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第5講　小專題:圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
考點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.模型概述
模型 特點(diǎn) (1)物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (2)當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí),會(huì)出現(xiàn)繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉(zhuǎn)速逐漸增大而達(dá)到最大值、彈簧彈力的大小及方向發(fā)生變化等,從而出現(xiàn)臨界問題
方法 突破 (1)牢記“繩子剛好伸直”的意思是“伸直但無張力”,及“靜摩擦力大小有個(gè)范圍,方向可以改變”等特點(diǎn),最后選擇物理規(guī)律。 (2)當(dāng)確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后,要分別針對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)過程或現(xiàn)象,選擇相對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律,然后再列方程求解
2.常見的兩種臨界極值問題
(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題。
物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。
①如果只有摩擦力提供向心力,則最大靜摩擦力Fm=,靜摩擦力的方向一定指向圓心。
②如果除摩擦力以外還有其他力,如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng),其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件,分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。
(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題。
①兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
②繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。
[例1] 【水平轉(zhuǎn)盤模型的臨界問題】 (多選)如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,下列說法正確的是(　　)
[A] b一定比a先開始滑動(dòng)
[B] a、b所受的摩擦力始終相等
[C] ω= 是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
[D] 當(dāng)ω= 時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg
【答案】 AC
【解析】 小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由靜摩擦力提供向心力,即F=mω2R。當(dāng)角速度增大時(shí),靜摩擦力增大,當(dāng)木塊所需向心力大于最大靜摩擦力時(shí),發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),對(duì)木塊a有Fa=ml,當(dāng)Fa=kmg時(shí),ωa=;對(duì)木塊b有Fb=m·2l,當(dāng)Fb=kmg時(shí),ωb=,則ω= 是b開始滑動(dòng)的臨界角速度,所以b先達(dá)到最大靜摩擦力,即b比a先開始滑動(dòng),選項(xiàng)A、C正確。兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同,則Fa=mω2l,Fb=mω2·2l,Fa[例2] 【圓錐擺模型的臨界問題】(多選)如圖所示,三角形為一光滑錐體的正視圖,錐面與豎直方向的夾角為θ=37°。一根長(zhǎng)為l=1 m的細(xì)線一端系在錐體頂端,另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=
0.6,cos 37°=0.8,不計(jì)空氣阻力,則(　　)
[A] 小球受重力、支持力、拉力和向心力
[B] 小球可能只受拉力和重力
[C] 當(dāng)ω= rad/s時(shí),小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零
[D] 當(dāng)ω=2 rad/s時(shí),小球受重力、支持力和拉力的作用
【答案】 BC
【解析】 向心力是效果力,受力分析時(shí)不分析向心力,故A錯(cuò)誤;轉(zhuǎn)速較小時(shí),小球緊貼圓錐面,則FTcos θ+FNsin θ=mg,FTsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ,隨著轉(zhuǎn)速的增加,FT增大,FN減小,當(dāng)小球所受支持力剛好為零時(shí)有mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω= rad/s,根據(jù)牛頓第三定律可知,小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零,故B、C正確;當(dāng)ω=2 rad/s時(shí),小球已經(jīng)離開圓錐面,小球只受重力、拉力的作用,故D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.輕繩模型和輕桿模型概述
在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類:一是無支撐(如球與繩連接、小球沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)等),稱為輕繩模型;二是有支撐(如球與桿連接、小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等),稱為輕桿模型。
2.兩類模型對(duì)比
項(xiàng)目 輕繩模型(最高點(diǎn)無支撐) 輕桿模型(最高點(diǎn)有支撐)
圖示
受力 示意圖 F彈向下或等于零 F彈向下、等于零或向上
力學(xué)方程 mg+F彈=m mg±F彈=m
續(xù)　表
項(xiàng)目 輕繩模型(最高點(diǎn)無支撐) 輕桿模型(最高點(diǎn)有支撐)
臨界特征 F彈=0 mg=m,即vmin= (1)恰好通過最高點(diǎn),vmin=0,F彈=mg。 (2)恰好無彈力,F彈=0,v=
討論 分析 (1)在最高點(diǎn),若v>,F彈+mg=m,繩或軌道對(duì)小球產(chǎn)生彈力F彈。 (2)若v<,則不能到達(dá)最高點(diǎn),即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓周軌道 (1)當(dāng)v=0時(shí),F彈=mg,F彈背離圓心。 (2)當(dāng)0 時(shí),mg+F彈=m,F彈指向圓心并隨v的增大而增大
3.解題技巧
(1)物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí),利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程。
(2)物體從某一位置到另一位置的過程中,用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系。
(3)求對(duì)軌道的壓力時(shí),轉(zhuǎn)換研究對(duì)象,先求物體所受支持力,再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。
[例3] 【輕繩模型】 如圖所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.4 m的輕繩,系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),小球的質(zhì)量為m=0.5 kg,且可視為質(zhì)點(diǎn),g取10 m/s2。
(1)求小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v1;
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s時(shí),求繩的拉力大小FT;
(3)若輕繩能承受的最大張力為FT′=45 N,求小球速度的最大值。
