資源簡介

第3講　小專題:衛星變軌問題　雙星模型
考點一　衛星的變軌和對接問題
1.衛星發射與變軌原理
(1)為了節省能量,在赤道上順著地球自轉方向先發射衛星到圓軌道Ⅰ上,衛星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動,有G=m,如圖所示。
(2)在A點(近地點)點火加速,由于速度變大,所需向心力變大,G(3)在橢圓軌道B點(遠地點),G>m,將做近心運動,再次點火加速,使G=m,進入圓軌道Ⅲ。
2.兩類變軌情況
兩類變軌 離心運動 近心運動
示意圖
變軌原因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
萬有引力 與向心力 的大小 關系 Gm
3.變軌過程中三個運行參量的分析
速度 設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3,在軌道Ⅱ上過A點和B點時的速率分別為vA、vB。在A點加速,則vA>v1,在B點加速,則v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB
加速度 因為在A點,衛星只受到萬有引力的作用,故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點,衛星的加速度都相同;同理,經過B點加速度也相同
周期 設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行的周期分別為T1、T2、T3,軌道半徑(半長軸)分別為r1、r2、r3,由開普勒第三定律=k可知T14.飛船對接問題
宇宙飛船與空間站的“對接”實際上就是兩個做勻速圓周運動的物體的追趕問題,本質仍然是衛星的變軌問題,要使宇宙飛船與空間站成功“對接”,必須讓宇宙飛船在稍低軌道上加速,通過速度v增大→所需向心力增大→做離心運動→軌道半徑r增大→升高軌道的系列變速,從而完成宇宙飛船與空間站的成功對接。
[例1] 【衛星變軌問題中各物理量的比較】 (2024·湖北卷,4)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動,如圖中實線所示。為了避開碎片,空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體,使空間站獲得一定的反沖速度,從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示,其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
[A] 空間站變軌前、后在P點的加速度相同
[B] 空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
[C] 空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
[D] 空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
【答案】 A
【解析】 在P點變軌前、后空間站都只受到地球的萬有引力且不變,根據牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在P點的加速度相同,故A正確;變軌后其半長軸大于原軌道半徑,根據開普勒第三定律可知空間站變軌后的運動周期比變軌前的大,故B錯誤;變軌后在P點因反沖運動獲得豎直向下的速度,原水平向左的圓周運動速度不變,即合速度變大,故C錯誤;由于空間站變軌后在P點的速度比變軌前大,在近地點時的速度更大,則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小,故D錯誤。
[提升] 【衛星變軌過程的功能分析】 如圖所示,飛船在半徑為r1=r的圓軌道上做勻速圓周運動,在A點時使飛船加速進入橢圓軌道,到橢圓軌道的遠地點B點時,再次改變飛船的速度,使飛船進入半徑為r2=2r的圓軌道做勻速圓周運動。已知飛船在橢圓軌道時距地心的距離與速度的乘積為定值,飛船在橢圓軌道上A點時的速度為v,飛船的總質量為m,地球質量為M,引力常量為G,則發動機在A點對飛船做的功與在B點對飛船做的功之差為多少
【答案】 mv2-
【解析】 當在r1=r的圓軌道上運行時,有
G=m,
解得在圓軌道上運行時通過A點的速度為
v0=,
所以發動機在A點對飛船做的功為
W1=mv2-m=mv2-;
當在r2=2r的圓軌道上運行時,有
G=m,
解得在圓軌道上運行時通過B點的速度為
v0′=,
而根據題意可知在橢圓軌道上通過B點時的速度為v1=v=v,
故發動機在B點對飛船做的功為
W2=mv0′2-m=-mv2,
所以W1-W2=mv2-。
[例2] 【飛船對接問題】 2024年4月26日,“神舟十八號”飛船順利對接“天和核心艙”再現“太空會師”。假設“天和核心艙”與“神舟十八號”都圍繞地球做勻速圓周運動,為了實現“神舟十八號”飛船與“天和核心艙”的對接,下列措施可行的是(　　)
[A] 使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,然后飛船加速追上“天和核心艙”實現對接
[B] 使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,然后“天和核心艙”減速等待飛船實現對接
[C] 飛船先在比“天和核心艙”半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近“天和核心艙”,兩者速度接近時實現對接
[D] 飛船先在比“天和核心艙”半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近“天和核心艙”,兩者速度接近時實現對接
【答案】 C
【解析】 若使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,當飛船加速時,所需向心力變大,則飛船將脫離原軌道而進入更高的軌道,不能實現對接;若“天和核心艙”減速,所需向心力變小,則“天和核心艙”將脫離原軌道而進入更低的軌道,同樣不能實現對接,故A、B錯誤。要想實現對接,可使飛船在比“天和核心艙”半徑較小的軌道上加速,然后飛船將進入較高的“天和核心艙”軌道,逐漸靠近“天和核心艙”后,兩者速度接近時實現對接,故C正確,D錯誤。
考點二　雙星或多星模型
