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第3講　小專題:拋體中的多物體和臨界極值問題
考點一　多物體的拋體運動
[例1] 【多物體平拋的對比分析】(2025·廣東廣州模擬)如圖所示,將a、b兩小球以不同的初速度同時水平拋出,它們均落在水平地面上的P點,a球拋出時的高度比b球的高。P點到兩球起拋點的水平距離相等,不計空氣阻力,與b球相比,a球(　　)
[A] 初速度較大
[B] 速度變化率較大
[C] 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較小
[D] 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較大
【答案】 D
【解析】 兩個小球都做平拋運動,豎直方向均做自由落體運動,由h=gt2,得t=,則ta>tb,小球水平方向都做勻速直線運動,x=v0t,由題意知x相等,又ta>tb,則va[例2] 【平拋與平拋相遇】 如圖所示,A、B兩個小球在同一豎直線上,離地高度分別為2h和h,將兩球水平拋出后,不計空氣阻力,兩球落地時的水平位移分別為x和2x。重力加速度為g,則下列說法正確的是(　　)
[A] A、B兩球的初速度大小之比為1∶4
[B] A、B兩球的運動時間之比為1∶
[C] 兩小球運動軌跡交點的水平位移為x
[D] 兩小球運動軌跡交點的離地高度為h
【答案】 D
【解析】 小球做平拋運動,豎直方向有H=gt2,解得t=,則A球運動時間tA=,B球運動時間tB=,所以tA∶tB=∶1;由x=v0t得v0=,結合兩球落地時位移之比xA∶xB=1∶2,可知A、B兩球的初速度之比為1∶2,A、B錯誤;兩球運動軌跡相交時,水平方向位移相同,因此有vAtA′=vBtB′,B球下落高度hB=gtB′2,A球下落的高度hA=gtA′2,hA=h+hB,聯立各式得hB=h,tB′=,則兩小球運動軌跡交點的高度為h-h=h,兩小球運動軌跡交點的水平位移xB′=vBtB′,2x=vB,聯立解得xB′=x,C錯誤,D正確。
[例3] 【平拋與豎直上拋相遇】 (2024·云南大理模擬)如圖所示,將小球A從P點以速度v1水平拋出,同時將小球B從水平地面上的Q點以速度v2豎直上拋,A、B兩個小球在同一豎直平面內運動,且在Q點正上方的某一位置相遇。已知P點到水平地面的高度為H,P、Q兩點的水平距離為x,A、B兩個小球可視為質點,空氣阻力可忽略不計。下列說法正確的是(　　)
[A] A、B兩個小球相遇時,B小球一定處于上升過程中
[B] 只改變小球A的水平速度v1,A、B兩個小球依然能在Q點正上方相遇
[C] A、B兩個小球初速度必須滿足=
[D] A、B兩個小球從拋出到相遇的過程中,兩球的速度變化量不相等
【答案】 C
【解析】 小球A做平拋運動x=v1t,若與B相遇時下落的高度為h,則h=gt2,小球B做豎直上拋運動,H-h=v2t-gt2,聯立可得=,故C正確;A、B兩個小球在B上升、下降過程中或B到達最高點時均有可能相遇,故A錯誤;若只改變小球A的水平速度v1,不再滿足=,A、B兩個小球不可能在Q點正上方相遇,故B錯誤;A、B兩個小球從拋出到相遇過程中,加速度均為重力加速度g,運動時間t相等,故速度的變化量Δv=gt也相同,故D錯誤。
[例4] 【平拋與斜拋相遇】 (2024·湖南長沙二模)(多選)如圖所示,小球從O點的正上方離地h=40 m高處的P點以v1=10 m/s的速度水平拋出,同時在O點右方地面上S點以速度v2斜向左上方與地面成θ=45°拋出一小球,兩小球恰在O、S連線靠近O的三等分點M的正上方相遇。g取10 m/s2,若不計空氣阻力,則兩小球拋出后到相遇過程(　　)
[A] 兩小球相遇時斜拋小球處于下落階段
[B] 兩小球初速度大小關系為v1∶v2=1∶2
[C] O、S的間距為60 m
[D] 兩小球相遇點一定在距離地面30 m高度處
【答案】 BC
【解析】 由于相遇處在O、S連線靠近O的三等分點M的正上方,則有v2cos θ·t=2v1t,可得兩小球初速度大小關系為v1∶v2=1∶2,故B正確;由v1∶v2=1∶2 可得v2=20 m/s,豎直方向滿足h=gt2+v2sin θ·t-gt2,解得t=2 s,此時斜拋的小球豎直方向的分速度為vy=v2sin θ-gt,解得vy=0,則此時斜拋小球恰好到達最高點,故A錯誤;相遇時離地高度為H=h-gt2=20 m,故D錯誤;O、S的間距為x=3v1t=60 m,故C正確。
考點二　平拋運動中的臨界、極值問題
1.臨界點的確定