【答案】 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
【解析】 (1)小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí),小球的向心力僅由重力提供,有mg=m,
代入數(shù)據(jù)解得v1=2 m/s。
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s,繩的拉力和小球的重力的合力提供向心力,有
FT+mg=m,
解得FT=15 N。
(3)分析可知小球通過最低點(diǎn)時(shí)繩的張力最大,在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得FT′-mg=m,
解得v3=4 m/s。
[例4] 【輕桿模型】 一半徑為r的小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),管道內(nèi)側(cè)壁的半徑為R,如圖所示。下列說法正確的是(　　)
[A] 小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為vmin=
[B] 小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為vmin=0
[C] 小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),外側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力
[D] 小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力
【答案】 B
【解析】 小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)屬于輕桿模型,小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為零,故A錯(cuò)誤,B正確;小球在水平線ab以下管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),由于沿半徑方向的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,所以外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力,而內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力,故C錯(cuò)誤;小球在水平線ab以上管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)速度非常大時(shí),內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球沒有作用力,外側(cè)管壁對(duì)小球有作用力,當(dāng)速度比較小時(shí),內(nèi)側(cè)管壁有作用力,故D錯(cuò)誤。
[例5] 【凹形橋、凸形橋模型】 (多選)汽車行駛中經(jīng)常會(huì)經(jīng)過一些凹凸不平的路面,凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分,如圖所示的A、B、C處,其中B處的曲率半徑最大,A處的曲率半徑為ρ1,C處的曲率半徑為ρ2,重力加速度為g。若有一輛可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m的汽車與路面之間各處的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ,當(dāng)該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時(shí),下列說法正確的是(　　)
[A] 汽車經(jīng)過A處時(shí)處于失重狀態(tài),經(jīng)過C處時(shí)處于超重狀態(tài)
[B] 汽車經(jīng)過B處時(shí)最容易爆胎
[C] 為了保證行車時(shí)不脫離路面,該車的行駛速度不得超過
[D] 汽車經(jīng)過C處時(shí)所受的摩擦力大小為μmg
【答案】 AC
【解析】 汽車經(jīng)過A處時(shí)具有向下指向圓心的向心加速度,處于失重狀態(tài),經(jīng)過C處時(shí)具有向上指向圓心的向心加速度,處于超重狀態(tài),A正確;在B、C處受向下的重力mg、向上的彈力FN,由牛頓第二定律有FN-mg=,結(jié)合牛頓第三定律,可得車對(duì)路面的壓力FN′=FN=mg+>mg,故在B、C處均處于超重狀態(tài),以同樣的速度行駛時(shí),R越小,車對(duì)路面的壓力越大,越容易爆胎,故在曲率半徑較小的C處更容易爆胎,B錯(cuò)誤;在C處所受的滑動(dòng)摩擦力Ff=μFN=mg+),D錯(cuò)誤;要使車安全行駛,不脫離地面,即經(jīng)過A處時(shí)恰不離開地面,有mg=,解得v=,安全行駛的速度不得超過,C正確。
分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路
考點(diǎn)三　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.特點(diǎn):在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,因所受的控制因素不同(摩擦力控制、繩控制、桿控制等),物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同。
2.方法:物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)斜面的傾角為θ,重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等,解決此類問題時(shí),可以按以下操作,把問題簡(jiǎn)化。
物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,轉(zhuǎn)動(dòng)越快,越容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn),恰好滑動(dòng)時(shí)有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例6] 【斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題】 (多選)如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5 m處有一小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))與圓盤始終保持相對(duì)靜止,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,盤面與水平面的夾角為30°,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力一定越大
[B] 小物體受到的摩擦力可能背離圓心
[C] 若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,則ω的最大值是1.0 rad/s
[D] 若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,則ω的最大值是 rad/s
【答案】 BC
【解析】 當(dāng)小物體在最高點(diǎn)時(shí),可能受到重力、支持力與摩擦力三個(gè)力的作用,摩擦力的方向可能沿盤面向上(即背離圓心),也可能沿盤面向下(即指向圓心),摩擦力的方向沿盤面向上時(shí),ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力越小,故A錯(cuò)誤,B正確;當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)恰好不滑動(dòng)時(shí),圓盤的角速度最大,此時(shí)小物體受豎直向下的重力、垂直于盤面向上的支持力、沿盤面指向圓心的摩擦力,由沿盤面的合力提供向心力,對(duì)小物體受力分析,支持力FN=mgcos 30°,摩擦力Ff=μFN=μmgcos 30°,又μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2R,解得ω=1.0 rad/s,故C正確,D錯(cuò)誤。
(滿分:50分)