1.雙星模型
(1)模型構建:繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統,我們稱之為雙星系統,如圖所示。
(2)特點。
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供,即
=m1r1,=m2r2。
②兩顆星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為 r1+r2=L。
④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比,即=。
⑤雙星的運動周期T=2π。
⑥雙星的總質量m1+m2=。
2.多星模型
所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力,除中央星體外,各星體的角速度或周期相同。常見的多星模型及規律:
+=man
×cos 30°×2=man
×cos 45°×2+=man
×cos 30°×2+=man
[例3] 【雙星模型】 (2024·河北邢臺一模)(多選)2017年,人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程,在兩顆中子星合并前約100 s時,它們間的距離為r,繞兩者連線上的某點每秒轉動n圈,將兩顆中子星都看作質量均勻分布的球體,引力常量為G,下列說法正確的是(　　)
[A] 兩顆中子星轉動的周期均為n(s)
[B] 兩顆中子星轉動時所需向心力之比等于它們的轉動半徑之比
[C] 兩顆中子星的轉動半徑之比等于它們質量的反比
[D] 兩顆中子星的質量之和為
【答案】 CD
【解析】 根據題意可知, 兩顆中子星繞兩者連線上的某點每秒轉動n圈,則周期為T=(s),故A錯誤;設兩顆星的質量分別為m1、m2,兩顆中子星轉動時所需的向心力由二者之間的萬有引力提供,即向心力大小均為F=G,故B錯誤;設兩顆星的軌道半徑分別為r1、r2,相距r,根據萬有引力提供向心力可知G=m1r1=m2r2,可得=,即兩顆中子星的轉動半徑與它們的質量成反比,同時將上述向心力公式化簡可得m1+m2==,故C、D正確。
[例4] 【三星模型】 (多選)太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統,通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式,一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行,如圖a所示,另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行,如圖b所示。設這三個星體的質量均為M,并設兩種系統的運動周期相同,則(　　)
　　　　　 　a　　　　　　　　 b
[A] 直線三星系統中甲星和丙星的線速度相同
[B] 直線三星系統的運動周期為T=4πR
[C] 三角形三星系統中星體間的距離為L=R
[D] 三角形三星系統的線速度大小為
【答案】 BC
【解析】 直線三星系統中甲星和丙星角速度相同,運動半徑相同,由v=ωR,甲星和丙星的線速度大小相等,方向不同,故A錯誤;由萬有引力提供向心力有G+G=MR,得T=4πR,故B正確;根據題意可得,三角形三星系統中任意星體所受合力為F=2×cos 30°×G=,又萬有引力提供向心力,可得 F=Mr,因為兩種系統的運動周期相同,即T′=T,軌道半徑r與邊長L的關系為L=r,解得L=R,故C正確;三角形三星系統的線速度大小為v=,得v=·,故D錯誤。
宇宙多星問題的分析思路
考點三　星球“瓦解”及黑洞問題　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.星球的瓦解問題
當星球自轉越來越快時,星球對“赤道”上的物體的引力不足以提供向心力時,物體將會“飄起來”,進一步導致星球瓦解,瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力,即=mω2R,得ω=。當ω>時,星球瓦解,當ω≤時,星球穩定運行。
2.黑洞
黑洞是一種密度極大、引力極大的天體,以至于光都無法逃逸,科學家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規律間接研究黑洞。當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的 倍)超過光速時,該天體就是黑洞。
[例5] 【星球的瓦解問題】 我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318+0253”,其自轉周期T=5.19 ms。假設星體為質量均勻分布的球體,已知引力常量為 6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為(　　)
[A] 5×109 kg/m3　 [B] 5×1012 kg/m3
[C] 5×1015 kg/m3　 [D] 5×1018 kg/m3
【答案】 C
【解析】 毫秒脈沖星穩定自轉,萬有引力提供向心力,則有G≥mr,又知M=ρ·πr3,整理得密度ρ≥≈5×1015 kg/m3,故選C。
[例6] 【黑洞問題】 (2024·安徽安慶二模)史瓦西半徑是任何具有質量的物質都存在的一個臨界半徑特征值。該值的含義是:如果一個特定質量的物質被壓縮到此臨界半徑時,該物質就被壓縮成一個黑洞,即此時它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度為其第一宇宙速度的 倍,該星球半徑R=6 400 km,表面重力加速度g取10 m/s2,不考慮星球的自轉,則該星球的史瓦西半徑約為(　　)
[A] 9 nm [B] 9 mm
[C] 9 cm [D] 9 m
【答案】 B
【解析】 星球表面附近有=mg,臨界狀態光速恰好等于其逃逸速度,可得第一宇宙速度可表示為v1=,根據萬有引力提供向心力可得 =m,聯立解得R′≈0.009 m=9 mm。
(滿分:50分)
對點1.衛星的變軌和對接問題
