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第3講　小專題:牛頓運動定律的綜合應用
考點一　動力學中的連接體問題
在下列各圖中,質量分別為m1、m2的物塊A、B分別在恒力F的作用下沿同一平面做勻變速直線運動時,如何推導出在有、無摩擦力兩種情況下A與B間彈力的表達式
提示:題圖情境中,無論物體是否受到摩擦力(μ=0或μ1=μ2≠0),可先將物塊A、B看作一個整體,然后再將其中一個隔離,分別根據牛頓第二定律列方程求解。
1.多個相互關聯的物體連接(疊放、并排或由繩子、細桿、彈簧等連接)在一起構成的物體系統稱為連接體。系統穩定時連接體一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
2.常見連接體模型
類型 圖示 特點
并排、 疊放類 通過彈力、摩擦力作用,穩定時具有相同的速度和加速度
輕繩類 輕繩在伸直狀態下,兩端的物體沿繩方向的速度大小總是相等
輕桿類 輕桿平動時,連接的兩物體具有相同的平動速度
彈簧類 在彈簧發生形變的過程中,兩端物體的速度、加速度不一定相等;在彈簧形變最大時,兩端物體的速度、加速度相等
3.共速連接體對合力的“分配協議”
兩物塊在外力F作用下一起運動,系統的加速度與每個物塊的加速度相同,如圖。
圖甲:水平地面光滑;
圖乙:m1、m2與水平地面間的動摩擦因數相同,地面粗糙;
圖丙:m1、m2一起豎直向上加速;
圖丁:m1、m2與固定粗糙斜面間的動摩擦因數相同。
以上幾種情境中,F一定,兩物塊間的彈力只與物塊的質量有關且F彈=F。
[例1] 【疊放類】 (2024·湖南長沙階段練習)如圖所示,質量M=3 kg、傾角θ=37°的斜面體靜止在粗糙水平地面上。在斜面上疊放質量m=2 kg的光滑楔形物塊,物塊在大小為19 N的水平恒力F作用下與斜面體恰好一起向右運動。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,則斜面體與水平地面間的動摩擦因數為(　　)
[A] 0.10 [B] 0.18 [C] 0.25 [D] 0.38
【答案】 B
【解析】 以整體為研究對象,根據牛頓第二定律得F-μ(M+m)g=(M+m)a,再以楔形物塊為研究對象,如圖所示,在豎直方向有FNcos θ-mg=0,水平方向有F-FNsin θ=ma,聯立解得μ=0.18,故B正確。
[例2] 【輕繩類】 如圖所示,水平面上有兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2,中間用一根輕繩連接,兩木塊的材料相同,現用力F向右拉木塊2,當兩木塊一起向右做勻加速直線運動時,已知重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 若水平面是光滑的,則m2越大繩的拉力越大
[B] 若木塊和地面間的動摩擦因數為μ,則繩的拉力為+μm1g
[C] 繩的拉力大小與水平面是否粗糙無關
[D] 繩的拉力大小與水平面是否粗糙有關
【答案】 C
【解析】 設木塊和地面間的動摩擦因數為μ,以兩木塊整體為研究對象,根據牛頓第二定律有F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a,以木塊1為研究對象,根據牛頓第二定律有FT-μm1g=m1a,解得FT=F,可知繩的拉力大小與動摩擦因數μ無關,與兩木塊質量大小有關,即與水平面是否粗糙無關,無論水平面是光滑的還是粗糙的,繩的拉力大小均為FT=F,且m2越大繩的拉力越小,故C正確。
[變式] 【輕繩連接體中的多物體問題】 在[例2]中,若木塊1和2的質量分別為3m和2m,將質量為m的物體A疊放在木塊1上,如圖所示,水平面光滑,輕繩能承受的最大拉力為FT。現用水平拉力F拉木塊2,使木塊1、木塊2和物體A以同一加速度向右運動,則繩即將斷裂瞬間,A與木塊1間的摩擦力為多大
【答案】 F
【解析】 水平面光滑,繩即將斷裂瞬間,繩上拉力最大為FT,對A與木塊1整體分析,加速度a=,對木塊1、木塊2和物體A整體分析,加速度a=,解得FT=F,對A隔離分析,A所受的摩擦力Ff=ma==F。
整體法與隔離法在分析共速連接體中的應用
(1)整體法:若連接體內的物體具有共同加速度,可以把它們看成一個整體,分析整體受到的外力,應用牛頓第二定律求出加速度。
(2)隔離法:求系統內兩物體之間的作用力時,就需要把物體從系統中隔離出來,應用牛頓第二定律列方程求解。
(3)整體法和隔離法交替使用:一般情況下,若連接體內各物體具有相同的加速度,且求物體之間的作用力時,可以先用整體法求出加速度,然后再隔離某一物體,應用牛頓第二定律求相互作用力;若求某一外力,可以先隔離某一物體求出加速度,再用整體法求合力或某一個力。
[例3] 【彈簧類】 如圖所示,質量為m的小球P用輕彈簧和細線分別懸掛于固定在小車上的支架M、N兩點。已知彈簧勁度系數為k,重力加速度為g,當小車水平向右做直線運動時,細線與豎直方向的夾角為θ,輕彈簧處于豎直方向,則下列說法正確的是(　　)
[A] 細線的張力不可能為零
[B] 若小車向右做勻速直線運動,彈簧伸長量為
[C] 彈簧的彈力不可能為零,也不可能處于壓縮狀態
[D] 若小車水平向右的加速度a>gtan θ,彈簧伸長量為
【答案】 B
【解析】 若小車向右做勻速直線運動,則小球水平方向受力平衡,因輕彈簧處于豎直方向,可知細線拉力為零,此時彈簧彈力等于重力,即kx=mg,解得x=,故A錯誤,B正確。若小車向右做勻加速運動的加速度為a,設彈簧對小球的彈力為F彈,以豎直向上為正方向,則對小球有FTsin θ=ma,F彈+FTcos θ=mg,解得F彈=mg-。若a=gtan θ,則F彈=0,即彈簧的彈力為零。若向右的加速度a>gtan θ,則F彈<0,即彈簧對小球的彈力豎直向下,彈簧處于壓縮狀態,由胡克定律有kx′=-mg,解得彈簧壓縮量為x′=,故C、D錯誤。
[提升] 【關聯速度的連接體】 如圖所示為阿特伍德機原理示意圖,阿特伍德機是英國物理學家阿特伍德創制的一種力學實驗裝置,用來研究勻變速直線運動的規律。已知物體A、B的質量相等且均為M,物體C的質量為m,輕繩與輕滑輪間的摩擦不計,繩子不可伸長,如果m=M,重力加速度為g。求:
阿特伍德機原理示意圖
(1)物體B運動過程中的加速度大小;
(2)系統由靜止釋放后,運動過程中物體B、C間作用力的大小。
【答案】 (1)g　(2)mg或Mg
【解析】 (1)設物體B運動過程中的加速度大小為a,繩子的張力為FT,