對(duì)點(diǎn)1.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.(6分)(2024·黑龍江哈爾濱三模)(多選)如圖所示,質(zhì)量為m的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi),它和球心O的連線與豎直方向的夾角為θ=37°,現(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊在球殼內(nèi)始終未滑動(dòng),重力加速度為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小物塊靜止時(shí)受到的摩擦力大小為mg
[B] 若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為,小物塊不受摩擦力
[C] 若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為,小物塊受到沿球殼向上的摩擦力
[D] 若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為,小物塊受到沿球殼向下的摩擦力
【答案】 CD
【解析】 靜止時(shí),對(duì)小物塊受力分析,根據(jù)平衡條件有F=mgsin θ=mg,故A錯(cuò)誤;球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)小物塊所受摩擦力恰好為零時(shí)的角速度為ω0,對(duì)小物塊進(jìn)行受力分析,則有mgtan θ=mRsin θ,解得ω0=,故B錯(cuò)誤;當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω<ω0時(shí),小物塊有沿球殼向下運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),受到沿球殼向上的摩擦力,故C正確;當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω>ω0時(shí),小物塊有沿球殼向上運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),受到沿球殼向下的摩擦力,故D正確。
2.(4分)(2024·廣東卷,5)如圖所示,在細(xì)繩的拉動(dòng)下,半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點(diǎn)O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),卷軸上沿半徑方向固定著長(zhǎng)度為l的細(xì)管,管底在O點(diǎn)。細(xì)管內(nèi)有一根原長(zhǎng)為、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧,彈簧底端固定在管底,頂端連接質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的插銷。當(dāng)以速度v勻速拉動(dòng)細(xì)繩時(shí),插銷做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若v過大,插銷會(huì)卡進(jìn)固定的端蓋,使卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)停止。忽略摩擦力,彈簧在彈性限度內(nèi),要使卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)不停止,v的最大值為(　　)
[A] r [B] l
[C] r [D] l
【答案】 A
【解析】 由題意可知, 當(dāng)插銷剛卡進(jìn)固定端蓋時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為Δx=,根據(jù)胡克定律有F=kΔx=,插銷與卷軸同軸轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)插銷由彈力提供向心力,有F=mlω2,又v=rω,聯(lián)立解得v=r,故A正確。
3.(10分)如圖所示,AB為豎直放置的光滑圓筒,一根長(zhǎng)細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量m1=5 kg的小球P,另一端和細(xì)繩BC(懸點(diǎn)為B)在結(jié)點(diǎn)C處共同連著質(zhì)量為m2的小球Q,長(zhǎng)細(xì)繩能承受的最大拉力為60 N,細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6 N。轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒使BC繩被水平拉直,小球Q在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),小球P處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)圓筒頂端A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離l1=1.5 m,細(xì)繩BC的長(zhǎng)度l2=0.9 m,重力加速度g取10 m/s2,兩繩均不可伸長(zhǎng),小球P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)。求:
(1)當(dāng)角速度多大時(shí),BC繩剛好被拉直而不張緊(結(jié)果可用根號(hào)表示);
(2)當(dāng)角速度多大時(shí),BC繩剛好被拉斷。
【答案】 (1) rad/s　(2)4 rad/s
【解析】 (1)BC繩剛好被拉直但不張緊時(shí),BC繩中無拉力,由幾何關(guān)系可知AC繩與豎直方向的夾角的正弦值sin θ=,
對(duì)小球Q受力分析,由牛頓第二定律可知
m2gtan θ=m2l2,
解得ω1= rad/s。
(2)BC繩恰好被拉斷時(shí),繩上拉力最大為
FTBC=27.6 N,
對(duì)小球Q,豎直方向有m1gcos θ=m2g,
解得m2=4 kg,
當(dāng)BC繩恰好被拉斷時(shí)有m1gsin θ+FTBC=m2l2,
解得ω2=4 rad/s。
對(duì)點(diǎn)2.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
4.(4分)(2024·安徽六安模擬)如圖甲所示,豎直面內(nèi)的圓形管道半徑R遠(yuǎn)大于其橫截面的半徑,有一小球直徑比管橫截面直徑略小,在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。小球過最高點(diǎn)時(shí),小球?qū)鼙诘膹椓Υ笮∮肍表示,速度大小用v表示,當(dāng)小球以不同速度經(jīng)過管道最高點(diǎn)時(shí),其Fv2圖像如圖乙所示。則(　　)
甲　　　　　　　　　乙　　
[A] 小球的質(zhì)量為
[B] 當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>[C] v2=b時(shí),小球?qū)鼙诘膹椓Ψ较蜇Q直向下
[D] v2=3b時(shí),小球受到的彈力大小是重力大小的5倍
【答案】 D
【解析】 在最高點(diǎn),若v=0,則小球的向心力為零,即所受合力為零,F=mg=c;若F=0,只由重力提供向心力,則mg=m=m,聯(lián)立解得g=,m=,故A、B錯(cuò)誤。F=0時(shí),有v2=a,則當(dāng)v2=b時(shí),小球所受的彈力方向豎直向下,所以小球?qū)鼙诘膹椓Ψ较蜇Q直向上,根據(jù)mg+F=m,F=c=mg,解得b=2gR。當(dāng)v2=3b時(shí),根據(jù) mg+F=m,解得F=5mg,故C錯(cuò)誤,D正確。
對(duì)點(diǎn)3.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
5.(4分)如圖所示,一傾角為θ=30°的斜劈靜置于粗糙水平面上,斜劈上表面光滑,一輕繩的一端固定在斜面上的O點(diǎn),另一端系一小球。在圖示位置垂直于繩給小球一初速度,使小球恰好能在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)。已知O點(diǎn)到小球球心的距離為l,重力加速度為g,整個(gè)過程中斜劈靜止,下列說法正確的是(　　)
[A] 小球在頂端時(shí),速度大小為
[B] 小球在底端時(shí),速度大小為
[C] 小球運(yùn)動(dòng)過程中,地面對(duì)斜劈的摩擦力大小不變
[D] 小球運(yùn)動(dòng)過程中,地面對(duì)斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
【答案】 B