1.(6分)(多選)據中國載人航天工程辦公室消息,“神舟十八號”載人飛船入軌后,于2024年4月26日成功對接于“空間站”天和核心艙徑向端口,“神舟十八號”成功對接“空間站”,在對接之前的某段時間內,“神舟十八號”和“空間站”分別在圓形軌道Ⅰ和Ⅱ上做勻速圓周運動(如圖所示),已知對接后組合體可看作繞地球做勻速圓周運動,運行軌道距地面高度為h,地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 對接前“神舟十八號”的運行周期小于“空間站”的運行周期
[B] “神舟十八號”與“空間站”對接后,“空間站”質量增大,加速度減小
[C] “神舟十八號”需要通過加速才能和“空間站”實現對接
[D] 組合體的運行速度為
【答案】 AC
【解析】 衛星繞地球做勻速圓周運動,由萬有引力提供向心力得G=mr,解得T=,對接前“神舟十八號”處于低軌道,軌道半徑小,則對接前“神舟十八號”的運行周期小于“空間站”的運行周期,故A正確;根據牛頓第二定律可得 G=ma,解得a=G,“神舟十八號”與“空間站”對接后,“空間站”軌道半徑一定,其加速度不變,故B錯誤;“神舟十八號”在低軌道需要通過加速才能變軌到高軌道和“空間站”實現對接,故C正確;對于組合體有G=m1,在地球表面的物體有G=m′g,解得v=,即組合體的運行速度為,故D錯誤。
2.(6分)(2024·湖南長沙二模)(多選)我國探月工程四期嫦娥六號已于2024年5月3日成功發射升空。嫦娥六號被月球俘獲后進入橢圓軌道Ⅰ上運行,當經過近月點M點時啟動點火裝置,完成變軌后進入圓形軌道Ⅱ上運行。已知月球半徑為R,圓形軌道Ⅱ距月球表面距離為nR,橢圓軌道Ⅰ遠月點距月球表面距離為kR,如圖所示,忽略其他天體對嫦娥六號的影響,關于嫦娥六號的運動,下列說法正確的是(　　)
[A] 由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要在M點點火使其加速才能完成
[B] 在軌道Ⅰ上的近月點速度比軌道Ⅱ的速度大
[C] 在軌道Ⅰ上運行周期是軌道Ⅱ上運行周期的倍
[D] 在軌道Ⅱ上運行速度為月球第一宇宙速度的 倍
【答案】 BC
【解析】 由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ嫦娥六號做近心運動,速度要減小,需要在M點點火制動,使其減速才能完成,故在軌道Ⅰ上的近月點速度比軌道Ⅱ的速度大,故A錯誤,B正確;根據題意可得,軌道Ⅰ的半長軸a==,軌道Ⅱ的軌道半徑為R′=(n+1)R,設嫦娥六號在軌道Ⅰ上運行周期為T1,在軌道Ⅱ上運行周期為T2,根據開普勒第三定律有=,可得==,故C正確;設月球的質量為M,嫦娥六號的質量為m,根據萬有引力充當向心力可得 G=m,解得v=,衛星環繞月球表面做圓周運動時的速度即為第一宇宙速度,即月球的第一宇宙速度為v1=,而嫦娥六號在軌道Ⅱ上運行時的速度v2=,由此可得=,故D錯誤。
對點2.雙星或多星模型
3.(4分)(2024·重慶卷,7)在萬有引力作用下,太空中的某三個天體可以做相對位置不變的圓周運動,假設a、b兩個天體的質量均為M,相距為2r,其連線的中點為O,另一天體(圖中未畫出)質量為m(m M),若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置,a、b、c可視為繞O點做角速度相同的勻速圓周,且相對位置不變,忽略其他天體的影響。引力常量為G。則(　　)
[A] c的線速度大小為a的 倍
[B] c的向心加速度大小為b的一半
[C] c在一個周期內的路程為2πr
[D] c的角速度大小為
【答案】 A
【解析】 a、b、c三個天體角速度相同,由于m M,則對a天體有G=Mω2r,解得ω=,故D錯誤;設c與a、b的連線與a、b連線中垂線的夾角為α,對c天體有2Gcos α=mω2,解得α=30°,則c的軌道半徑為rc==r,由v=ωr可知,c的線速度大小為a的倍,故A正確;由an=ω2r,可知c的向心加速度大小是b的倍,故B錯誤;c在一個周期內運動的路程為s=2πrc=2πr,故C錯誤。
4.(6分)(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩定系統,四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點,四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動,忽略其他星體對它們的作用,引力常量為G。下列說法正確的是(　　)
[A] 星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心
[B] 每個星體做勻速圓周運動的角速度均為
[C] 若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍,星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍
[D] 若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍,星體做勻速圓周運動的線速度大小不變
【答案】 BD
【解析】 四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動,所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心,故A錯誤;由G+G=mω2·L,可知ω=,故B正確;由 G+G=ma可知,若邊長L和星體質量m均為原來的兩倍,星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的,故C錯誤;由G+G=m可知,星體做勻速圓周運動的線速度大小為v=,所以若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍,星體做勻速圓周運動的線速度大小不變,故D正確。
對點3.星球“瓦解”及黑洞問題
5.(4分)一近地衛星的運行周期為T0,地球的自轉周期為T,則地球的平均密度與地球不致因自轉而瓦解的最小密度之比為(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 對近地衛星,有G=m()2R,地球的質量M=ρ1·πR3,聯立解得ρ1=,以地球赤道處一質量為m0的物體為研究對象,只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨地球一起旋轉所需的向心力時,地球才不會瓦解,設地球不致因自轉而瓦解的最小密度為ρ2,則有G=m0()2R,M=ρ2·πR3,聯立解得ρ2=,所以=。