對物體A,FT-Mg=Ma,
對B、C整體,(M+m)g-FT=(M+m)a,
解得 a=g,
因為m=M,所以 a=g。
(2)設B、C間的作用力為F,
對物體C,mg-F=ma,
解得 F=mg-ma=mg=Mg,
所以B、C間的作用力為mg或Mg。
關聯速度的連接體問題處理方法
關聯速度連接體做加速運動時,由于加速度的方向不同,一般分別選取研究對象,對兩物體分別列牛頓第二定律方程,用隔離法求解加速度及相互作用力。
考點二　動力學中的圖像問題
1.常見動力學圖像及應用方法
v-t 圖像 根據圖像的斜率判斷加速度的大小和方向,進而根據牛頓第二定律求解合力
F-a 圖像 首先要根據具體的物理情境,對物體進行受力分析,然后根據牛頓第二定律推導出F、a兩個物理量間的函數關系式,根據函數關系式結合圖像,明確圖像的斜率、截距或面積的意義,從而由圖像給出的信息求出未知量
a-t 圖像 要注意加速度的正、負,正確分析每一段的運動情況,然后結合物體受力情況根據牛頓第二定律列方程
F-t 圖像 要結合物體受到的力,根據牛頓第二定律求出加速度,分析每一時間段的運動性質
2.解題策略
(1)分清圖像的類別:即分清橫、縱坐標軸所代表的物理量,明確其物理意義,掌握物理圖像所反映的物理過程。
(2)注意圖線中的一些特殊點所表示的物理意義:圖線與橫、縱坐標軸的交點、圖線的轉折點、兩圖線的交點等。
(3)明確能從圖像中獲得哪些信息:把圖像與具體的題意、情境結合起來,應用物理規律列出與圖像對應的函數關系式,進而明確圖像與公式、圖像與物體運動間的關系,以便對有關物理問題作出準確判斷。
[例4] 【動力學中的常規圖像】 某游泳運動員在0～6 s時間內運動的v-t圖像如圖所示。關于該運動員,下列說法正確的是(　　)
[A] 在0～6 s內所受的合力一直不為零
[B] 在0～6 s內的位移大小為24 m
[C] 在2～4 s內一定處于超重狀態
[D] 在4～6 s內的位移大小為8 m
【答案】 D
【解析】 v-t圖像的斜率表示加速度,由圖像可知,在2～4 s該運動員的加速度為a==2 m/s2,由牛頓第二定律有F合=ma,在0～2 s與4～6 s該運動員加速度為零,即此時所受合力為零,綜上所述,該運動員在0～2 s與4～6 s所受合力為零,在2～4 s所受合力不為零,故A錯誤;由于v-t圖像與坐標軸圍成的面積表示位移,所以在0～6 s內的位移大小為x1=×(2+4)×4 m=12 m,在4～6 s內的位移大小為x2=4×2 m=8 m,故B錯誤,D正確;豎直方向上運動員的加速度為零,故運動員并不處于超重狀態,故C錯誤。
[例5] 【動力學中的非常規圖像】 航天員在某星球上把一質量為m的物體(可視為質點)豎直向上拋出,物體速度的平方v2隨高度h的變化情況如圖所示,圖中v0、v′、H均為已知量。若物體在運動過程中受到的阻力大小恒定,則下列說法正確的是(　　)
[A] 物體在整個運動過程中,加速度大小恒定
[B] 物體所受的阻力大小為
[C] 星球表面的重力加速度大小為
[D] 物體從被拋出到落回至拋出位置的時間為H(+)
【答案】 C
【解析】 對物體受力分析可知,物體上升過程中的加速度大小大于下落過程中的加速度大小,故A錯誤;設物體上升過程中的加速度大小為a1,下落過程中的加速度大小為a2,設星球表面的重力加速度大小為g0,物體所受的阻力大小為F阻,由題圖可知a1=,a2=,根據牛頓第二定律可得mg0+F阻=ma1,mg-F阻=ma2,聯立解得F阻=,g0=,故B錯誤,C正確;物體上升的時間為t1=,下落的時間為t2=,物體從被拋出到落回至拋出位置的時間t=t1+t2=2H(+),故D錯誤。
考點三　動力學中的臨界和極值問題
1.臨界、極值條件的標志
(1)題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程存在著臨界點。
(2)題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程存在著極值,這個極值點往往是臨界點。
2.常見的臨界條件
(1)兩物體脫離的臨界條件:FN=0。
(2)相對滑動的臨界條件:靜摩擦力達到最大值。
(3)繩子斷裂或松弛的臨界條件:繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力;繩子松弛的臨界條件是FT=0。
(4)速度達到最大的臨界條件:加速度變為零。
[例6] 【分離的臨界問題】 (2024·山東濰坊一模)如圖所示,一傾角為37°的足夠長光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一擋板,一根勁度系數k=100 N/m的輕彈簧兩端分別連接在固定擋板和物體P上,緊挨著P放置物體Q(不與P粘連),現對Q施加一個沿斜面向上的拉力F使Q做勻加速直線運動,從施加拉力開始計時,t=0.2 s后拉力F不再變化,已知P的質量mP=1 kg,Q的質量mQ=4 kg,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時P、Q間的作用力為24 N
[B] t=0.2 s時彈簧中的彈力為零
[C] t=0.2 s時拉力F=56 N
[D] Q的加速度大小為15 m/s2
【答案】 C
【解析】 剛開始彈簧的壓縮量為Δx===0.3 m,由題意知t=0.2 s后拉力F不再變化,說明t=0.2 s時P、Q剛好分離,它們之間的彈力正好為零,而此時P和Q具有相同的沿斜面向上的加速度a,設此時彈簧的壓縮量為Δx′,對P由牛頓第二定律有kΔx′-mPgsin 37°=mPa,該段時間內由運動學規律得Δx-Δx′=at2,t=0.2 s,聯立解得Δx′=0.14 m,a=8 m/s2,故D錯誤;設t=0時P、Q間的作用力為F1,對P由牛頓第二定律得F彈-mPgsin 37°-F1=mPa,F彈=(mP+mQ)gsin 37°,解得F1=16 N,故A錯誤;根據前面分析可知t=0.2 s時,彈簧中的彈力F彈′=kΔx′=14 N,故B錯誤;t=0.2 s時對Q由牛頓第二定律得F-mQgsin 37°=mQa,解得F=56 N,故C正確。
[例7] 【相對滑動的臨界問題】 (多選)如圖甲所示,足夠長的木板B靜置于光滑水平面上,其上放置小滑塊A,滑塊A受到隨時間t變化的水平拉力F作用時,用傳感器測出滑塊A的加速度a,得到如圖乙所示的a-F圖像,A、B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,則(　　)