(1)若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語,表明題述的過程中存在著“起止點”,而這些“起止點”往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程中存在著極值,這些極值點也往往是臨界點。
2.求解平拋運動臨界問題的一般思路
(1)找出臨界狀態對應的臨界條件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,畫出臨界軌跡。
[例5] 【平拋運動的臨界問題】 如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面,半徑為R,在B點正上方的C點水平拋出一個小球,小球軌跡恰好在D點與圓柱體相切,OD與OB的夾角為60°,則C點到B點的距離為(　　)
[A] R [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 設小球平拋運動的初速度為v0,由題意知小球通過D點時的速度與圓柱體相切,則有=tan 60°,即=;小球平拋運動的水平位移x=Rsin 60°=v0t,聯立解得=,=,設平拋運動的豎直位移為y,=2gy,解得y=,則=y-R(1-cos 60°)=,故D正確,A、B、C錯誤。
[例6] 【平拋運動中的極值問題】 (多選)“山西刀削面”堪稱天下一絕,如圖所示,小面圈(可視為質點)從距離開水鍋高為h處被水平削離,與鍋沿的水平距離為L,鍋的半徑也為L。忽略空氣阻力,且小面圈都落入鍋中,重力加速度為g,則下列關于所有小面圈在空中運動的描述正確的是(　　)
[A] 運動的時間都相同
[B] 速度的變化量不相同
[C] 落入鍋中時,最大速度是最小速度的3倍
[D] 若小面圈剛被拋出時初速度為v0,則L≤v0≤3L
【答案】 AD
【解析】 所有小面圈在空中均做平拋運動,豎直方向均為自由落體運動,根據h=gt2得t=,可知所有小面圈在空中運動的時間都相同,A正確;所有小面圈都只受到重力作用,所以加速度均為g,根據Δv=gt可知所有小面圈在空中運動過程中速度的變化量相同,B錯誤;若小面圈剛被拋出時初速度為v0,根據水平方向為勻速直線運動,落在鍋里的水平距離最小值為L,最大值為3L,有L=vmint,3L=vmaxt,t=,則L≤v0≤3L,小面圈落入鍋中時水平速度最大值為最小值的3倍,但是豎直速度相等,根據速度的合成有v=,可知落入鍋中時,最大速度不是最小速度的3倍,C錯誤,D正確。
(1)平拋運動的臨界問題有兩種常見情形。
①物體達到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度時。
②物體的速度方向恰好沿某一方向時。
(2)解題技巧:在題中找出有關臨界問題的關鍵詞,如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等,然后利用平拋運動對應的位移規律或速度規律進行解題。
(滿分:60分)
對點1.多物體的拋體運動
1.(4分)如圖,x軸沿水平方向,y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正方向拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡,其中b和c是從同一點拋出的。不計空氣阻力,則(　　)
[A] a的飛行時間比b長
[B] b的飛行時間比c長
[C] a的初速度比b的小
[D] b的初速度比c的大
【答案】 D
【解析】 平拋運動為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合運動,因為y=gt2,yaxb>xc,tavb>vc,C錯誤,D正確。
2.(4分)(2023·湖南卷,2)如圖甲,我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖乙所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是(　　)
[A] 谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
[B] 谷粒2在最高點的速度小于v1
[C] 兩谷粒從O到P的運動時間相等
[D] 兩谷粒從O到P的平均速度相等
【答案】 B