6.(4分)科學研究表明,當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的倍)大于光速時,該天體就是黑洞。已知某天體與地球的質量之比為k,地球的半徑為R,地球的環繞速度(第一宇宙速度)為v1,光速為c,則要使該天體成為黑洞,其半徑應小于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 地球的第一宇宙速度為v1=,設當該天體的半徑小于r時,能成為黑洞,則v2=,
并且有v2>c,聯立解得r<。
7.(4分)(2024·山東淄博模擬)為順利完成月球背面的“嫦娥六號”探測器與地球間的通信,需在地月拉格朗日L2點處定位某一衛星,該衛星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動。已知地球、月球球心間的距離約為L2點與月球球心距離的6倍,如圖所示。則地球與月球質量的比值約為(　　)
[A] 36 [B] 49 [C] 83 [D] 216
【答案】 C
【解析】 設地月距離為L,則對月球有G=M月ω2L,對衛星有G+G=mω2(L+),聯立解得≈83。
8.(6分)(2024·山東濱州二模)(多選)2024年4月24日為第九個中國航天日,主題是“極目楚天,共襄星漢”。飛船和空間站的變軌對接可簡化為如圖所示的過程,飛船在停泊軌道Ⅰ上,進行信息確認,后經轉移軌道Ⅱ進入對接軌道Ⅲ,軌道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分別相切于A、B兩點,已知軌道Ⅰ為圓軌道,半徑近似為地球半徑R0,軌道Ⅱ為橢圓軌道,其焦點在地心,軌道Ⅲ為圓軌道,半徑為R,地球表面的重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 飛船在軌道Ⅰ上經過A點時的加速度大于在軌道Ⅱ上經過A點時的加速度
[B] 飛船在軌道Ⅱ上經過A點時的速率小于在軌道Ⅲ上經過B點時的速率
[C] 飛船在軌道Ⅱ上經過A點和B點的速率之比等于
[D] 飛船在軌道Ⅱ上從A點運動到B點的時間為
【答案】 CD
【解析】 根據萬有引力提供向心力可知G=ma,解得a=,飛船在軌道Ⅰ上經過A點時的加速度等于在軌道Ⅱ上經過A點時的加速度,A錯誤;飛船在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上運行時,根據萬有引力提供向心力可知G=m,解得v=,可知在軌道Ⅲ上經過B點時的速率小于在軌道Ⅰ上經過A點時的速率,飛船在軌道Ⅰ上運行時,在A點需加速變軌做離心運動到軌道Ⅱ上,所以經過A點時的速率軌道Ⅱ上的更大,故飛船在軌道Ⅱ上經過A點時的速率大于在軌道Ⅲ上經過B點時的速率,B錯誤;根據開普勒第二定律可知vAtR0=vBtR,解得=,C正確;根據開普勒第三定律可知,在軌道Ⅲ上=k,結合萬有引力定律可知G=mR,解得=,又因為GM=g,==k,根據開普勒第三定律,可知在軌道 Ⅱ 上的運行周期滿足=k,所以其周期T′=·,飛船在軌道 Ⅱ 從A運動到B所用時間為t==,D正確。
9.(6分)(2024·重慶模擬)(多選)如圖所示,航天器c位于日地系統中拉格朗日L1點處,與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形,大圓為地球繞太陽中心做勻速圓周運動的軌跡。實際上,a、b、c是一個“三星”系統,由于航天器的質量遠小于天體的質量,a、b、c繞著a、b構成的“雙星”連線中的O點轉動。忽略其他天體的影響,則(　　)
[A] c的周期大于b的周期
[B] c的向心加速度大于b的向心加速度
[C] c的向心力指向太陽中心
[D] c的線速度大于b的線速度
【答案】 BD
【解析】 在“三星”系統中,由于航天器與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形,則三者圓周運動的角速度大小ω相等。航天器質量遠小于天體質量,在太陽、地球構成的“雙星”系統中,二者之間的萬有引力大小相等,因為地球質量小于太陽質量,則地球環繞半徑大于太陽環繞半徑,O點更靠近太陽,三星系統中,三者的半徑分別為Oa、Ob、Oc,根據幾何關系可知Oc>Ob>Oa,根據圓周運動規律可知周期T=,三者角速度大小相等,所以周期也相等,故A錯誤;根據an=ω2r,因為c的環繞半徑大于b的環繞半徑,所以c的向心加速度大于b的向心加速度,故B正確;三星系統中c的向心力指向圓周運動的中心O點,故C錯誤;線速度v=ωr,因為c的環繞半徑大于b的環繞半徑,所以c的線速度大于b的線速度,故D正確。
10.(4分)(2024·山東日照二模)2021年11月,中科院國家天文臺發布了目前世界上最大時域多星光譜星表,為科學家研究宇宙中的多星系統提供了關鍵數據支持。科學家觀測到有三顆星A、B、C保持相對靜止,相互之間的距離均為l,且一起繞著某點做周期為T的勻速圓周運動。已知mA=m,mB=mC=(+1)m,不計其他星體對它們的影響。關于這個三星系統,下列說法正確的是(　　)
[A] 三顆星做勻速圓周運動的軌道半徑相等
[B] 三顆星A、B、C的線速度大小之比為∶1∶1
[C] 若距離l均不變,A、B、C的質量均變為原來的2倍,則周期變為T
[D] 若A、B、C的質量不變,距離均變為2l,則周期變為T
【答案】 B
【解析】 由于三顆星保持相對靜止,一起繞著某點做圓周運動,三顆星角速度與周期相等,根據對稱性,B、C軌道半徑相等,作出三顆星運動軌跡,如圖所示,
對A星體有2Gcos 30°=mω2RA,對B、C星體,兩星體各自所受引力的合力大小相等,設為F,根據余弦定理有F2=[G]2+[G]2-2G·Gcos 120°,對B、C星體,兩星體各自做圓周運動,B、C軌道半徑相等,設為RB=RC=R0,則有F=(+1)mω2R0,解得=,可知三顆星A、B、C的半徑大小之比為∶1∶1,故A錯誤;根據線速度與角速度的關系有v=ωR,三顆星A、B、C的角速度相等,線速度之比等于半徑之比,結合上述可知,三顆星A、B、C的線速度大小之比為∶1∶1,故B正確;距離l均不變,對A星體有2Gcos 30°=mRA,若A、B、C的質量均變為原來的2倍,根據對稱性可知,三星圓周運動的圓心不變,即軌道半徑不變,則有2Gcos 30°=2mRA,解得T1=,即若距離l均不變,A、B、C的質量均變為原來的2倍,則周期變為T,故C錯誤;若A、B、C的質量不變,距離均變為2l,根據對稱性可知,三顆星圓周運動的圓心不變,即軌道半徑均變為先前的2倍,則對A星有2Gcos 30°=m·2RA,解得T2=2T,即若A、B、C的質量不變,距離均變為2l,則周期變為2T,故D錯誤。