[A] 滑塊A的質量為4 kg
[B] 木板B的質量為2 kg
[C] 當F=10 N時滑塊A的加速度為6 m/s2
[D] 滑塊A與木板B間的動摩擦因數為0.2
【答案】 BC
【解析】 設滑塊A的質量為m,木板B的質量為M,滑塊A與木板B間的動摩擦因數為μ。由題圖乙可知,當F=Fm=6 N時,滑塊A與木板B達到最大共同加速度am=2 m/s2,根據牛頓第二定律有Fm=(M+m)am,解得M+m=3 kg,當F>6 N時,A與B將發生相對滑動,對A單獨應用牛頓第二定律有F-μmg=ma,整理得a=-μg;根據題圖乙知= kg-1,解得m=1 kg,μ=0.4,則M=2 kg,A、D錯誤,B正確;當F=10 N時,滑塊A的加速度為aA==6 m/s2,C正確。
[例8] 【繩子斷裂與松弛的臨界問題】 如圖所示,在平直公路上行駛的廂式貨車內,用輕繩AO、BO在O點懸掛質量為m的重物,輕繩AO、BO與貨車頂部夾角分別為30°、60°,且輕繩所能承受的最大拉力Fmax=mg。在貨車行駛過程中,為保持重物懸掛在O點位置不動,重力加速度為g,廂式貨車的最大加速度為(　　)
[A] [B] g [C] g [D] g
【答案】 B
【解析】 當貨車向前加速行駛時,設最大加速度為a1,此時繩AO恰無張力,繩BO的拉力與重物重力的合力產生加速度,則mgtan 30°=ma1,解得a1=g,此時繩BO的拉力FBO==mgFmax,繩AO會斷裂,故取FAO′=Fmax=mg,設此時最大加速度為a3,豎直方向有FAO′sin 30°+FBO′sin 60°=mg,水平方向由牛頓第二定律可得FAO′sin 60°-FBO′sin 30°=ma3,聯立解得FBO′=mg,a3=g。故選B。
處理臨界問題的三種方法
極限法 把物理問題(或過程)推向極端,從而使臨界現象(或狀態)暴露出來,以達到正確解決問題的目的
假設法 臨界問題存在多種可能,特別是有非此即彼兩種可能時,或變化過程中可能出現臨界條件,也可能不出現臨界條件時,往往用假設法解決問題
數學 分析法 將物理過程轉化為數學表達式,根據數學表達式解出臨界條件
對點1.動力學中的連接體問題
1.(4分)(2024·河南安陽階段練習)如圖所示,質量為2m、傾角為θ的光滑斜面體A放置在光滑的水平桌面上,細線繞過固定在桌面右側的光滑定滑輪,一端與斜面體A相連,另一端懸掛著質量為m的物塊C,斜面體與定滑輪之間的細線平行于桌面?，F將質量為m的物塊B放在斜面上,同時釋放物塊C,斜面體A與物塊B恰能保持相對靜止并一起滑動。則tan θ 等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 設細線上的拉力大小為FT,對物塊C,由牛頓第二定律有mg-FT=ma,對A、B整體,有FT=3ma,解得a=g,對物塊B,由牛頓第二定律有mgtan θ=ma,解得tan θ=,故選C。
2.(4分)如圖所示,質量相等的兩小球A、B,二者用一輕彈簧豎直連接,A的上端用輕繩系在足夠高的天花板上,初始時A、B均靜止?，F將輕繩剪斷,則從此刻開始到彈簧第一次恢復原長之前(　　)
[A] A的加速度大小的最大值為g
[B] B的加速度大小的最大值為2g
[C] A的位移大小一定大于B的位移大小
[D] A的速度大小均不大于同一時刻B的速度大小
【答案】 C
【解析】 設小球A與B的質量均為m,輕繩剪斷瞬間,彈簧長度不變,彈力不變,B球所受的合力為零,則B球的加速度為零,A球加速度為aA0==2g,兩小球從靜止開始下落,至彈簧第一次恢復原長過程中,設彈簧的伸長量為x。對A球,由牛頓第二定律得mg+kx=maA,對B球,由牛頓第二定律得mg-kx=maB,可知隨著x減小,A球的加速度aA減小,B球的加速度aB增大,所以輕繩剪斷瞬間,A球的加速度最大,為2g。當彈簧第一次恢復原長時,B球的加速度最大,為g,故A、B錯誤。從開始下落到彈簧第一次恢復原長的過程中,A球的加速度大于B球的加速度,所以A球的位移大小一定大于B球的位移大小,A球的速度大小均大于同一時刻B球的速度大小,故C正確,D錯誤。
對點2.動力學中的圖像問題
3.(4分)(2024·山西臨汾三模)質量為m的物塊靜止在動摩擦因數為μ的水平地面上,0～3 s內所受水平拉力與時間的關系如圖甲所示,0～2 s內加速度圖像如圖乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由圖可知(　　)
[A] m=1 kg,μ=0.2 [B] m=1 kg,μ=0.1
[C] m=2 kg,μ=0.2 [D] m=2 kg,μ=0.1
【答案】 A
【解析】 0～1 s內,根據牛頓第二定律可得F1-μmg=ma,1～2 s內,物塊仍運動,受到滑動摩擦力,由題圖乙知加速度為零,有F2=μmg,聯立可得m=1 kg,μ=0.2,故A正確。
4.(4分)一個質量為6 kg的物體在粗糙的水平面上運動,圖中的兩條直線的其中一條為物體受水平拉力作用而另一條為不受拉力作用時的速度—時間圖像,則物體所受摩擦力的大小的可能值為(　　)
[A] 1 N [B] 2 N [C] 2.5 N [D] 3 N
【答案】 B
【解析】 根據v-t圖像可知兩圖線對應的加速度大小分別為a1= m/s2= m/s2,a2= m/s2= m/s2,設摩擦力大小為Ff,若水平拉力與運動方向相反,則有a1=,a2=,解得F=2 N,Ff=2 N,若水平拉力與運動方向相同,則有a1=,a2=,解得F=2 N,Ff=4 N,故B正確。
對點3.動力學中的臨界和極值問題
5.(4分)(2024·湖南婁底二模)如圖甲,光滑水平面上放置有緊靠在一起但并不粘合的A、B兩個物體,A、B的質量分別為mA=6 kg,mB=4 kg,從t=0開始,推力FA和拉力FB分別作用于A、B上,FA、FB大小隨時間變化的規律分別如圖乙、丙所示,則(　　)
[A] t=0時,A物體的加速度為2 m/s2
[B] t=1 s時,A、B開始分離
[C] t=0時,A、B之間的相互作用力為3 N
[D] A、B開始分離時的速度為3 m/s
【答案】 B
【解析】 由力與時間的圖像可得FA=8-2t(N),FB=2+2t(N),當兩物體之間的相互作用力恰好為零時開始分離,此時兩物體的加速度相同,則有=,即=,解得t=1 s,則t=0時,兩物體不會分開,A、B兩物體的加速度為a==1 m/s2,設t=0時A、B之間的相互作用力為F,對B根據牛頓第二定律可得F+FB0=mBa,解得F=2 N,故A、C錯誤,B正確;A、B開始分離時的速度為v=at=1 m/s,故D錯誤。