【解析】 忽略空氣阻力,拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用,加速度均為重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A錯誤;谷粒2做斜向上拋運動,谷粒1做平拋運動,均從O點運動到P點,故位移相同,在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動,谷粒1做自由落體運動,豎直方向上位移相同,故谷粒2運動時間較長,C錯誤;谷粒2做斜拋運動,水平方向上為勻速直線運動,故運動到最高點的速度即為水平方向上的分速度,與谷粒1比較,水平位移相同,但運動時間較長,故谷粒2水平方向上的速度較小,即最高點的速度小于v1,B正確;兩谷粒從O點運動到P點的位移相同,運動時間不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D錯誤。
3.(4分)(2024·江蘇南京二模)如圖所示,在同一豎直面內,物塊1從a點以速度v1水平拋出,同時物塊2從b點以速度v2拋出,兩物塊在落地前相遇,兩物塊均視為質點,除重力外不受其他作用力。下列說法正確的是(　　)
[A] 相遇點在二者初速度延長線交點的正下方
[B] 只改變v1的大小,兩物塊仍可相遇
[C] 只改變v2的大小,兩物塊仍可相遇
[D] 只把v2的方向向左轉動,兩物塊仍可相遇
【答案】 A
【解析】 設物塊1的高度為h,兩物塊的水平間距為x,物塊2的初速度與水平方向夾角為θ,兩物塊水平方向均做勻速直線運動,則有x1=v1t,x2=v2tcos θ,豎直方向上有h1=gt2,h2=v2tsin θ-gt2,若兩物塊能相遇,根據幾何關系有x=x1+x2,h=h1+h2,聯立解得x1=x-,根據幾何關系可知,相遇點在二者初速度延長線交點的正下方,故A正確;結合上述解得=-cos θ,可知物塊1與物塊2的速度的比值為一個定值,若只改變v1的大小,或者只改變v2的大小,速度比值發生變化,則兩物塊不能夠再相遇,故B、C錯誤;結合上述可知,兩物塊相遇時,速度比值一定,則夾角θ一定,即物塊2速度方向一定,即若只把v2的方向向左轉動,兩物塊不能夠再相遇,故D錯誤。
4.(4分)(2024·浙江溫州三模)如圖所示,將兩個小沙包a、b以不同的初速度分別從A、B兩處先后相差0.5 s水平相向拋出,同時落在水平面同一處,且速度方向與豎直方向夾角相等。兩小沙包a、b視為質點,并在同一豎直面內運動,不計空氣阻力,下列說法正確的是(　　)
[A] A處比B處高1.25 m
[B] 若將兩沙包同時水平拋出,落地前可能會相遇
[C] 若已知B處高度和沙包b的下落時間,可求出A、B的水平距離
[D] 若已知A處高度和沙包a的初速度,可求出A、B的水平距離
【答案】 D
【解析】 設沙包b下落時間為t,則沙包a下落時間為t+0.5 s,A處比B處高Δh=g(t+0.5 s)2-gt2,由此可知Δh>1.25 m,故A錯誤;根據平拋運動的軌跡可知,若兩沙包同時水平拋出,在落地前兩沙包不會相遇,故B錯誤;由于兩沙包落地速度方向與豎直方向夾角相等,則=,A、B的水平距離為x=vbt+va(t+0.5 s),由此可知,需要已知沙包的下落時間和初速度,而平拋運動的下落時間與高度有關,故C錯誤,D正確。
對點2.平拋運動中的臨界、極值問題
5.(6分)(2024·陜西咸陽階段練習)(多選)如圖所示的光滑斜面長為L,寬為s,傾角θ=30°,一小球(可視為質點)沿斜面右上方頂點A處水平射入,恰好從底端B點離開斜面,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 小球做非勻變速曲線運動
[B] 小球由A運動到B所用的時間為2
[C] 小球由A點水平射入時初速度v0的大小為s
[D] 小球離開B點時速度的大小為
【答案】 BD
【解析】 根據曲線運動的條件,初速度與合力方向垂直,且合力大小恒定,則小球做勻變速曲線運動,故A錯誤;根據牛頓第二定律得,小球的加速度大小為a==gsin θ=g,根據L=at2,可得t===2,故B正確;根據s=v0t,可得v0==s,故C錯誤;在B點時小球平行于斜面方向的分速度為vBy=at=,小球離開B點時速度的大小v==,故D正確。
6.(4分)某同學家建造坯房時窗戶開口豎直高度H=2.25 m,已知墻壁的厚度d=0.35 m。該同學在離墻壁距離L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m處的P點,將可視為質點的小物體以速度v垂直于墻壁水平拋出,小物體直接穿過窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,則v的取值范圍約為(　　)
[A] v≥2 m/s [B] v≥2.5 m/s