【解析】 小球在頂端時(shí),繩的拉力FT與重力沿斜面向下的分力共同提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力,有FT+mgsin θ=m,可知繩的拉力越小,小球的速度越小,當(dāng)繩的拉力為零時(shí),小球恰好在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng),解得在頂端時(shí)的速度為vmin=,A錯(cuò)誤;小球由頂端向底端運(yùn)動(dòng)時(shí),只有重力對(duì)小球做功,根據(jù)動(dòng)能定理有mg·2lsin θ=mv′2-m,代入數(shù)據(jù)可得v′=,B正確;小球在斜面上受重力、支持力和繩的拉力作用做變速圓周運(yùn)動(dòng),其所受重力與斜面的支持力大小和方向均保持不變,繩的拉力大小和方向均不斷變化,根據(jù)牛頓第三定律,以斜劈為研究對(duì)象,斜劈在小球恒定的壓力、繩中不斷變化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡,繩的拉力不斷變化,故其在水平和豎直方向上的分量也在不斷變化,根據(jù)斜劈的平衡條件可知,它受到的水平方向上的摩擦力大小是變化的,地面對(duì)斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和,C、D錯(cuò)誤。
6.(6分)(2024·四川綿陽(yáng)模擬)(多選)如圖甲所示,質(zhì)量為0.2 kg的小球套在豎直固定的光滑圓環(huán)上,并在圓環(huán)最高點(diǎn)保持靜止。受到輕微擾動(dòng)后,小球由靜止開始沿著圓環(huán)運(yùn)動(dòng),一段時(shí)間后,小球與圓心的連線轉(zhuǎn)過θ角度時(shí),小球的速度大小為v,v2與cos θ的關(guān)系如圖乙所示,g取10 m/s2。則(　　)
[A] 圓環(huán)半徑為0.6 m
[B] θ=時(shí),小球所受合力為4 N
[C] 0≤θ≤π過程中,圓環(huán)對(duì)小球的作用力一直增大
[D] 0≤θ≤π過程中,圓環(huán)對(duì)小球的作用力先減小后增大
【答案】 AD
【解析】 小球下滑過程由機(jī)械能守恒定律有mg(R-Rcos θ)=mv2,由題圖乙可知,當(dāng)cos θ=0,即θ=時(shí),小球的速度平方為12 m2/s2,代入公式得R=0.6 m,故A正確;此時(shí)是圓環(huán)對(duì)小球的彈力提供向心力,有FN==4 N,小球還受豎直向下的重力,所以小球所受合力為F==2 N,故B錯(cuò)誤;當(dāng)0<θ<時(shí),有mgcos θ-FN=m,可知隨θ的增大,v也增大,所以FN減小,當(dāng)<θ<π時(shí),有FN-mgcos(π-θ)=m,可知隨θ的增大,v也增大,所以FN增大,所以0≤θ≤π過程中,圓環(huán)對(duì)小球的作用力先減小后增大,故C錯(cuò)誤,D正確。
7.(4分)(2024·四川成都模擬)如圖,一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng),緊貼在一起的M、N兩物體(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng),N恰好不下滑,M恰好不滑動(dòng),兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r,已知M與N間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　)
[A] μ1+μ2=1 [B] =1
[C] μ1μ2=1 [D] =1
【答案】 C
【解析】 以M、N整體為研究對(duì)象,受力分析如圖甲所示,豎直方向受力平衡,則有FN=(mM+mN)g,水平方向由靜摩擦力提供向心力可得μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,以N為研究對(duì)象,受力分析如圖乙所示,由M對(duì)N的彈力提供向心力,則有FN′=mNω2r,由平衡條件可得μ1FN′=mNg,聯(lián)立解得μ1μ2=1,故C正確。
　　
甲 乙
8.(12分)(2024·山西太原階段練習(xí))某同學(xué)利用如圖所示的裝置進(jìn)行游戲,左邊甲裝置通過擊打可以把質(zhì)量為m=1 kg的小球從A點(diǎn)水平擊出,乙裝置是一段豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道BC,底邊與水平軌道CD相切,丙裝置是一個(gè)半徑為r=0.5 m的半圓形豎直光滑軌道DE,底部也與水平軌道CD相切。已知A、B間的水平距離x=1 m,B、C的高度差h1=0.55 m,小球與水平軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3。現(xiàn)把小球以v0=2 m/s的初速度擊打出去后,恰能從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入BC軌道,g取10 m/s2。
(1)求A、B間的高度差h2;
(2)若C、D間的距離為l=1.0 m,求小球經(jīng)過圓弧軌道最高點(diǎn)E時(shí)軌道對(duì)小球的彈力;
(3)若C、D間的距離可以調(diào)節(jié)(C點(diǎn)不動(dòng)),要使小球能進(jìn)入DE軌道,并在DE軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道,求C、D間距離應(yīng)該滿足的條件。
【答案】 (1)1.25 m　(2)18 N,方向豎直向下
(3)0≤x≤2.5 m或5 m≤x< m
【解析】 (1)從A到B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t==0.5 s,
豎直方向下降的高度h2=gt2=1.25 m。
(2)從A到E根據(jù)動(dòng)能定理可知
mg(h1+h2)-2mgr-μmgl=m-m,
解得vE= m/s,
在最高點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律可知
mg+FN=,
解得FN=18 N,方向豎直向下。
(3)若小球能通過最高點(diǎn),設(shè)通過最高點(diǎn)的最小速度為vmin,則mg=,
解得vmin= m/s,
從A到C根據(jù)動(dòng)能定理可得
mg(h1+h2)=m-m,
解得vC=2 m/s,
從C到E根據(jù)動(dòng)能定理可得
-μmgx1-2mgr=m-m,
解得x1=2.5 m,
當(dāng)小球剛好能到達(dá)軌道圓心等高位置時(shí),有
-μmgx2-mgr=0-m,
解得x2=5 m,
若恰能進(jìn)入軌道,則-μmgx3=0-m,
解得x3= m,
故范圍為0≤x≤2.5 m或者5 m≤x< m。
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)第5講　小專題:圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
考點(diǎn)一　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.模型概述
模型 特點(diǎn) (1)物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (2)當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí),會(huì)出現(xiàn)繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉(zhuǎn)速逐漸增大而達(dá)到最大值、彈簧彈力的大小及方向發(fā)生變化等,從而出現(xiàn)臨界問題
方法 突破 (1)牢記“繩子剛好伸直”的意思是“伸直但無張力”,及“靜摩擦力大小有個(gè)范圍,方向可以改變”等特點(diǎn),最后選擇物理規(guī)律。 (2)當(dāng)確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后,要分別針對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)過程或現(xiàn)象,選擇相對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律,然后再列方程求解
2.常見的兩種臨界極值問題
(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題。
物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。
①如果只有摩擦力提供向心力,則最大靜摩擦力Fm=,靜摩擦力的方向一定指向圓心。
②如果除摩擦力以外還有其他力,如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng),其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件,分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。