6.(6分)(多選)在水平直軌道上運動的火車車廂內有一個傾角為30°的斜面,如圖所示。小球的重力、繩對球的拉力、斜面對小球的彈力分別用G、FT、FN表示,重力加速度g取10 m/s2,當火車以加速度a向右加速運動時,則(　　)
[A] 若a=20 m/s2,小球受G、FT、FN三個力的作用
[B] 若a=20 m/s2,小球只受G、FT兩個力的作用
[C] 若a=10 m/s2,小球只受G、FT兩個力的作用
[D] 若a=10 m/s2,小球受G、FT、FN三個力的作用
【答案】 BD
【解析】 設火車加速度為a0時,小球剛好對斜面沒有壓力,對小球,根據牛頓第二定律可得=ma0,解得a0=10 m/s2≈17 m/s2。若a=20 m/s2,可知小球已經離開斜面,小球受到重力和繩子拉力兩個力的作用,A錯誤,B正確;若a=10 m/s2,可知小球還沒有離開斜面,小球受到重力、繩子拉力和斜面對小球的彈力三個力的作用,C錯誤,D正確。
7.(6分)(多選)如圖所示,輕彈簧的一端固定在傾角為θ的固定光滑斜面的底部,另一端和質量為m的小物塊A相連,質量為m的小物塊B緊靠A靜止在斜面上,此時彈簧的壓縮量為x0。從t=0時開始,對B施加沿斜面向上的外力,使B始終做勻加速直線運動。經過一段時間后,物塊A、B分離,再經過同樣長的時間,B距其出發點的距離恰好為x0。彈簧始終在彈性限度內,其中心軸線與斜面平行,重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 彈簧的勁度系數為
[B] A、B分離時,彈簧的壓縮量為
[C] 物塊B加速度的大小為gsin θ
[D] 物塊B加速度的大小為gsin θ
【答案】 AC
【解析】 小物塊B緊靠A靜止在斜面上,將二者看成一個整體,可知彈力大小與整體重力沿斜面方向的分力大小相等,有kx0=m總gsin θ,解得k=,故A正確;B做初速度為零的勻加速運動,設第一段時間內的位移為x1,則由勻變速直線運動規律可得=,即x1=x0,則A、B分離時,彈簧的壓縮量為Δx=x0-x1=x0,故B錯誤;兩物塊剛好要分離時,A與B之間無相互作用力且加速度相同,對A由牛頓第二定律有k×x0-mgsin θ=ma,代入k后解得a=gsin θ,故C正確,D錯誤。
8.(6分)(2024·山東青島模擬)(多選)如圖甲所示,一傾角為θ的足夠長光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一擋板,一根勁度系數k=100 N/m的輕彈簧兩端分別連接在固定擋板和物塊A上,緊挨著A放置物塊B(不與A粘連),物塊C用輕質細線通過光滑的輕質定滑輪與物塊B連接,細線與斜面平行。開始時A、B均靜止在斜面上,用手托住C,使細線剛好被拉直但無拉力。現撤去外力,C由靜止開始運動,運動過程中物塊A的加速度a與位移x的關系圖像如圖乙所示,已知運動過程中物體C未觸地,g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 放手前彈簧的壓縮量為15 cm
[B] 物塊C的質量為2 kg
[C] 物塊A的質量為2 kg
[D] 斜面傾角θ=30°
【答案】 ABD
【解析】 設放手前彈簧的壓縮量為x0,則kx0=(mA+mB)gsin θ,放手后且A、B分離前,設物塊A的運動位移為x,有k(x0-x)+mCg-(mA+mB)gsin θ=(mA+mB+mC)a1,得a1=-x+,由題圖乙可知=4 m/s2,= s-2,解得mC=2 kg,mA+mB+mC=5 kg,A、B分離后,對A,有k(x0-x)-mAgsin θ=mAa2,得a2=-x+,由題圖乙可知= s-2,=10 m/s2,聯立解得mA=1 kg,mB=2 kg,θ=30°,x0=15 cm,故A、B、D正確,C錯誤。
9.(12分)(2025·河南高考適應性考試)如圖甲所示的水平地面上,質量為1 kg的物體在水平方向力F的作用下從靜止開始做直線運動。圖乙為F隨時間t變化的關系圖像,已知物體與水平地面之間的動摩擦因數為0.2,重力加速度大小g取 10 m/s2。求:
(1)在2 s末物體的速度大小;
(2)在0～3 s內物體所受摩擦力做的功。
【答案】 (1)8 m/s　(2)-27 J
【解析】 (1)0～2 s內,由牛頓第二定律有
F1-μmg=ma1,
解得a1=4 m/s2,
v=a1t1=8 m/s。
(2)0～2 s內,物體的位移
x1=a1=8 m,
2～3 s內,由牛頓第二定律有
F2+μmg=ma2,
解得a2=5 m/s2,方向水平向左,
位移x2=vt2-a2=5.5 m,
物體在0～3 s內的總位移
x總=x1+x2=13.5 m,
在0～3 s內物體所受摩擦力做的功
Wf=-fx總=-27 J。
(
第
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頁
)第3講　小專題:牛頓運動定律的綜合應用
考點一　動力學中的連接體問題
在下列各圖中,質量分別為m1、m2的物塊A、B分別在恒力F的作用下沿同一平面做勻變速直線運動時,如何推導出在有、無摩擦力兩種情況下A與B間彈力的表達式
提示:題圖情境中,無論物體是否受到摩擦力(μ=0或μ1=μ2≠0),可先將物塊A、B看作一個整體,然后再將其中一個隔離,分別根據牛頓第二定律列方程求解。
1.多個相互關聯的物體連接(疊放、并排或由繩子、細桿、彈簧等連接)在一起構成的物體系統稱為連接體。系統穩定時連接體一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
2.常見連接體模型
類型 圖示 特點
并排、 疊放類 通過彈力、摩擦力作用,穩定時具有相同的速度和加速度
輕繩類 輕繩在伸直狀態下,兩端的物體沿繩方向的速度大小總是相等
輕桿類 輕桿平動時,連接的兩物體具有相同的平動速度
彈簧類 在彈簧發生形變的過程中,兩端物體的速度、加速度不一定相等;在彈簧形變最大時,兩端物體的速度、加速度相等
3.共速連接體對合力的“分配協議”
兩物塊在外力F作用下一起運動,系統的加速度與每個物塊的加速度相同,如圖。
圖甲:水平地面光滑;
圖乙:m1、m2與水平地面間的動摩擦因數相同,地面粗糙;
圖丙:m1、m2一起豎直向上加速;
圖丁:m1、m2與固定粗糙斜面間的動摩擦因數相同。
以上幾種情境中,F一定,兩物塊間的彈力只與物塊的質量有關且F彈=F。