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考點一　衛星的變軌和對接問題
1.衛星發射與變軌原理
(1)為了節省能量,在赤道上順著地球自轉方向先發射衛星到圓軌道Ⅰ上,衛星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動,有G=m,如圖所示。
(2)在A點(近地點)點火加速,由于速度變大,所需向心力變大,G(3)在橢圓軌道B點(遠地點),G>m,將做近心運動,再次點火加速,使G=m,進入圓軌道Ⅲ。
2.兩類變軌情況
兩類變軌 離心運動 近心運動
示意圖
變軌原因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
萬有引力 與向心力 的大小 關系 Gm
3.變軌過程中三個運行參量的分析
速度 設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3,在軌道Ⅱ上過A點和B點時的速率分別為vA、vB。在A點加速,則vA>v1,在B點加速,則v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB
加速度 因為在A點,衛星只受到萬有引力的作用,故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點,衛星的加速度都相同;同理,經過B點加速度也相同
周期 設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行的周期分別為T1、T2、T3,軌道半徑(半長軸)分別為r1、r2、r3,由開普勒第三定律=k可知T14.飛船對接問題
宇宙飛船與空間站的“對接”實際上就是兩個做勻速圓周運動的物體的追趕問題,本質仍然是衛星的變軌問題,要使宇宙飛船與空間站成功“對接”,必須讓宇宙飛船在稍低軌道上加速,通過速度v增大→所需向心力增大→做離心運動→軌道半徑r增大→升高軌道的系列變速,從而完成宇宙飛船與空間站的成功對接。
[例1] 【衛星變軌問題中各物理量的比較】 (2024·湖北卷,4)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動,如圖中實線所示。為了避開碎片,空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體,使空間站獲得一定的反沖速度,從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示,其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
[A] 空間站變軌前、后在P點的加速度相同
[B] 空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
[C] 空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
[D] 空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
[提升] 【衛星變軌過程的功能分析】 如圖所示,飛船在半徑為r1=r的圓軌道上做勻速圓周運動,在A點時使飛船加速進入橢圓軌道,到橢圓軌道的遠地點B點時,再次改變飛船的速度,使飛船進入半徑為r2=2r的圓軌道做勻速圓周運動。已知飛船在橢圓軌道時距地心的距離與速度的乘積為定值,飛船在橢圓軌道上A點時的速度為v,飛船的總質量為m,地球質量為M,引力常量為G,則發動機在A點對飛船做的功與在B點對飛船做的功之差為多少
[例2] 【飛船對接問題】 2024年4月26日,“神舟十八號”飛船順利對接“天和核心艙”再現“太空會師”。假設“天和核心艙”與“神舟十八號”都圍繞地球做勻速圓周運動,為了實現“神舟十八號”飛船與“天和核心艙”的對接,下列措施可行的是(　　)
[A] 使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,然后飛船加速追上“天和核心艙”實現對接
[B] 使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,然后“天和核心艙”減速等待飛船實現對接
[C] 飛船先在比“天和核心艙”半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近“天和核心艙”,兩者速度接近時實現對接
[D] 飛船先在比“天和核心艙”半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近“天和核心艙”,兩者速度接近時實現對接
考點二　雙星或多星模型
1.雙星模型
(1)模型構建:繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統,我們稱之為雙星系統,如圖所示。
(2)特點。
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供,即
=m1r1,=m2r2。
②兩顆星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為 r1+r2=L。
④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比,即=。
⑤雙星的運動周期T=2π。
⑥雙星的總質量m1+m2=。
2.多星模型
所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力,除中央星體外,各星體的角速度或周期相同。常見的多星模型及規律:
+=man
×cos 30°×2=man
×cos 45°×2+=man
×cos 30°×2+=man
[例3] 【雙星模型】 (2024·河北邢臺一模)(多選)2017年,人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程,在兩顆中子星合并前約100 s時,它們間的距離為r,繞兩者連線上的某點每秒轉動n圈,將兩顆中子星都看作質量均勻分布的球體,引力常量為G,下列說法正確的是(　　)
[A] 兩顆中子星轉動的周期均為n(s)