[C] 2 m/s≤v≤7 m/s [D] 2.5 m/s≤v≤7 m/s
【答案】 D
【解析】 小物體做平拋運動,恰好擦著窗子上沿右側穿過時v最大。此時有L=vmaxt1,h=g,聯立解得vmax=7 m/s,恰好擦著窗子下沿左側時速度v最小,則有L+d=vmint2,H+h=g,解得vmin=2.5 m/s,故v的取值范圍是2.5 m/s≤v≤7 m/s,故選D。
7.(10分) (2023·全國新課標卷,24)將扁平的石子向水面快速拋出,石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方,俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生“水漂”效果,石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”,一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出,拋出速度的最小值為多少 (不計石子在空中飛行時的空氣阻力,重力加速度大小為g)
【答案】
【解析】 石子做平拋運動,豎直方向為自由落體運動,則有2gh=,
可得落到水面上時的豎直速度vy=,
由題意可知≤tan θ,
則有v0≥,
石子拋出速度的最小值為。
8.(6分)(2024·山東青島期中)(多選)如圖為傾角為θ=45°的斜坡,斜坡底端Q點正上方有M和N兩點,甲戰斗機以水平速度v1飛到M點時釋放炸彈A,準確命中斜坡上的一點P,MP的連線垂直于坡面;乙戰斗機以水平速度v2飛到N點時釋放炸彈B,也準確命中斜坡上的同一點P,命中時速度方向恰好垂直于斜坡。已知炸彈在空中的運動可視作平拋運動。下列說法正確的是(　　)
[A] 炸彈A、B在空中的飛行時間之比為 ∶1
[B] 重力對炸彈A、B做功之比為2∶1
[C] 任意相同時間內,炸彈A、B在空中的速度變化量之比為1∶1
[D] v1∶v2=∶1
【答案】 ABC
【解析】 設從M點釋放的炸彈落在P點所用的時間為t1,從N點釋放的炸彈落在P點所用的時間為t2,對于從M點釋放的炸彈,其豎直位移與水平位移相等,則根據平拋運動的規律有tan 45°===1,tan 45°==1,又有v1t1=v2t2,聯立解得t1∶t2=∶1,v1∶v2=1∶,故A正確,D錯誤;兩炸彈下落高度之比為==,由WG=mgh可知,重力做功之比為2∶1,故B正確;對于甲、乙釋放的炸彈,在任意相同時間內速度變化量Δv=gΔt,可知兩炸彈在任意相同時間內速度變化量相同,其比值為1∶1,故C正確。
9.(4分)(2024·河北邯鄲模擬)現將羽毛球場規格簡化為如圖所示的長方形ABCD,若運動員從A點正上方高2.45 m的P點使羽毛球水平飛出,羽毛球落到對方界內,g取10 m/s2,不計空氣阻力,則羽毛球的水平速度大小可能為(　　)
[A] 15 m/s [B] 20 m/s
[C] 30 m/s [D] 90 m/s
【答案】 B
【解析】 羽毛球從P點水平飛出做平拋運動,若球恰好能過網,在豎直方向有H-h=g,則羽毛球水平方向的最小位移為x1= m=7 m,則羽毛球的水平最小速度為v1=,聯立解得v1≈16.5 m/s,若球恰好不出界,在豎直方向則有H=g,在水平方向的最大位移為x2= m=2 m,則羽毛球的水平方向最大速度為v2=,聯立解得v2≈21.8 m/s,羽毛球落到對方界內,水平速度大小范圍是16.5 m/s≤v≤21.8 m/s,則羽毛球的水平速度大小可能為20 m/s,故B正確。
10.(14分)(2024·山西晉城階段練習)如圖所示,固定在水平面上傾角分別為30°、60°的兩斜面下端緊靠在一起,若將小球a以初速度v0從左側斜面頂端A點水平向右拋出,小球a落在右側斜面上時的速度方向恰好與斜面垂直,若將小球b以某一初速度從A點水平向右拋出,小球b落在左側斜面時與小球a的落點在同一水平面上,忽略空氣阻力,重力加速度大小為g,求:
(1)小球b被拋出時的初速度大小vb;
(2)左側斜面的高度h。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)由題意可知,小球a、b在空中運動的時間t相等,有
tan 30°=,tan 60°=,
解得vb=。
(2)設小球b做平拋運動的水平位移為x,結合幾何知識有
x=,2x=v0t,xab=2x-x,
則有xOb=xab,xOB=xOb,
xOC=xBC+xOB=xAC,x=xBC,
聯立解得xAC=h=。
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)第3講　小專題:拋體中的多物體和臨界極值問題