(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題。
①兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
②繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。
[例1] 【水平轉(zhuǎn)盤模型的臨界問題】 (多選)如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,下列說法正確的是(　　)
[A] b一定比a先開始滑動(dòng)
[B] a、b所受的摩擦力始終相等
[C] ω= 是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
[D] 當(dāng)ω= 時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg
[例2] 【圓錐擺模型的臨界問題】(多選)如圖所示,三角形為一光滑錐體的正視圖,錐面與豎直方向的夾角為θ=37°。一根長(zhǎng)為l=1 m的細(xì)線一端系在錐體頂端,另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=
0.6,cos 37°=0.8,不計(jì)空氣阻力,則(　　)
[A] 小球受重力、支持力、拉力和向心力
[B] 小球可能只受拉力和重力
[C] 當(dāng)ω= rad/s時(shí),小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零
[D] 當(dāng)ω=2 rad/s時(shí),小球受重力、支持力和拉力的作用
考點(diǎn)二　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.輕繩模型和輕桿模型概述
在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類:一是無支撐(如球與繩連接、小球沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)等),稱為輕繩模型;二是有支撐(如球與桿連接、小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等),稱為輕桿模型。
2.兩類模型對(duì)比
項(xiàng)目 輕繩模型(最高點(diǎn)無支撐) 輕桿模型(最高點(diǎn)有支撐)
圖示
受力 示意圖 F彈向下或等于零 F彈向下、等于零或向上
力學(xué)方程 mg+F彈=m mg±F彈=m
續(xù)　表
項(xiàng)目 輕繩模型(最高點(diǎn)無支撐) 輕桿模型(最高點(diǎn)有支撐)
臨界特征 F彈=0 mg=m,即vmin= (1)恰好通過最高點(diǎn),vmin=0,F彈=mg。 (2)恰好無彈力,F彈=0,v=
討論 分析 (1)在最高點(diǎn),若v>,F彈+mg=m,繩或軌道對(duì)小球產(chǎn)生彈力F彈。 (2)若v<,則不能到達(dá)最高點(diǎn),即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓周軌道 (1)當(dāng)v=0時(shí),F彈=mg,F彈背離圓心。 (2)當(dāng)0 時(shí),mg+F彈=m,F彈指向圓心并隨v的增大而增大
3.解題技巧
(1)物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí),利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程。
(2)物體從某一位置到另一位置的過程中,用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系。
(3)求對(duì)軌道的壓力時(shí),轉(zhuǎn)換研究對(duì)象,先求物體所受支持力,再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。
[例3] 【輕繩模型】 如圖所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.4 m的輕繩,系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),小球的質(zhì)量為m=0.5 kg,且可視為質(zhì)點(diǎn),g取10 m/s2。
(1)求小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v1;
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s時(shí),求繩的拉力大小FT;
(3)若輕繩能承受的最大張力為FT′=45 N,求小球速度的最大值。
[例4] 【輕桿模型】 一半徑為r的小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),管道內(nèi)側(cè)壁的半徑為R,如圖所示。下列說法正確的是(　　)
[A] 小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為vmin=
[B] 小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為vmin=0
[C] 小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),外側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力
[D] 小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力
[例5] 【凹形橋、凸形橋模型】 (多選)汽車行駛中經(jīng)常會(huì)經(jīng)過一些凹凸不平的路面,凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分,如圖所示的A、B、C處,其中B處的曲率半徑最大,A處的曲率半徑為ρ1,C處的曲率半徑為ρ2,重力加速度為g。若有一輛可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m的汽車與路面之間各處的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ,當(dāng)該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時(shí),下列說法正確的是(　　)
[A] 汽車經(jīng)過A處時(shí)處于失重狀態(tài),經(jīng)過C處時(shí)處于超重狀態(tài)
[B] 汽車經(jīng)過B處時(shí)最容易爆胎
[C] 為了保證行車時(shí)不脫離路面,該車的行駛速度不得超過
[D] 汽車經(jīng)過C處時(shí)所受的摩擦力大小為μmg
分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路
考點(diǎn)三　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.特點(diǎn):在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,因所受的控制因素不同(摩擦力控制、繩控制、桿控制等),物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同。
2.方法:物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)斜面的傾角為θ,重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等,解決此類問題時(shí),可以按以下操作,把問題簡(jiǎn)化。
物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,轉(zhuǎn)動(dòng)越快,越容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn),恰好滑動(dòng)時(shí)有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例6] 【斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題】 (多選)如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5 m處有一小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))與圓盤始終保持相對(duì)靜止,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,盤面與水平面的夾角為30°,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力一定越大