[B] 兩顆中子星轉動時所需向心力之比等于它們的轉動半徑之比
[C] 兩顆中子星的轉動半徑之比等于它們質量的反比
[D] 兩顆中子星的質量之和為
[例4] 【三星模型】 (多選)太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統,通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式,一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行,如圖a所示,另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行,如圖b所示。設這三個星體的質量均為M,并設兩種系統的運動周期相同,則(　　)
　　　　　 　a　　　　　　　　 b
[A] 直線三星系統中甲星和丙星的線速度相同
[B] 直線三星系統的運動周期為T=4πR
[C] 三角形三星系統中星體間的距離為L=R
[D] 三角形三星系統的線速度大小為
宇宙多星問題的分析思路
考點三　星球“瓦解”及黑洞問題　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.星球的瓦解問題
當星球自轉越來越快時,星球對“赤道”上的物體的引力不足以提供向心力時,物體將會“飄起來”,進一步導致星球瓦解,瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力,即=mω2R,得ω=。當ω>時,星球瓦解,當ω≤時,星球穩定運行。
2.黑洞
黑洞是一種密度極大、引力極大的天體,以至于光都無法逃逸,科學家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規律間接研究黑洞。當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的 倍)超過光速時,該天體就是黑洞。
[例5] 【星球的瓦解問題】 我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318+0253”,其自轉周期T=5.19 ms。假設星體為質量均勻分布的球體,已知引力常量為 6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為(　　)
[A] 5×109 kg/m3　 [B] 5×1012 kg/m3
[C] 5×1015 kg/m3　 [D] 5×1018 kg/m3
[例6] 【黑洞問題】 (2024·安徽安慶二模)史瓦西半徑是任何具有質量的物質都存在的一個臨界半徑特征值。該值的含義是:如果一個特定質量的物質被壓縮到此臨界半徑時,該物質就被壓縮成一個黑洞,即此時它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度為其第一宇宙速度的 倍,該星球半徑R=6 400 km,表面重力加速度g取10 m/s2,不考慮星球的自轉,則該星球的史瓦西半徑約為(　　)
[A] 9 nm [B] 9 mm
[C] 9 cm [D] 9 m
(滿分:50分)
對點1.衛星的變軌和對接問題
1.(6分)(多選)據中國載人航天工程辦公室消息,“神舟十八號”載人飛船入軌后,于2024年4月26日成功對接于“空間站”天和核心艙徑向端口,“神舟十八號”成功對接“空間站”,在對接之前的某段時間內,“神舟十八號”和“空間站”分別在圓形軌道Ⅰ和Ⅱ上做勻速圓周運動(如圖所示),已知對接后組合體可看作繞地球做勻速圓周運動,運行軌道距地面高度為h,地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 對接前“神舟十八號”的運行周期小于“空間站”的運行周期
[B] “神舟十八號”與“空間站”對接后,“空間站”質量增大,加速度減小
[C] “神舟十八號”需要通過加速才能和“空間站”實現對接
[D] 組合體的運行速度為
2.(6分)(2024·湖南長沙二模)(多選)我國探月工程四期嫦娥六號已于2024年5月3日成功發射升空。嫦娥六號被月球俘獲后進入橢圓軌道Ⅰ上運行,當經過近月點M點時啟動點火裝置,完成變軌后進入圓形軌道Ⅱ上運行。已知月球半徑為R,圓形軌道Ⅱ距月球表面距離為nR,橢圓軌道Ⅰ遠月點距月球表面距離為kR,如圖所示,忽略其他天體對嫦娥六號的影響,關于嫦娥六號的運動,下列說法正確的是(　　)
[A] 由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要在M點點火使其加速才能完成
[B] 在軌道Ⅰ上的近月點速度比軌道Ⅱ的速度大
[C] 在軌道Ⅰ上運行周期是軌道Ⅱ上運行周期的倍
[D] 在軌道Ⅱ上運行速度為月球第一宇宙速度的 倍
對點2.雙星或多星模型
3.(4分)(2024·重慶卷,7)在萬有引力作用下,太空中的某三個天體可以做相對位置不變的圓周運動,假設a、b兩個天體的質量均為M,相距為2r,其連線的中點為O,另一天體(圖中未畫出)質量為m(m M),若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置,a、b、c可視為繞O點做角速度相同的勻速圓周,且相對位置不變,忽略其他天體的影響。引力常量為G。則(　　)
[A] c的線速度大小為a的 倍
[B] c的向心加速度大小為b的一半
[C] c在一個周期內的路程為2πr
[D] c的角速度大小為
4.(6分)(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩定系統,四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點,四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動,忽略其他星體對它們的作用,引力常量為G。下列說法正確的是(　　)
[A] 星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心
[B] 每個星體做勻速圓周運動的角速度均為
[C] 若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍,星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍
[D] 若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍,星體做勻速圓周運動的線速度大小不變
對點3.星球“瓦解”及黑洞問題
5.(4分)一近地衛星的運行周期為T0,地球的自轉周期為T,則地球的平均密度與地球不致因自轉而瓦解的最小密度之比為(　　)
[A] [B] [C] [D]
6.(4分)科學研究表明,當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的倍)大于光速時,該天體就是黑洞。已知某天體與地球的質量之比為k,地球的半徑為R,地球的環繞速度(第一宇宙速度)為v1,光速為c,則要使該天體成為黑洞,其半徑應小于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
7.(4分)(2024·山東淄博模擬)為順利完成月球背面的“嫦娥六號”探測器與地球間的通信,需在地月拉格朗日L2點處定位某一衛星,該衛星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動。已知地球、月球球心間的距離約為L2點與月球球心距離的6倍,如圖所示。則地球與月球質量的比值約為(　　)
[A] 36 [B] 49 [C] 83 [D] 216
8.(6分)(2024·山東濱州二模)(多選)2024年4月24日為第九個中國航天日,主題是“極目楚天,共襄星漢”。飛船和空間站的變軌對接可簡化為如圖所示的過程,飛船在停泊軌道Ⅰ上,進行信息確認,后經轉移軌道Ⅱ進入對接軌道Ⅲ,軌道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分別相切于A、B兩點,已知軌道Ⅰ為圓軌道,半徑近似為地球半徑R0,軌道Ⅱ為橢圓軌道,其焦點在地心,軌道Ⅲ為圓軌道,半徑為R,地球表面的重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 飛船在軌道Ⅰ上經過A點時的加速度大于在軌道Ⅱ上經過A點時的加速度
[B] 飛船在軌道Ⅱ上經過A點時的速率小于在軌道Ⅲ上經過B點時的速率
[C] 飛船在軌道Ⅱ上經過A點和B點的速率之比等于
[D] 飛船在軌道Ⅱ上從A點運動到B點的時間為
9.(6分)(2024·重慶模擬)(多選)如圖所示,航天器c位于日地系統中拉格朗日L1點處,與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形,大圓為地球繞太陽中心做勻速圓周運動的軌跡。實際上,a、b、c是一個“三星”系統,由于航天器的質量遠小于天體的質量,a、b、c繞著a、b構成的“雙星”連線中的O點轉動。忽略其他天體的影響,則(　　)
[A] c的周期大于b的周期
[B] c的向心加速度大于b的向心加速度
[C] c的向心力指向太陽中心
[D] c的線速度大于b的線速度
10.(4分)(2024·山東日照二模)2021年11月,中科院國家天文臺發布了目前世界上最大時域多星光譜星表,為科學家研究宇宙中的多星系統提供了關鍵數據支持。科學家觀測到有三顆星A、B、C保持相對靜止,相互之間的距離均為l,且一起繞著某點做周期為T的勻速圓周運動。已知mA=m,mB=mC=(+1)m,不計其他星體對它們的影響。關于這個三星系統,下列說法正確的是(　　)
[A] 三顆星做勻速圓周運動的軌道半徑相等
[B] 三顆星A、B、C的線速度大小之比為∶1∶1
[C] 若距離l均不變,A、B、C的質量均變為原來的2倍,則周期變為T
[D] 若A、B、C的質量不變,距離均變為2l,則周期變為T
(
第
1
頁
)(共56張PPT)
高中總復習·物理
第3講　
小專題:衛星變軌問題　
雙星模型
1.衛星發射與變軌原理
2.兩類變軌情況
兩類變軌 離心運動 近心運動
示意圖
變軌原因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
3.變軌過程中三個運行參量的分析
4.飛船對接問題
宇宙飛船與空間站的“對接”實際上就是兩個做勻速圓周運動的物體的追趕問題,本質仍然是衛星的變軌問題,要使宇宙飛船與空間站成功“對接”,必須讓宇宙飛船在稍低軌道上加速,通過速度v增大→所需向心力增大→做離心運動→軌道半徑r增大→升高軌道的系列變速,從而完成宇宙飛船與空間站的成功對接。
[例1] 【衛星變軌問題中各物理量的比較】 (2024·湖北卷,4)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動,如圖中實線所示。為了避開碎片,空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體,使空間站獲得一定的反沖速度,從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示,其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
[A] 空間站變軌前、后在P點的加速度相同
[B] 空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
[C] 空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
[D] 空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
A
【解析】 在P點變軌前、后空間站都只受到地球的萬有引力且不變,根據牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在P點的加速度相同,故A正確;變軌后其半長軸大于原軌道半徑,根據開普勒第三定律可知空間站變軌后的運動周期比變軌前的大,故B錯誤;變軌后在P點因反沖運動獲得豎直向下的速度,原水平向左的圓周運動速度不變,即合速度變大,故C錯誤;由于空間站變軌后在P點的速度比變軌前大,在近地點時的速度更大,則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小,故D錯誤。
[提升] 【衛星變軌過程的功能分析】 如圖所示,飛船在半徑為r1=r的圓軌道上做勻速圓周運動,在A點時使飛船加速進入橢圓軌道,到橢圓軌道的遠地點B點時,再次改變飛船的速度,使飛船進入半徑為r2=2r的圓軌道做勻速圓周運動。已知飛船在橢圓軌道時距地心的距離與速度的乘積為定值,飛船在橢圓軌道上A點時的速度為v,飛船的總質量為m,地球質量為M,引力常量為G,則發動機在A點對飛船做的功與在B點對飛船做的功之差為多少
