(　　)
[A] B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球的引力將先增大后減小
[B] 地心與衛(wèi)星B的連線在 TA 時間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積
[C] 衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍
[D] 1軌道圓心與2軌道的一個焦點重合
3.(4分)(2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空。當?shù)诌_距離月球表面某高度時,鵲橋二號開始進行近月制動,并順利進入捕獲軌道運行,如圖所示,軌道的半長軸約為51 900 km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整,進入凍結(jié)軌道運行,軌道的半長軸約為9 900 km,周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
[A] 周期約為144 h
[B] 近月點的速度大于遠月點的速度
[C] 近月點的速度小于在凍結(jié)軌道運行時近月點的速度
[D] 近月點的加速度大于在凍結(jié)軌道運行時近月點的加速度
對點2.萬有引力定律的理解與應(yīng)用
4.(4分)(2024·河北石家莊模擬)2024年5月3日,嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射,自此開啟世界首次月球背面采樣返回之旅。若將來航天員在月球(視為質(zhì)量分布均勻的球體)表面以大小為v0的初速度豎直上拋一物體(視為質(zhì)點),已知引力常量為G,月球的半徑為R、密度為ρ。物體從剛被拋出到剛落回月球表面的時間為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(4分)(2024·重慶九龍坡模擬)如圖甲所示,一半徑為R、密度均勻的球體,在與球心O相距2R的P處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點,球體對該質(zhì)點的萬有引力大小為F。現(xiàn)從球體中挖去半徑為的小球體(球心在O、P連線上,右端位于O點),如圖乙所示,則剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小為(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
6.(4分)(2024·甘肅卷,3)小杰想在離地表一定高度的天宮實驗室內(nèi),通過測量以下物理量得到天宮實驗室軌道處的重力加速度,可行的是(　　)
[A] 用彈簧秤測出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
[B] 測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期
[C] 從高處釋放一個重物,測量其下落高度和時間
[D] 測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑
對點3.天體質(zhì)量和密度的計算
7.(4分)(2024·海南卷,6)嫦娥六號進入環(huán)月圓軌道,周期為T,軌道高度與月球半徑之比為k,引力常量為G,則月球的平均密度為(　　)
[A] [B]
[C] [D] (1+k)3
8.(6分)(2024·山東威海二模)(多選)如圖所示,某衛(wèi)星沿半徑為r的圓周繞地球運動,若衛(wèi)星要返回地面,可在圓周上適當位置降低速率,變軌后沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動,橢圓和地球表面在M點相切,橢圓與圓軌道在N點相切,N點到地球表面的最近距離為h。已知引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 衛(wèi)星由M運動到N的時間為
[B] 衛(wèi)星由M運動到N的時間為
[C] 地球的密度為
[D] 地球的密度為
9.(4分)(2024·山東卷,5)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行,其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r,則月球與地球質(zhì)量之比可表示為(　　)
[A] [B] [C] [D]
10.(6分)(2024·湖南長沙三模)(多選)2024年4月25日,“神舟十八號”載人飛船在我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射,26日“神舟十八號”入軌后,成功對接天和核心艙徑向?qū)涌?05時04分,“神舟十八號”三名航天員順利進駐中國空間站,和“神舟十七號”三名航天員會師。若地球表面重力加速度為g,地球半徑為R,空間站軌道離地高度約為h,則下列說法正確的是(　　)
[A] 空間站繞地球運行的周期為
[B] 航天員們在空間站里能完成彈簧振子的實驗
[C] “神舟十八號”載人飛船從發(fā)射到進入預定軌道的整個過程均處于失重狀態(tài)
[D] 僅考慮狹義相對論效應(yīng),航天員們在空間站中觀察到時鐘走過20 s,理論上站在地面上的觀察者手里的時鐘走過的時間會大于20 s
11.(16分)如圖所示,假定地球為密度均勻分布的球體,忽略地球的自轉(zhuǎn),已知地球的半徑為R。理論和實驗證明:質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零。求:
(1)地面上方高h的山頂A處和地面處重力加速度大小之比gA∶g0;
(2)如圖甲所示,地面下方深h的礦井底B處和地面處重力加速度大小之比gB∶g0;
(3)根據(jù)上述兩問的結(jié)論,在圖乙中定性作出重力加速度g隨離地心的距離r而變化的函數(shù)曲線(圖乙中R為地球半徑,g0為地球表面處的重力加速度)。
(
第
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)(共51張PPT)
高中總復習·物理
第1講　
萬有引力與相對論
情境導思
2024年9月底,一顆小行星被地球引力捕獲,成為一顆繞地球運行的“迷你月亮”。這顆新發(fā)現(xiàn)的小行星被命名為2024 PT5,直徑在5至42 m之間,它于9月29日至11月25日期間,被地球引力捕獲并繞地球運行。于11月25日離開地球軌道,返回日心軌道。請思考:
(1)不同的小行星繞地球運動的軌道以及速度、周期等有何特點
(2)萬有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條件是什么
(3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關(guān)系 用什么方法可以計算出地球質(zhì)量
知識構(gòu)建
小題試做
(2024·江蘇泰州期中)如圖所示,神舟十四號載人飛船繞地球沿橢圓軌道運動,運動周期為T,圖中虛線為飛船的運行軌跡,A、B、C、D是軌跡上的四個位置,其中A點距離地球最近,C點距離地球最遠。B點和D點是弧線ABC和ADC的中點,則(　　)
D
1.行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理。
[例1] 【開普勒定律的理解】 對于開普勒行星運動定律的理解,下列說法正確的是(　　)
[A] 開普勒通過自己長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律
[B] 根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運動的軌道是圓,太陽處于圓心位置
[C] 根據(jù)開普勒第二定律,行星距離太陽越近,其運動速度越大;距離太陽越遠,其運動速度
越小
[D] 根據(jù)開普勒第三定律,行星圍繞太陽運動的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比
C
【解析】 第谷進行了長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),開普勒通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律,選項A錯誤;根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運動的軌道是橢圓,太陽處于橢圓的一個焦點上,選項B錯誤;根據(jù)開普勒第二定律,行星距離太陽越近,其運動速度越大,距離太陽越遠,其運動速度越小,選項C正確;根據(jù)開普勒第三定律,行星圍繞太陽運動軌道的半長軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比,選項D錯誤。
[例2] 【開普勒定律的應(yīng)用】 (2024·山東青島三模)天宮空間站是我國獨立建設(shè)的空間站系統(tǒng)。空間站沿圖中橢圓軌道逆時針運行,圖表是空間站某階段的運行參數(shù)。已知M、N是橢圓軌道短軸的兩個端點,月球的公轉(zhuǎn)周期為27天。則(　　)
B
軌道參數(shù)
近心點高度 350 km
遠心點高度 450 km
軌道傾角 42°
軌道周期 90 min
[A] 空間站與地心連線和月球與地心連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等
[B] 空間站從M點運行到N點的時間小于45 min
[C] 月球繞地球運行的軌道半長軸約為空間站繞地球運行軌道半長軸的18倍
[D] 空間站在M點和在N點時的加速度相同
規(guī)律總結(jié)
開普勒定律的適用范圍
(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運轉(zhuǎn)的所有行星,也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。但需要注意的是,不同行星的運行不能套用開普勒第二定律。
1.萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果:一是物體的重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn,如圖所示(設(shè)地球質(zhì)量為M)。
2.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
3.萬有引力的“兩個推論”
[例3] 【“挖補法”求解萬有引力】 (2024·湖北武漢模擬)半徑為R、質(zhì)量分布均勻且為M的兩個相同的球固定在水平面上,兩球心之間的距離為4R,它們之間的萬有引力大小為F。現(xiàn)在兩球心的連線外側(cè)各挖掉一個直徑為R的小球,剩余部分放在相同位置,如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為(　　)
D