[例1] 【疊放類】 (2024·湖南長沙階段練習)如圖所示,質量M=3 kg、傾角θ=37°的斜面體靜止在粗糙水平地面上。在斜面上疊放質量m=2 kg的光滑楔形物塊,物塊在大小為19 N的水平恒力F作用下與斜面體恰好一起向右運動。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,則斜面體與水平地面間的動摩擦因數為(　　)
[A] 0.10 [B] 0.18 [C] 0.25 [D] 0.38
[例2] 【輕繩類】 如圖所示,水平面上有兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2,中間用一根輕繩連接,兩木塊的材料相同,現用力F向右拉木塊2,當兩木塊一起向右做勻加速直線運動時,已知重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 若水平面是光滑的,則m2越大繩的拉力越大
[B] 若木塊和地面間的動摩擦因數為μ,則繩的拉力為+μm1g
[C] 繩的拉力大小與水平面是否粗糙無關
[D] 繩的拉力大小與水平面是否粗糙有關
[變式] 【輕繩連接體中的多物體問題】 在[例2]中,若木塊1和2的質量分別為3m和2m,將質量為m的物體A疊放在木塊1上,如圖所示,水平面光滑,輕繩能承受的最大拉力為FT?，F用水平拉力F拉木塊2,使木塊1、木塊2和物體A以同一加速度向右運動,則繩即將斷裂瞬間,A與木塊1間的摩擦力為多大
整體法與隔離法在分析共速連接體中的應用
(1)整體法:若連接體內的物體具有共同加速度,可以把它們看成一個整體,分析整體受到的外力,應用牛頓第二定律求出加速度。
(2)隔離法:求系統內兩物體之間的作用力時,就需要把物體從系統中隔離出來,應用牛頓第二定律列方程求解。
(3)整體法和隔離法交替使用:一般情況下,若連接體內各物體具有相同的加速度,且求物體之間的作用力時,可以先用整體法求出加速度,然后再隔離某一物體,應用牛頓第二定律求相互作用力;若求某一外力,可以先隔離某一物體求出加速度,再用整體法求合力或某一個力。
[例3] 【彈簧類】 如圖所示,質量為m的小球P用輕彈簧和細線分別懸掛于固定在小車上的支架M、N兩點。已知彈簧勁度系數為k,重力加速度為g,當小車水平向右做直線運動時,細線與豎直方向的夾角為θ,輕彈簧處于豎直方向,則下列說法正確的是(　　)
[A] 細線的張力不可能為零
[B] 若小車向右做勻速直線運動,彈簧伸長量為
[C] 彈簧的彈力不可能為零,也不可能處于壓縮狀態
[D] 若小車水平向右的加速度a>gtan θ,彈簧伸長量為
[提升] 【關聯速度的連接體】 如圖所示為阿特伍德機原理示意圖,阿特伍德機是英國物理學家阿特伍德創制的一種力學實驗裝置,用來研究勻變速直線運動的規律。已知物體A、B的質量相等且均為M,物體C的質量為m,輕繩與輕滑輪間的摩擦不計,繩子不可伸長,如果m=M,重力加速度為g。求:
阿特伍德機原理示意圖
(1)物體B運動過程中的加速度大小;
(2)系統由靜止釋放后,運動過程中物體B、C間作用力的大小。
關聯速度的連接體問題處理方法
關聯速度連接體做加速運動時,由于加速度的方向不同,一般分別選取研究對象,對兩物體分別列牛頓第二定律方程,用隔離法求解加速度及相互作用力。
考點二　動力學中的圖像問題
1.常見動力學圖像及應用方法
v-t 圖像 根據圖像的斜率判斷加速度的大小和方向,進而根據牛頓第二定律求解合力
F-a 圖像 首先要根據具體的物理情境,對物體進行受力分析,然后根據牛頓第二定律推導出F、a兩個物理量間的函數關系式,根據函數關系式結合圖像,明確圖像的斜率、截距或面積的意義,從而由圖像給出的信息求出未知量
a-t 圖像 要注意加速度的正、負,正確分析每一段的運動情況,然后結合物體受力情況根據牛頓第二定律列方程
F-t 圖像 要結合物體受到的力,根據牛頓第二定律求出加速度,分析每一時間段的運動性質
2.解題策略
(1)分清圖像的類別:即分清橫、縱坐標軸所代表的物理量,明確其物理意義,掌握物理圖像所反映的物理過程。
(2)注意圖線中的一些特殊點所表示的物理意義:圖線與橫、縱坐標軸的交點、圖線的轉折點、兩圖線的交點等。
(3)明確能從圖像中獲得哪些信息:把圖像與具體的題意、情境結合起來,應用物理規律列出與圖像對應的函數關系式,進而明確圖像與公式、圖像與物體運動間的關系,以便對有關物理問題作出準確判斷。
[例4] 【動力學中的常規圖像】 某游泳運動員在0～6 s時間內運動的v-t圖像如圖所示。關于該運動員,下列說法正確的是(　　)
[A] 在0～6 s內所受的合力一直不為零
[B] 在0～6 s內的位移大小為24 m
[C] 在2～4 s內一定處于超重狀態
[D] 在4～6 s內的位移大小為8 m
[例5] 【動力學中的非常規圖像】 航天員在某星球上把一質量為m的物體(可視為質點)豎直向上拋出,物體速度的平方v2隨高度h的變化情況如圖所示,圖中v0、v′、H均為已知量。若物體在運動過程中受到的阻力大小恒定,則下列說法正確的是(　　)
[A] 物體在整個運動過程中,加速度大小恒定
[B] 物體所受的阻力大小為
[C] 星球表面的重力加速度大小為
[D] 物體從被拋出到落回至拋出位置的時間為H(+)
考點三　動力學中的臨界和極值問題
1.臨界、極值條件的標志
(1)題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程存在著臨界點。
(2)題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程存在著極值,這個極值點往往是臨界點。
2.常見的臨界條件
(1)兩物體脫離的臨界條件:FN=0。
(2)相對滑動的臨界條件:靜摩擦力達到最大值。
(3)繩子斷裂或松弛的臨界條件:繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力;繩子松弛的臨界條件是FT=0。
(4)速度達到最大的臨界條件:加速度變為零。
[例6] 【分離的臨界問題】 (2024·山東濰坊一模)如圖所示,一傾角為37°的足夠長光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一擋板,一根勁度系數k=100 N/m的輕彈簧兩端分別連接在固定擋板和物體P上,緊挨著P放置物體Q(不與P粘連),現對Q施加一個沿斜面向上的拉力F使Q做勻加速直線運動,從施加拉力開始計時,t=0.2 s后拉力F不再變化,已知P的質量mP=1 kg,Q的質量mQ=4 kg,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時P、Q間的作用力為24 N