考點一　多物體的拋體運動
[例1] 【多物體平拋的對比分析】(2025·廣東廣州模擬)如圖所示,將a、b兩小球以不同的初速度同時水平拋出,它們均落在水平地面上的P點,a球拋出時的高度比b球的高。P點到兩球起拋點的水平距離相等,不計空氣阻力,與b球相比,a球(　　)
[A] 初速度較大
[B] 速度變化率較大
[C] 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較小
[D] 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較大
[例2] 【平拋與平拋相遇】 如圖所示,A、B兩個小球在同一豎直線上,離地高度分別為2h和h,將兩球水平拋出后,不計空氣阻力,兩球落地時的水平位移分別為x和2x。重力加速度為g,則下列說法正確的是(　　)
[A] A、B兩球的初速度大小之比為1∶4
[B] A、B兩球的運動時間之比為1∶
[C] 兩小球運動軌跡交點的水平位移為x
[D] 兩小球運動軌跡交點的離地高度為h
[例3] 【平拋與豎直上拋相遇】 (2024·云南大理模擬)如圖所示,將小球A從P點以速度v1水平拋出,同時將小球B從水平地面上的Q點以速度v2豎直上拋,A、B兩個小球在同一豎直平面內運動,且在Q點正上方的某一位置相遇。已知P點到水平地面的高度為H,P、Q兩點的水平距離為x,A、B兩個小球可視為質點,空氣阻力可忽略不計。下列說法正確的是(　　)
[A] A、B兩個小球相遇時,B小球一定處于上升過程中
[B] 只改變小球A的水平速度v1,A、B兩個小球依然能在Q點正上方相遇
[C] A、B兩個小球初速度必須滿足=
[D] A、B兩個小球從拋出到相遇的過程中,兩球的速度變化量不相等
[例4] 【平拋與斜拋相遇】 (2024·湖南長沙二模)(多選)如圖所示,小球從O點的正上方離地h=40 m高處的P點以v1=10 m/s的速度水平拋出,同時在O點右方地面上S點以速度v2斜向左上方與地面成θ=45°拋出一小球,兩小球恰在O、S連線靠近O的三等分點M的正上方相遇。g取10 m/s2,若不計空氣阻力,則兩小球拋出后到相遇過程(　　)
[A] 兩小球相遇時斜拋小球處于下落階段
[B] 兩小球初速度大小關系為v1∶v2=1∶2
[C] O、S的間距為60 m
[D] 兩小球相遇點一定在距離地面30 m高度處
考點二　平拋運動中的臨界、極值問題
1.臨界點的確定
(1)若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語,表明題述的過程中存在著“起止點”,而這些“起止點”往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程中存在著極值,這些極值點也往往是臨界點。
2.求解平拋運動臨界問題的一般思路
(1)找出臨界狀態對應的臨界條件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,畫出臨界軌跡。
[例5] 【平拋運動的臨界問題】 如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面,半徑為R,在B點正上方的C點水平拋出一個小球,小球軌跡恰好在D點與圓柱體相切,OD與OB的夾角為60°,則C點到B點的距離為(　　)
[A] R [B] [C] [D]
[例6] 【平拋運動中的極值問題】 (多選)“山西刀削面”堪稱天下一絕,如圖所示,小面圈(可視為質點)從距離開水鍋高為h處被水平削離,與鍋沿的水平距離為L,鍋的半徑也為L。忽略空氣阻力,且小面圈都落入鍋中,重力加速度為g,則下列關于所有小面圈在空中運動的描述正確的是(　　)
[A] 運動的時間都相同
[B] 速度的變化量不相同
[C] 落入鍋中時,最大速度是最小速度的3倍
[D] 若小面圈剛被拋出時初速度為v0,則L≤v0≤3L
(1)平拋運動的臨界問題有兩種常見情形。
①物體達到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度時。
②物體的速度方向恰好沿某一方向時。
(2)解題技巧:在題中找出有關臨界問題的關鍵詞,如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等,然后利用平拋運動對應的位移規律或速度規律進行解題。
(滿分:60分)
對點1.多物體的拋體運動