[B] 小物體受到的摩擦力可能背離圓心
[C] 若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,則ω的最大值是1.0 rad/s
[D] 若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,則ω的最大值是 rad/s
(滿分:50分)
對(duì)點(diǎn)1.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.(6分)(2024·黑龍江哈爾濱三模)(多選)如圖所示,質(zhì)量為m的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi),它和球心O的連線與豎直方向的夾角為θ=37°,現(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊在球殼內(nèi)始終未滑動(dòng),重力加速度為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小物塊靜止時(shí)受到的摩擦力大小為mg
[B] 若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為,小物塊不受摩擦力
[C] 若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為,小物塊受到沿球殼向上的摩擦力
[D] 若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為,小物塊受到沿球殼向下的摩擦力
2.(4分)(2024·廣東卷,5)如圖所示,在細(xì)繩的拉動(dòng)下,半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點(diǎn)O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),卷軸上沿半徑方向固定著長(zhǎng)度為l的細(xì)管,管底在O點(diǎn)。細(xì)管內(nèi)有一根原長(zhǎng)為、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧,彈簧底端固定在管底,頂端連接質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的插銷。當(dāng)以速度v勻速拉動(dòng)細(xì)繩時(shí),插銷做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若v過大,插銷會(huì)卡進(jìn)固定的端蓋,使卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)停止。忽略摩擦力,彈簧在彈性限度內(nèi),要使卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)不停止,v的最大值為(　　)
[A] r [B] l
[C] r [D] l
3.(10分)如圖所示,AB為豎直放置的光滑圓筒,一根長(zhǎng)細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量m1=5 kg的小球P,另一端和細(xì)繩BC(懸點(diǎn)為B)在結(jié)點(diǎn)C處共同連著質(zhì)量為m2的小球Q,長(zhǎng)細(xì)繩能承受的最大拉力為60 N,細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6 N。轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒使BC繩被水平拉直,小球Q在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),小球P處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)圓筒頂端A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離l1=1.5 m,細(xì)繩BC的長(zhǎng)度l2=0.9 m,重力加速度g取10 m/s2,兩繩均不可伸長(zhǎng),小球P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)。求:
(1)當(dāng)角速度多大時(shí),BC繩剛好被拉直而不張緊(結(jié)果可用根號(hào)表示);
(2)當(dāng)角速度多大時(shí),BC繩剛好被拉斷。
對(duì)點(diǎn)2.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
4.(4分)(2024·安徽六安模擬)如圖甲所示,豎直面內(nèi)的圓形管道半徑R遠(yuǎn)大于其橫截面的半徑,有一小球直徑比管橫截面直徑略小,在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。小球過最高點(diǎn)時(shí),小球?qū)鼙诘膹椓Υ笮∮肍表示,速度大小用v表示,當(dāng)小球以不同速度經(jīng)過管道最高點(diǎn)時(shí),其Fv2圖像如圖乙所示。則(　　)
甲　　　　　　　　　乙　　
[A] 小球的質(zhì)量為
[B] 當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>[C] v2=b時(shí),小球?qū)鼙诘膹椓Ψ较蜇Q直向下
[D] v2=3b時(shí),小球受到的彈力大小是重力大小的5倍
對(duì)點(diǎn)3.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
5.(4分)如圖所示,一傾角為θ=30°的斜劈靜置于粗糙水平面上,斜劈上表面光滑,一輕繩的一端固定在斜面上的O點(diǎn),另一端系一小球。在圖示位置垂直于繩給小球一初速度,使小球恰好能在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)。已知O點(diǎn)到小球球心的距離為l,重力加速度為g,整個(gè)過程中斜劈靜止,下列說法正確的是(　　)
[A] 小球在頂端時(shí),速度大小為
[B] 小球在底端時(shí),速度大小為
[C] 小球運(yùn)動(dòng)過程中,地面對(duì)斜劈的摩擦力大小不變
[D] 小球運(yùn)動(dòng)過程中,地面對(duì)斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
6.(6分)(2024·四川綿陽(yáng)模擬)(多選)如圖甲所示,質(zhì)量為0.2 kg的小球套在豎直固定的光滑圓環(huán)上,并在圓環(huán)最高點(diǎn)保持靜止。受到輕微擾動(dòng)后,小球由靜止開始沿著圓環(huán)運(yùn)動(dòng),一段時(shí)間后,小球與圓心的連線轉(zhuǎn)過θ角度時(shí),小球的速度大小為v,v2與cos θ的關(guān)系如圖乙所示,g取10 m/s2。則(　　)
[A] 圓環(huán)半徑為0.6 m
[B] θ=時(shí),小球所受合力為4 N
[C] 0≤θ≤π過程中,圓環(huán)對(duì)小球的作用力一直增大
[D] 0≤θ≤π過程中,圓環(huán)對(duì)小球的作用力先減小后增大
7.(4分)(2024·四川成都模擬)如圖,一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng),緊貼在一起的M、N兩物體(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng),N恰好不下滑,M恰好不滑動(dòng),兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r,已知M與N間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　)
[A] μ1+μ2=1 [B] =1
[C] μ1μ2=1 [D] =1
8.(12分)(2024·山西太原階段練習(xí))某同學(xué)利用如圖所示的裝置進(jìn)行游戲,左邊甲裝置通過擊打可以把質(zhì)量為m=1 kg的小球從A點(diǎn)水平擊出,乙裝置是一段豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道BC,底邊與水平軌道CD相切,丙裝置是一個(gè)半徑為r=0.5 m的半圓形豎直光滑軌道DE,底部也與水平軌道CD相切。已知A、B間的水平距離x=1 m,B、C的高度差h1=0.55 m,小球與水平軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3。現(xiàn)把小球以v0=2 m/s的初速度擊打出去后,恰能從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入BC軌道,g取10 m/s2。