[B] t=0.2 s時彈簧中的彈力為零
[C] t=0.2 s時拉力F=56 N
[D] Q的加速度大小為15 m/s2
[例7] 【相對滑動的臨界問題】 (多選)如圖甲所示,足夠長的木板B靜置于光滑水平面上,其上放置小滑塊A,滑塊A受到隨時間t變化的水平拉力F作用時,用傳感器測出滑塊A的加速度a,得到如圖乙所示的a-F圖像,A、B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,則(　　)
[A] 滑塊A的質量為4 kg
[B] 木板B的質量為2 kg
[C] 當F=10 N時滑塊A的加速度為6 m/s2
[D] 滑塊A與木板B間的動摩擦因數為0.2
[例8] 【繩子斷裂與松弛的臨界問題】 如圖所示,在平直公路上行駛的廂式貨車內,用輕繩AO、BO在O點懸掛質量為m的重物,輕繩AO、BO與貨車頂部夾角分別為30°、60°,且輕繩所能承受的最大拉力Fmax=mg。在貨車行駛過程中,為保持重物懸掛在O點位置不動,重力加速度為g,廂式貨車的最大加速度為(　　)
[A] [B] g [C] g [D] g
處理臨界問題的三種方法
極限法 把物理問題(或過程)推向極端,從而使臨界現象(或狀態)暴露出來,以達到正確解決問題的目的
假設法 臨界問題存在多種可能,特別是有非此即彼兩種可能時,或變化過程中可能出現臨界條件,也可能不出現臨界條件時,往往用假設法解決問題
數學 分析法 將物理過程轉化為數學表達式,根據數學表達式解出臨界條件
(滿分:50分)
對點1.動力學中的連接體問題
1.(4分)(2024·河南安陽階段練習)如圖所示,質量為2m、傾角為θ的光滑斜面體A放置在光滑的水平桌面上,細線繞過固定在桌面右側的光滑定滑輪,一端與斜面體A相連,另一端懸掛著質量為m的物塊C,斜面體與定滑輪之間的細線平行于桌面。現將質量為m的物塊B放在斜面上,同時釋放物塊C,斜面體A與物塊B恰能保持相對靜止并一起滑動。則tan θ 等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.(4分)如圖所示,質量相等的兩小球A、B,二者用一輕彈簧豎直連接,A的上端用輕繩系在足夠高的天花板上,初始時A、B均靜止?，F將輕繩剪斷,則從此刻開始到彈簧第一次恢復原長之前(　　)
[A] A的加速度大小的最大值為g
[B] B的加速度大小的最大值為2g
[C] A的位移大小一定大于B的位移大小
[D] A的速度大小均不大于同一時刻B的速度大小
對點2.動力學中的圖像問題
3.(4分)(2024·山西臨汾三模)質量為m的物塊靜止在動摩擦因數為μ的水平地面上,0～3 s內所受水平拉力與時間的關系如圖甲所示,0～2 s內加速度圖像如圖乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由圖可知(　　)
[A] m=1 kg,μ=0.2 [B] m=1 kg,μ=0.1
[C] m=2 kg,μ=0.2 [D] m=2 kg,μ=0.1
4.(4分)一個質量為6 kg的物體在粗糙的水平面上運動,圖中的兩條直線的其中一條為物體受水平拉力作用而另一條為不受拉力作用時的速度—時間圖像,則物體所受摩擦力的大小的可能值為(　　)
[A] 1 N [B] 2 N [C] 2.5 N [D] 3 N
對點3.動力學中的臨界和極值問題
5.(4分)(2024·湖南婁底二模)如圖甲,光滑水平面上放置有緊靠在一起但并不粘合的A、B兩個物體,A、B的質量分別為mA=6 kg,mB=4 kg,從t=0開始,推力FA和拉力FB分別作用于A、B上,FA、FB大小隨時間變化的規律分別如圖乙、丙所示,則(　　)
[A] t=0時,A物體的加速度為2 m/s2
[B] t=1 s時,A、B開始分離
[C] t=0時,A、B之間的相互作用力為3 N
[D] A、B開始分離時的速度為3 m/s
6.(6分)(多選)在水平直軌道上運動的火車車廂內有一個傾角為30°的斜面,如圖所示。小球的重力、繩對球的拉力、斜面對小球的彈力分別用G、FT、FN表示,重力加速度g取10 m/s2,當火車以加速度a向右加速運動時,則(　　)
[A] 若a=20 m/s2,小球受G、FT、FN三個力的作用
[B] 若a=20 m/s2,小球只受G、FT兩個力的作用
[C] 若a=10 m/s2,小球只受G、FT兩個力的作用
[D] 若a=10 m/s2,小球受G、FT、FN三個力的作用
7.(6分)(多選)如圖所示,輕彈簧的一端固定在傾角為θ的固定光滑斜面的底部,另一端和質量為m的小物塊A相連,質量為m的小物塊B緊靠A靜止在斜面上,此時彈簧的壓縮量為x0。從t=0時開始,對B施加沿斜面向上的外力,使B始終做勻加速直線運動。經過一段時間后,物塊A、B分離,再經過同樣長的時間,B距其出發點的距離恰好為x0。彈簧始終在彈性限度內,其中心軸線與斜面平行,重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 彈簧的勁度系數為
[B] A、B分離時,彈簧的壓縮量為
[C] 物塊B加速度的大小為gsin θ
[D] 物塊B加速度的大小為gsin θ
8.(6分)(2024·山東青島模擬)(多選)如圖甲所示,一傾角為θ的足夠長光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一擋板,一根勁度系數k=100 N/m的輕彈簧兩端分別連接在固定擋板和物塊A上,緊挨著A放置物塊B(不與A粘連),物塊C用輕質細線通過光滑的輕質定滑輪與物塊B連接,細線與斜面平行。開始時A、B均靜止在斜面上,用手托住C,使細線剛好被拉直但無拉力。現撤去外力,C由靜止開始運動,運動過程中物塊A的加速度a與位移x的關系圖像如圖乙所示,已知運動過程中物體C未觸地,g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 放手前彈簧的壓縮量為15 cm
[B] 物塊C的質量為2 kg
[C] 物塊A的質量為2 kg
[D] 斜面傾角θ=30°
9.(12分)(2025·河南高考適應性考試)如圖甲所示的水平地面上,質量為1 kg的物體在水平方向力F的作用下從靜止開始做直線運動。圖乙為F隨時間t變化的關系圖像,已知物體與水平地面之間的動摩擦因數為0.2,重力加速度大小g取 10 m/s2。求:
(1)在2 s末物體的速度大小;
(2)在0～3 s內物體所受摩擦力做的功。