1.(4分)如圖,x軸沿水平方向,y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正方向拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡,其中b和c是從同一點拋出的。不計空氣阻力,則(　　)
[A] a的飛行時間比b長
[B] b的飛行時間比c長
[C] a的初速度比b的小
[D] b的初速度比c的大
2.(4分)(2023·湖南卷,2)如圖甲,我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖乙所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是(　　)
[A] 谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
[B] 谷粒2在最高點的速度小于v1
[C] 兩谷粒從O到P的運動時間相等
[D] 兩谷粒從O到P的平均速度相等
3.(4分)(2024·江蘇南京二模)如圖所示,在同一豎直面內,物塊1從a點以速度v1水平拋出,同時物塊2從b點以速度v2拋出,兩物塊在落地前相遇,兩物塊均視為質點,除重力外不受其他作用力。下列說法正確的是(　　)
[A] 相遇點在二者初速度延長線交點的正下方
[B] 只改變v1的大小,兩物塊仍可相遇
[C] 只改變v2的大小,兩物塊仍可相遇
[D] 只把v2的方向向左轉動,兩物塊仍可相遇
4.(4分)(2024·浙江溫州三模)如圖所示,將兩個小沙包a、b以不同的初速度分別從A、B兩處先后相差0.5 s水平相向拋出,同時落在水平面同一處,且速度方向與豎直方向夾角相等。兩小沙包a、b視為質點,并在同一豎直面內運動,不計空氣阻力,下列說法正確的是(　　)
[A] A處比B處高1.25 m
[B] 若將兩沙包同時水平拋出,落地前可能會相遇
[C] 若已知B處高度和沙包b的下落時間,可求出A、B的水平距離
[D] 若已知A處高度和沙包a的初速度,可求出A、B的水平距離
對點2.平拋運動中的臨界、極值問題
5.(6分)(2024·陜西咸陽階段練習)(多選)如圖所示的光滑斜面長為L,寬為s,傾角θ=30°,一小球(可視為質點)沿斜面右上方頂點A處水平射入,恰好從底端B點離開斜面,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 小球做非勻變速曲線運動
[B] 小球由A運動到B所用的時間為2
[C] 小球由A點水平射入時初速度v0的大小為s
[D] 小球離開B點時速度的大小為
6.(4分)某同學家建造坯房時窗戶開口豎直高度H=2.25 m,已知墻壁的厚度d=0.35 m。該同學在離墻壁距離L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m處的P點,將可視為質點的小物體以速度v垂直于墻壁水平拋出,小物體直接穿過窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,則v的取值范圍約為(　　)
[A] v≥2 m/s [B] v≥2.5 m/s
[C] 2 m/s≤v≤7 m/s [D] 2.5 m/s≤v≤7 m/s
8.(6分)(2024·山東青島期中)(多選)如圖為傾角為θ=45°的斜坡,斜坡底端Q點正上方有M和N兩點,甲戰斗機以水平速度v1飛到M點時釋放炸彈A,準確命中斜坡上的一點P,MP的連線垂直于坡面;乙戰斗機以水平速度v2飛到N點時釋放炸彈B,也準確命中斜坡上的同一點P,命中時速度方向恰好垂直于斜坡。已知炸彈在空中的運動可視作平拋運動。下列說法正確的是(　　)
[A] 炸彈A、B在空中的飛行時間之比為 ∶1
[B] 重力對炸彈A、B做功之比為2∶1
[C] 任意相同時間內,炸彈A、B在空中的速度變化量之比為1∶1
[D] v1∶v2=∶1
9.(4分)(2024·河北邯鄲模擬)現將羽毛球場規格簡化為如圖所示的長方形ABCD,若運動員從A點正上方高2.45 m的P點使羽毛球水平飛出,羽毛球落到對方界內,g取10 m/s2,不計空氣阻力,則羽毛球的水平速度大小可能為(　　)
[A] 15 m/s [B] 20 m/s
[C] 30 m/s [D] 90 m/s
10.(14分)(2024·山西晉城階段練習)如圖所示,固定在水平面上傾角分別為30°、60°的兩斜面下端緊靠在一起,若將小球a以初速度v0從左側斜面頂端A點水平向右拋出,小球a落在右側斜面上時的速度方向恰好與斜面垂直,若將小球b以某一初速度從A點水平向右拋出,小球b落在左側斜面時與小球a的落點在同一水平面上,忽略空氣阻力,重力加速度大小為g,求:
(1)小球b被拋出時的初速度大小vb;
(2)左側斜面的高度h。