(1)求A、B間的高度差h2;
(2)若C、D間的距離為l=1.0 m,求小球經(jīng)過圓弧軌道最高點(diǎn)E時(shí)軌道對(duì)小球的彈力;
(3)若C、D間的距離可以調(diào)節(jié)(C點(diǎn)不動(dòng)),要使小球能進(jìn)入DE軌道,并在DE軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道,求C、D間距離應(yīng)該滿足的條件。
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高中總復(fù)習(xí)·物理
第5講　
小專題:圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.模型概述
模型 特點(diǎn) (1)物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí),會(huì)出現(xiàn)繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉(zhuǎn)速逐漸增大而達(dá)到最大值、彈簧彈力的大小及方向發(fā)生變化等,從而出現(xiàn)臨界問題
方法 突破 (1)牢記“繩子剛好伸直”的意思是“伸直但無張力”,及“靜摩擦力大小有個(gè)范圍,方向可以改變”等特點(diǎn),最后選擇物理規(guī)律。
(2)當(dāng)確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后,要分別針對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)過程或現(xiàn)象,選擇相對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律,然后再列方程求解
2.常見的兩種臨界極值問題
(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題。
物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。
②如果除摩擦力以外還有其他力,如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng),其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件,分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。
(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題。
①兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。
②繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。
[例1] 【水平轉(zhuǎn)盤模型的臨界問題】 (多選)如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,下列說法正確的是(　 　)
AC
BC
1.輕繩模型和輕桿模型概述
在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類:一是無支撐(如球與繩連接、小球沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)等),稱為輕繩模型;二是有支撐(如球與桿連接、小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等),稱為輕桿模型。
2.兩類模型對(duì)比
3.解題技巧
(1)物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí),利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程。
(2)物體從某一位置到另一位置的過程中,用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系。
(3)求對(duì)軌道的壓力時(shí),轉(zhuǎn)換研究對(duì)象,先求物體所受支持力,再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。
[例3] 【輕繩模型】 如圖所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.4 m的輕繩,系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),小球的質(zhì)量為m=0.5 kg,且可視為質(zhì)點(diǎn),g取10 m/s2。
(1)求小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v1;
【答案】 (1)2 m/s
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s時(shí),求繩的拉力大小FT;
【答案】 (2)15 N
(3)若輕繩能承受的最大張力為FT′=45 N,求小球速度的最大值。
B
[例4] 【輕桿模型】 一半徑為r的小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),管道內(nèi)側(cè)壁的半徑為R,如圖所示。下列說法正確的是(　　)
【解析】 小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)屬于輕桿模型,小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為零,故A錯(cuò)誤,B正確;小球在水平線ab以下管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),由于沿半徑方向的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,所以外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力,而內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力,故C錯(cuò)誤;小球在水平線ab以上管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)速度非常大時(shí),內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球沒有作用力,外側(cè)管壁對(duì)小球有作用力,當(dāng)速度比較小時(shí),內(nèi)側(cè)管壁有作用力,故D錯(cuò)誤。
[例5] 【凹形橋、凸形橋模型】 (多選)汽車行駛中經(jīng)常會(huì)經(jīng)過一些凹凸不平的路面,凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分,如圖所示的A、B、C處,其中B處的曲率半徑最大,A處的曲率半徑為ρ1,C處的曲率半徑為ρ2,重力加速度為g。若有一輛可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m的汽車與路面之間各處的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ,當(dāng)該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時(shí),下列說法正確的是(　 　)
AC
規(guī)律總結(jié)
分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路
1.特點(diǎn):在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,因所受的控制因素不同(摩擦力控制、繩控制、桿控制等),物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同。
2.方法:物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)斜面的傾角為θ,重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等,解決此類問題時(shí),可以按以下操作,把問題簡(jiǎn)化。