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高中總復習·物理
第3講　
小專題:牛頓運動定律的綜合應用
在下列各圖中,質量分別為m1、m2的物塊A、B分別在恒力F的作用下沿同一平面做勻變速直線運動時,如何推導出在有、無摩擦力兩種情況下A與B間彈力的表達式
提示:題圖情境中,無論物體是否受到摩擦力(μ=0或μ1=μ2≠0),可先將物塊A、B看作一個整體,然后再將其中一個隔離,分別根據牛頓第二定律列方程求解。
1.多個相互關聯的物體連接(疊放、并排或由繩子、細桿、彈簧等連接)在一起構成的物體系統稱為連接體。系統穩定時連接體一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
2.常見連接體模型
3.共速連接體對合力的“分配協議”
兩物塊在外力F作用下一起運動,系統的加速度與每個物塊的加速度相同,如圖。
圖甲:水平地面光滑;
圖乙:m1、m2與水平地面間的動摩擦因數相同,地面粗糙;
圖丙:m1、m2一起豎直向上加速;
圖丁:m1、m2與固定粗糙斜面間的動摩擦因數相同。
[例1] 【疊放類】 (2024·湖南長沙階段練習)如圖所示,質量M=3 kg、傾角θ=37°的斜面體靜止在粗糙水平地面上。在斜面上疊放質量m=2 kg的光滑楔形物塊,物塊在大小為19 N的水平恒力F作用下與斜面體恰好一起向右運動。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,則斜面體與水平地面間的動摩擦因數為(　　)
[A] 0.10 [B] 0.18 [C] 0.25 [D] 0.38
B
【解析】 以整體為研究對象,根據牛頓第二定律得F-μ(M+m)g=(M+m)a,再以楔形物塊為研究對象,如圖所示,在豎直方向有FNcos θ-mg=0,水平方向有F-FNsin θ=ma,聯立解得μ=0.18,故B正確。
[例2] 【輕繩類】 如圖所示,水平面上有兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2,中間用一根輕繩連接,兩木塊的材料相同,現用力F向右拉木塊2,當兩木塊一起向右做勻加速直線運動時,已知重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 若水平面是光滑的,則m2越大繩的拉力越大
[C] 繩的拉力大小與水平面是否粗糙無關
[D] 繩的拉力大小與水平面是否粗糙有關
C
[變式] 【輕繩連接體中的多物體問題】 在[例2]中,若木塊1和2的質量分別為3m和2m,將質量為m的物體A疊放在木塊1上,如圖所示,水平面光滑,輕繩能承受的最大拉力為FT。現用水平拉力F拉木塊2,使木塊1、木塊2和物體A以同一加速度向右運動,則繩即將斷裂瞬間,A與木塊1間的摩擦力為多大
整體法與隔離法在分析共速連接體中的應用
(1)整體法:若連接體內的物體具有共同加速度,可以把它們看成一個整體,分析整體受到的外力,應用牛頓第二定律求出加速度。
(2)隔離法:求系統內兩物體之間的作用力時,就需要把物體從系統中隔離出來,應用牛頓第二定律列方程求解。
(3)整體法和隔離法交替使用:一般情況下,若連接體內各物體具有相同的加速度,且求物體之間的作用力時,可以先用整體法求出加速度,然后再隔離某一物體,應用牛頓第二定律求相互作用力;若求某一外力,可以先隔離某一物體求出加速度,再用整體法求合力或某一個力。
方法點撥
[例3] 【彈簧類】 如圖所示,質量為m的小球P用輕彈簧和細線分別懸掛于固定在小車上的支架M、N兩點。已知彈簧勁度系數為k,重力加速度為g,當小車水平向右做直線運動時,細線與豎直方向的夾角為θ,輕彈簧處于豎直方向,則下列說法正確的是(　　)
B
阿特伍德機原理示意圖
(1)物體B運動過程中的加速度大小;
規范答題
(2)系統由靜止釋放后,運動過程中物體B、C間作用力的大小。
規范答題
關聯速度的連接體問題處理方法
關聯速度連接體做加速運動時,由于加速度的方向不同,一般分別選取研究對象,對兩物體分別列牛頓第二定律方程,用隔離法求解加速度及相互作用力。
方法點撥
1.常見動力學圖像及應用方法
v-t 圖像 根據圖像的斜率判斷加速度的大小和方向,進而根據牛頓第二定律求解合力
F-a 圖像 首先要根據具體的物理情境,對物體進行受力分析,然后根據牛頓第二定律推導出F、a兩個物理量間的函數關系式,根據函數關系式結合圖像,明確圖像的斜率、截距或面積的意義,從而由圖像給出的信息求出未知量
a-t 圖像 要注意加速度的正、負,正確分析每一段的運動情況,然后結合物體受力情況根據牛頓第二定律列方程
F-t 圖像 要結合物體受到的力,根據牛頓第二定律求出加速度,分析每一時間段的運動性質
2.解題策略
(1)分清圖像的類別:即分清橫、縱坐標軸所代表的物理量,明確其物理意義,掌握物理圖像所反映的物理過程。
(2)注意圖線中的一些特殊點所表示的物理意義:圖線與橫、縱坐標軸的交點、圖線的轉折點、兩圖線的交點等。
(3)明確能從圖像中獲得哪些信息:把圖像與具體的題意、情境結合起來,應用物理規律列出與圖像對應的函數關系式,進而明確圖像與公式、圖像與物體運動間的關系,以便對有關物理問題作出準確判斷。
[例4] 【動力學中的常規圖像】 某游泳運動員在0～6 s時間內運動的v-t圖像如圖所示。關于該運動員,下列說法正確的是(　　)
[A] 在0～6 s內所受的合力一直不為零
[B] 在0～6 s內的位移大小為24 m
[C] 在2～4 s內一定處于超重狀態
[D] 在4～6 s內的位移大小為8 m
D
[例5] 【動力學中的非常規圖像】 航天員在某星球上把一質量為m的物體(可視為質點)豎直向上拋出,物體速度的平方v2隨高度h的變化情況如圖所示,圖中v0、v′、H均為已知量。若物體在運動過程中受到的阻力大小恒定,則下列說法正確的是(　　)
C
1.臨界、極值條件的標志
(1)題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程存在著臨界點。
(2)題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程存在著極值,這個極值點往往是臨界點。
2.常見的臨界條件
(1)兩物體脫離的臨界條件:FN=0。
(2)相對滑動的臨界條件:靜摩擦力達到最大值。
(3)繩子斷裂或松弛的臨界條件:繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力;繩子松弛的臨界條件是FT=0。