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高中總復習·物理
第3講　
小專題:拋體中的多物體和臨界極值問題
[例1] 【多物體平拋的對比分析】(2025·廣東廣州模擬)如圖所示,將a、b兩小球以不同的初速度同時水平拋出,它們均落在水平地面上的P點,a球拋出時的高度比b球的高。P點到兩球起拋點的水平距離相等,不計空氣阻力,與b球相比,a球(　　)
[A] 初速度較大
[B] 速度變化率較大
[C] 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較小
[D] 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較大
D
D
C
[例4] 【平拋與斜拋相遇】 (2024·湖南長沙二模)(多選)如圖所示,小球從O點的正上方離地h=40 m高處的P點以v1=10 m/s的速度水平拋出,同時在O點右方地面上S點以速度v2斜向左上方與地面成θ=45°拋出一小球,兩小球恰在O、S連線靠近O的三等分點M的正上方相遇。g取10 m/s2,若不計空氣阻力,則兩小球拋出后到相遇過程(　 　)
[A] 兩小球相遇時斜拋小球處于下落階段
[B] 兩小球初速度大小關系為v1∶v2=1∶2
[C] O、S的間距為60 m
[D] 兩小球相遇點一定在距離地面30 m高度處
BC
1.臨界點的確定
(1)若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語,表明題述的過程中存在著“起止點”,而這些“起止點”往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程中存在著極值,這些極值點也往往是臨界點。
2.求解平拋運動臨界問題的一般思路
(1)找出臨界狀態對應的臨界條件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,畫出臨界軌跡。
[例5] 【平拋運動的臨界問題】 如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面,半徑為R,在B點正上方的C點水平拋出一個小球,小球軌跡恰好在D點與圓柱體相切,OD與OB的夾角為60°,則C點到B點的距離為(　　)
D
AD
[例6] 【平拋運動中的極值問題】 (多選)“山西刀削面”堪稱天下一絕,如圖所示,小面圈(可視為質點)從距離開水鍋高為h處被水平削離,與鍋沿的水平距離為L,鍋的半徑也為L。忽略空氣阻力,且小面圈都落入鍋中,重力加速度為g,則下列關于所有小面圈在空中運動的描述正確的是(　 　)
規律總結
(1)平拋運動的臨界問題有兩種常見情形。
①物體達到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度時。
②物體的速度方向恰好沿某一方向時。
(2)解題技巧:在題中找出有關臨界問題的關鍵詞,如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等,然后利用平拋運動對應的位移規律或速度規律進行解題。
1.(4分)如圖,x軸沿水平方向,y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正方向拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡,其中b和c是從同一點拋出的。不計空氣阻力,則(　　)
[A] a的飛行時間比b長
[B] b的飛行時間比c長
[C] a的初速度比b的小
[D] b的初速度比c的大
對點1.多物體的拋體運動
基礎對點練
D
2.(4分)(2023·湖南卷,2)如圖甲,我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖乙所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是(　　)
[A] 谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
[B] 谷粒2在最高點的速度小于v1
[C] 兩谷粒從O到P的運動時間相等
[D] 兩谷粒從O到P的平均速度相等
B