[例4] 【萬有引力與重力的關(guān)系】 某行星為質(zhì)量分布均勻的球體,半徑為R、質(zhì)量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時,發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上的重力的1.1倍。已知引力常量為G,則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為(　　)
B
C
1.利用“天體表面的重力加速度g和天體半徑R”——“自力更生法”。
[例6] 【“自力更生法”】 (多選)航天員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球,經(jīng)過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度為g,設(shè)該星球表面附近的重力加速度大小為g′,空氣阻力不計,忽略地球和星球自轉(zhuǎn)的影響。則( 　 　)
[A] M星∶M地=1∶20
[B] M星∶M地=1∶80
[C] ρ星∶ρ地=16∶5
[D] ρ星∶ρ地=4∶5
BD
[例7] 【“環(huán)繞法”】 (2024·新課標卷,16)天文學家發(fā)現(xiàn),在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行,其中行星GJ1002c的軌道近似為圓,軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的
(　　)
[A] 0.001倍
[B] 0.1倍
[C] 10倍
[D] 1 000倍
B
1.(4分)(2025·內(nèi)蒙古高考適應(yīng)性考試)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發(fā)現(xiàn),其繞太陽運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為(　　)
[A] 1.5×103 [B] 1.5×104
[C] 1.5×106 [D] 1.5×107
對點1.開普勒定律的理解與應(yīng)用
基礎(chǔ)對點練
A
2.(4分)如圖所示,1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道,1為圓軌道,2為橢圓軌道,橢圓軌道的長軸(近地點和遠地點間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點為橢圓軌道的近地點,M點為橢圓軌道的遠地點,TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是(　　)
D
3.(4分)(2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空。當?shù)诌_距離月球表面某高度時,鵲橋二號開始進行近月制動,并順利進入捕獲軌道運行,如圖所示,軌道的半長軸約為51 900 km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整,進入凍結(jié)軌道運行,軌道的半長軸約為9 900 km,周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
[A] 周期約為144 h
[B] 近月點的速度大于遠月點的速度
[C] 近月點的速度小于在凍結(jié)軌道運行時近月點的速度
[D] 近月點的加速度大于在凍結(jié)軌道運行時近月點的加速度
B
4.(4分)(2024·河北石家莊模擬)2024年5月3日,嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射,自此開啟世界首次月球背面采樣返回之旅。若將來航天員在月球(視為質(zhì)量分布均勻的球體)表面以大小為v0的初速度豎直上拋一物體(視為質(zhì)點),已知引力常量為G,月球的半徑為R、密度為ρ。物體從剛被拋出到剛落回月球表面的時間為(　　)
C
對點2.萬有引力定律的理解與應(yīng)用
C
6.(4分)(2024·甘肅卷,3)小杰想在離地表一定高度的天宮實驗室內(nèi),通過測量以下物理量得到天宮實驗室軌道處的重力加速度,可行的是(　　)
[A] 用彈簧秤測出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
[B] 測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期
[C] 從高處釋放一個重物,測量其下落高度和時間
[D] 測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑
D
D
對點3.天體質(zhì)量和密度的計算
AC
D
BD
綜合提升練
11.(16分)如圖所示,假定地球為密度均勻分布的球體,忽略地球的自轉(zhuǎn),已知地球的半徑為R。理論和實驗證明:質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零。求:
(1)地面上方高h的山頂A處和地面處重力加速度大小之比gA∶g0;
(2)如圖甲所示,地面下方深h的礦井底B處和地面處重力加速度大小之比gB∶g0;
(3)根據(jù)上述兩問的結(jié)論,在圖乙中定性作出重力加速度g隨離地心的距離r而變化的函數(shù)曲線(圖乙中R為地球半徑,
G0為地球表面處的重力加速度)。

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