(4)速度達到最大的臨界條件:加速度變為零。
[例6] 【分離的臨界問題】 (2024·山東濰坊一模)如圖所示,一傾角為37°的足夠長光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一擋板,一根勁度系數k=100 N/m的輕彈簧兩端分別連接在固定擋板和物體P上,緊挨著P放置物體Q(不與P粘連),現對Q施加一個沿斜面向上的拉力F使Q做勻加速直線運動,從施加拉力開始計時,t=0.2 s后拉力F不再變化,已知P的質量mP=1 kg,Q的質量mQ=4 kg,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時P、Q間的作用力為24 N
[B] t=0.2 s時彈簧中的彈力為零
[C] t=0.2 s時拉力F=56 N
[D] Q的加速度大小為15 m/s2
C
[例7] 【相對滑動的臨界問題】 (多選)如圖甲所示,足夠長的木板B靜置于光滑水平面上,其上放置小滑塊A,滑塊A受到隨時間t變化的水平拉力F作用時,用傳感器測出滑塊A的加速度a,得到如圖乙所示的a-F圖像,A、B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,則(　 　)
[A] 滑塊A的質量為4 kg
[B] 木板B的質量為2 kg
[C] 當F=10 N時滑塊A的加速度為6 m/s2
[D] 滑塊A與木板B間的動摩擦因數為0.2
BC
B
處理臨界問題的三種方法
方法點撥
極限法 把物理問題(或過程)推向極端,從而使臨界現象(或狀態)暴露出來,以達到正確解決問題的目的
假設法 臨界問題存在多種可能,特別是有非此即彼兩種可能時,或變化過程中可能出現臨界條件,也可能不出現臨界條件時,往往用假設法解決問題
數學 分析法 將物理過程轉化為數學表達式,根據數學表達式解出臨界條件
基礎對點練
對點1.動力學中的連接體問題
1.(4分)(2024·河南安陽階段練習)如圖所示,質量為2m、傾角為θ的光滑斜面體A放置在光滑的水平桌面上,細線繞過固定在桌面右側的光滑定滑輪,一端與斜面體A相連,另一端懸掛著質量為m的物塊C,斜面體與定滑輪之間的細線平行于桌面。現將質量為m的物塊B放在斜面上,同時釋放物塊C,斜面體A與物塊B恰能保持相對靜止并一起滑動。則tan θ 等于(　　)
C
2.(4分)如圖所示,質量相等的兩小球A、B,二者用一輕彈簧豎直連接,A的上端用輕繩系在足夠高的天花板上,初始時A、B均靜止。現將輕繩剪斷,則從此刻開始到彈簧第一次恢復原長之前(　　)
[A] A的加速度大小的最大值為g
[B] B的加速度大小的最大值為2g
[C] A的位移大小一定大于B的位移大小
[D] A的速度大小均不大于同一時刻B的速度大小
C
對點2.動力學中的圖像問題
3.(4分)(2024·山西臨汾三模)質量為m的物塊靜止在動摩擦因數為μ的水平地面上,0～3 s內所受水平拉力與時間的關系如圖甲所示,0～2 s內加速度圖像如圖乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由圖可知(　　)
[A] m=1 kg,μ=0.2 [B] m=1 kg,μ=0.1
[C] m=2 kg,μ=0.2 [D] m=2 kg,μ=0.1
A
【解析】 0～1 s內,根據牛頓第二定律可得F1-μmg=ma,1～2 s內,物塊仍運動,受到滑動摩擦力,由題圖乙知加速度為零,有F2=μmg,聯立可得m=1 kg,
μ=0.2,故A正確。
4.(4分)一個質量為6 kg的物體在粗糙的水平面上運動,圖中的兩條直線的其中一條為物體受水平拉力作用而另一條為不受拉力作用時的速度—時間圖像,則物體所受摩擦力的大小的可能值為(　　)
[A] 1 N [B] 2 N [C] 2.5 N [D] 3 N
B
對點3.動力學中的臨界和極值問題
5.(4分)(2024·湖南婁底二模)如圖甲,光滑水平面上放置有緊靠在一起但并不粘合的A、B兩個物體,A、B的質量分別為mA=6 kg,mB=4 kg,從t=0開始,推力FA和拉力FB分別作用于A、B上,FA、FB大小隨時間變化的規律分別如圖乙、丙所示,則(　　)
[A] t=0時,A物體的加速度為2 m/s2
[B] t=1 s時,A、B開始分離
[C] t=0時,A、B之間的相互作用力為3 N
[D] A、B開始分離時的速度為3 m/s
B
6.(6分)(多選)在水平直軌道上運動的火車車廂內有一個傾角為30°的斜面,如圖所示。小球的重力、繩對球的拉力、斜面對小球的彈力分別用G、FT、FN表示,重力加速度g取10 m/s2,當火車以加速度a向右加速運動時,則( 　 　)
[A] 若a=20 m/s2,小球受G、FT、FN三個力的作用
[B] 若a=20 m/s2,小球只受G、FT兩個力的作用
[C] 若a=10 m/s2,小球只受G、FT兩個力的作用
[D] 若a=10 m/s2,小球受G、FT、FN三個力的作用
BD
AC
綜合提升練
8.(6分)(2024·山東青島模擬)(多選)如圖甲所示,一傾角為θ的足夠長光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一擋板,一根勁度系數k=100 N/m的輕彈簧兩端分別連接在固定擋板和物塊A上,緊挨著A放置物塊B(不與A粘連),物塊C用輕質細線通過光滑的輕質定滑輪與物塊B連接,細線與斜面平行。開始時A、B均靜止在斜面上,用手托住C,使細線剛好被拉直但無拉力?，F撤去外力,C由靜止開始運動,運動過程中物塊A的加速度a與位移x的關系圖像如圖乙所示,已知運動過程中物體C未觸地,g取10 m/s2。下列說法正確的是(　 　 )
[A] 放手前彈簧的壓縮量為15 cm
[B] 物塊C的質量為2 kg
[C] 物塊A的質量為2 kg
[D] 斜面傾角θ=30°
ABD
9.(12分)(2025·河南高考適應性考試)如圖甲所示的水平地面上,質量為1 kg的物體在水平方向力F的作用下從靜止開始做直線運動。圖乙為F隨時間t變化的關系圖像,已知物體與水平地面之間的動摩擦因數為0.2,重力加速度大小g取 10 m/s2。求:
(1)在2 s末物體的速度大小;
【答案】 (1)8 m/s　
【解析】 (1)0～2 s內,由牛頓第二定律有
F1-μmg=ma1,
解得a1=4 m/s2,
v=a1t1=8 m/s。
(2)在0～3 s內物體所受摩擦力做的功。
【答案】　(2)-27 J

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