規范答題
[例2] 【飛船對接問題】 2024年4月26日,“神舟十八號”飛船順利對接“天和核心艙”再現“太空會師”。假設“天和核心艙”與“神舟十八號”都圍繞地球做勻速圓周運動,為了實現“神舟十八號”飛船與“天和核心艙”的對接,下列措施可行的是(　　)
[A] 使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,然后飛船加速追上“天和核心艙”實現對接
[B] 使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,然后“天和核心艙”減速等待飛船實現對接
[C] 飛船先在比“天和核心艙”半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近“天和核心艙”,兩者速度接近時實現對接
[D] 飛船先在比“天和核心艙”半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近“天和核心艙”,兩者速度接近時實現對接
C
【解析】 若使飛船與“天和核心艙”在同一軌道上運行,當飛船加速時,所需向心力變大,則飛船將脫離原軌道而進入更高的軌道,不能實現對接;若“天和核心艙”減速,所需向心力變小,則“天和核心艙”將脫離原軌道而進入更低的軌道,同樣不能實現對接,故A、B錯誤。要想實現對接,可使飛船在比“天和核心艙”半徑較小的軌道上加速,然后飛船將進入較高的“天和核心艙”軌道,逐漸靠近“天和核心艙”后,兩者速度接近時實現對接,故C正確,D錯誤。
1.雙星模型
(1)模型構建:繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統,我們稱之為雙星系統,如圖所示。
(2)特點。
2.多星模型
所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力,除中央星體外,各星體的角速度或周期相同。
常見的多星模型及規律:
CD
BC
　a　　　　　　　　 b
規律方法
宇宙多星問題的分析思路
1.星球的瓦解問題
2.黑洞
黑洞是一種密度極大、引力極大的天體,以至于光都無法逃逸,科學家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規律間接研究黑洞。當天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的 倍)超過光速時,該天體就是黑洞。
[例5] 【星球的瓦解問題】 我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318+0253”,其自轉周期T=5.19 ms。假設星體為質量均勻分布的球體,已知引力常量為 6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為(　　)
[A] 5×109 kg/m3　 [B] 5×1012 kg/m3
[C] 5×1015 kg/m3　 [D] 5×1018 kg/m3
C
B
1.(6分)(多選)據中國載人航天工程辦公室消息,“神舟十八號”載人飛船入軌后,于2024年4月26日成功對接于“空間站”天和核心艙徑向端口,“神舟十八號”成功對接“空間站”,在對接之前的某段時間內,“神舟十八號”和“空間站”分別在圓形軌道Ⅰ和Ⅱ上做勻速圓周運動(如圖所示),已知對接后組合體可看作繞地球做勻速圓周運動,運行軌道距地面高度為h,地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,下列說法正確的是(　 　)
[A] 對接前“神舟十八號”的運行周期小于“空間站”的運行周期
[B] “神舟十八號”與“空間站”對接后,“空間站”質量增大,加速度減小
[C] “神舟十八號”需要通過加速才能和“空間站”實現對接
對點1.衛星的變軌和對接問題
基礎對點練
AC
BC
A
對點2.雙星或多星模型
4.(6分)(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩定系統,四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點,四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動,忽略其他星體對它們的作用,引力常量為G。下列說法正確的是( 　 　)
BD
5.(4分)一近地衛星的運行周期為T0,地球的自轉周期為T,則地球的平均密度與地球不致因自轉而瓦解的最小密度之比為(　　)
D
對點3.星球“瓦解”及黑洞問題
D
7.(4分)(2024·山東淄博模擬)為順利完成月球背面的“嫦娥六號”探測器與地球間的通信,需在地月拉格朗日L2點處定位某一衛星,該衛星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動。已知地球、月球球心間的距離約為L2點與月球球心距離的6倍,如圖所示。則地球與月球質量的比值約為(　　)
[A] 36 [B] 49
[C] 83 [D] 216
C
綜合提升練
8.(6分)(2024·山東濱州二模)(多選)2024年4月24日為第九個中國航天日,主題是“極目楚天,共襄星漢”。飛船和空間站的變軌對接可簡化為如圖所示的過程,飛船在停泊軌道Ⅰ上,進行信息確認,后經轉移軌道Ⅱ進入對接軌道Ⅲ,軌道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分別相切于A、B兩點,已知軌道Ⅰ為圓軌道,半徑近似為地球半徑R0,軌道Ⅱ為橢圓軌道,其焦點在地心,軌道Ⅲ為圓軌道,半徑為R,地球表面的重力加速度為g。下列說法正確的是( 　　)
CD
BD
三者角速度大小相等,所以周期也相等,故A錯誤;根據an=ω2r,因為c的環繞半徑大于b的環繞半徑,所以c的向心加速度大于b的向心加速度,故B正確;三星系統中c的向心力指向圓周運動的中心O點,故C錯誤;線速度v=ωr,因為c的環繞半徑大于b的環繞半徑,所以c的線速度大于b的線速度,故D正確。
B
【解析】 由于三顆星保持相對靜止,一起繞著某點做圓周運動,三顆星角速度與周期相等,根據對稱性,B、C軌道半徑相等,作出三顆星運動軌跡,如圖所示,

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