【解析】 忽略空氣阻力,拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用,加速度均為重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A錯誤;谷粒2做斜向上拋運動,谷粒1做平拋運動,均從O點運動到P點,故位移相同,在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動,谷粒1做自由落體運動,豎直方向上位移相同,故谷粒2運動時間較長,C錯誤;谷粒2做斜拋運動,水平方向上為勻速直線運動,故運動到最高點的速度即為水平方向上的分速度,與谷粒1比較,水平位移相同,但運動時間較長,故谷粒2水平方向上的速度較小,即最高點的速度小于v1,B正確;兩谷粒從O點運動到P點的位移相同,運動時間不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D錯誤。
3.(4分)(2024·江蘇南京二模)如圖所示,在同一豎直面內,物塊1從a點以速度v1水平拋出,同時物塊2從b點以速度v2拋出,兩物塊在落地前相遇,兩物塊均視為質點,除重力外不受其他作用力。下列說法正確的是(　　)
[A] 相遇點在二者初速度延長線交點的正下方
[B] 只改變v1的大小,兩物塊仍可相遇
[C] 只改變v2的大小,兩物塊仍可相遇
[D] 只把v2的方向向左轉動,兩物塊仍可相遇
A
4.(4分)(2024·浙江溫州三模)如圖所示,將兩個小沙包a、b以不同的初速度分別從A、B兩處先后相差0.5 s水平相向拋出,同時落在水平面同一處,且速度方向與豎直方向夾角相等。兩小沙包a、b視為質點,并在同一豎直面內運動,不計空氣阻力,下列說法正確的是(　　)
[A] A處比B處高1.25 m
[B] 若將兩沙包同時水平拋出,落地前可能會相遇
[C] 若已知B處高度和沙包b的下落時間,可求出A、B的水平距離
[D] 若已知A處高度和沙包a的初速度,可求出A、B的水平距離
D
對點2.平拋運動中的臨界、極值問題
BD
6.(4分)某同學家建造坯房時窗戶開口豎直高度H=2.25 m,已知墻壁的厚度d=0.35 m。該同學在離墻壁距離L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m處的P點,將可視為質點的小物體以速度v垂直于墻壁水平拋出,小物體直接穿過窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,則v的取值范圍約為(　　)
[A] v≥2 m/s [B] v≥2.5 m/s
[C] 2 m/s≤v≤7 m/s [D] 2.5 m/s≤v≤7 m/s
D
綜合提升練
7.(10分) (2023·全國新課標卷,24)將扁平的石子向水面快速拋出,石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方,俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生
“水漂”效果,石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”,一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出,拋出速度的最小值為多少 (不計石子在空中飛行時的空氣阻力,重力加速度大小為g)
8.(6分)(2024·山東青島期中)(多選)如圖為傾角為θ=45°的斜坡,斜坡底端Q點正上方有M和N兩點,甲戰斗機以水平速度v1飛到M點時釋放炸彈A,準確命中斜坡上的一點P,MP的連線垂直于坡面;乙戰斗機以水平速度v2飛到N點時釋放炸彈B,也準確命中斜坡上的同一點P,命中時速度方向恰好垂直于斜坡。已知炸彈在空中的運動可視作平拋運動。下列說法正確的是(　 　)
綜合提升練
ABC
9.(4分)(2024·河北邯鄲模擬)現將羽毛球場規格簡化為如圖所示的長方形ABCD,若運動員從A點正上方高2.45 m的P點使羽毛球水平飛出,羽毛球落到對方界內,g取10 m/s2,不計空氣阻力,則羽毛球的水平速度大小可能為
(　　)
[A] 15 m/s [B] 20 m/s
[C] 30 m/s [D] 90 m/s
B
10.(14分)(2024·山西晉城階段練習)如圖所示,固定在水平面上傾角分別為30°、60°的兩斜面下端緊靠在一起,若將小球a以初速度v0從左側斜面頂端A點水平向右拋出,小球a落在右側斜面上時的速度方向恰好與斜面垂直,若將小球b以某一初速度從A點水平向右拋出,小球b落在左側斜面時與小球a的落點在同一水平面上,忽略空氣阻力,重力加速度大小為g,求:
(1)小球b被拋出時的初速度大小vb;
(2)左側斜面的高度h。

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