物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,轉(zhuǎn)動(dòng)越快,越容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn),恰好滑動(dòng)時(shí)有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例6] 【斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題】 (多選)如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5 m處有一小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))與圓盤始終保持相對(duì)靜止,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,盤面與水平面的夾角為30°,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　 　)
BC
【解析】 當(dāng)小物體在最高點(diǎn)時(shí),可能受到重力、支持力與摩擦力三個(gè)力的作用,摩擦力的方向可能沿盤面向上(即背離圓心),也可能沿盤面向下
(即指向圓心),摩擦力的方向沿盤面向上時(shí),ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力越小,故A錯(cuò)誤,B正確;當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)恰好不滑動(dòng)時(shí),圓盤的角速度最大,此時(shí)小物體受豎直向下的重力、垂直于盤面向上的支持力、沿盤面指向圓心的摩擦力,由沿盤面的合力提供向心力,對(duì)小物體受力分析,支持力FN=mgcos 30°,摩擦力Ff=μFN=μmgcos 30°,又μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2R,解得ω=1.0 rad/s,故C正確,D錯(cuò)誤。
1.(6分)(2024·黑龍江哈爾濱三模)(多選)如圖所示,質(zhì)量為m的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi),它和球心O的連線與豎直方向的夾角為θ=37°,現(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊在球殼內(nèi)始終未滑動(dòng),重力加速度為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則下列說法正確的是(　 　)
對(duì)點(diǎn)1.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練
CD
A
3.(10分)如圖所示,AB為豎直放置的光滑圓筒,一根長(zhǎng)細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量m1=5 kg的小球P,另一端和細(xì)繩BC(懸點(diǎn)為B)在結(jié)點(diǎn)C處共同連著質(zhì)量為m2的小球Q,長(zhǎng)細(xì)繩能承受的最大拉力為60 N,細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6 N。轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒使BC繩被水平拉直,小球Q在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),小球P處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)圓筒頂端A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離l1=1.5 m,細(xì)繩BC的長(zhǎng)度l2=0.9 m,重力加速度g取10 m/s2,兩繩均不可伸長(zhǎng),小球P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)。求:
(1)當(dāng)角速度多大時(shí),BC繩剛好被拉直而不張緊(結(jié)果可用根號(hào)表示);
(2)當(dāng)角速度多大時(shí),BC繩剛好被拉斷。
4.(4分)(2024·安徽六安模擬)如圖甲所示,豎直面內(nèi)的圓形管道半徑R遠(yuǎn)大于其橫截面的半徑,有一小球直徑比管橫截面直徑略小,在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。小球過最高點(diǎn)時(shí),小球?qū)鼙诘膹椓Υ笮∮肍表示,速度大小用v表示,當(dāng)小球以不同速度經(jīng)過管道最高點(diǎn)時(shí),其F-v2圖像如圖乙所示。則(　　)
D
對(duì)點(diǎn)2.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
甲　　　 　乙　
對(duì)點(diǎn)3.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
B
小球在斜面上受重力、支持力和繩的拉力作用做變速圓周運(yùn)動(dòng),其所受重力與斜面的支持力大小和方向均保持不變,繩的拉力大小和方向均不斷變化,根據(jù)牛頓第三定律,以斜劈為研究對(duì)象,斜劈在小球恒定的壓力、繩中不斷變化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡,繩的拉力不斷變化,故其在水平和豎直方向上的分量也在不斷變化,根據(jù)斜劈的平衡條件可知,它受到的水平方向上的摩擦力大小是變化的,地面對(duì)斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和,C、D錯(cuò)誤。
6.(6分)(2024·四川綿陽(yáng)模擬)(多選)如圖甲所示,質(zhì)量為0.2 kg的小球套在豎直固定的光滑圓環(huán)上,并在圓環(huán)最高點(diǎn)保持靜止。受到輕微擾動(dòng)后,小球由靜止開始沿著圓環(huán)運(yùn)動(dòng),一段時(shí)間后,小球與圓心的連線轉(zhuǎn)過θ角度時(shí),小球的速度大小為v,v2與cos θ的關(guān)系如圖乙所示,g取10 m/s2。則(　 　)
AD
綜合提升練
7.(4分)(2024·四川成都模擬)如圖,一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng),緊貼在一起的M、N兩物體(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng),N恰好不下滑,M恰好不滑動(dòng),兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r,已知M與N間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　)
C
【解析】 以M、N整體為研究對(duì)象,受力分析如圖甲所示,豎直方向受力平衡,則有FN=(mM+mN)g,水平方向由靜摩擦力提供向心力可得μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,以N為研究對(duì)象,受力分析如圖乙所示,由M對(duì)N的彈力提供向心力,則有FN′=mNω2r,由平衡條件可得μ1FN′=mNg,聯(lián)立解得μ1μ2=1,故C正確。
甲 乙
8.(12分)(2024·山西太原階段練習(xí))某同學(xué)利用如圖所示的裝置進(jìn)行游戲,左邊甲裝置通過擊打可以把質(zhì)量為m=1 kg的小球從A點(diǎn)水平擊出,乙裝置是一段豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道BC,底邊與水平軌道CD相切,丙裝置是一個(gè)半徑為r=0.5 m的半圓形豎直光滑軌道DE,底部也與水平軌道CD相切。已知A、B間的水平距離x=1 m,B、C的高度差h1=0.55 m,小球與水平軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3。現(xiàn)把小球以v0=2 m/s的初速度擊打出去后,恰能從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入BC軌道,g取10 m/s2。
綜合提升練
(1)求A、B間的高度差h2;
【答案】 (1)1.25 m
(2)若C、D間的距離為l=1.0 m,求小球經(jīng)過圓弧軌道最高點(diǎn)E時(shí)軌道對(duì)小球的彈力;
【答案】 (2)18 N,方向豎直向下
(3)若C、D間的距離可以調(diào)節(jié)(C點(diǎn)不動(dòng)),要使小球能進(jìn)入DE軌道,并在DE軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道,求C、D間距離應(yīng)該滿足的條件。

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